Feuille d'entraînement : Réflexion, réfraction et fibres optiques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q32

   Un point P quelconque de l'interface z = 0 est repéré par son vecteur position :

   \overrightarrow{OP} = x\,\vec{u}_x + y\,\vec{u}_y

   L'énoncé précise que \vec{k}_i = k_{i,x}\,\vec{u}_x + k_{i,z}\,\vec{u}_z, ce qui implique k_{i,y} = 0.

   1. Annulation des composantes selon y :

   La condition d'accord de phase établie à la question Q31 doit être vérifiée pour tout point P de l'interface, c'est-à-dire pour tout couple (x,y) \in \mathbb{R}^2 :

   \begin{aligned} (\vec{k}_i - \vec{k}_r)\cdot \overrightarrow{OP} &= (k_{i,x} - k_{r,x})\,x - k_{r,y}\,y = 0 \\ (\vec{k}_i - \vec{k}_t)\cdot \overrightarrow{OP} &= (k_{i,x} - k_{t,x})\,x - k_{t,y}\,y = 0 \end{aligned}

   Pour x = 0 et y \neq 0, ces relations imposent immédiatement :

   \boxed{k_{r,y} = 0 \quad \text{et} \quad k_{t,y} = 0}

   Les trois vecteurs d'onde \vec{k}_i, \vec{k}_r et \vec{k}_t sont donc coplanaires : ils appartiennent au plan d'incidence (xOz).

   2. Relations angulaires :

   Pour y = 0 et x \neq 0, la conservation de la composante tangentielle du vecteur d'onde donne :

   k_{i,x} = k_{r,x} = k_{t,x}

   D'après la géométrie définie sur la figure 5 :

   • Pour l'onde incidente : k_{i,x} = k_i \sin\theta_i avec k_i = \dfrac{\omega}{c_1} (d'après Q29).

   • Pour l'onde transmise : k_{t,x} = k_t \sin\theta_t avec k_t = \dfrac{\omega}{c_2} (d'après Q29). L'égalité k_{i,x} = k_{t,x} conduit à :

     \frac{\omega}{c_1}\sin\theta_i = \frac{\omega}{c_2}\sin\theta_t \implies \frac{\sin\theta_i}{c_1} = \frac{\sin\theta_t}{c_2}

   • Pour l'onde réfléchie : elle se propage dans le milieu 1, d'où k_r = k_i. En repérant l'angle \theta_r de manière algébrique par rapport à la normale de façon symétrique à l'angle d'incidence (comme indiqué par la flèche sur la figure 5, où la déviation s'effectue en sens opposé), on a k_{r,x} = -k_r \sin\theta_r, d'où :

     k_i \sin\theta_i = -k_i \sin\theta_r \implies \theta_r = -\theta_i

   On aboutit ainsi au système :

   \boxed{\left\{\begin{array}{l} \theta_r = -\theta_i \\[6pt] \dfrac{\sin\theta_i}{c_1} = \dfrac{\sin\theta_t}{c_2} \end{array}\right.}

   3. Identification des lois :

   On retrouve les lois de Snell-Descartes (ou lois de Descartes) pour la réflexion et la réfraction (ici la transmission acoustique), identiques à celles de l'optique géométrique :

   • première loi : les rayons réfléchi et transmis sont contenus dans le plan d'incidence ;
   • deuxième loi : l'angle de réflexion est opposé à l'angle d'incidence (ou égal en valeur absolue) ;
   • troisième loi : la loi de réfraction fait intervenir les indices acoustiques n_1 = \dfrac{c_0}{c_1} et n_2 = \dfrac{c_0}{c_2}, ce qui redonne n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_t.

   Résultat

   $$k_{r,y}=0\text{et}{k}_{t,y}=0$$

   $$\{\begin{array}{l}{\theta }_r=-{\theta }_i\\ \frac{\sin {\theta }_i}{c_1}=\frac{\sin {\theta }_t}{c_2}\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique PSI 2022, Q24

   1. Définition du plan d'incidence et première loi de Descartes

   • Le plan d'incidence est le plan formé par la direction de propagation de l'onde incidente (portée par le vecteur d'onde \vec{k}_i) et la normale à l'interface au point d'incidence (ici portée par \vec{e}_z). Dans la géométrie choisie, il s'agit du plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z).
   • La première loi de Descartes stipule que le rayon réfléchi et le rayon transmis (ou réfracté) sont contenus dans le plan d'incidence.

