Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2025 (page 2/3 : Partie II (questions 18 à 35))

D'après l'équation (4), le signal s'écrit pour t \in [-\tau/2, \, \tau/2] sous la forme :

Par définition de la fréquence instantanée f_e(t), on dérive la phase par rapport au temps :

soit :

La fréquence instantanée f_e(t) est une fonction affine du temps de pente constante K = \frac{\mathrm{d}f_e}{\mathrm{d}t} : elle varie donc bien linéairement avec le temps sur l'intervalle [-\tau/2, \, \tau/2].

• Fréquence centrale f_c : elle correspond à la valeur moyenne de la fréquence ou à sa valeur au centre temporel de l'impulsion (t = 0) :

  f_c = f_e(0) = \frac{f_e(-\tau/2) + f_e(\tau/2)}{2} = f_0
  \boxed{f_c = f_0}

• Largeur de bande B : elle correspond à l'excursion totale en fréquence sur la durée \tau de l'impulsion (avec K > 0 d'après la figure 8) :

  \begin{aligned} B &= f_e\left(\frac{\tau}{2}\right) - f_e\left(-\frac{\tau}{2}\right) \\ &= \left(f_0 + K\frac{\tau}{2}\right) - \left(f_0 - K\frac{\tau}{2}\right) = K\tau \end{aligned}
  \boxed{B = K\tau}

L'enveloppe du signal en sortie du filtre adapté est proportionnelle à la fonction sinus cardinal :

Le maximum de cette enveloppe est atteint pour t = t_R (où \operatorname{sinc}(0) = 1). La première annulation se produit lorsque l'argument du sinus cardinal atteint \pi, soit :

D'après la question Q18, la largeur de la bande de fréquences vaut B = K\tau, d'où :

Le retard de réception entre deux échos associés à deux cibles séparées d'une distance \Delta d = d' - d correspond au temps d'aller-retour supplémentaire :

Selon le critère de discernabilité imposé, les deux échos sont séparables si le délai entre leurs maxima vérifie \Delta t_R \ge \Delta t_{\text{ann}}, ce qui conduit au plus petit écart de distances discernable :

Application numérique : avec c = 3,0 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et B = 320\text{ MHz} = 3,2 \cdot 10^8\text{ Hz} :

Commentaire :

• La résolution spatiale passe de 17\text{ km} pour l'impulsion simple non modulée (Q17) à environ 0,5\text{ m} (soit 47\text{ cm}) grâce à la compression d'impulsion, ce qui représente un gain d'un facteur d'environ 3,5 \cdot 10^4.
• La technique du « chirp » permet ainsi de concilier une grande énergie émise (longue durée d'impulsion \tau \simeq 110\,\mu\text{s}, assurant un bon rapport signal sur bruit) avec une résolution temporelle effective extrêmement fine (\tau_{\text{eff}} \sim 1/B \simeq 3\text{ ns}), indispensable pour l'altimétrie spatiale de précision.

L'expression du champ électrique complexe associée à l'onde s'écrit :

1. Direction de propagation éventuelle : La dépendance spatiale de la phase ne fait intervenir que la coordonnée d'espace z. Dans l'éventualité où une propagation a lieu (c'est-à-dire si le nombre d'onde k admet une partie réelle strictement positive), les surfaces équiphases sont les plans d'équation z = \text{cte}.

   L'onde se propage alors selon la direction de l'axe (Oz), dans le sens des z croissants, soit selon le vecteur unitaire \vec{e}_z (direction verticale descendante, dirigée du satellite vers la surface de l'océan).

