Corrigé détaillé CCINP Physique MP 2025 (page 3/3 : Partie III)

La voile solaire est modélisée par un conducteur parfait occupant le demi-espace x \ge 0 (milieu 2), dans lequel le champ électromagnétique est nul :

Dans le vide (x < 0, milieu 1), le champ électrique résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

Au voisinage immédiat de la surface de la voile, en x = 0^-, le champ s'écrit :

La relation de passage du champ électrique à l'interface, avec la normale \vec{n}_{12} = \vec{e}_x orientée du milieu 1 vers le milieu 2, est :

En projetant cette relation sur les directions tangentielles à l'interface \vec{e}_y et \vec{e}_z, on traduit la continuité de la composante tangentielle du champ électrique :

Le champ électrique complexe de l'onde réfléchie se simplifie ainsi en :

Dans le vide (x < 0), l'onde électromagnétique est la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie.

Pour une onde plane progressive harmonique de vecteur d'onde \vec{k} et de pulsation \omega se propageant dans le vide, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :

• Pour l'onde incidente, \vec{k}_i = k\vec{e}_x et \underline{\vec{E}}_i(M, t) = E_0 e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_z :

  \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_i(M, t) &= \frac{k}{\omega}\vec{e}_x \wedge \left(E_0 e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_z\right) \\ &= \frac{1}{c} E_0 e^{i(\omega t - kx)} (\vec{e}_x \wedge \vec{e}_z) \\ &= -\frac{E_0}{c} e^{i(\omega t - kx)}\vec{e}_y \end{aligned}

• Pour l'onde réfléchie déterminée en Q36, \vec{k}_r = -k\vec{e}_x et \underline{\vec{E}}_r(M, t) = -E_0 e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_z :

  \begin{aligned} \underline{\vec{B}}_r(M, t) &= \frac{-k}{\omega}\vec{e}_x \wedge \left(-E_0 e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_z\right) \\ &= \frac{1}{c} E_0 e^{i(\omega t + kx)} (\vec{e}_x \wedge \vec{e}_z) \\ &= -\frac{E_0}{c} e^{i(\omega t + kx)}\vec{e}_y \end{aligned}

Le champ magnétique complexe total régnant dans le demi-espace x < 0 s'écrit donc :

Au voisinage extérieur immédiat de la voile, en x = 0^- :

Le champ magnétique réel correspondant est :

Appliquons la relation de passage à l'interface x = 0 entre le milieu 1 (x < 0, vide) et le milieu 2 (x > 0, conducteur parfait), de normale \vec{n}_{12} = \vec{e}_x :

Le conducteur étant parfait, le champ magnétique y est identiquement nul : \vec{B}_2 = \vec{0}. De plus, \vec{B}_1 = \vec{B}_{\text{tot}}(0^-, t), d'où :

En effectuant le produit vectoriel à gauche par \vec{e}_x et en utilisant la formule du double produit vectoriel :

Comme les courants surfaciques circulent dans le plan de l'interface (yOz), on a \vec{e}_x \cdot \vec{j}_s(t) = 0, et comme \vec{e}_x^2 = 1, il vient :

En remplaçant par l'expression du champ magnétique réel :

Comme \vec{e}_x \wedge \vec{e}_y = \vec{e}_z, on obtient :

D'après l'énoncé, le champ magnétique responsable de la force de Laplace s'exerçant sur la voile est :

Or, en x = 0, les champs incidents et réfléchis s'ajoutent :

D'après la question Q37, \vec{B}_r(0, t) = \vec{B}_i(0, t), de sorte que :

Considérons l'élément rectiligne de voile de longueur a suivant \vec{e}_z et de largeur \mathrm{d}y, parcouru par le courant \delta i = j_s(t)\,\mathrm{d}y orienté selon \vec{e}_z. La force de Laplace élémentaire qui s'exerce sur cette bande s'écrit :

On obtient ainsi :

La force électromagnétique totale \vec{F}_L exercée sur l'ensemble de la voile s'obtient en sommant sur la largeur totale a selon y. Les champs et la densité de courant étant uniformes dans le plan de la voile :

