Feuille d'entraînement : Lentilles, miroirs et formation des images

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q15

   L'approximation de Gauss (ou approximation des rayons paraxiaux) repose sur la sélection de rayons lumineux qui vérifient deux conditions géométriques conjointes :

   1. Rayons peu inclinés sur l'axe optique : l'angle d'inclinaison \theta de chaque rayon lumineux par rapport à l'axe optique du système reste très petit devant 1\text{ rad} (\theta \ll 1\text{ rad}), ce qui autorise les approximations au premier ordre \sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta.
   2. Rayons proches de l'axe optique : les rayons interceptent les surfaces optiques (dioptres, miroirs) à une distance de l'axe optique très faible devant les rayons de courbure des surfaces et les dimensions caractéristiques du système (faible ouverture).

   Dans ces conditions, les aberrations géométriques d'ouverture et d'inclinaison deviennent négligeables, ce qui assure un stigmatisme approché et un aplanétisme approché.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q7

   1. Condition de stigmatisme : D'après les questions précédentes, la position de l'intersection A' du rayon émergent avec l'axe optique dépend de la distance r à l'axe (aberration sphérique). La convergence en un point unique F' n'est obtenue que dans la limite r \to 0.

      Le point F' ne peut donc être considéré comme le conjugué stigmatique d'un point source à l'infini sur l'axe que dans le cadre des conditions de Gauss (ou approximation paraxiale) :

      • les rayons lumineux sont proches de l'axe optique (r \ll R) ;
      • les rayons sont peu inclinés par rapport à l'axe optique (angles i et t petits devant 1 rad).

      Dans ces conditions, le système présente un stigmatisme approché.

   2. Nom du point F' : Le point F', image dans les conditions de Gauss d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique, est le foyer principal image (ou simplement foyer image) de la lentille.

   \boxed{\text{Conditions de Gauss (rayons paraxiaux : } r \ll R \text{ et angles faibles) \quad ; \quad } F' \text{ est le foyer principal image.}}

   Résultat

   $$\text{Conditions de Gauss (rayons paraxiaux : }r\ll R\text{ et angles faibles) ; }{F}^{\prime }\text{ est le foyer principal image.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q22

   Le faisceau laser incident arrive parallèlement à l'axe optique sur la lentille convergente \mathcal{L}_1. Il converge donc en son foyer principal image F'_1, situé au niveau du trou de l'écran, soit au point O : la distance lentille-écran vaut \overline{O_1 O} = f'_1.

   Le faisceau traverse le trou en O, qui constitue le foyer principal objet F_2 de la lentille \mathcal{L}_2 (d'après la question Q13, la distance écran-lentille vérifie \overline{O O_2} = f'_2). Les rayons divergent depuis O et émergent de la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique : le système formé par le doublet (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2) est un système afocal (élargisseur de faisceau ou télescope de Kepler).

   En notant \theta le demi-angle d'ouverture du cône de lumière issu de O, l'approximation des petits angles (conditions de Gauss) conduit à :

   \tan\theta \approx \frac{d_{\text{laser}} / 2}{f'_1} = \frac{D_{\text{laser}} / 2}{f'_2}

   On en déduit l'expression du rapport des diamètres :

   \boxed{\frac{D_{\text{laser}}}{d_{\text{laser}}} = \frac{f'_2}{f'_1}}

   De manière équivalente, le rapport inverse s'écrit :

   \frac{d_{\text{laser}}}{D_{\text{laser}}} = \frac{f'_1}{f'_2}

   Résultat

   $$\frac{D_{\text{laser}}}{d_{\text{laser}}}=\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}$$

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4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2026, Q14

   Un expanseur de faisceau transforme un faisceau incident constitué de rayons parallèles à l'axe optique (objet à l'infini) en un faisceau émergent également constitué de rayons parallèles à l'axe optique (image à l'infini). Il s'agit donc d'un système afocal.

   Pour un doublet de lentilles minces (\mathcal{L}_1, \mathcal{L}_2), cette condition impose que le foyer image principal de la première lentille coïncide avec le foyer objet principal de la seconde :

   F'_1 \equiv F_2

   Les deux lentilles étant convergentes, les distances focales images vérifient f'_1 > 0 et f'_2 > 0. Les rayons marginaux incidents, situés à la distance \frac{d_0}{2} de l'axe optique, émergent de \mathcal{L}_1 en passant par le foyer F'_1 \equiv F_2, puis sont réfractés par la lentille \mathcal{L}_2 parallèlement à l'axe optique à la distance \frac{d'_0}{2}.