   \boxed{\text{Direction et sens de propagation éventuelle : selon } +\vec{e}_z \text{ (verticale descendante)}}

2. Polarisation de l'onde : Le champ électrique est à tout instant colinéaire au vecteur unitaire fixe \vec{e}_x. Sa direction spatiale restant constante au cours du temps et orthogonale à la direction de propagation (\vec{e}_x \cdot \vec{e}_z = 0), l'onde présente une :

   \boxed{\text{Polarisation rectiligne selon la direction de l'axe } (Ox) \text{ (portée par } \vec{e}_x\text{)}}

Une particule de charge q animée d'une vitesse \vec{v} dans le plasma est soumise à la force de Lorentz :

L'ordre de grandeur de la composante électrique de cette force est :

et celui de la composante magnétique est majoré par :

D'après l'énoncé, le rapport des amplitudes du champ magnétique et du champ électrique dans le plasma est du même ordre de grandeur que dans le vide, soit :

Le rapport des normes s'écrit alors :

Pour que la composante magnétique soit négligeable devant la composante électrique (\|\vec{F}_m\| \ll \|\vec{F}_e\|), la vitesse des particules chargées doit vérifier la condition :

Le mouvement des électrons et des cations doit donc être non relativiste.

On étudie le mouvement d'une particule chargée dans le référentiel lié au satellite, considéré comme galiléen. D'après le résultat de la question Q21, la composante magnétique de la force de Lorentz est négligeable devant la composante électrique. De plus, le poids est totalement négligeable devant l'action du champ électrique de l'onde, et l'agitation thermique est écartée par hypothèse.

Mouvement d'un électron : L'électron, de masse m_e et de charge q_e = -e, est soumis à la seule force électrique :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit :

En adoptant la représentation complexe associée à l'évolution temporelle harmonique en e^{i\omega t}, la dérivation temporelle se traduit par une multiplication par i\omega :

On en déduit l'expression de la vitesse complexe de l'électron :

Mouvement d'un cation : Le cation, de masse m_c et de charge q_c = +e, est soumis à la force électrique :

Le principe fondamental de la dynamique s'écrit de même :

En notation complexe :

D'où l'expression de la vitesse complexe du cation :

Le milieu contient n électrons de charge -e et n cations de charge +e par unité de volume. Le vecteur densité volumique de courant s'écrit donc :

En notation complexe, à la pulsation \omega :

En injectant les expressions des vitesses complexes établies à la question Q22 :

Comme la masse des cations est très supérieure à celle des électrons (m_c \gg m_e), on a \frac{1}{m_c} \ll \frac{1}{m_e}, d'où :

Le courant volumique est donc quasi exclusivement porté par les électrons, plus légers et plus mobiles :

D'après la loi d'Ohm locale sous forme complexe \underline{\vec{j}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}, la conductivité complexe s'identifie à :

avec :

D'après l'énoncé, le champ électrique de l'onde s'écrit :

Ce champ est dirigé selon \vec{e}_x et ne dépend spatialement que de la coordonnée z. Par conséquent, sa divergence est identiquement nulle :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss :

De façon équivalente, la densité de courant induite \vec{j} = \gamma\,\vec{E} est purement selon \vec{e}_x et ne dépend que de z, d'où \mathrm{div}\,\vec{j} = 0. L'équation locale de conservation de la charge s'écrit alors :

Le plasma étant localement neutre avant le passage de l'onde (\rho = 0), il conserve cette neutralité à tout instant.

La caractéristique de l'onde qui assure ce résultat est donc son caractère transverse (\vec{E} \perp \vec{k} avec un champ spatialement homogène dans les plans d'onde orthogonaux à la direction de propagation).

Pour une pseudo-onde plane progressive harmonique de la forme \underline{\vec{E}}(M, t) = \underline{\vec{E}}_0 e^{i(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})} avec \vec{k} = k\vec{e}_z, les opérateurs différentiels d'espace et de temps se traduisent par :

Dans le plasma, la densité volumique de charge est nulle (\rho = 0, question Q24) et le vecteur densité volumique de courant s'écrit \underline{\vec{\jmath}} = \underline{\gamma}(\omega)\underline{\vec{E}}. Les équations de Maxwell s'écrivent donc sous forme complexe :

Appliquons le produit vectoriel par \vec{k} à l'équation de Maxwell-Faraday :

D'après la formule du double produit vectoriel fournie en préambule :

