Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2021 (page 3/3 : Partie III (questions 31 à 41))

1. Origine du champ électrique dans le plasma

Les courants circulant dans les lames inductrices dépendent du temps (J(t) à haute fréquence). D'après la question précédente, ils créent un champ magnétique \vec{B}(x,t) dépendant du temps dans l'espace délimité par les lames.

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

cette variation temporelle du flux magnétique induit un champ électrique d'induction \vec{E}(x,t) au sein du plasma, bien que celui-ci soit localement et globalement neutre (\rho = 0).

2. Forme du champ électrique

• Invariances : les lames et le plasma étant supposés infinis selon les directions y et z (effets de bords négligés), la distribution de courants est invariante par translation selon y et z. Le champ électrique ne dépend donc que de la variable d'espace x et du temps t :

  \vec{E} = \vec{E}(x,t) = E_x(x,t)\,\vec{e}_x + E_y(x,t)\,\vec{e}_y + E_z(x,t)\,\vec{e}_z

• Direction selon \vec{e}_z : tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\vec{\jmath} \parallel \vec{e}_y est invariant par réflexion par rapport à un plan orthogonal à \vec{e}_z). \vec{E} étant un vecteur polaire, tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie pour \vec{E}, ce qui impose :

  E_z(x,t) = 0

• Direction selon \vec{e}_x : le plasma étant localement neutre, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit \operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0. Compte tenu de l'invariance selon y et z, cela se réduit à :

  \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 \implies E_x(x,t) = E_x(t)

  En l'absence de charges aux limites ou de champ électrostatique uniforme appliqué selon x, on a E_x(t) = 0.

On en déduit que le champ électrique est purement dirigé selon \vec{e}_y :

3. Parité de la fonction E(x,t)

Considérons le plan (x = 0). La symétrie plane par rapport à (x=0) transforme x en -x tout en conservant le vecteur de base \vec{e}_y.

Or, les densités de courant dans les deux lames vérifient \vec{\jmath}(-x, t) = -\vec{\jmath}(x, t) : le plan (x = 0) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution des courants inducteurs.

Puisque les équations de Maxwell sont linéaires et que les sources de courant sont impaires par réflexion par rapport au plan (x=0), le champ électrique induit \vec{E}, vecteur polaire, se transforme avec un changement de signe par rapport à une symétrie classique :

Comme \mathcal{S}_{(x=0)}(\vec{e}_y) = \vec{e}_y, on obtient :

La fonction E(x,t) est donc bien une fonction impaire de la variable x (ce qui implique en particulier E(0,t) = 0).

1. Différence avec le champ produit par les lames seules

Le champ magnétique variable créé par les bobinages inducteurs induit, d'après la loi de Faraday, un champ électrique \vec{E}(x,t) dans le plasma. Les électrons mobiles du plasma sont alors mis en mouvement sous l'action de la force électrique, engendrant un vecteur densité de courant induit \vec{\jmath}(x,t).

D'après l'équation de Maxwell-Ampère (et la loi de modération de Lenz), ces courants induits créent à leur tour un champ magnétique de réaction qui vient se superposer au champ appliqué par les lames extérieures. Le champ magnétique total au sein du plasma résulte donc de la somme du champ inducteur et du champ induit par le plasma lui-même.

2. Forme du champ magnétique \vec{B}(x,t)

• Invariances : en négligeant les effets de bord selon y et z, le système constitué par les deux lames et le plasma présente une invariance par translation selon \vec{e}_y et \vec{e}_z. Les composantes du champ magnétique ne dépendent donc que de la coordonnée x et du temps t :

  \vec{B} = \vec{B}(x,t)

• Direction : tous les courants (courants extérieurs dans les lames et courants induits dans le plasma) sont orientés selon l'axe (Oy), puisque \vec{E} = E(x,t)\vec{e}_y (d'après la question Q31). Tout plan parallèle à (xOy) (z = \text{cte}) est donc un plan de symétrie pour la distribution de courant :

