Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 2 MP 2021 (page 2/3 : Partie III (questions 18 à 30))

L'onde incidente étant plane et en incidence normale, les surfaces d'onde sont parallèles au plan des trous : les sources secondaires S_1 et S_2 sont en phase, soit \delta_{\text{amont}} = 0.

La différence de marche au point M s'écrit donc :

Plaçons-nous dans le cadre de l'approximation paraxiale de Gauss (x, y \ll f'). Le point M(x, y, f') étant situé dans le plan focal image de la lentille de centre O, les rayons issus de S_1 et S_2 qui convergent en M sont, en amont de la lentille, parallèles à la direction de la droite (OM).

Le vecteur unitaire \vec{u} de cette direction s'écrit, au premier ordre en x/f' et y/f' :

Par stigmatisme de la lentille entre l'infini et son plan focal, tous les rayons parallèles à la direction \vec{u} présentent le même chemin optique jusqu'à M à partir d'un plan d'onde d'amont \Sigma perpendiculaire à \vec{u}. En projetant la distance entre les deux sources sur la direction de propagation \vec{u} :

avec \vec{r}_1 = \vec{OS}_1 = +\frac{a}{2}\vec{e}_x et \vec{r}_2 = \vec{OS}_2 = -\frac{a}{2}\vec{e}_x, soit \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = a\,\vec{e}_x.

On en déduit :

Les deux trous d'Young sont identiques et éclairés en incidence normale par la même onde plane monochromatique : ils constituent deux sources secondaires synchrones, cohérentes et de même intensité I_0.

Le déphasage entre les ondes issues de S_2 et S_1 au point M(x,y) s'écrit, d'après l'expression de la différence de marche \delta(M) = \dfrac{ax}{f'} obtenue à la question Q18 :

La superposition des deux ondes scalaires conduit, par la formule de Fresnel, à l'intensité lumineuse :

En utilisant l'identité 1 + \cos(2u) = 2\cos^2(u), on obtient :

Description de la figure observée sur l'écran :

• L'intensité I(M) ne dépend que de la coordonnée x et est indépendante de y : les franges d'interférence sont des droites rectilignes parallèles à l'axe (Oy), perpendiculaires à l'axe de séparation des deux trous (Ox).
• On observe une alternance périodique de franges brillantes (d'intensité maximale I_{\max} = 4I_0) et de franges sombres (d'intensité minimale I_{\min} = 0), avec un contraste maximal égal à 1.
• En x = 0, la différence de marche est nulle : le centre de l'écran correspond à une frange brillante centrale.

L'interfrange i est la distance séparant deux franges brillantes (ou sombres) consécutives sur l'écran selon l'axe (Ox). D'après l'expression de l'intensité obtenue à la question précédente :

la phase spatiale varie de 2\pi lorsque x varie de l'interfrange i, ce qui conduit à :

Avec les valeurs numériques fournies :

• \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m} ;
• f' = 20\text{ cm} = 0{,}20\text{ m} ;
• a = 100\text{ }\mu\text{m} = 1{,}00 \times 10^{-4}\text{ m}.

Le calcul donne :

La position sur l'écran du maximum d'intensité d'ordre p pour une longueur d'onde \lambda est donnée par :

Un écart en longueur d'onde \Delta \lambda se traduit par un décalage spatial de ce pic égal à :

Pour \lambda = 499{,}3\text{ nm}, \Delta \lambda = 20\text{ pm} et à l'ordre p = 1, le décalage spatial vaut :

Or, dans un dispositif d'interférences à deux ondes, le profil d'intensité est sinusoïdal (en \cos^2). Les franges d'intensité sont donc très peu piquées : la demi-largeur d'un maximum d'intensité est de l'ordre de la demi-largeur à mi-hauteur, soit :

Le décalage \Delta x_1 \approx 40\text{ nm} est quatre ordres de grandeur inférieur à la largeur de la frange brillante (\Delta x_1 \ll \Delta x_{1/2}).

Considérons deux ouvertures consécutives du réseau, notées S_k et S_{k+1}, distantes de a le long de l'axe (Ox), telles que \vec{S_k S_{k+1}} = a\,\vec{e}_x.