D'où :

D'après la question Q38, la force de Laplace totale exercée sur la voile de surface S = a^2 s'écrit :

La force électromagnétique surfacique instantanée est donc :

En utilisant les expressions obtenues aux questions Q37 et Q38 :

Comme \vec{e}_z \wedge (-\vec{e}_y) = \vec{e}_x, on obtient :

En prenant la moyenne temporelle, avec \langle \cos^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}, il vient :

Par ailleurs, le vecteur de Poynting de l'onde incidente dans le vide s'écrit :

L'intensité I de l'onde incidente correspond à la moyenne temporelle du flux d'énergie surfacique :

On en déduit :

La force électromagnétique surfacique moyenne s'écrit donc bien sous la forme :

D'après la question Q39, la force électromagnétique moyenne totale exercée sur la voile en incidence normale s'écrit :

En appliquant la deuxième loi de Newton au vaisseau de masse m soumis à cette seule force propulsive, l'accélération a communiquée au vaisseau vaut :

Pour obtenir une accélération a = \frac{g}{1\,000}, la surface nécessaire est donc :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• m = 2\,000\text{ kg} = 2,0\cdot 10^3\text{ kg} ;
• g = 9,8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \simeq 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• c = 3,0\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• I \simeq 1\,000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} = 1,0\cdot 10^3\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}.

La pression de radiation vaut :

On en déduit la surface S :

Commentaire :

• Une surface de plusieurs kilomètres carrés est gigantesque à déployer et à manœuvrer dans l'espace, ce qui constitue un défi technologique majeur (la masse de la voile elle-même n'est d'ailleurs pas négligeable devant les 2\,000\text{ kg} du vaisseau).
• En contrepartie, bien que l'accélération soit modeste (a \simeq 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}), la poussée photonique ne consomme aucun ergol et s'exerce de façon continue dans le temps, permettant d'atteindre des vitesses très élevées sur de longues durées de voyage interplanétaire.

Dans le repère polaire (O, \vec{e}_r, \vec{e}_\theta) lié au référentiel d'étude, la base locale vérifie les relations de dérivation temporelle :

• Le vecteur position s'écrit directement :

  \boxed{\vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{e}_r}

• Le vecteur vitesse s'obtient par dérivation temporelle du vecteur position :

  \vec{v} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM}}{\mathrm{d}t} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t}

  soit :

  \boxed{\vec{v} = \dot{r}\,\vec{e}_r + r\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta}

• Le vecteur accélération s'obtient en dérivant à nouveau par rapport au temps :

  \begin{aligned} \vec{a} &= \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\frac{\mathrm{d}\vec{e}_r}{\mathrm{d}t} + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta + r\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}\vec{e}_\theta}{\mathrm{d}t} \\ &= \ddot{r}\,\vec{e}_r + \dot{r}\dot{\theta}\,\vec{e}_\theta + (\dot{r}\dot{\theta} + r\ddot{\theta})\vec{e}_\theta - r\dot{\theta}^2\,\vec{e}_r \end{aligned}

  soit en regroupant selon les axes de la base polaire :

  \boxed{\vec{a} = \left(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\right)\vec{e}_r + \left(r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}\right)\vec{e}_\theta}

Dans le référentiel géocentrique considéré galiléen, le vaisseau spatial modélisé par le point matériel M de masse m est soumis à deux forces extérieures :

• la force d'attraction gravitationnelle exercée par la Terre (à symétrie sphérique) :

  \vec{F}_g = -\frac{G M_T m}{r^2}\,\vec{e}_r

• la force de pression de radiation exercée par le rayonnement solaire sur la voile :

  \vec{F}_p = L(r, \theta)\,P_m S \cos^2(\varphi)\,\vec{n}

D'après la figure 14, la direction radiale \vec{e}_r est repérée par l'angle polaire \theta par rapport à l'axe (Ox), et le vecteur normal \vec{n} à la voile forme l'angle \varphi avec ce même axe (Ox). L'angle orienté entre \vec{e}_r et \vec{n} vaut donc :