  \Pi_z : z = \text{cte} \quad \text{est un plan de symétrie pour les courants } (\mathcal{P}_s)

  Le champ magnétique \vec{B} étant un champ pseudo-vectoriel (axial), il est orthogonal en tout point à ce plan de symétrie :

  \vec{B}(x,t) \perp (xOy) \implies \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z

3. Parité de B(x,t) par rapport à la variable x

• Par symétrie des sources : Le plan (yOz) (x=0) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant global. En effet :

  • pour les lames : \vec{J}(-x,t) = -\vec{J}(x,t) pour x > a ;
  • pour le plasma : le champ \vec{E} étant une fonction impaire de x (établi en Q31), les courants induits sont également antisymétriques par rapport au plan x=0, soit \vec{\jmath}(-x,t) = -\vec{\jmath}(x,t).

  Un plan d'antisymétrie pour les courants (\mathcal{P}_a) constitue un plan de symétrie pour le pseudo-vecteur \vec{B}. La composante tangentielle de \vec{B} est donc conservée par la réflexion x \mapsto -x :

  B(-x,t)\,\vec{e}_z = B(x,t)\,\vec{e}_z \implies B(-x,t) = B(x,t)

• Vérification par l'équation de Maxwell-Faraday : Dans le plasma, l'équation locale s'écrit :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

  Avec \vec{E}(x,t) = E(x,t)\,\vec{e}_y et \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, on a :

  \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = \frac{\partial E(x,t)}{\partial x}\,\vec{e}_z \implies -\frac{\partial B(x,t)}{\partial t} = \frac{\partial E(x,t)}{\partial x}

  Comme E(x,t) est une fonction impaire de x, sa dérivée spatiale \frac{\partial E}{\partial x}(x,t) est une fonction paire de x. En l'absence de champ magnétique statique permanent, B(x,t) hérite de la parité de sa dérivée temporelle.

1. Relation entre E(x,t) et B(x,t) :

D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

Avec \vec{E}(x,t) = E(x,t)\,\vec{e}_y, le rotationnel s'exprime en coordonnées cartésiennes par :

Comme \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, la projection sur l'axe (Oz) donne :

2. Relation entre B(x,t) et j(x,t) :

Dans le cadre de l'ARQSM, l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit :

Avec \vec{B}(x,t) = B(x,t)\,\vec{e}_z, le calcul du rotationnel donne :

Sachant que \vec{\jmath}(x,t) = j(x,t)\,\vec{e}_y, on obtient par identification sur l'axe (Oy) :

D'après la question Q33, les champs dans le plasma vérifient les équations aux dérivées partielles :

En dérivant la première équation par rapport à x et en appliquant le théorème de Schwarz :

En y injectant l'expression de \frac{\partial B}{\partial x} :

D'après la loi de réponse du plasma non collisionnel fournie par l'énoncé, \frac{\partial j}{\partial t} = \frac{n e^2}{m} E(x,t), d'où :

On identifie l'équation demandée sous la forme :

Vérification dimensionnelle :

• D'après l'équation différentielle, l'opérateur \frac{\partial^2}{\partial x^2} a pour dimension \mathrm{L}^{-2}. Ainsi, \left[\frac{1}{\lambda^2}\right] = \mathrm{L}^{-2}, ce qui impose que \lambda soit homogène à une longueur : [\lambda] = \mathrm{L}.

• Vérifions la dimension de l'expression trouvée pour \lambda. Sachant que \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1, on a :

  \lambda^2 = \frac{m}{\mu_0 n e^2} = \frac{m \varepsilon_0 c^2}{n e^2} = \frac{c^2}{\omega_p^2}

  où \omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{m \varepsilon_0}} est la pulsation plasma, de dimension inverse d'un temps ([\omega_p] = \mathrm{T}^{-1}).

