Corrigé détaillé X ENS Physique B PC 2020

Le système étudié est le cylindre de masse volumique \rho_{\mathrm{c}}, de volume total V_{\mathrm{tot}} = \pi R^2 L, à l'équilibre dans le référentiel d'étude supposé galiléen.

Il est soumis à deux forces verticales :

• son poids :

  \vec{P} = - m g \vec{u}_{y} = -\rho_{\mathrm{c}} V_{\mathrm{tot}} g \vec{u}_{y}

• la poussée d'Archimède exercée par l'eau de masse volumique \rho (l'action de l'air étant négligée) :

  \vec{\Pi}_{\mathrm{A}} = \rho V_{\mathrm{im}} g \vec{u}_{y}

  où V_{\mathrm{im}} désigne le volume immergé.

À l'équilibre mécanique, le principe fondamental de la statique donne :

soit :

Le cylindre étant à moitié immergé à l'équilibre, on a V_{\mathrm{im}} = \frac{1}{2} V_{\mathrm{tot}}, d'où la relation :

Application numérique : Avec la masse volumique usuelle de l'eau \rho = 1{,}00 \times 10^3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, on obtient :

1. Considérations physiques et sélection des paramètres pertinents

Les paramètres physico-chimiques et géométriques a priori envisageables sont :

• le champ de pesanteur g, moteur du rappel gravitationnel (poids et poussée d'Archimède), nécessairement présent ;
• la profondeur H du canal : l'énoncé stipule que le fond du canal n'influence pas le mouvement du flotteur, donc H n'intervient pas ;
• la longueur L du cylindre : le système est invariant selon l'axe (Oz) (problème bidimensionnel). La masse du flotteur (responsable de son inertie) et la variation de poussée d'Archimède (force de rappel) sont toutes deux proportionnelles à la longueur L. D'après la deuxième loi de Newton, L se simplifie et n'influence pas l'équation du mouvement ;
• les masses volumiques \rho et \rho_{\mathrm{c}} : le rappel est proportionnel à \rho et l'inertie est proportionnelle à \rho_{\mathrm{c}}. D'après la question précédente, le flotteur est à moitié immergé à l'équilibre, imposant le rapport fixe \rho_{\mathrm{c}}/\rho = 1/2. La masse volumique se simplifie donc également de l'équation du mouvement ;
• la dimension transversale du cylindre, caractérisée par son diamètre D (ou son rayon R = D/2).

La pulsation propre \omega_0 ne dépend donc que de deux grandeurs : g et D.

2. Analyse dimensionnelle

Les dimensions des grandeurs physiques intervenantes sont :

Recherchons \omega_0^2 sous la forme d'une loi de puissance \omega_0^2 = C \, g^\alpha D^\beta, où C est une constante sans dimension :

L'identification des exposants dimensionnels conduit à :

On en déduit la dépendance cherchée :

À l'équilibre, le cylindre est à moitié immergé. La surface libre de l'eau (y = 0) coïncide donc avec le plan diamétral horizontal du cylindre, où la largeur de flottaison est maximale et vaut :

Pour une ordonnée y quelconque au voisinage du plan diamétral, la largeur de la section transversale du cylindre s'écrit :

Au premier ordre en y/R, on a simplement W(y) = 2R + \mathcal{O}\left((y/R)^2\right) = D.

Lorsque le cylindre subit un déplacement vertical u = Y - Y_0 :

• si u > 0, le flotteur monte : une tranche de hauteur u émerge, le volume immergé diminue donc d'une quantité égale au volume de cette tranche ;
• si u < 0, le flotteur s'enfonce d'une hauteur |u| : une tranche de hauteur |u| est immergée en plus, le volume immergé augmente.

La tranche correspondante a pour longueur L, pour largeur D (au premier ordre) et pour épaisseur |u|.

La variation algébrique de volume immergé s'écrit donc au premier ordre en u/R :

On applique le principe fondamental de la dynamique au cylindre de masse m, assimilé à son centre de masse G, dans le référentiel \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z) supposé galiléen.

Le flotteur est soumis à deux forces verticales :

• son poids : \vec{P} = -m g\,\vec{u}_y ;
• la poussée d'Archimède (admise applicable en régime dynamique) : \vec{\Pi} = \rho\,V_{\mathrm{im}}\,g\,\vec{u}_y.

À l'équilibre, le cylindre est immobile, d'où :

Hors équilibre, le volume immergé s'écrit V_{\mathrm{im}} = V_{\mathrm{im},0} + \delta V_{\mathrm{im}}. La résultante des forces projetée selon l'axe (\mathrm{O}y) vaut donc :

D'après le résultat de la question 3, \delta V_{\mathrm{im}} = -D L u, ce qui donne :

La masse totale du cylindre homogène de diamètre D et de longueur L s'exprime, compte tenu de \rho_{\mathrm{c}} = \rho/2 (question 1), par :

La deuxième loi de Newton appliquée au centre de masse G donne m\,\ddot{Y} = m\,\ddot{u} = F_y, soit :

En divisant par \frac{\pi}{8} \rho D^2 L, on obtient :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre \omega_0.

La fréquence propre f_0 associée à la pulsation \omega_0 établie à la question précédente s'exprime par :

Effectuons l'application numérique sans calculatrice, avec les valeurs :

• D = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m} ;
• g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \pi \simeq 3{,}14, d'où \pi^2 \simeq 9{,}87 \simeq g et \pi^3 \simeq 31{,}0.

En utilisant l'approximation usuelle g \simeq \pi^2, l'expression de la fréquence se simplifie sous la forme :

(ou, en calculant directement la pulsation : \omega_0 = \sqrt{\frac{8 \times 9{,}8}{\pi \times 0{,}15}} \simeq \sqrt{166} \simeq 12{,}9\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, ce qui conduit à f_0 = \frac{12{,}9}{2\pi} \simeq 2{,}05\text{ Hz} \simeq 2{,}1\text{ Hz}).