Le vecteur unitaire \vec{n} s'exprime donc dans la base polaire locale (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) selon :

La résultante des forces extérieures s'écrit \vec{F}_{\text{ext}} = \vec{F}_g + \vec{F}_p = F_r\,\vec{e}_r + F_\theta\,\vec{e}_\theta. Ses composantes radiale et orthoradiale sont donc :

Le vecteur vitesse s'écrit en coordonnées polaires sous la forme :

avec v_r = \dot{r} et v_\theta = r\dot{\theta}, d'où \dot{\theta} = \frac{v_\theta}{r}.

Les dérivées par rapport au temps des vecteurs de la base polaire sont données par :

En dérivant le vecteur vitesse par rapport au temps dans le référentiel géocentrique, on obtient le vecteur accélération :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué au vaisseau dans le référentiel géocentrique galiléen :

La projection sur la base polaire fournit le système d'équations scalaires :

En divisant par m et en isolant les dérivées temporelles, on trouve bien :

L'énergie mécanique \mathcal{E}_m du vaisseau dans le référentiel géocentrique est la somme de son énergie cinétique \mathcal{E}_c et de son énergie potentielle gravitationnelle \mathcal{E}_p associée à l'attraction terrestre :

Le vecteur vitesse du mobile s'écrit \vec{v} = v_r \vec{e}_r + v_\theta \vec{e}_\theta, la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) étant orthonormée. Le carré de la vitesse s'exprime donc sous la forme :

L'énergie cinétique du vaisseau de masse m vaut ainsi :

D'après la question Q4, l'énergie potentielle gravitationnelle de la Terre (modélisée à symétrie sphérique), choisie nulle à l'infini, est :

On en déduit l'expression de l'énergie mécanique :

Dans le référentiel géocentrique galiléen, le point matériel M de masse m est soumis à :

• la force gravitationnelle \vec{F}_g, force conservative qui dérive de l'énergie potentielle gravitationnelle \mathcal{E}_p(r) = -\dfrac{G M_T m}{r} ;
• la force de pression de radiation \vec{F}_p, force non conservative.

D'après le théorème de l'énergie mécanique :

D'après l'énoncé et les résultats de la question Q42, la force de pression de radiation s'écrit :

avec, dans la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) :

Le vecteur vitesse s'écrivant \vec{v} = v_r \vec{e}_r + v_\theta \vec{e}_\theta, on en déduit :

Par conséquent :

Cette relation est bien de la forme demandée :

en identifiant :

D'après l'annexe du sujet relative au module numpy, la fonction np.arange(a, b, p) renvoie un tableau contenant les valeurs comprises entre a (inclus) et b (exclu), régulièrement espacées avec un pas p.

Pour discrétiser le temps de 0 inclus à tmax exclu par pas de dt, l'instruction à substituer à instruction 1 s'écrit :

T = np.arange(0, tmax, dt)

On discrétise l'intervalle [-\pi/2, \pi/2] à l'aide de np.linspace ou np.arange. En choisissant par exemple un pas \delta\varphi = 2\cdot 10^{-3}\text{ rad}, le nombre de points est N = \lfloor\pi / (2\cdot 10^{-3})\rfloor + 1 \simeq 1\,571. L'écart entre deux points consécutifs est inférieur ou égal à 2\cdot 10^{-3}\text{ rad}, ce qui assure la précision demandée.