D'autre part, en utilisant l'expression de \underline{\gamma}(\omega) = -i\varepsilon_0 \frac{\omega_p^2}{\omega} (question Q23) et la relation c^2\varepsilon_0\mu_0 = 1 dans Maxwell-Ampère :

En reportant cette expression dans la relation vectorielle précédente :

Comme l'amplitude \underline{\vec{E}} est non nulle, on en déduit la relation de dispersion :

D'après la relation de dispersion (équation 5) :

Pour \omega < \omega_p, on a k^2 < 0. Les solutions sont donc imaginaires pures :

Le champ électrique complexe s'écrit :

L'onde pénètre dans l'ionosphère en z = z_0 et se propage vers les z > z_0 (l'axe Oz étant vertical descendant). En l'absence de source à l'infini, l'amplitude de l'onde doit rester bornée lorsque z - z_0 > 0. Il faut donc que le terme spatial soit exponentiellement décroissant, soit -ik < 0. On retient ainsi la racine à partie imaginaire négative :

En introduisant la distance caractéristique d'atténuation (ou profondeur de pénétration) :

le nombre d'onde s'écrit k = -\dfrac{i}{\delta}, d'où le champ électrique complexe :

En prenant la partie réelle, on obtient le champ électrique réel :

Le champ magnétique associé est déterminé par l'équation de Maxwell-Faraday :

Comme \underline{\vec{E}} = \underline{E}_x(z,t) \vec{e}_x, le rotationnel se réduit à :

Il vient ainsi :

En prenant la partie réelle (sachant que \operatorname{Re}(-i e^{i\omega t}) = \sin(\omega t)) :

Une telle onde, dont l'amplitude décroît exponentiellement avec la distance et dont les oscillations spatiales sont absentes (phase spatiale constante), est appelée une onde évanescente.

Le vecteur de Poynting instantané s'écrit par définition :

En utilisant les expressions réelles obtenues à la question Q26 :

Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z et \cos(\omega t)\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\sin(2\omega t), on obtient :

En prenant la moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega}, la moyenne de la fonction sinus étant nulle (\langle \sin(2\omega t) \rangle = 0), il vient :

Commentaire :

• La moyenne temporelle du flux de puissance électromagnétique est rigoureusement nulle : une onde évanescente ne transporte aucune puissance en moyenne dans le plasma selon la direction de propagation d'origine.
• Les champs \vec{E} et \vec{B} sont en quadrature de phase spatio-temporelle (\pi/2), ce qui témoigne d'un régime purement réactif : l'énergie électromagnétique oscille alternativement entre le champ et l'énergie cinétique des électrons sans propagation nette vers l'aval.
• Ainsi, pour une couche d'ionosphère d'épaisseur très grande devant \delta, toute onde incidente de pulsation \omega < \omega_p subit une réflexion totale et ne pénètre pas au sein de l'atmosphère inférieure.

Pour \omega > \omega_p, la relation de dispersion issue de la question Q25 :

admet deux solutions réelles :

La phase de l'onde s'écrit \phi(z, t) = \omega t - k(z - z_0). La vitesse de phase associée est :

L'onde émise depuis le satellite situé en altitude se propage vers la Terre, c'est-à-dire dans le sens de l'axe Oz vertical descendant (z croissants, pour z \ge z_0). La vitesse de phase doit donc être strictement positive (v_\varphi > 0). Avec \omega > 0, on retient nécessairement la racine positive :

Le champ électrique réel est obtenu en prenant la partie réelle du champ complexe \underline{\vec{E}}(M, t) :

Le champ magnétique \underline{\vec{B}}(M, t) se déduit de l'équation de Maxwell-Faraday :

Puisque le champ ne dépend spatialement que de z via l'exponentielle e^{-ikz}, l'opérateur gradient complexe s'identifie à -ik\vec{e}_z. Ainsi :

En prenant la partie réelle :

Nature de l'onde : Il s'agit d'une onde plane progressive harmonique (OPPH) non amortie (propagative), polarisée rectilignement selon \vec{e}_x et transverse électromagnétique (TEM).