   2. Seconde loi de Descartes

   Les milieux (1) et (2) étant non dispersifs pour les ondes de compression étudiées, les relations de dispersion donnent les normes des vecteurs d'onde à la pulsation \omega :

   \begin{aligned} k_i = \|\vec{k}_i\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_r = \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}, \qquad k_t = \|\vec{k}_t\| = \frac{\omega}{c_{p2}}. \end{aligned}

   D'après la figure 8, les angles i_1, r et i_2 sont définis par rapport à la normale \vec{e}_z. Les projections des vecteurs d'onde sur l'axe tangentiel (Ox) s'écrivent donc :

   \begin{aligned} k_{ix} = k_i \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1, \qquad k_{rx} = k_r \sin r = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r, \qquad k_{tx} = k_t \sin i_2 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2. \end{aligned}

   L'égalité imposée des composantes tangentielles, k_{ix} = k_{rx} = k_{tx}, fournit :

   • pour la réflexion :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin r \implies \boxed{r = i_1}

   • pour la réfraction (transmission) :

     \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1 = \frac{\omega}{c_{p2}} \sin i_2 \implies \boxed{\frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}}}

   3. Expression de k_x

   On en déduit immédiatement la composante tangentielle commune du vecteur d'onde :

   \boxed{k_x = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1}

   Résultat

   $$r=i_1$$

   $$\frac{\sin i_1}{c_{p1}}=\frac{\sin i_2}{c_{p2}}$$

   $$k_x=\frac{\omega }{c_{p1}}\sin i_1$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3X-ENS Physique PSI 2022, Q25

   D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction obtenue à la question Q24 :

   \frac{\sin i_1}{c_{p1}} = \frac{\sin i_2}{c_{p2}} \iff \sin i_2 = \frac{c_{p2}}{c_{p1}} \sin i_1

   L'angle de réfraction i_2 étant un angle réel appartenant à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right] pour une onde progressive se propageant dans le milieu (2), le sinus doit vérifier :

   \sin i_2 \le 1 \iff \sin i_1 \le \frac{c_{p1}}{c_{p2}}

   Comme c_{p1} < c_{p2}, le rapport vérifie :

   0 < \frac{c_{p1}}{c_{p2}} < 1

   Il existe donc un unique angle critique i_\ell \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ tel que :

   \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}}

   ce qui donne l'expression de l'angle d'incidence limite :

   \boxed{i_\ell = \arcsin\left(\frac{c_{p1}}{c_{p2}}\right)}

   Pour i_1 > i_\ell, l'onde ne peut plus se réfracter sous forme d'onde progressive homogène dans le milieu (2).

   Résultat

   $$i_{\ell }=\arcsin \left(\frac{c_{p1}}{c_{p2}}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4X-ENS Physique PSI 2022, Q26

   1. Expression du vecteur d'onde réfléchi \vec{k}_r

   Dans le milieu (1), l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion \|\vec{k}_r\| = \frac{\omega}{c_{p1}}.

   D'après les lois de Descartes établies à la question Q24, le rayon réfléchi appartient au plan d'incidence (O, \vec{e}_x, \vec{e}_z), l'angle de réflexion vaut r = i_1, et la composante tangentielle est conservée :

   k_{rx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}} \sin i_1

   L'onde réfléchie se propageant en s'éloignant de l'interface vers le demi-espace z < 0, sa composante selon \vec{e}_z est négative :

   k_{rz} = - \sqrt{\|\vec{k}_r\|^2 - k_{rx}^2} = -\frac{\omega}{c_{p1}} \cos i_1

   On en déduit l'expression du vecteur d'onde réfléchi :

   \boxed{\vec{k}_r = \frac{\omega}{c_{p1}} \left( \sin i_1\,\vec{e}_x - \cos i_1\,\vec{e}_z \right)}

   2. Composante normale k_{tz} et paramètre \delta

   Dans le milieu (2), la relation de dispersion s'écrit \|\vec{k}_t\|^2 = k_{tx}^2 + k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2}. La continuité de la composante tangentielle impose k_{tx} = k_x = \frac{\omega}{c_{p1}}\sin i_1. Par suite :

   \begin{aligned} k_{tz}^2 &= \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} - k_x^2 \\ &= \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( 1 - \frac{c_{p2}^2}{c_{p1}^2} \sin^2 i_1 \right) \end{aligned}

   En utilisant la relation \sin i_\ell = \frac{c_{p1}}{c_{p2}} établie à la question Q25, on obtient :

   k_{tz}^2 = \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( 1 - \frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} \right) = - \frac{\omega^2}{c_{p2}^2} \left( \frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1 \right)