Voici une implémentation possible :

def recherche_phi_optimal(vr, vth, theta):
    # Discretisation de l'intervalle [-pi/2, pi/2] avec un pas <= 2e-3 rad
    N = int(np.pi / 2e-3) + 2
    phi_tab = np.linspace(-np.pi / 2, np.pi / 2, N)

    # Evaluation vectorisee du taux de variation (a constante multiplicative pres)
    f = np.cos(phi_tab)**2 * (vr * np.cos(phi_tab - theta) + vth * np.sin(phi_tab - theta))

    # Recherche naive lineaire de l'indice du maximum
    i_max = np.argmax(f)

    return phi_tab[i_max]

Une version équivalente utilisant une boucle explicite pour trouver le maximum s'écrit :

def recherche_phi_optimal(vr, vth, theta):
    dphi = 2e-3
    phi_tab = np.arange(-np.pi / 2, np.pi / 2 + dphi, dphi)

    phi_opt = phi_tab[0]
    val_max = -np.inf
    for phi in phi_tab:
        val = (np.cos(phi)**2) * (vr * np.cos(phi - theta) + vth * np.sin(phi - theta))
        if val > val_max:
            val_max = val
            phi_opt = phi

    return phi_opt

Le rayonnement solaire se propageant selon +\vec{e}_x, la Terre projette une ombre cylindrique portée pour x > 0. Un point matériel M situé hors du globe terrestre (r > R_T) est donc dans l'ombre si et seulement si :

Dans ce cas, la fonction d'occultation vaut L(r, \theta) = 0, et L(r, \theta) = 1 sinon.

D'après les questions Q42 et Q45 (K_m = P_m S), les composantes de la force totale s'écrivent :

D'après la question Q43, les dérivées temporelles des composantes de la vitesse sont :

Les grandeurs G, M_T, R_T, m et K_m étant définies globalement dans le script (tableau 1), la fonction s'écrit :

def derivees_comp_vitesse(r, theta, vr, vth, phi):
    # Condition d'ombre de la Terre
    x = r * np.cos(theta)
    y = r * np.sin(theta)
    if x > 0 and abs(y) <= RT:
        L = 0.0
    else:
        L = 1.0

    # Composantes radiale et orthoradiale de la resultante des forces
    Fr = -G * MT * m / (r**2) + Km * L * (np.cos(phi)**2) * np.cos(phi - theta)
    Fth = Km * L * (np.cos(phi)**2) * np.sin(phi - theta)

    # Derivees temporelles des composantes de la vitesse
    vr_pt = Fr / m + (vth**2) / r
    vth_pt = Fth / m - (vr * vth) / r

    return vr_pt, vth_pt

D'après la définition du vecteur vitesse en coordonnées polaires (question Q41), on a :

ce qui fournit les équations cinématiques :

Les dérivées temporelles \dot{v}_r et \dot{v}_\theta sont quant à elles calculées par la fonction derivees_comp_vitesse et stockées respectivement dans les variables vr_pt et vth_pt.

L'application de la méthode d'Euler explicite au pas \mathrm{d}t donne au premier ordre :

En Python, afin de ne pas modifier r ou v_\theta avant de calculer l'incrément de \theta, on peut utiliser une affectation simultanée :

r, theta, vr, vth = r + vr * dt, theta + (vth / r) * dt, vr + vr_pt * dt, vth + vth_pt * dt

Alternativement, sous forme d'un bloc d'instructions décomposé :

theta = theta + (vth / r) * dt
r = r + vr * dt
vr = vr + vr_pt * dt
vth = vth + vth_pt * dt

Au voisinage du point x \simeq 0 et y > 0, l'angle polaire vaut \theta \simeq \frac{\pi}{2}. Le vecteur unitaire orthoradial vaut alors :

Le vaisseau parcourant son orbite dans le sens trigonométrique (v_\theta > 0), sa vitesse \vec{v} \simeq v_\theta \vec{e}_\theta est dirigée vers les x décroissants : le vaisseau avance donc à contre-courant du rayonnement solaire, qui se propage selon +\vec{e}_x.

Or, d'après l'expression de la force de radiation :

le vecteur unitaire \vec{n} vérifie \vec{n} \cdot \vec{e}_x = \cos\varphi > 0 (avec \varphi \in [-\pi/2, \, \pi/2]). Toute force de radiation exercée sur la voile posséderait ainsi une composante selon +\vec{e}_x, ce qui induirait une puissance résistante :

Cette force aurait pour conséquence de freiner le vaisseau et de faire chuter son énergie mécanique.