1. Amplitude initiale u_0

Pour t < 0{,}45\text{ s}, le cylindre est maintenu immobile dans une position enfoncée où Y \approx -10\text{ mm}. Sachant que l'ordonnée d'équilibre est Y_0 = 0\text{ mm}, l'écart initial à l'équilibre lors du lâcher est :

Remarque : si l'on s'intéresse au premier extremum atteint après le lâcher (à t \approx 0{,}78\text{ s}), l'amplitude observée est d'environ 3{,}6\text{ mm}.

2. Pseudo-période et pseudo-fréquence f_{\text{exp}}

Repérons les instants correspondant aux maxima successifs de l'ordonnée Y(t) :

• Premier pic : t_1 \approx 0{,}78\text{ s} avec Y_1 \approx 3{,}6\text{ mm} ;
• Deuxième pic : t_2 \approx 1{,}28\text{ s} avec Y_2 \approx 0{,}8\text{ mm} ;
• Troisième pic : t_3 \approx 1{,}78\text{ s} avec Y_3 \approx 0{,}3\text{ mm}.

L'intervalle de temps séparant deux maxima successifs correspond à la pseudo-période :

On en déduit la pseudo-fréquence des oscillations :

3. Estimation du facteur de qualité Q

Pour un oscillateur linéaire sous-amorti régi par une équation du type \ddot{u} + \frac{\omega_0}{Q}\dot{u} + \omega_0^2 u = 0, l'amplitude décroît selon une loi exponentielle de la forme e^{-\frac{\omega_0 t}{2Q}} = e^{-\frac{\pi t}{Q T_{\text{exp}}}}. Le décrément logarithmique \delta associé à deux maxima consécutifs distants d'une pseudo-période s'écrit :

À partir des valeurs lues sur la courbe :

On obtient ainsi l'estimation :

D'après la question Q5, la fréquence propre théorique du flotteur vaut :

D'après la question Q6, l'estimation expérimentale de la pseudo-fréquence donne :

L'écart relatif entre ces deux grandeurs est très faible :

L'accord entre le modèle théorique non amorti et l'expérience est remarquable en ce qui concerne la fréquence des oscillations.

Dans l'équation de Navier-Stokes pour un fluide incompressible :

le nombre de Reynolds \mathrm{Re} compare l'ordre de grandeur de l'accélération convective (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim \frac{V^2}{D} à celui du terme de diffusion visqueuse \nu \Delta \vec{v} \sim \nu \frac{V}{D^2} :

où :

• D est la dimension spatiale caractéristique transverse à l'écoulement, soit le diamètre du cylindre : D = 0{,}15\text{ m} ;
• \nu = 10^{-6}\text{ m}^{2}\cdot\text{s}^{-1} est la viscosité cinématique de l'eau ;

• V est la vitesse caractéristique du flotteur au cours de son mouvement oscillatoire. En considérant un mouvement quasi-sinusoïdal d'amplitude u_0 \approx 10\text{ mm} et de pulsation \omega_0 \approx 2\pi f_0 \approx 13\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} (d'après les questions Q5 et Q6), l'amplitude de vitesse s'estime par :

  V \sim \omega_0 u_0 \approx 13 \times 10^{-2} \approx 0{,}13\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

L'estimation numérique donne :

Commentaire : On obtient \mathrm{Re} \gg 1 (régime d'écoulement à grand nombre de Reynolds, intermédiaire à turbulent). Les effets inertiels dominent très largement les forces de viscosité dans le corps du fluide. Il y aura décollement de la couche limite à l'arrière du cylindre et formation d'un sillage turbulent ; la traînée fluide ne sera donc pas du type visqueux linéaire (loi de Stokes), mais une traînée de pression quadratique en vitesse.

D'après la question Q8, le nombre de Reynolds est très grand devant 1 (\mathrm{Re} \sim 2\cdot 10^4). L'écoulement autour du cylindre relève donc du régime inertiel (ou turbulent), pour lequel les forces de traînée sont dominées par les effets de pression et sont quadratiques en vitesse (loi de traînée quadratique).

Pour un objet immergé dans un fluide infini à grand nombre de Reynolds (comme une sphère pour laquelle F_{\mathrm{T}} = \frac{1}{2} C_x \rho \pi R^2 V^2), la force de traînée s'oppose au mouvement et s'écrit de manière générale :

où :

• C_x est le coefficient de traînée (adimensionnel, d'ordre de grandeur 1) ;
• \rho est la masse volumique de l'eau ;
• S est l'aire de la section frontale projetée (maître-couple) perpendiculairement à la direction du mouvement.

Le cylindre se déplace transversalement à son axe selon \vec{u}_y, son axe étant parallèle à (\mathrm{O}z). La projection de sa surface sur un plan orthogonal à \vec{u}_y (le plan (\mathrm{O}x, \mathrm{O}z)) est un rectangle de largeur D et de longueur L. Le maître-couple vaut donc :

Avec \vec{V} = V\vec{u}_{y}, la vitesse s'écrit \|\vec{V}\| = |V|, d'où l'expression de la force de traînée :

Pour évaluer le rapport caractéristique K_{\mathrm{TR}}, définissons les grandeurs caractéristiques associées aux oscillations libres du flotteur :

• un déplacement vertical caractéristique : l'amplitude des oscillations u_{\mathrm{c}} = u_0 ;
• une vitesse verticale caractéristique : V_{\mathrm{c}} = \omega_0 u_0.

D'après la question 4, la force de rappel d'Archimède (souvent appelée rappel gravitationnel car issue du couplage entre la pesanteur et le déplacement dans le fluide) s'écrit algébriquement :

L'ordre de grandeur de l'intensité de cette force de rappel est donc :

D'après la question 9, la force de traînée s'exprime par \vec{F}_{\mathrm{T}} = -\frac{1}{2} C_x \rho D L |V| V \vec{u}_y, dont l'intensité caractéristique vaut :

Le rapport caractéristique K_{\mathrm{TR}} s'écrit ainsi :

En injectant l'expression de la pulsation propre établie en question 4, \omega_0^2 = \dfrac{8g}{\pi D}, on obtient :

D'après la question Q10, le rapport caractéristique de la force de traînée à la force de rappel s'écrit :

Avec les valeurs numériques :

• u_0 \approx 10\text{ mm} = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m} (déterminée en Q6) ;
• D = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m} ;
• C_x \sim 1 pour un écoulement transverse autour d'un cylindre à \mathrm{Re} \sim 10^4.