   Pour i_1 > i_\ell, \sin i_1 > \sin i_\ell, donc k_{tz}^2 < 0. k_{tz} est imaginaire pur :

   k_{tz} = \pm j\, \frac{\omega}{c_{p2}} \sqrt{\frac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1}

   Le milieu (2) occupant le demi-espace z > 0, l'amplitude physique de l'onde ne peut diverger quand z \to +\infty. Le terme de propagation \exp(-j k_{tz} z) impose donc de choisir la solution de partie imaginaire négative, soit k_{tz} = -\frac{j}{\delta}, avec :

   \boxed{\delta = \frac{c_{p2}}{\omega \sqrt{\dfrac{\sin^2 i_1}{\sin^2 i_\ell} - 1}}}

   La grandeur \delta a la dimension d'une longueur ([\delta] = \mathrm{L}, exprimée en mètres) : c'est la profondeur de pénétration de l'onde dans le milieu (2).

   3. Forme du champ de déplacement \vec{u}_t

   En reportant \vec{k}_t = k_x \vec{e}_x - \frac{j}{\delta}\vec{e}_z et \overrightarrow{OM} = x\,\vec{e}_x + z\,\vec{e}_z dans l'expression du champ de déplacement :

   \begin{aligned} j\left(\omega t - \vec{k}_t \cdot \overrightarrow{OM}\right) &= j\left(\omega t - k_x x + \frac{j}{\delta} z\right) \\ &= -\frac{z}{\delta} + j(\omega t - k_x x) \end{aligned}

   Puisque l'énoncé admet que la vibration est polarisée selon \vec{e}_x, on retrouve bien :

   \boxed{\vec{u}_t(M, t) = U_{t0} \exp\left(-\frac{z}{\delta}\right) \exp\left[j(\omega t - k_x x)\right] \vec{e}_x}

   4. Structure et caractéristiques de l'onde transmise

   • Structure : Il s'agit d'une onde évanescente (ou onde plane inhomogène). Les plans équiphases sont orthogonaux à la direction de propagation \vec{e}_x (plans x = \text{cte}), tandis que les surfaces d'égale amplitude sont parallèles à l'interface (plans z = \text{cte}). L'amplitude décroît exponentiellement avec la profondeur z.
   • Direction de propagation : L'onde se propage parallèlement à l'interface, dans la direction des x croissants (+\vec{e}_x).

   • Vitesse de propagation : La vitesse de phase v_\varphi s'écrit :

     \boxed{v_\varphi = \frac{\omega}{k_x} = \frac{c_{p1}}{\sin i_1}}

     Puisque \sin i_\ell < \sin i_1 \le 1, cette vitesse est strictement comprise entre c_{p1} et c_{p2} :

     c_{p1} \le v_\varphi < \frac{c_{p1}}{\sin i_\ell} = c_{p2}

   Résultat

   $${\vec{k}}_r=\frac{\omega }{c_{p1}}\left(\sin i_1{\vec{e}}_x-\cos i_1{\vec{e}}_z\right)$$

   $$\delta =\frac{c_{p2}}{\omega \sqrt{\frac{{\sin }^2{i}_1}{{\sin }^2{i}_{\ell }}-1}}$$

   $${\vec{u}}_t(M,t)=U_{t0}\exp \left(-\frac{z}{\delta }\right)\exp \left[j(\omega t-k_{x}x)\right]{\vec{e}}_x$$

   $$v_{\phi }=\frac{\omega }{k_x}=\frac{c_{p1}}{\sin i_1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q1

   Soit un dioptre séparant deux milieux transparents, homogènes et isotropes d'indices de réfraction respectifs n_1 et n_2.

   Les deux lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction s'énoncent ainsi :

   1. Première loi (coplanarité) : le rayon réfracté est situé dans le plan d'incidence, défini par le rayon incident et la normale au dioptre au point d'incidence I.
   2. Seconde loi (relation angulaire) : l'angle d'incidence i_1 et l'angle de réfraction i_2, repérés par rapport à la normale au dioptre au point d'incidence, sont reliés par la relation :

   \boxed{n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2}

   Résultat

   $$n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q2

   1. Traversée du premier dioptre (air/verre, plan) :

   • Les rayons incidents sont parallèles à l'axe optique et arrivent orthogonalement à la face d'entrée plane ; l'angle d'incidence par rapport à la normale est donc nul : i_1 = 0.