• À l'amont du réseau : l'éclairage s'effectuant sous incidence normale par une onde plane dont le plan d'onde est parallèle au plan du réseau (xOy), les ondes parviennent en phase sur toutes les ouvertures. La différence de marche en amont est donc nulle :

  \delta_{\text{amont}} = 0

• À l'aval du réseau : les ondes émergent dans la direction faisant un angle \theta avec l'axe (Oz) dans le plan (xOz). Le vecteur unitaire directeur de propagation est :

  \vec{u} = \sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z

  Le plan d'onde à l'infini étant perpendiculaire à \vec{u}, la différence de marche géométrique entre l'onde issue de S_k et celle issue de S_{k+1} s'écrit par projection sur la direction d'observation :

  \delta = \vec{S_k S_{k+1}} \cdot \vec{u} = (a\,\vec{e}_x) \cdot (\sin\theta\,\vec{e}_x + \cos\theta\,\vec{e}_z) = a\sin\theta

Le déphasage \varphi entre les vibrations lumineuses issues de deux ouvertures consécutives s'en déduit directement :

L'onde résultante en un point situé à l'infini dans la direction \theta est la superposition des ondes issues des N fentes. En prenant la première ouverture comme référence d'amplitude s_0, l'amplitude complexe totale s'écrit :

D'après l'inégalité triangulaire :

Cette borne supérieure est atteinte si et seulement si tous les termes de la somme sont en phase, c'est-à-dire :

L'intensité lumineuse I(\theta) \propto |\underline{s}(\theta)|^2 est alors maximale et vaut I_{\max} = N^2 I_0, où I_0 est l'intensité produite par une ouverture seule. Il s'agit d'un phénomène d'interférences purement constructives entre toutes les ondes émises.

L'entier relatif p est appelé l'ordre d'interférence (ou ordre du pic de diffraction).

D'après le résultat de la question Q22, le déphasage s'exprime par \varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda} a \sin\theta. Pour le pic correspondant à p = 1, la condition s'écrit :

D'où l'expression de l'angle d'émergence \theta_1 :

Le réseau comporte n = 1800\text{ mm}^{-1} = 1{,}800 \times 10^6\text{ m}^{-1} ouvertures par unité de longueur. Le pas du réseau vaut donc :

D'après la question Q23, la direction \theta_1 du pic d'ordre p = 1 vérifie :

Avec \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m} :

Le dispositif de projection décrit en III.A.1 repose sur l'approximation paraxiale (conditions de Gauss) pour laquelle les angles d'incidence et d'émergence sont petits (\theta \ll 1\text{ rad}, permettant d'écrire \sin\theta \approx \tan\theta \approx x/f').

Ici, l'angle d'émergence \theta_1 \approx 64^\circ est très grand :

• les faisceaux diffractés ne traverseraient plus la lentille au voisinage de l'axe optique ni sous faible incidence : de très fortes aberrations géométriques détruiraient la netteté des raies ;
• pour intercepter un faisceau incliné de 64^\circ, il faudrait une lentille de diamètre prohibitif (ouverture numérique proche de 0{,}9) ;
• sur un écran plan perpendiculaire à l'axe optique, la position serait x = f'\tan\theta_1 \approx 20 \times \tan(64^\circ) \approx 41\text{ cm}, ce qui entraînerait une projection rasante et un étalement considérable du faisceau.

Il n'est donc plus envisageable d'utiliser ce dispositif de projection centré. On utilise plutôt un montage à miroir concave ou une rotation du réseau (montage de type Czerny-Turner).

L'amplitude complexe de l'onde résultant de la superposition des ondes issues des N ouvertures, déphasées successivement de \varphi, s'écrit :

L'intensité lumineuse correspondante est donc donnée par :

où I_0 est l'intensité transmise par une fente seule dans cette direction.

Les pics principaux (maxima d'interférence) sont atteints pour \varphi = 2p\pi (p \in \mathbb{Z}).
Autour d'un maximum principal d'ordre p, le numérateur s'annule pour :

L'écart entre le maximum et le premier minimum adjacent (demi-largeur au premier zéro) est donc bien :

D'après la question Q22, le déphasage est relié à l'angle d'émergence \theta par :

En différentiant cette relation au voisinage de la direction \theta_1 :

En égalant avec l'expression de \Delta\varphi, on obtient :

Comme les N ouvertures réparties au pas a occupent une largeur totale \ell \approx N a, il vient :

Application numérique :

• \lambda = 499{,}3\text{ nm} = 499{,}3 \times 10^{-9}\text{ m}
• \ell = 5\text{ cm} = 5 \times 10^{-2}\text{ m} (soit N = \ell / a = 5 \times 10^{-2} \times 1\,800 \times 10^3 = 90\,000 traits)

• D'après la question Q24, \sin\theta_1 = \lambda/a = 0{,}8987, d'où :