Pour maximiser le gain d'énergie mécanique (manœuvre optimale définie en III.2.2), il faut éviter ce freinage en annulant la force de radiation. En disposant le plan de la voile parallèlement au plan xOz, la voile est placée parallèlement à la direction de propagation du rayonnement solaire :

• la normale \vec{n} est orthogonale à \vec{e}_x, soit \varphi \simeq \pm \frac{\pi}{2} ;
• la surface apparente présentée au flux de photons s'annule, d'où \cos^2(\varphi) \simeq 0 et \vec{F}_p \simeq \vec{0}.

On étudie un corps matériel de masse m dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Il n'est soumis qu'à la force de gravitation exercée par la Terre, force conservative qui dérive de l'énergie potentielle (d'après la question Q4) :

avec la convention \mathcal{E}_p(\infty) = 0.

En l'absence de force non conservative, le théorème de l'énergie mécanique assure la conservation de l'énergie mécanique \mathcal{E}_m du corps au cours de son mouvement :

Pour que le corps puisse s'éloigner indéfiniment du centre de la Terre (r \to +\infty), il faut que son énergie cinétique à l'infini reste positive ou nulle :

La vitesse de libération v_{\text{lib}}(r) est la vitesse minimale à la distance r permettant d'atteindre l'infini, ce qui correspond au cas limite d'une vitesse résiduelle nulle à l'infini, soit une énergie mécanique nulle (\mathcal{E}_m = 0) :

On en déduit l'expression de la vitesse de libération :

1. Expression du rapport \frac{\|\vec{v}\|}{v_{\text{lib}}} :

Pour un mobile de masse m en orbite sans propulsion (mouvement képlérien conservatif), l'énergie mécanique s'écrit :

D'où l'expression de la norme au carré de la vitesse :

D'après le résultat de la question Q51, v_{\text{lib}}(r) = \sqrt{\dfrac{2GM_T}{r}}, soit v_{\text{lib}}^2(r) = \dfrac{2GM_T}{r}. On en déduit :

Comme l'orbite est liée (\mathcal{E}_m < 0), ce terme reste positif ou nul, et le rapport s'exprime :

2. Explication des oscillations de la figure 16 :

Sur chaque révolution quasi-elliptique :

• La distance r varie périodiquement entre le périgée r_P (distance minimale) et l'apogée r_A (distance maximale).

• Comme \mathcal{E}_m < 0, la quantité sous le radical décroît avec r :

  • au périgée (r=r_P minimal), le rapport \dfrac{\|\vec{v}\|}{v_{\text{lib}}} passe par un maximum ;
  • à l'apogée (r=r_A maximal), le rapport passe par un minimum.

Chaque oscillation correspond donc à l'accomplissement d'une révolution orbitale complète.

3. Augmentation de l'amplitude des premières oscillations :

Grâce à la commande optimale de l'orientation de la voile solaire (\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{E}_m}{\mathrm{d}t} \ge 0), la pression de radiation fournit un travail moteur net sur chaque tour :

• L'énergie mécanique \mathcal{E}_m augmente au cours du temps (elle devient de moins en moins négative).
• L'orbite s'allonge et devient de plus en plus excentrée : l'apogée r_A augmente considérablement à chaque spire, ce qui fait plonger la vitesse à l'apogée et abaisse les minima de \dfrac{\|\vec{v}\|}{v_{\text{lib}}} (jusqu'à \simeq 0,45).
• Au périgée, l'augmentation de \mathcal{E}_m vers 0 fait monter la valeur maximale de \sqrt{1 + \dfrac{\mathcal{E}_m r_P}{GM_Tm}} vers 1.

L'écart entre les maxima (périgée) et les minima (apogée) s'accroît donc au fur et à mesure que l'orbite s'ovalise, d'où l'augmentation de l'amplitude des oscillations jusqu'à ce que \mathcal{E}_m devienne positive et permette la libération (dépassement de la valeur 1 vers t \simeq 160\text{ h}).