   • D'après la loi de Snell-Descartes (établie en Q1) :

     n_{\text{air}}\sin i_1 = n \sin i_2 \iff 1\times \sin 0 = n \sin i_2 \implies i_2 = 0

     Les rayons pénètrent dans le verre sans subir de déviation et se propagent parallèlement à l'axe optique.

   2. Traversée du second dioptre (verre/air, courbe) :

   • En chaque point d'incidence sur la face de sortie, la normale locale au dioptre est la droite passant par le centre de courbure de la surface sphérique.

   • En notant i l'angle d'incidence dans le verre et i' l'angle de réfraction dans l'air, la loi de Snell-Descartes s'écrit :

     n \sin i = n_{\text{air}} \sin i' = \sin i'

   • Comme le verre est plus réfringent que l'air (n > 1), on a :

     \sin i' = n \sin i > \sin i \implies i' > i

     Le rayon émergent s'écarte de la normale au dioptre.

   • Le rayon central passant par le sommet de la lentille est sur l'axe optique ; il arrive sous incidence normale (i=0) et traverse donc la lentille en ligne droite (i'=0).

   3. Tracé qualitatif des rayons :

   • Lentille plan-convexe (1) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté du verre (vers la gauche). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le haut et la droite. En s'écartant de la normale, le rayon est dévié vers l'axe optique (vers le bas). Par symétrie, le rayon situé sous l'axe optique est dévié vers le haut. Les rayons convergent vers l'axe optique.
   • Lentille plan-concave (2) : Le centre de courbure de la face de sortie est situé du côté de l'air (vers la droite). Pour un rayon situé au-dessus de l'axe optique, la normale pointe vers le bas et la droite (vers l'axe). En s'écartant de cette normale, le rayon est dévié vers le haut, s'éloignant ainsi de l'axe optique. Par symétrie, le rayon inférieur s'écarte vers le bas. Les rayons divergent en sortie de la lentille.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q33

   D'après la loi de réfraction établie à la question Q32, le passage d'une onde acoustique à travers une interface plane horizontale impose :

   \frac{\sin \theta_i}{c_1} = \frac{\sin \theta_t}{c_2}

   En modélisant un milieu continûment stratifié selon l'axe vertical (Oz) comme un empilement continu de dioptres plans horizontaux infinitésimaux, cette relation est vérifiée à chaque interface.

   Par conséquent, la grandeur faisant intervenir \theta et c qui se conserve tout au long du trajet d'un rayon acoustique est :

   \boxed{\frac{\sin \theta(z)}{c(z)} = \text{cte}}

   Résultat

   $$\frac{\sin \theta (z)}{c(z)}=\text{cte}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2022, Q34

   D'après la question précédente, la loi de Snell-Descartes acoustique se traduit par la conservation le long d'un rayon de la quantité :

   \frac{\sin\theta(z)}{c(z)} = \frac{\sin\theta_0}{c_0}

   où \theta(z) est l'angle algébrique du rayon avec la verticale descendante (Oz) et \theta_0 = \theta(0).

   • Rayon strictement vertical (\theta_0 = 0) :
     On a \sin\theta(z) = 0, donc \theta(z) = 0 pour toute profondeur : le rayon se propage en ligne droite selon l'axe vertical (Oz).

   • Rayons quasi verticaux (\theta_0 \neq 0 avec |\theta_0| \ll 1) :
     La célérité c(z) étant supposée strictement croissante avec la profondeur z, le rapport c(z)/c_0 > 1 augmente avec z. Par conséquent :

     \sin\theta(z) = \frac{c(z)}{c_0}\,\sin\theta_0

     augmente en valeur absolue avec la profondeur. L'angle |\theta(z)| augmente donc le long de la trajectoire : le rayon s'écarte progressivement de la verticale et tend vers l'horizontale. La trajectoire présente une concavité tournée vers le haut (vers les zones de plus faible célérité).

     Si la profondeur est suffisante, le rayon atteint une profondeur maximale z_{\text{tournant}} où |\sin\theta| = 1 (\theta = \pm \frac{\pi}{2}, tangente horizontale), puis rebrousse chemin vers la surface par réfraction progressive (phénomène de mirage acoustique).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 PSI 2021, Q16

   Le récepteur R se situe au niveau du sol (OR = R_T), tandis que l'émetteur E est à l'altitude h (OE = R_T + h). En l'absence de diffraction et de réfraction atmosphérique, la propagation des ondes radio en ligne droite n'est possible que si la ligne de visée (ER) n'est pas occultée par le globe terrestre.

   La configuration limite de portée maximale correspond au cas où le rayon rectiligne (ER) est tangent à la surface de la Terre. Comme le récepteur R est situé au sol, le point de tangence est nécessairement le point R.