On obtient l'estimation numérique :

Conclusion sur l'amortissement : Le rapport K_{\mathrm{TR}} \ll 1 indique que la force de traînée reste inférieure à 10\,\% de la force de rappel au début du mouvement, et décroît encore plus vite que celle-ci au cours du temps (car la traînée est quadratique en vitesse).

Une force dissipative aussi faible devant la force de rappel ne peut en aucun cas rendre compte de l'amortissement très marqué observé expérimentalement (Q \approx 2, où la quasi-totalité de l'énergie est dissipée en deux périodes seulement). L'effet de traînée ne joue donc qu'un rôle très marginal dans l'amortissement : l'essentiel de l'énergie mécanique est évacué par un autre mécanisme, à savoir le rayonnement d'ondes de surface.

L'image inférieure de la figure (3) constitue un diagramme spatio-temporel (x,t) :

• l'axe horizontal représente la position spatiale x le long du canal ;
• l'axe vertical, orienté vers le bas, représente l'écoulement du temps t.

La bande sombre verticale centrale correspond à la trace du flotteur, dont la position horizontale est fixe (x \approx 0).

Les lignes obliques situées de part et d'autre correspondent aux lignes d'isophase (succession de crêtes et de creux) des ondes de gravité de surface émises par le flotteur en oscillation verticale :

• au fur et à mesure que le temps s'écoule (vers le bas), la position de ces bosses et creux s'éloigne du centre : elles s'éloignent vers la droite (x > 0) et vers la gauche (x < 0), ce qui traduit la propagation d'ondes progressives divergentes ;

• la pente de ces droites est directement reliée à la célérité de propagation c_{\exp} des ondes de surface :

  \left|\frac{\Delta x}{\Delta t}\right| = c_{\exp}

L'axe vertical de la chronophotographie est orienté vers le bas et correspond à l'écoulement du temps. La hauteur totale H_{\text{tot}} de l'image correspond à une durée de prise de vue :

À une position x donnée (ou au niveau du flotteur au centre), les lignes obliques claires consécutives correspondent au passage de crêtes successives d'ondes de surface générées à chaque cycle d'oscillation du flotteur. La distance verticale \Delta h entre deux crêtes consécutives correspond donc à la pseudo-période temporelle T'_{\text{exp}} du flotteur :

Sur la figure (3), en mesurant la hauteur totale du diagramme H_{\text{tot}} et la distance verticale correspondant à N = 2 périodes consécutives, on observe que deux périodes occupent environ un tiers de la hauteur totale :

On en déduit la fréquence des oscillations :

La longueur d'onde \lambda_{\mathrm{exp}} représente la période spatiale de l'onde. Elle se mesure à un instant fixé t, c'est-à-dire le long d'une ligne horizontale sur la chronophotographie spatio-temporelle (x,t) de la figure (3).

Pour déterminer l'échelle spatiale, on prend pour référence la largeur de la frange sombre verticale centrale associée au cylindre, qui vaut :

Sur une horizontale donnée (par exemple dans la partie supérieure ou médiane du diagramme où le signal est bien visible), la distance séparant deux lignes d'égale phase consécutives (deux maxima consécutifs de clarté) est environ 4,5 à 5 fois plus grande que la largeur de la bande centrale :

On en déduit :

Compte tenu de l'incertitude de lecture sur le cliché, on retient :

Pour une onde progressive se propageant le long de l'axe (Ox), la célérité de phase c_{\mathrm{exp}} est reliée à la longueur d'onde \lambda_{\mathrm{exp}} et à la fréquence temporelle f'_{\mathrm{exp}} par :

En utilisant les valeurs déterminées aux questions Q13 et Q14 :

• f'_{\mathrm{exp}} \approx 2{,}0\text{ Hz} (soit T'_{\mathrm{exp}} \approx 0{,}50\text{ s}),
• \lambda_{\mathrm{exp}} \approx 0{,}70\text{ m},

on obtient :

De façon équivalente, une mesure directe de l'inverse de la pente des lignes de crête sur le diagramme spatio-temporel (x,t) donne :

Compte tenu des incertitudes de lecture graphique, on retient l'intervalle d'estimation :

La relation de dispersion liant la pulsation \omega au nombre d'onde k s'écrit, pour \omega \ge 0 et k > 0 :

1. Comportement limite en k \to 0 (kH \ll 1, régime des ondes en eau peu profonde) :

Au voisinage de 0, le développement limité de la tangente hyperbolique est \tanh(x) = x - \frac{x^3}{3} + \mathcal{O}(x^5). On en déduit :

La fonction admet donc au voisinage de l'origine un comportement linéaire :

La courbe part de l'origine avec une demi-tangente de pente finie égale à \sqrt{gH}.

2. Comportement asymptotique en k \to +\infty (kH \gg 1, régime des ondes en eau profonde) :

Lorsque k \to +\infty, \tanh(kH) \to 1. Ainsi :

La courbe présente une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des abscisses, avec une dérivée tendant vers zéro :

3. Allure graphique :

La fonction \omega(k) est strictement croissante et concave sur \mathbb{R}^+.

Un milieu de propagation est qualifié de non dispersif si la vitesse de phase v_{\varphi} = \dfrac{\omega}{k} est indépendante de la pulsation \omega (ou du nombre d'onde k), ce qui implique que la vitesse de groupe v_{\mathrm{g}} = \dfrac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} est égale à la vitesse de phase :

Cela correspond à une relation de dispersion linéaire de la forme \omega(k) = c\,k, où c est une constante.