D'après les résultats établis aux questions précédentes :

• pour \omega < \omega_p (questions Q26 et Q27), le nombre d'onde k est imaginaire pur. L'onde est évanescente, son amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur dans le plasma et le flux d'énergie moyen est nul (\langle \vec{\Pi} \rangle = \vec{0}) : l'onde ne se propage pas et subit une réflexion totale ;
• pour \omega > \omega_p (question Q28), le nombre d'onde k est réel. L'onde est une onde plane progressive harmonique qui se propage sans amortissement et transporte de l'énergie.

Le plasma ne laisse donc passer que les ondes dont la pulsation est strictement supérieure à un seuil : il se comporte comme un filtre passe-haut pour la propagation des ondes électromagnétiques.

La pulsation de coupure de ce filtre est la pulsation plasma \omega_p définie à la question Q23 :

D'après la question Q29, le plasma se comporte comme un filtre passe-haut de pulsation de coupure \omega_p(z) = \sqrt{\frac{n(z)e^2}{m_e\varepsilon_0}}. Pour que l'onde émise par le satellite atteigne la surface de l'océan, elle doit traverser l'ionosphère sur toute son épaisseur, de jour comme de nuit, sans entrer en régime évanescent (\omega < \omega_p). Il est donc nécessaire que sa pulsation \omega soit supérieure à la pulsation plasma maximale rencontrée :

D'après la figure 9, la densité électronique atteint son maximum de jour, vers 300\text{ km} d'altitude, avec :

En utilisant les données numériques :

Le domaine de fréquences requis pour traverser l'ionosphère est donc :

Commentaire sur le choix de la bande de fréquences des satellites Jason :

• La fréquence centrale utilisée est f_0 \simeq 13,6\text{ GHz} = 13\,600\text{ MHz}, et la bande s'étend de 13,44\text{ GHz} à 13,76\text{ GHz}. On a :

  f_0 \gg f_{p,\max} \quad (\text{d'un facteur supérieur à } 10^3)

  L'onde se propage donc sans aucune atténuation par réflexion dans l'ionosphère, quelles que soient l'heure et l'activité solaire.

• De plus, à de telles hyperfréquences, l'indice de réfraction du plasma n_\varphi = \sqrt{1 - \frac{f_p^2}{f^2}} \simeq 1 - \frac{f_p^2}{2f^2} est extrêmement proche de 1 : la dispersion ainsi que le retard induit par le milieu sont très faibles, ce qui limite considérablement les distorsions et maximise la précision altimétrique.
• Enfin, la largeur de bande relative est très faible (\frac{B}{f_0} \simeq \frac{0,32}{13,6} \simeq 2,4\,\%) : toutes les composantes spectrales de l'impulsion se propagent pratiquement à la même vitesse de groupe.

Pour une onde se propageant dans le plasma (\omega > \omega_p), le nombre d'onde réel vérifie d'après la question Q28 :

Par définition, la vitesse de phase s'écrit :

Soit :

La vitesse de groupe est définie par :

En différentiant la relation de dispersion \omega^2 = c^2 k^2 + \omega_p^2 par rapport à k, on obtient :

On en déduit l'expression de la vitesse de groupe :

On constate la relation remarquable de Rayleigh : v_\varphi v_g = c^2.

Étudions les comportements asymptotiques pour \omega \in ]\omega_p, +\infty[ :

• Lorsque \omega \to \omega_p^+, \dfrac{v_\varphi}{c} \to +\infty (asymptote verticale en \omega = \omega_p) et \dfrac{v_g}{c} \to 0 ;
• Lorsque \omega \to +\infty, \dfrac{v_\varphi}{c} \to 1^+ et \dfrac{v_g}{c} \to 1^- (asymptote horizontale commune d'ordonnée 1).

Par définition, un milieu de propagation est dispersif si la vitesse de phase v_\varphi dépend de la pulsation \omega (ou de la fréquence) de l'onde.