  \cos\theta_1 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_1} = \sqrt{1 - 0{,}8987^2} \approx 0{,}4385

Pour l'ordre p = 1, la position angulaire du pic d'intensité lumineuse pour la longueur d'onde \lambda est donnée par la relation du réseau (question Q23) :

Pour la longueur d'onde voisine \lambda', on a de même :

Comme \lambda' est très proche de \lambda, l'écart \theta'_1 - \theta_1 est très faible. Par différenciation de la relation du réseau à \lambda fixé :

On en déduit au premier ordre la relation liant l'écart angulaire à l'écart en longueur d'onde :

D'après la question Q25, la demi-largeur angulaire du pic d'intensité vaut :

Le critère de séparation |\theta'_1 - \theta_1| \ge \Delta\theta (critère de Rayleigh) s'écrit donc :

La résolution du dispositif, définie à la question Q21 comme le plus petit écart en longueur d'onde \Delta\lambda_{\min} = |\lambda' - \lambda|_{\min} séparable, s'exprime ainsi :

D'après la question Q26, la résolution théorique associée au réseau éclairé à l'ordre p = 1 s'écrit :

Avec \lambda = 499{,}3\text{ nm} et N = 90\,000 ouvertures éclairées (obtenu à la question Q25 pour \ell = 5\text{ cm} et 1\,800\text{ traits}\cdot\text{mm}^{-1}), on obtient :

Cette valeur théorique est environ quatre fois meilleure (plus petite) que la résolution réelle annoncée pour le spectromètre ICP-AES (\Delta\lambda_{\text{exp}} \approx 20\text{ pm}). Plusieurs facteurs expliquent cette dégradation en pratique :

• Largeur finie de la fente d'entrée : pour garantir un flux lumineux mesurable suffisant, la fente d'entrée possède une ouverture géométrique non nulle dont l'image spectrale sur le détecteur présente une largeur instrumentale finie supérieure à la seule tache de diffraction ;
• Élargissement intrinsèque des raies d'émission : au sein du plasma, porté à plusieurs milliers de kelvins (T \sim 6\,000\text{ à }10\,000\text{ K}), les atomes subissent une agitation thermique intense conduisant à un élargissement Doppler thermique notable, auquel s'ajoute un élargissement collisionnel (effet Stark et collisions à haute pression locale) ;
• Résolution spatiale du détecteur : la pixellisation du capteur (caméra CCD ou CMOS) impose un pas d'échantillonnage spatial minimal qui limite la résolution spectrale effective ;
• Aberrations optiques et défauts du réseau : les aberrations géométriques des miroirs collimateurs et focalisateurs ainsi que l'éventuelle non-uniformité de l'éclairement du réseau réduisent le nombre effectif N_{\text{eff}} de traits contribuant aux interférences.

Soit \Sigma une surface fermée délimitant un volume V, orientée vers l'extérieur (\vec{n}_{\text{ext}}), et soit \Gamma une courbe fermée orientée délimitant une surface ouverte quelconque S, l'orientation de S étant liée à celle de \Gamma par la règle de la main droite.

Les formes intégrales des quatre équations de Maxwell dans le cadre de l'ARQS magnétique sont :

1. Équation de Maxwell-Gauss (théorème de Gauss) :

   \boxed{\iint_{\Sigma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint_V \rho \, \mathrm{d}\tau}

   où Q_{\text{int}} est la charge électrique totale contenue à l'intérieur de la surface \Sigma.

2. Équation de Maxwell-Faraday (loi de Faraday) :

   \boxed{\oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = - \frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

   où \Phi est le flux du champ magnétique \vec{B} à travers la surface S.

3. Équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

   \boxed{\iint_{\Sigma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = 0}

   le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est nul (absence de monopôles magnétiques).

4. Équation de Maxwell-Ampère dans l'ARQSM (théorème d'Ampère) :

   \boxed{\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enl}} = \mu_0 \iint_{S} \vec{\jmath} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

   où I_{\text{enl}} est l'intensité du courant total enlacé par le contour \Gamma.

La lame de gauche occupe le domaine -(a+b) \le x \le -a, d'épaisseur b et de plan médian x_c = -(a + b/2). Elle est parcourue par la densité volumique de courant uniforme \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y.