D'après l'étude menée à la question précédente (Q16), la relation de dispersion (1) n'est linéaire que dans la limite des faibles profondeurs (ou ondes longues) :

Dans ce régime, on a \tanh(kH) \sim kH, soit \omega(k) \approx \sqrt{gH}\,k, d'où v_{\varphi} = v_{\mathrm{g}} \approx \sqrt{gH}.

Le milieu peut donc être considéré comme non dispersif sous la condition :

Sur la chronophotographie (figure 3), les lignes obliques représentent les trajectoires spatio-temporelles d'états d'intensité lumineuse donnés, c'est-à-dire les lignes de phase constante (crêtes ou creux de l'onde de surface).

La vitesse associée c_{\text{exp}}, déterminée soit par le suivi d'une crête au cours du temps (\Delta x / \Delta t), soit par la relation c_{\text{exp}} = \lambda_{\text{exp}} f'_{\text{exp}} = \omega/k, mesure la vitesse de déplacement des surfaces d'égale phase.

Par conséquent, c_{\text{exp}} s'associe à la vitesse de phase :

La relation de dispersion s'écrit :

Dans la limite des faibles profondeurs (kH \ll 1), un développement limité au premier ordre donne :

Il vient ainsi pour la pulsation :

Comme le milieu est non dispersif dans cette limite (d'après la question Q17), la célérité de phase et la vitesse de groupe coïncident et valent :

Application numérique : avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et H = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m},

Comparaison avec l'expérience : À la question Q15, la pente mesurée sur la chronophotographie conduisait à c_{\mathrm{exp}} \approx 1{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. L'accord entre la valeur théorique en régime d'eau peu profonde et la valeur expérimentale est donc excellent, ce qui valide la modélisation adopted pour la propagation des vagues dans le canal.

Considérons une tranche élémentaire de fluide située entre les abscisses x et x + \mathrm{d}x, s'étendant sur toute la largeur de la cuve L selon (\mathrm{O}z). Dans la situation d'onde, la surface libre se situe à la hauteur y = h(x,t), tandis qu'elle est en y = 0 à l'état de référence.

L'énergie potentielle de pesanteur d'un élément de volume \mathrm{d}\tau = L\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathrm{d}\tau situé à l'altitude y s'écrit :

Par rapport à l'état de référence (interface plane y = 0), l'énergie potentielle de pesanteur de la colonne verticale s'obtient en intégrant entre y = 0 et y = h(x,t) :

Cette expression est strictement positive que la surface soit au-dessus de sa position d'équilibre (h > 0, masse supplémentaire à une altitude y > 0) ou en dessous (h < 0, masse manquante à une altitude y < 0).

L'énergie potentielle emmagasinée sur une longueur d'onde spatiale, par exemple pour x \in [0, \lambda], s'écrit alors :

En introduisant l'expression de l'onde h(x,t) = A \sin(\Omega_0 t \pm kx) avec k = \frac{2\pi}{\lambda} :

Comme l'intervalle d'intégration est de longueur \lambda et que 2k\lambda = 4\pi, l'intégrale de la partie oscillante en cosinus sur deux périodes spatiales est nulle :

Il reste ainsi :

On en déduit l'expression demandée :

L'onde progressive harmonique se propageant à la célérité c, la tranche de fluide de longueur spatiale \lambda traverse une section verticale fixe d'abscisse donnée pendant une durée égale à la période temporelle :

Par définition du flux moyen d'énergie (puissance moyenne transportée par l'onde à travers la section), l'énergie potentielle de pesanteur traversant cette section par unité de temps s'écrit :

En utilisant l'expression de E_{\mathrm{p}} établie à la question Q20, E_{\mathrm{p}} = \dfrac{1}{4} \rho g L \lambda A^2, on obtient directement :

Considérons le profil spatial d'une onde progressive se propageant vers les x>0, donné à un instant fixé par h(x) = A\sin(kx) avec k = \frac{2\pi}{\lambda}. Une bosse s'étend sur une demi-longueur d'onde, par exemple pour x \in [0, \lambda/2] où h(x) \ge 0.

Le volume d'une bosse s'étendant sur la largeur L du canal s'écrit :

Des ondes étant générées symétriquement vers la droite (x>0) et vers la gauche (x<0), il se forme deux bosses pendant une demi-période temporelle. Le volume total des bosses vaut donc :

Par ailleurs, au cours d'une demi-période d'oscillation T/2, l'ordonnée du flotteur varie entre ses deux extrema, soit une excursion verticale totale (course de crête à creux) :

D'après le résultat de la question 3, la variation correspondante de volume immergé (volume balayé par la section horizontale efficace D \times L à la ligne de flottaison) est :

En égalant le volume total des bosses au volume balayé sur une demi-période, conformément à l'énoncé :

On en déduit immédiatement :

L'équation du mouvement du flotteur en régime non amorti (question 4) s'écrit \ddot{u} + \omega_0^2 u = 0, avec une raideur équivalente k_{\mathrm{eff}} = m\omega_0^2. Avec m = \rho_{\mathrm{c}} \pi R^2 L = \frac{1}{8}\pi \rho D^2 L et \omega_0^2 = \frac{8g}{\pi D}, on a :

Pour des oscillations quasi-sinusoïdales d'amplitude lentement variable B(t), l'énergie mécanique moyenne du flotteur sur une période d'oscillation vaut :

Sa dérivée temporelle s'exprime donc par :

Le flotteur rayonne des ondes de gravité de surface vers les deux côtés du canal (x > 0 et x < 0). En prenant en compte le flux d'énergie potentielle \Phi_{\mathrm{p}} évacué de chaque côté, la puissance moyenne cédée sous forme d'ondes vaut \mathcal{P}_{\mathrm{perdue}} = 2\Phi_{\mathrm{p}} :

D'après la question 21, \Phi_{\mathrm{p}} = \frac{1}{4}\rho g L c A^2, et la relation établie à la question 22 donne A = \frac{\pi D}{\lambda} B. Il vient :

Le bilan d'énergie s'écrit donc :