• La vitesse de la lumière c vérifiant [c] = \mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}, on en déduit immédiatement :

  [\lambda] = \left[\frac{c}{\omega_p}\right] = \frac{\mathrm{L}\cdot\mathrm{T}^{-1}}{\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{L}

L'expression de \lambda est donc bien homogène à une distance.

À chaque instant t, l'équation différentielle spatiale établie à la question Q34 s'écrit :

La solution générale s'exprime sous la forme :

où C_1(t) et C_2(t) sont des fonctions du temps à déterminer.
D'après la question Q31, E(x,t) est une fonction impaire de la variable spatiale x, ce qui impose C_1(t) = 0. En posant C_2(t) = E_1(t), la forme générale du champ électrique est :

Pour en déduire le champ magnétique, utilisons la relation issue de l'équation de Maxwell-Faraday obtenue à la question Q33 :

Par intégration par rapport au temps t :

L'énoncé précisant qu'on ne tient pas compte d'un champ magnétique statique (B_{\text{stat}}(x) = 0), la dépendance spatio-temporelle de B(x,t) se factorise selon :

où K(t) est une fonction du temps. En évaluant cette expression en x = a :

On en déduit l'expression du champ magnétique dans le plasma :

D'après le résultat de la question Q35, le champ magnétique dans le plasma s'écrit :

1. Détermination du champ électrique E(x,t) :

L'équation reliant E(x,t) et B(x,t) établie à la question Q33 est :

En intégrant par rapport à x et en tenant compte de la condition E(0,t) = 0 (due à l'imparité de E(x,t) établie en Q31), il vient :

2. Détermination de la densité volumique de courant j(x,t) :

L'équation de Maxwell-Ampère (ARQSM) établie à la question Q33 relie B(x,t) et j(x,t) :

On dérive B(x,t) par rapport à x :

On en déduit immédiatement :

La puissance volumique cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge (les électrons) est donnée par le terme source du théorème de Poynting :

En utilisant les expressions établies à la question Q36 :

On en déduit l'expression de la puissance volumique :

L'excitation par le bobinage haute fréquence est périodique de période T (donc B_0(t), puis B_0^2(t), sont des fonctions T-périodiques). La moyenne temporelle sur une période s'écrit :

Non-validité du modèle non collisionnel pour la torche ICP-AES : Dans la torche à plasma, le milieu est porté à plusieurs milliers de kelvins et subit d'importantes pertes énergétiques vers l'extérieur (rayonnement, conduction et convection thermique dues à l'écoulement de gaz). Pour maintenir le plasma à cette température en régime stationnaire, le champ électromagnétique inducteur doit nécessairement lui transférer une puissance moyenne non nulle (\langle \mathcal{P}_{\text{vol}} \rangle > 0) sous forme de dissipation Joule.

Le modèle non collisionnel prédit un régime purement réactif : l'énergie oscille de manière réversible entre le champ électromagnétique et l'énergie cinétique du mouvement collectif des électrons sans la moindre dissipation thermique. Il ne permet donc pas d'expliquer l'entretien énergétique du plasma.

Dans le modèle collisionnel, la loi d'Ohm locale s'écrit :

D'après la question Q33, les équations de Maxwell s'écrivent pour les composantes scalaires sous la forme :

Dérivons la première équation par rapport à la variable d'espace x :

En substituant l'expression de \dfrac{\partial E(x,t)}{\partial x}, on obtient :

Soit finalement :

D'après l'équation aux dérivées partielles établie à la question Q38 :

Par homogénéité de cette équation, les deux termes ont la même dimension :

On en déduit la dimension du produit \mu_0 \sigma :

Puisque la pulsation \omega est l'inverse d'un temps ([\omega] = \mathrm{T}^{-1}) et que le facteur 2 est sans dimension :

Par conséquent, en prenant la racine carrée de l'inverse :

D'après la question Q38, le champ magnétique dans le plasma vérifie l'équation aux dérivées partielles :

En régime sinusoïdal forcé, avec \underline{\vec{B}}(x,t) = \underline{f}(x)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\vec{e}_z, la dérivée temporelle se traduit par une multiplication par \mathrm{i}\omega :