D'après les résultats de la question Q31, pour \omega > \omega_p, la vitesse de phase s'écrit :

Elle dépend explicitement de la pulsation \omega (de même que la vitesse de groupe v_g(\omega)).

Une impulsion de fréquence centrale \omega transporte de l'énergie et de l'information sous la forme d'un paquet d'ondes ; elle se propage donc à la vitesse de groupe v_g(\omega) dans l'ionosphère et à la vitesse c dans les zones assimilées au vide.

L'écho effectue un trajet aller-retour sur la distance totale d séparant le satellite de l'océan. La traversée de l'ionosphère correspond à un aller-retour sur une épaisseur \ell, soit une distance 2\ell, le reste du parcours s'effectuant dans le vide sur une distance 2(d - \ell).

La durée totale d'aller-retour t(\omega) s'écrit donc :

D'après le résultat de la question Q31, la vitesse de groupe s'exprime par :

Puisque les fréquences utilisées (f_1 \simeq 5,3\text{ GHz} et f_0 \simeq 13,6\text{ GHz}) sont très supérieures à la fréquence plasma (f_p \lesssim 10\text{ MHz}, question Q30), on a \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \ll 1. En utilisant le développement limité (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x avec x = -\frac{\omega_p^2}{\omega^2} et \alpha = -\frac{1}{2}, il vient :

Le temps d'aller-retour prend ainsi la forme approchée :

Appliqué aux deux impulsions de pulsations centrales \omega_0 et \omega_1, on obtient :

Le décalage temporel \Delta t = t_1 - t_0 s'en déduit directement :

D'après l'étude menée à la question Q33, l'instant t_0 de détection de l'écho associé à l'impulsion de pulsation centrale \omega_0 s'écrit :

En multipliant par \frac{c}{2} et en isolant la distance d, on obtient directement :

Par identification avec la forme proposée d \simeq \frac{ct_0}{2} - \varepsilon, le terme correctif s'écrit :

Toujours d'après la question Q33, le décalage temporel \Delta t = t_1 - t_0 entre les deux échos est relié aux paramètres du milieu par :

On en déduit l'expression du groupement \ell\omega_p^2 en fonction des grandeurs mesurables :

En réinjectant cette expression dans celle de \varepsilon, il vient :

soit finalement :

Si l'on suppose que l'onde se propage à la célérité c dans tout le trajet (y compris dans l'ionosphère), la distance estimée entre le satellite et la surface de l'océan s'écrit :

D'après la relation établie à la question Q34, la distance réelle d s'écrit :

L'erreur absolue commise sur la détermination de la distance vaut donc :

En injectant l'expression de la pulsation plasma \omega_p^2 = \dfrac{n e^2}{m_e \varepsilon_0} démontrée à la question Q23, il vient :

Procédons à l'application numérique avec les valeurs fournies :

• \ell = 500\text{ km} = 5\cdot 10^5\text{ m} ;
• n = 5\cdot 10^{11}\text{ m}^{-3} ;
• e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\text{ C} ;
• m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\text{ kg} ;
• \varepsilon_0 = 8{,}9\cdot 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• f_0 = \dfrac{\omega_0}{2\pi} \simeq 13{,}6\text{ GHz} = 13{,}6\cdot 10^9\text{ Hz}.

Calculons le numérateur :

Puis le dénominateur :

On en déduit :

Commentaire : Cette erreur d'environ 5\text{ cm} est prépondérante et inacceptable devant la précision recherchée sur l'altimétrie :

• la position GPS du satellite est connue à mieux que le centimètre près ;
• l'élévation moyenne du niveau des océans à mesurer est de l'ordre de (3{,}6 \pm 0{,}1)\text{ mm/an}.

Une erreur de 5\text{ cm} masquerait complètement le phénomène climatique étudié ; l'utilisation conjointe de deux fréquences pour calibrer et soustraire la correction ionosphérique \varepsilon est donc strictement indispensable.