1. Invariances En négligeant les effets de bord, la distribution de courant est invariante par translation selon les axes (Oy) et (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc spatialement que de la variable x :

2. Symétries

• Tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie (\Pi_s) de la distribution de courant, car le vecteur densité de courant \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y est contenu dans ce plan. Le champ magnétique étant un vecteur axial (pseudovecteur), il est orthogonal à tout plan de symétrie des courants :

  \vec{B}_1(x,t) = B_{1,z}(x,t)\,\vec{e}_z

• Le plan x = x_c = -(a + b/2) est également un plan de symétrie (\Pi_s) pour la lame considérée seule (le courant lui étant parallèle). Le champ en tout point de ce plan doit donc être orthogonal au plan, c'est-à-dire dirigé selon \vec{e}_x. Comme \vec{B}_1 est colinéaire à \vec{e}_z, on en déduit que :

  B_{1,z}(x_c, t) = 0

  De plus, sous la symétrie plane par rapport à x = x_c, la composante axiale parallèle au plan est transformée en son opposée, ce qui montre que B_{1,z}(x,t) est une fonction impaire de la variable (x - x_c) :

  B_{1,z}(x_c + u, t) = - B_{1,z}(x_c - u, t) \quad (\forall u \ge 0)

3. Application du théorème d'Ampère Dans le cadre de l'ARQS magnétique, appliquons le théorème d'Ampère à un contour fermé rectangulaire \mathcal{C} tracé dans un plan y = \text{cste}, symétrique par rapport au plan x = x_c, constitué de deux côtés de longueur L parallèles à l'axe (Oz) situés en x_c + u et x_c - u (u > 0).

Orientons le contour de sorte que la normale associée par la règle de la main droite soit -\vec{e}_y (c'est-à-dire dans le sens du courant -J(t)\vec{e}_y).

Les côtés parallèles à (Ox) ne contribuent pas à la circulation car \vec{B}_1 \cdot \vec{e}_x = 0. La circulation de \vec{B}_1 le long de \mathcal{C} s'écrit :

D'après le théorème d'Ampère, \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} où I_{\text{enl}} est le courant total traversant le rectangle :

• À l'extérieur de la lame (u \ge b/2) : Le rectangle englobe toute l'épaisseur b de la lame, donc le courant enlacé vaut I_{\text{enl}} = J(t)\,b\,L. On en déduit :

  2\,B_{1,z}(x_c + u, t)\,L = \mu_0 J(t)\,b\,L \implies B_{1,z}(x_c + u, t) = \frac{\mu_0 J(t) b}{2}

  Par imparité, de part et d'autre de la lame :

  \begin{aligned} \text{Pour } x > -a \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = \frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \\ \text{Pour } x < -(a+b) \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = -\frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \end{aligned}

• À l'intérieur de la lame (u \le b/2, soit -(a+b) \le x \le -a) : La largeur de la tranche de courant traversée est 2u = 2(x - x_c), d'où I_{\text{enl}} = J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L. Il vient :

  2\,B_{1,z}(x,t)\,L = \mu_0 J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L \implies B_{1,z}(x,t) = \mu_0 J(t)\left(x + a + \frac{b}{2}\right)

En résumé, le champ magnétique produit par la lame de gauche s'écrit dans tout l'espace :

La lame de droite s'étend sur l'intervalle a \le x \le a+b et transporte une densité volumique de courant +J(t)\vec{e}_y.

Par une démarche rigoureusement analogue à celle de la question précédente (ou par translation de 2a+b et changement de signe du courant), le champ \vec{B}_2(x,t) = B_{2z}(x,t)\vec{e}_z créé par la lame de droite seule s'écrit :

D'après le principe de superposition, le champ magnétique total dans tout l'espace en l'absence de plasma est \vec{B}(x,t) = \vec{B}_1(x,t) + \vec{B}_2(x,t) = B(x,t)\vec{e}_z. En sommant zone par zone :

• Pour x < -(a+b) :

  B(x,t) = -\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = 0

• Pour -(a+b) \le x \le -a :

  B(x,t) = \mu_0 J(t)\left(x + a + \frac{b}{2}\right) + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = \mu_0 J(t)\,(x + a + b)

• Pour -a \le x \le a (domaine central occupé ultérieurement par le plasma) :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b + \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = \mu_0 J(t) b

• Pour a \le x \le a+b :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b - \mu_0 J(t)\left(x - a - \frac{b}{2}\right) = \mu_0 J(t)\,(a + b - x)

• Pour x > a+b :

  B(x,t) = +\frac{1}{2}\mu_0 J(t) b - \frac{1}{2}\mu_0 J(t) b = 0

On synthétise ce résultat sous la forme :

Pour une valeur de J(t) > 0, le profil de la composante B(x,t) en fonction de x présente un plateau uniforme dans l'espace inter-lames et s'annule à l'extérieur :