   Dans le triangle ORE, rectangle en R :

   \begin{aligned} OE^2 &= OR^2 + ER^2 \\ (R_T + h)^2 &= R_T^2 + d_{\max}^2 \\ d_{\max}^2 &= 2R_T h + h^2 \end{aligned}

   L'altitude h = 180\text{ m} étant négligeable devant le rayon terrestre R_T = 6\,400\text{ km} (h/R_T \approx 3\times 10^{-5} \ll 1), on obtient :

   \boxed{d_{\max} = \sqrt{2R_T h + h^2} \approx \sqrt{2R_T h}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} d_{\max} &\approx \sqrt{2 \times 6\,400\times 10^3 \times 180} = \sqrt{12\,800 \times 10^3 \times 180} = \sqrt{2\,304 \times 10^6}\text{ m} \\ d_{\max} &= 48\times 10^3\text{ m} = 48\text{ km} \end{aligned}

   \boxed{d_{\max} = 48\text{ km}}

   Conclusion : La distance transatlantique entre l'Angleterre et le Canada (d \approx 3\,500\text{ km}) est très largement supérieure à la portée en visibilité directe (d_{\max} = 48\text{ km}). La courbure de la Terre interdit donc toute liaison directe en ligne droite : le succès de l'expérience de Marconi s'explique nécessairement par des réflexions sur la haute atmosphère (les échos ionosphériques).

   Résultat

   $$d_{\max }=\sqrt{2R_{T}h+h^2}\approx \sqrt{2R_{T}h}$$

   $$d_{\max }=48\text{ km}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 2 PSI 2021, Q5

    1. Schéma complété et principe de fonctionnement

    Le faisceau incident collimaté de largeur d_0' arrive parallèlement à l'axe optique. Le plan médian horizontal constitue un plan de symétrie pour le dispositif :

    • Le demi-faisceau supérieur (y > 0) rencontre la face supérieure gauche inclinée d'un angle \alpha = \pi/4 par rapport à la verticale, y subit une première réfraction, traverse l'épaisseur de verre d'indice n_p, puis subit une seconde réfraction sur la face supérieure droite, parallèle à la première. Il émerge ainsi parallèlement à sa direction incidente (faisceau horizontal), translaté vers le haut.
    • De manière symétrique, le demi-faisceau inférieur (y < 0) traverse la partie inférieure inclinée en sens opposé et émerge translaté vers le bas.

    On obtient ainsi en sortie deux faisceaux parallèles entre eux et à l'axe optique, de largeur identique d_0'', dont les axes sont séparés d'une distance D.

    2. Valeur de la largeur d_0''

    Le prisme réalise une division du front d'onde : l'arête centrale sépare le faisceau incident de largeur d_0' en deux demi-faisceaux de largeur égale d_0'/2.

    Chaque demi-faisceau traverse un bloc délimité par deux faces planes parallèles. La réfraction à travers deux dioptres plans parallèles conserve le parallélisme des rayons ainsi que l'extension transverse (largeur) d'un faisceau collimaté. Par conséquent :

    \boxed{d_0'' = \frac{d_0'}{2}}

    3. Différence de marche nulle

    Par raison de symétrie plane par rapport au plan horizontal contenant l'axe optique, les deux demi-faisceaux parcourent des trajets géométriques rigoureusement identiques, avec la même longueur de propagation dans le verre d'indice n_p et dans l'air d'indice n_a.

    La différence de chemin optique entre les deux faisceaux est donc strictement nulle en tout plan d'onde aval :

    \delta = [L]_1 - [L]_2 = 0

    On parle ainsi de diviseur à différence de marche nulle.

    4. Autre dispositif de division de faisceau

    On peut réaliser la division d'un faisceau par division d'amplitude à l'aide d'une lame semi-réfléchissante (ou miroir semi-transparent).

    • Pour une lame semi-réfléchissante simple à faces parallèles, le faisceau réfléchi ne traverse pas la lame alors que le faisceau transmis la traverse : la différence de marche introduite par l'épaisseur de la lame n'est pas nulle (\delta \neq 0), sauf si l'on insère une lame compensatrice identique sur le faisceau réfléchi.
    • En revanche, un cube séparateur (constitué de deux prismes rectangles identiques collés par leur hypoténuse traitée) présente une symétrie qui assure une différence de marche nulle entre les deux voies.

    Résultat

    $$d_0^{\prime \prime }=\frac{d_0^{\prime }}{2}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question