En simplifiant par \rho g D L B (puisque B \neq 0), on obtient :

Cette équation est bien de la forme \dot{B} + \dfrac{B}{\tau} = 0, avec :

La constante de temps vérifie bien la dépendance dimensionnelle :

Pour un oscillateur harmonique faiblement amorti régi par l'équation canonique :

l'amplitude B(t) des oscillations décroît selon une loi exponentielle en e^{-\frac{\omega_0}{2Q}t} = e^{-t/\tau}. Par identification avec l'équation différentielle établie à la question précédente \dot{B} + \frac{B}{\tau} = 0, on a :

D'autre part, les ondes de surface sont générées à la période temporelle T des oscillations du flotteur et se propagent à la célérité c. La longueur d'onde s'écrit donc :

En injectant cette relation dans l'expression de la constante de temps d'amortissement \tau = \frac{2\lambda^2}{\pi^2 c D} (établie à la question Q23) :

On en déduit immédiatement l'expression du facteur de qualité :

D'après le résultat de la question 24, le facteur de qualité du système s'écrit :

en utilisant \lambda = c T.

Application numérique : Avec les valeurs obtenues précédemment :

• c \simeq 1{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (question 19),
• T \simeq T_0 \simeq 0{,}50\text{ s} (questions 5 et 6), soit une longueur d'onde \lambda = c T \simeq 0{,}70\text{ m} (en accord avec la question 14),
• D = 0{,}15\text{ m},

on obtient :

Analyse du résultat :

• Accord avec l'expérience : La valeur théorique calculée (Q \approx 3) est en très bon accord avec l'estimation expérimentale directe déduite de la figure 2 à la question 6 (Q_{\text{exp}} \approx 2). L'écart modéré s'explique naturellement par les hypothèses simplificatrices du modèle (onde purement gravitaire bidimensionnelle non dispersive, géométrie simplifiée du transfert de volume, dissipation visqueuse résiduelle).
• Origine de l'amortissement : Une telle valeur (Q \sim 2\text{ à } 3) correspond à un régime oscillant très fortement amorti, le flotteur perdant l'essentiel de son énergie en seulement deux ou trois périodes, ce qui est parfaitement conforme à l'enregistrement temporel.
• Conclusion physique : Cette concordance démontre que le mécanisme prépondérant d'amortissement des oscillations du flotteur est la perte d'énergie par rayonnement d'ondes de surface emportées vers l'infini, et non le frottement fluide ou la traînée hydrodynamique (qui avait été montrée négligeable aux questions 10 et 11).

Le cylindre a pour volume V_{\mathrm{c}} = \pi R^2 L = \pi \frac{D^2}{4} L et pour masse m = \rho_{\mathrm{c}} V_{\mathrm{c}}. Il est soumis à deux forces verticales :

• son poids : \vec{P} = -m g \vec{u}_{y} = -\rho_{\mathrm{c}} V_{\mathrm{c}} g \vec{u}_{y} ;
• la poussée d'Archimède : \vec{\Pi}_{\mathrm{A}} = \left( \iiint_{V_{\mathrm{c}}} \rho_0(y) \, \mathrm{d}V \right) g \, \vec{u}_{y}.

Comme le profil de masse volumique \rho_0(y) = \rho_0(0) - \bar{\rho} \frac{y}{\ell} est une fonction affine de l'ordonnée y, l'intégrale sur le volume du cylindre se calcule directement à l'aide de la définition du centre de masse G d'ordonnée Y :

La poussée d'Archimède s'exprime donc simplement en fonction de l'ordonnée Y du centre de masse :

1. Condition d'équilibre statique À l'équilibre, le centre de masse est à l'ordonnée Y = Y_0, et le principe fondamental de la statique donne :

On en déduit l'équation algébrique vérifiée par Y_0 :

2. Équation différentielle du mouvement Dans le référentiel galiléen \mathcal{R}, le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe vertical \vec{u}_{y} s'écrit :

En introduisant la variable d'écart u = Y - Y_0, de sorte que \ddot{Y} = \ddot{u} et \rho_0(Y) = \rho_0(Y_0 + u) = \rho_0(Y_0) - \bar{\rho} \frac{u}{\ell}, il vient :

Puisque \rho_0(Y_0) = \rho_{\mathrm{c}}, les termes constants se compensent exactement :

En divisant par \rho_{\mathrm{c}} V_{\mathrm{c}}, on obtient l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique :

avec la pulsation propre :

D'après l'énoncé, \bar{\rho} est la masse volumique moyenne selon la verticale, soit sur l'intervalle y \in [0, H] :

La fonction \rho_0(y) = \rho_0(0) - \bar{\rho}\frac{y}{\ell} étant affine en y, sa valeur moyenne sur [0, H] est égale à sa valeur en milieu d'intervalle :

Or, d'après la condition d'équilibre établie en question 26, pour Y_0 = H/2, la masse volumique du cylindre vaut :

On en déduit rigoureusement l'égalité :

En reportant cette relation dans l'expression de la pulsation propre issue de la question 26, \Omega_0^2 = \frac{\bar{\rho}}{\rho_{\mathrm{c}}} \frac{g}{\ell}, il vient :

D'après la question Q27, la pulsation propre des oscillations verticales du cylindre s'écrit :

La période propre T_0 associée est donc donnée par :

Avec \ell \sim 10^7\text{ m} et g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou g \approx 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

soit environ 1\text{ h } 45\text{ min} (ou T_0 \approx 6 \cdot 10^3\text{ s}).

L'onde plane harmonique s'écrit sous la forme :

avec \vec{k} = k_x \vec{u}_x + k_y \vec{u}_y.

Direction de propagation \vec{u} À chaque instant t, les plans d'onde (surfaces équiphases) sont définis par :

Comme \omega > 0, la phase se propage dans le sens de \vec{k}. Le vecteur unitaire normal aux plans d'onde, orienté dans le sens de la propagation, est donc :

Avec k_x = 2k_y > 0, il vient :

La direction de propagation fait ainsi un angle \theta avec l'horizontale (Ox) tel que \tan\theta = \frac{k_y}{k_x} = \frac{1}{2}, soit \theta \simeq 26{,}6^\circ.