Or, par définition de l'épaisseur de peau \delta (question Q39) :

Sachant que (1+\mathrm{i})^2 = 1 + 2\mathrm{i} - 1 = 2\mathrm{i}, on en déduit :

L'équation différentielle s'écrit alors :

La solution générale fait intervenir les fonctions hyperboliques à argument complexe :

D'après la question Q32, le champ magnétique est une fonction paire de la variable x (\underline{f}(-x) = \underline{f}(x)), ce qui impose immédiatement :

La condition aux limites en x = a donne :

On en déduit l'expression de \underline{f}(x) :

Le champ magnétique complexe s'écrit finalement :

1. Évolution du profil de \langle P_{\mathrm{vol}} \rangle et phénomène physique sous-jacent

D'après l'expression établie en Q39, l'épaisseur de peau s'écrit \delta = \sqrt{2/(\mu_0 \sigma \omega)}. Lorsque la pulsation \omega augmente, \delta diminue et le rapport adimensionné a/\delta augmente.

• Pour les pulsations modérées (a/\delta = 0{,}6), le champ pénètre dans tout le plasma ; la puissance volumique moyenne cédée est faible et relativement répartie dans le volume.
• Lorsque la pulsation augmente (a/\delta = 2{,}0 \to 3{,}4), la dissipation se concentre de plus en plus au voisinage immédiat des bords (x = \pm a), sur une épaisseur caractéristique de l'ordre de \delta, tandis qu'elle devient quasi nulle au cœur du plasma (x \approx 0). De plus, la valeur maximale de \langle P_{\mathrm{vol}} \rangle à la frontière augmente considérablement.

Ce phénomène est la manifestation directe de l'effet de peau (ou effet pelliculaire) : les courants de Foucault induits dans le milieu conducteur s'opposent à la pénétration du champ magnétique haute fréquence, confinant le champ électrique induit et la dissipation par effet Joule dans une zone superficielle d'épaisseur \delta.

2. Validité comparée des deux modèles

• Dans le modèle non collisionnel (Q37), les électrons oscillent en quadrature de phase avec le champ électrique sans frottement. La puissance volumique moyenne absorbée est strictement nulle (\langle \mathcal{P}_{\mathrm{vol}} \rangle = 0), ce qui rend théoriquement impossible l'échauffement et l'entretien du plasma.
• Dans le modèle collisionnel, les chocs des électrons avec les autres particules (ions, atomes neutres) introduisent une dissipation thermique irréversible par effet Joule (\langle P_{\mathrm{vol}} \rangle = \frac{1}{2}\sigma |\underline{E}|^2 > 0). Ce modèle rend compte du transfert continu d'énergie électromagnétique nécessaire pour compenser les pertes radiatives et thermiques et maintenir le plasma à plusieurs milliers de kelvins.

3. Discussion de la photographie axiale (figure 7)

Calculons l'épaisseur de peau dans les conditions de la torche ICP-AES :

Avec \mu_0 = 1{,}26 \times 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, \sigma = 1 \times 10^3\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} et f = 10\text{ MHz} = 10^7\text{ Hz} :

Pour un rayon externe a = 1{,}0\text{ cm} = 10\text{ mm}, le rapport vaut :

Ce rapport correspond précisément à l'une des courbes de la figure 11 (a/\delta = 2{,}0), pour laquelle \langle P_{\mathrm{vol}} \rangle est concentrée dans la couronne externe (|x|/a \gtrsim 0{,}5) et s'éteint au centre.

Or, la désexcitation radiative et l'émission lumineuse des espèces ont lieu préférentiellement dans les zones les plus chaudes, où la puissance Joule déposée est maximale. Ce confinement de l'énergie dans une couronne périphérique de quelques millimètres explique parfaitement la forme en anneau lumineux (ou tore) observée sur la photographie de la vue axiale (figure 7), avec un canal central plus sombre.