   Par application du théorème de Thalès aux triangles formés entre les lentilles et le foyer intermédiaire commun :

   \tau = \frac{d'_0}{d_0} = \frac{f'_2}{f'_1}

   Pour satisfaire la condition d'élargissement \tau > 1, la distance focale de la seconde lentille doit être strictement supérieure à celle de la première :

   f'_2 > f'_1

   Le point focal commun F'_1 \equiv F_2 est donc situé entre les deux lentilles et plus proche de \mathcal{L}_1 que de \mathcal{L}_2.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2026, Q15

   Considérons le rayon marginal du faisceau incident, parallèle à l'axe optique et situé à la distance de l'axe :

   y_1 = \frac{d_0}{2}

   Après réfraction par la lentille convergente \mathcal{L}_1, ce rayon passe par le foyer image F'_1 en faisant un angle \theta avec l'axe optique. Dans le triangle rectangle formé par le centre optique O_1, le foyer F'_1 et le point d'impact sur la lentille \mathcal{L}_1, on a :

   \tan\theta = \frac{y_1}{f'_1} = \frac{d_0}{2 f'_1}

   Le système étant afocal, le foyer image F'_1 est confondu avec le foyer objet F_2 de la seconde lentille \mathcal{L}_2. Le rayon se propage donc depuis F_2 jusqu'à \mathcal{L}_2 sous le même angle \theta par rapport à l'axe optique.

   En sortie de \mathcal{L}_2, le rayon émerge parallèlement à l'axe optique à une distance y_2 = \dfrac{d'_0}{2}. Dans le triangle rectangle formé par O_2, F_2 et le point d'émergence sur \mathcal{L}_2, on a :

   \tan\theta = \frac{y_2}{f'_2} = \frac{d'_0}{2 f'_2}

   En égalant les deux expressions de \tan\theta, il vient :

   \frac{d_0}{2 f'_1} = \frac{d'_0}{2 f'_2} \iff \frac{d'_0}{d_0} = \frac{f'_2}{f'_1}

   Le taux d'expansion du faisceau s'écrit donc :

   \boxed{\tau = \frac{f'_2}{f'_1}}

   Résultat

   $$\tau =\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}$$

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6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2026, Q16

   Pour constituer un expanseur de faisceau, le doublet constitué de la lentille divergente \mathcal{L}_3 (centre O, distance focale image f'_3 < 0) et de la lentille convergente \mathcal{L}_1 (centre O_1, distance focale image f'_1 > 0) doit être un système afocal :

   \boxed{F'_3 \equiv F_1}

   Puisque \mathcal{L}_3 est divergente, son foyer image principal F'_3 est situé dans l'espace objet (à gauche de O) à la distance |f'_3| = -f'_3. Le foyer objet F_1 de la lentille convergente \mathcal{L}_1 est situé à la distance f'_1 à gauche de O_1. La condition de coïncidence implique pour l'encombrement D = OO_1 :

   D = \overline{OF'_3} + \overline{F_1 O_1} = f'_3 + f'_1 = f'_1 - |f'_3|

   Comme D > 0, on a nécessairement f'_1 > |f'_3|, ce qui garantit un taux d'expansion \tau' = f'_1 / |f'_3| > 1.

   Les rayons incidents parallèles à l'axe optique frappent \mathcal{L}_3 et émergent en divergeant comme s'ils provenaient de son foyer image F'_3. Comme F'_3 est confondu avec le foyer objet F_1 de \mathcal{L}_1, ces rayons divergents émergent de la lentille convergente \mathcal{L}_1 parallèlement à l'axe optique, avec un diamètre élargi d'_0 > d_0.

   Résultat

   $$F_3^{\prime }\equiv F_1$$

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7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q16

   Le système optique du télescope spatial James Webb adopte une configuration réflectrice à deux miroirs (type Cassegrain) :

   • le miroir primaire (M_1), concave (ou composé de facettes inclinées), collecte la lumière venant de l'infini et la converge vers le miroir secondaire ;
   • le miroir secondaire (M_2), placé sur l'axe optique en avant du miroir primaire, renvoie le faisceau convergent vers le centre du miroir primaire ;
   • le capteur (détecteur) est situé au centre du miroir primaire pour enregistrer le signal focalisé.

   Le schéma optique de principe est représenté ci-dessous :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2024, Q17

   D'après la figure 7, la longueur totale du bouclier thermique est de 22\text{ m}. La flèche du mât supportant le miroir secondaire en avant du miroir primaire peut être estimée à :

   L \approx 7{,}5\text{ à }8{,}0\text{ m} \quad (\text{on retiendra } L \approx 7{,}6\text{ m}).

   Dans le modèle simplifié imposé par l'énoncé, tous les miroirs sont modélisés par des miroirs plans. Le miroir secondaire M_2 possède un diamètre D_2 = 74\text{ cm} (soit un rayon R_2 = D_2/2 = 37\text{ cm} = 0{,}37\text{ m}) et le capteur circulaire placé au centre de M_1 a un rayon R_3 = 3\text{ cm} = 0{,}03\text{ m}.

   Un rayon réfléchi par le bord supérieur de M_2 (ordonnée +R_2) et atteignant le bord opposé du capteur (ordonnée -R_3) présente avec l'axe optique un angle d'inclinaison maximal \alpha délimitant le champ total :

   \tan\alpha \approx \alpha = \frac{R_2 + R_3}{L} = \frac{\frac{D_2}{2} + R_3}{L}.