Définition et obtention de \lambda_x et \lambda_y La phase s'écrit également :

avec :

Comme k_x = 2k_y, on en déduit immédiatement :

Géométriquement :

• \lambda_x est la période spatiale le long de l'axe (Ox). Elle s'obtient comme la distance séparant deux plans d'onde successifs (dont le déphasage est \Delta\phi = 2\pi) mesurée le long de l'axe horizontal (y fixé).
• \lambda_y est la période spatiale le long de l'axe (Oy). Elle s'obtient comme la distance séparant ces deux mêmes plans d'onde consécutifs mesurée le long de l'axe vertical (x fixé).

Représentation graphique Dans le plan (O,x,y), les lignes équiphases vérifient k_x x + k_y y = \text{Cste}, soit 2x + y = \text{Cste} : ce sont des droites de pente négative égale à -k_x/k_y = -2.

Le système (7) décrit la dynamique des petites perturbations autour de l'état d'équilibre hydrostatique, dans le cadre de l'approximation de Boussinesq (où les variations de masse volumique sont négligées dans les termes d'inertie mais conservées dans le terme gravitaire) :

• Équation (1) :

  \frac{\partial \delta v_x}{\partial x} + \frac{\partial \delta v_y}{\partial y} = \operatorname{div}(\delta\vec{v}) = 0

  Elle traduit l'incompressibilité de l'écoulement (conservation du volume d'une particule fluide au cours de son mouvement).

• Équation (2) :

  \frac{\partial \delta\rho}{\partial t} + \delta v_y \frac{\partial \rho_0}{\partial y} = 0

  Elle traduit la conservation de la masse pour chaque particule fluide (absence de diffusion de masse, soit une dérivée particulaire nulle \frac{\mathrm{D}\rho}{\mathrm{D}t} = 0), linéarisée au premier ordre : le déplacement vertical d'une particule entraîne une perturbation locale de masse volumique par simple advection du gradient d'équilibre \frac{\mathrm{d}\rho_0}{\mathrm{d}y}.

• Équation (3) :

  \bar{\rho}\frac{\partial \delta v_x}{\partial t} = -\frac{\partial \delta P}{\partial x}

  Elle correspond à la projection selon l'axe horizontal (Ox) de l'équation d'Euler linéarisée (bilan de quantité de mouvement pour un fluide parfait non visqueux) : l'accélération horizontale est mise en mouvement par les gradients horizontaux de pression dynamique \delta P.

• Équation (4) :

  \bar{\rho}\frac{\partial \delta v_y}{\partial t} = -\frac{\partial \delta P}{\partial y} - g\,\delta\rho

  Elle correspond à la projection selon l'axe vertical (Oy) de l'équation d'Euler linéarisée : l'accélération verticale résulte de la compétition entre le gradient vertical de surpression et la force de flottabilité (poussée d'Archimède nette -g\,\delta\rho), consécutive à l'écart \delta\rho par rapport à l'équilibre hydrostatique de référence -\frac{\mathrm{d}P_0}{\mathrm{d}y} - \rho_0 g = 0.

D'après la relation (4), la masse volumique d'équilibre vérifie :

Pour toute grandeur perturbative \delta\psi \in \{\delta v_x, \delta v_y, \delta\rho, \delta P\}, l'expression (6) en notation complexe s'écrit :

Les opérateurs de dérivation spatio-temporelle se traduisent par les facteurs multiplicatifs suivants :

En injectant ces relations dans le système (7), on élimine le terme de phase commun \exp\left[i\left(\omega t - k_x x - k_y y\right)\right] pour chaque équation :

• Équation (1) (incompressibilité) :

  -i k_x A_{v_x} - i k_y A_{v_y} = 0 \iff k_x A_{v_x} + k_y A_{v_y} = 0

• Équation (2) (conservation de la masse) :

  i\omega A_\rho - \frac{\bar{\rho}}{\ell} A_{v_y} = 0

• Équation (3) (Euler selon (\mathrm{O}x)) :

  i\omega \bar{\rho} A_{v_x} = -(-i k_x A_P) = i k_x A_P \iff \omega \bar{\rho} A_{v_x} - k_x A_P = 0

• Équation (4) (Euler selon (\mathrm{O}y)) :

  i\omega \bar{\rho} A_{v_y} = i k_y A_P - g A_\rho

Le système linéaire d'équations algébriques vérifié par les amplitudes complexes s'écrit donc :

D'après la question Q31, le système d'équations algébriques liant les amplitudes complexes s'écrit :

En supposant k_x \neq 0 et \omega \neq 0, exprimons les grandeurs en fonction de A_{v_y} :

• De l'équation (1) :

  A_{v_x} = -\frac{k_y}{k_x} A_{v_y}

• De l'équation (2) :

  A_\rho = \frac{\bar{\rho}}{i\omega \ell} A_{v_y}

• De l'équation (3) :

  A_P = \frac{\bar{\rho}\omega}{k_x} A_{v_x} = -\frac{\bar{\rho}\omega k_y}{k_x^2} A_{v_y}

Substituons ces expressions dans l'équation (4) :

Pour une onde non triviale (A_{v_y} \neq 0), divisons par i\bar{\rho} A_{v_y} (en remarquant que 1/i = -i) :

En multipliant l'ensemble par \omega k_x^2, on obtient :

soit :

Cette relation est bien de la forme demandée :

avec la constante positive \alpha définie par :

Le vecteur d'onde s'écrit dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y) :

En notant k = \|\vec{k}\| = \sqrt{k_x^2 + k_y^2} la norme du vecteur d'onde et \theta = (\widehat{\vec{u}_x, \vec{k}}) l'angle formé par le vecteur d'onde \vec{k} avec l'axe horizontal (\mathrm{O}x), ses composantes cartésiennes s'expriment par :

La relation de dispersion établie à la question Q32 s'écrit :

En remplaçant les composantes par leur expression polaire :

Comme la pulsation \omega et la constante \alpha = \sqrt{g/\ell} sont des grandeurs positives, on obtient :

D'après la question précédente, la relation de dispersion s'écrit :

L'analyse de cette relation fait ressortir trois caractéristiques physiques fondamentales :

1. Indépendance vis-à-vis de la norme du vecteur d'onde : La pulsation \omega ne dépend aucunement du module k = \|\vec{k}\| (ni donc de la longueur d'onde \lambda = 2\pi/k), mais uniquement de l'orientation du vecteur d'onde par rapport à l'horizontale, donnée par l'angle \theta. Pour une fréquence fixée, des ondes de longueurs d'onde arbitraires peuvent donc coexister et se propager.

2. Pulsation de coupure haute (fréquence de Brunt-Väisälä) : Puisque |\cos\theta| \le 1, la pulsation d'une onde interne vérifie nécessairement :

   \boxed{0 \le \omega \le \alpha}

   La constante \alpha constitue donc une pulsation maximale de propagation (pulsation de coupure haute). Pour une excitation de pulsation \omega > \alpha, le milieu ne peut pas propager d'ondes internes planes.

3. Orientation imposée du vecteur d'onde par la pulsation d'excitation : Lorsque le fluide est excité à une pulsation donnée \omega < \alpha, l'angle \theta formé par le vecteur d'onde \vec{k} avec l'axe horizontal (\mathrm{O}x) est entièrement déterminé par :

   \cos^2\theta = \frac{\omega^2}{\alpha^2} \implies |\theta| = \arccos\left(\frac{\omega}{\alpha}\right) \quad \text{ou} \quad |\theta| = \pi - \arccos\left(\frac{\omega}{\alpha}\right)

   Cela définit quatre directions possibles pour \vec{k} dans le plan vertical, symétriques par rapport aux axes (\mathrm{O}x) et (\mathrm{O}y).

   • Pour \omega \to \alpha : \theta \to 0 ou \pi, le vecteur d'onde est horizontal.
   • Pour \omega \to 0 : \theta \to \pm \pi/2, le vecteur d'onde est vertical.

D'après l'équation (6), la forme complexe des perturbations est :

La phase instantanée de l'onde s'écrit \varphi(\vec{r},t) = \omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}. Un plan de phase (ou front d'onde) est défini par \varphi(\vec{r},t) = \text{Cste}, soit :

Le vecteur unitaire orthogonal aux plans de phase et orienté dans le sens de propagation est :

Au cours d'un intervalle de temps \mathrm{d}t, le déplacement normal \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}r_{\varphi}\,\vec{u} d'un plan de phase vérifie :

Le vecteur vitesse de phase est dirigé selon \vec{u} et s'écrit donc :

En injectant la relation de dispersion \omega = \alpha \frac{|k_x|}{\sqrt{k_x^2 + k_y^2}} (obtenue à la question Q32 avec \omega \ge 0), on obtient :

Dans le cas usuel où k_x > 0 :

D'après l'énoncé, chaque composante de la vitesse de groupe s'exprime comme dans le cas unidimensionnel, soit :

D'après la relation de dispersion (8) établie à la question Q32, la pulsation s'écrit (avec \omega \ge 0) :

En différentiant la relation \omega^2(k_x^2 + k_y^2) = \alpha^2 k_x^2 par rapport à k_x (à k_y fixé) :

En remplaçant \omega^2 par son expression :

De même, en différentiant par rapport à k_y (à k_x fixé) :

D'où :

En regroupant les deux composantes, on obtient le vecteur vitesse de groupe :

Dans le cas usuel où k_x > 0, cette expression s'écrit simplement :

D'après les questions Q35 et Q36, les vecteurs vitesse de phase et vitesse de groupe s'écrivent :

1. Orthogonalité des vitesses de phase et de groupe

Calculons le produit scalaire \vec{V}_{\phi} \cdot \vec{V}_{\mathrm{g}} :

On en déduit que :

2. Signe des composantes horizontales

Les composantes horizontales des vitesses de phase et de groupe valent respectivement :

Les facteurs prépondérants \dfrac{\alpha k_x^2}{(k_x^2 + k_y^2)^{3/2}} et \dfrac{\alpha k_y^2}{(k_x^2 + k_y^2)^{3/2}} étant strictement positifs (pour k_x \neq 0 et k_y \neq 0), V_{\phi, x} et V_{\mathrm{g}, x} ont tous deux le signe de k_x :

3. Orthogonalité entre la vitesse fluide \delta\vec{v} et le vecteur d'onde \vec{k}

La première équation du système (7) traduit l'incompressibilité de l'écoulement :

En introduisant la forme d'onde plane harmonique \delta\vec{v} = \vec{A}_v \exp[i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], l'opérateur spatial s'écrit \vec{\nabla} \to -i\vec{k}, d'où :

Il en résulte immédiatement que :

Dans le cas où k_x = 2k_y > 0, les grandeurs vectorielles s'orientent ainsi :

• Vitesse de phase \vec{V}_{\phi} : D'après la question Q35, \vec{V}_{\phi} est colinéaire et de même sens que le vecteur d'onde \vec{k} :

  \vec{V}_{\phi} \propto k_x \vec{u}_x + k_y \vec{u}_y \propto 2 \vec{u}_x + \vec{u}_y

  Elle pointe vers le haut et vers la droite (\theta = \arctan(1/2) \approx 26{,}6^\circ).

• Vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}} : D'après la question Q36, avec k_x > 0 et k_y > 0 :

  \vec{V}_{\mathrm{g}} \propto k_y \vec{u}_x - k_x \vec{u}_y \propto \vec{u}_x - 2 \vec{u}_y

  Elle pointe vers le bas et vers la droite. Les deux vitesses sont bien orthogonales et vérifient V_{\phi,x} > 0 et V_{\mathrm{g},x} > 0 (conformément à la question Q37).