   Remarque : pour le champ de pleine lumière (l'ensemble du capteur est éclairé par M_2), on aurait de même \alpha_{\text{pl}} = \frac{R_2 - R_3}{L}.

   Application numérique :

   \begin{aligned} \alpha &= \frac{0{,}37 + 0{,}03}{7{,}6} = \frac{0{,}40}{7{,}6} \approx 0{,}053\text{ rad}, \\ \alpha_{\text{pl}} &= \frac{0{,}37 - 0{,}03}{7{,}6} = \frac{0{,}34}{7{,}6} \approx 0{,}045\text{ rad}. \end{aligned}

   Sachant que 1\text{ rad} = \frac{180 \times 60}{\pi} \approx 3\,438', le demi-angle vaut \alpha \approx 180' (et \alpha_{\text{pl}} \approx 154').

   Le champ de vision angulaire total du télescope 2\alpha estimé par ce modèle vaut donc :

   \boxed{2\alpha \approx 340' \text{ à } 360' \quad (\text{soit environ } 6^\circ).}

   Comparaison avec la valeur de l'énoncé : L'énoncé indique un champ de vision de 2{,}2'. L'estimation obtenue ici est environ 150 fois plus grande.

   Résultat

   $$2\alpha \approx 340^{\prime }\text{ aˋ }360^{\prime }(\text{soit environ }{6}^{\circ }).$$

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9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2023, Q5

   Le centre C de la face plane est également le centre de courbure de la face hémisphérique de la demi-boule.

   • Le rayon incident se propage parallèlement à l'axe optique à la distance r de celui-ci. Il entre dans la lentille sous incidence normale sur la face plane, sans déviation.
   • Il atteint le dioptre sphérique au point I. La droite (CI) est normale à la surface sphérique en I et coupe l'axe (Ox) en faisant un angle i avec la direction incidente.

   • Par définition du sinus dans le repère centré en C, la hauteur du point I vaut :

     r = R \sin i

     et l'abscisse de sa projection orthogonale H sur l'axe optique est :

     \overline{CH} = R \cos i

   Au point I, le rayon passe du verre d'indice n à l'air d'indice 1. D'après les lois de Snell-Descartes pour la réfraction :

   n \sin i = \sin t

   L'angle entre le rayon réfracté et la normale (CI) est t. Comme la normale fait un angle i avec la direction de l'axe (Ox), le rayon émergent fait avec l'axe optique un angle :

   \alpha = t - i

   Considérons le triangle IHA', rectangle en H :

   \tan(t - i) = \frac{HI}{HA'} = \frac{R \sin i}{\overline{HA'}} \implies \overline{HA'} = \frac{R \sin i}{\tan(t - i)}

   Par la relation de Chasles sur l'axe optique :

   \overline{CA'} = \overline{CH} + \overline{HA'}

   En remplaçant par les expressions obtenues, on trouve :

   \boxed{\overline{CA'} = R \cos i + \frac{R \sin i}{\tan(t - i)}}

   Résultat

   $$\overline{C{A}^{\prime }}=R\cos i+\frac{R\sin i}{\tan (t-i)}$$

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10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2023, Q41

    Le montage optique adapté à l'observation d'interférences à distance finie pour des rayons interférant initialement à l'infini comprend les éléments suivants :

    • Une source lumineuse monochromatique ponctuelle (ou une fente source éclairée par une source spectrale).
    • Une première lentille convergente \mathcal{L}_1 de distance focale f'_1 (collimateur) : la source est placée en son foyer principal objet F_1. La lentille forme un faisceau de rayons parallèles (onde plane) qui éclaire le dispositif sous l'angle d'incidence \theta.
    • Le dispositif diffractant / réseau cristallin : il réfléchit et diffracte les faisceaux dans différentes directions sous forme d'ondes planes (rayons mutuellement parallèles pour chaque direction \theta).
    • Une seconde lentille convergente \mathcal{L}_2 de distance focale f'_2 (lentille de projection ou objectif) : elle collecte les rayons émergents parallèles inclinés de l'angle \theta.
    • Un écran d'observation (ou détecteur) : il est placé dans le plan focal image de la lentille \mathcal{L}_2, à une distance f'_2 derrière celle-ci.

    Ainsi, tous les rayons émergeant avec une même inclinaison \theta se coupent en un point unique du plan focal image de \mathcal{L}_2, matérialisant sur l'écran les franges ou taches d'interférences avec un contraste optimal.

    \boxed{\text{Lentilles convergentes : source en } F_1 \text{ de } \mathcal{L}_1 \text{ et écran dans le plan focal image de } \mathcal{L}_2 \text{ (distance } f'_2\text{)}}

    Résultat

    $$\text{Lentilles convergentes : source en }{F}_1\text{ de }{\mathcal{L}}_1\text{ et eˊcran dans le plan focal image de }{\mathcal{L}}_2\text{ (distance }{f}_2^{\prime }\text{)}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question