• Direction de la vitesse fluide \delta\vec{v} : La condition d'incompressibilité \vec{k} \cdot \delta\vec{v} = 0 impose 2\,\delta v_x + \delta v_y = 0, soit :

  \delta\vec{v} \propto \vec{u}_x - 2 \vec{u}_y

  La direction d'oscillation du fluide est donc parallèle à la vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}} et perpendiculaire aux plans d'onde (et à \vec{V}_{\phi}).

On en déduit la représentation géométrique suivante :

1. Commentaire de la cartographie :

• La cartographie présente une structure caractéristique en croix (dite « croix de Saint-André ») centrée sur le cylindre oscillant.
• L'énergie rayonnée par l'obstacle est confinée dans quatre faisceaux ou branches rectilignes faisant un angle bien déterminé avec l'horizontale.
• Au sein de chaque faisceau, on observe une alternance périodique de franges rouges (\partial \delta\rho/\partial y > 0) et bleues (\partial \delta\rho/\partial y < 0) séparées par des zones jaune-vert (\partial \delta\rho/\partial y \simeq 0). Ces franges sont parallèles à l'axe de chaque faisceau, ce qui illustre le fait que les plans de phase (perpendiculaires à \vec{k}) sont parallèles à la vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}} (\vec{k} \perp \vec{V}_{\mathrm{g}} d'après la question 37).

2. Description par une unique onde plane :

Non, ce champ ne peut pas être décrit par une unique onde plane, pour plusieurs raisons :

• Absence d'extension spatiale infinie et uniforme : une onde plane théorique présente un profil d'onde identique et infini dans toute direction perpendiculaire à \vec{k}, sans confinement spatial, alors qu'on observe ici des faisceaux d'épaisseur finie issus d'une source localisée.

• Multiplicité des directions d'émission : l'énergie doit s'éloigner de la source dans les quatre quadrants pour des raisons de causalité et de symétrie de l'excitation (mouvement vertical du cylindre). La vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}} pointe vers l'extérieur le long de quatre directions distinctes :

  (V_{\mathrm{g}x} > 0,\, V_{\mathrm{g}y} > 0), \quad (V_{\mathrm{g}x} > 0,\, V_{\mathrm{g}y} < 0), \quad (V_{\mathrm{g}x} < 0,\, V_{\mathrm{g}y} > 0), \quad (V_{\mathrm{g}x} < 0,\, V_{\mathrm{g}y} < 0)
• Une onde plane unique ne possède qu'un seul vecteur d'onde \vec{k} et une seule direction de vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}}. Le champ observé résulte nécessairement de la superposition d'au moins quatre ondes (ou paquets d'ondes) associées aux différentes combinaisons de signes (\pm k_x, \pm k_y).

L'énergie transportée par les ondes internes se propage le long des rayons orientés par la vitesse de groupe \vec{V}_{\mathrm{g}}. Les quatre branches de la croix de Saint-André observées sur la figure (5) matérialisent donc la direction de \vec{V}_{\mathrm{g}}.

Notons \phi l'angle aigu que font ces faisceaux d'énergie avec l'axe horizontal (\mathrm{O}x). D'après la question Q36 :

La pente des rayons vaut ainsi en valeur absolue :

où \theta est l'angle formé par le vecteur d'onde \vec{k} avec l'axe horizontal (\mathrm{O}x), ce qui confirme l'orthogonalité \vec{V}_{\mathrm{g}} \perp \vec{k} (question Q37) et donne la relation angulaire :

En utilisant la relation de dispersion établie à la question Q33 (\omega = \alpha |\cos\theta|), on obtient directement :

Mesure sur la figure 5 :
En mesurant l'inclinaison des branches partant du cylindre central par rapport à l'horizontale, on trouve :

Application numérique :
Avec g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) et \ell = 12\text{ m} :

Compte tenu de l'incertitude sur la mesure angulaire (\phi \in [25^\circ,\,35^\circ]), on estime :

Considérons une paroi verticale imperméable située en x = x_0. L'océan est situé dans le demi-espace x < x_0.

1. Conditions de raccordement à la paroi :

• Le régime étant linéaire et stationnaire, la pulsation temporelle est conservée lors de la réflexion :

  \omega_{\text{r}} = \omega_{\text{inc}} = \omega

• L'invariance par translation le long de la frontière verticale (y) impose la continuité de la phase spatiale le long de celle-ci, d'où la conservation de la composante tangentielle du vecteur d'onde :

  k_{y,\text{r}} = k_{y,\text{inc}} = k_y > 0

2. Détermination de k_{x,\text{r}} : L'onde réfléchie vérifie la même relation de dispersion (équation (8)) :

Puisque l'onde incidente satisfait cette même équation avec k_x, on en déduit :

La condition de causalité (condition de radiation) impose que l'onde réfléchie transporte l'énergie en s'éloignant de la paroi, soit V_{\mathrm{g},x,\text{r}} < 0. D'après l'expression de la vitesse de groupe établie à la question Q36 :

Le signe de V_{\mathrm{g},x} est celui de k_x. Pour avoir V_{\mathrm{g},x,\text{r}} < 0, il faut nécessairement :

Ainsi, le vecteur d'onde réfléchi est :

3. Vitesse de groupe réfléchie : Toujours d'après Q36, avec \operatorname{sgn}(k_{x,\text{r}}) = -1 et k_{y,\text{r}} = k_y > 0 :

En comparant à l'onde incidente pour laquelle \vec{V}_{\mathrm{g},\text{inc}} \propto (k_y \vec{u}_x - k_x \vec{u}_y) = k_y (\vec{u}_x - 2\vec{u}_y), on constate que :

Le rayon incident (colinéaire à \vec{V}_{\mathrm{g},\text{inc}}) a pour pente \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = -k_x/k_y = -2. Le rayon réfléchi a pour pente \mathrm{d}y/\mathrm{d}x = (-k_x)/(-k_y) = +2.

1. Géométrie de la paroi et des rayons incidents

La paroi sous-marine a pour équation cartésienne y - 2x = \text{Cste}, soit :