Feuille d'entraînement : Modèle scalaire de la lumière et cohérence

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2020, Q7

   Soit \underline{S}_{\text{inc}} = S_0 l'amplitude complexe de l'onde incidente en O (prise comme origine des phases).

   1. Onde issue du bras x :

   • traverse la séparatrice (S_p) en O avec un coefficient de transmission t = 1/\sqrt{2} ;
   • se propage dans le bras x sur un aller-retour (facteur de phase \mathrm{e}^{-j\varphi_x}) ;
   • subit une réflexion sur le miroir parfait M_x (facteur \mathrm{e}^{j\pi} = -1) ;
   • se réfléchit sur la face arrière de (S_p) pour émerger selon -\vec{u}_y avec un coefficient de réflexion r_x.

   2. Onde issue du bras y :

   • se réfléchit sur la face avant de (S_p) en O avec un coefficient de réflexion r_y ;
   • se propage dans le bras y sur un aller-retour (facteur de phase \mathrm{e}^{-j\varphi_y}) ;
   • subit une réflexion sur le miroir parfait M_y (facteur \mathrm{e}^{j\pi} = -1) ;
   • traverse la séparatrice (S_p) en O avec un coefficient de transmission t = 1/\sqrt{2}.

   D'après l'énoncé, |r_x| = |r_y| = 1/\sqrt{2}, et l'une des réflexions sur la séparatrice s'accompagne d'un déphasage de \pi tandis que l'autre se fait sans déphasage, soit r_y / r_x = -1 = \mathrm{e}^{j\pi}. Les deux réflexions sur les miroirs M_x et M_y introduisent le même déphasage \pi et n'introduisent donc aucune phase relative supplémentaire.

   À une phase globale près, les amplitudes complexes des deux ondes s'écrivent :

   \boxed{\underline{S}_x = \frac{S_0}{2}\,\mathrm{e}^{-j\varphi_x}} \quad \text{et} \quad \boxed{\underline{S}_y = -\frac{S_0}{2}\,\mathrm{e}^{-j\varphi_y}}

   3. Éclairement en sortie :

   L'amplitude complexe totale résultant de la superposition dans la direction -\vec{u}_y vaut :

   \underline{S} = \underline{S}_x + \underline{S}_y = \frac{S_0}{2}\,\mathrm{e}^{-j\varphi_x}\left(1 - \mathrm{e}^{-j(\varphi_y - \varphi_x)}\right) = \frac{S_0}{2}\,\mathrm{e}^{-j\varphi_x}\left(1 - \mathrm{e}^{-j\varphi}\right)

   L'éclairement détecté est donné par E_y = \underline{S}\,\underline{S}^* :

   \begin{aligned} E_y &= \frac{S_0^2}{4}\,|1 - \mathrm{e}^{-j\varphi}|^2 \\ &= \frac{E_0}{4}\,\left((1 - \cos\varphi)^2 + \sin^2\varphi\right) \\ &= \frac{E_0}{4}\,\left(1 - 2\cos\varphi + \cos^2\varphi + \sin^2\varphi\right) \\ &= \frac{E_0}{2}\,(1 - \cos\varphi) \end{aligned}

   \boxed{E_y = \frac{E_0}{2}\,(1 - \cos\varphi) = E_0\sin^2\left(\frac{\varphi}{2}\right)}

   Résultat

   $${\underline{S}}_x=\frac{S_0}{2}{\mathrm{e}}^{-j{\phi }_x}$$

   $${\underline{S}}_y=-\frac{S_0}{2}{\mathrm{e}}^{-j{\phi }_y}$$

   $$E_y=\frac{E_0}{2}(1-\cos \phi )=E_0{\sin }^2\left(\frac{\phi }{2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique A PT 2020, Q5

   L'onde incidente, d'éclairement E_0, arrive sur la lame séparatrice (S_p) sous une incidence de 45^\circ. Les miroirs M_x et M_y sont supposés parfaits, soit un facteur de réflexion énergétique R_M = 1. La séparatrice réfléchit une fraction R = 0{,}5 et transmet une fraction T = 0{,}5 de l'éclairement incident.

   Considérons les deux situations possibles selon le miroir occulté :

   • Si le miroir M_y est occulté : seul le faisceau parcourant le bras selon Ox parvient à la sortie. Le faisceau incident est d'abord transmis par (S_p) vers M_x (facteur T), se réfléchit totalement sur M_x (R_M = 1), puis est réfléchi par (S_p) vers la sortie dans la direction -\vec{u_y} (facteur R). L'éclairement en sortie vaut donc :

     E_{s,x} = T \times R_M \times R \times E_0 = 0{,}5 \times 1 \times 0{,}5 \times E_0 = \frac{E_0}{4}

   • Si le miroir M_x est occulté : seul le faisceau parcourant le bras selon Oy parvient à la sortie. Le faisceau incident est d'abord réfléchi par (S_p) vers M_y (facteur R), se réfléchit totalement sur M_y (R_M = 1), puis est transmis par (S_p) vers la sortie dans la direction -\vec{u_y} (facteur T). L'éclairement en sortie vaut donc :

     E_{s,y} = R \times R_M \times T \times E_0 = 0{,}5 \times 1 \times 0{,}5 \times E_0 = \frac{E_0}{4}

   Dans les deux cas, l'éclairement obtenu en sortie de l'interféromètre est identique :

   \boxed{E_1 = \frac{E_0}{4}}

   Résultat

   $$E_1=\frac{E_0}{4}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique A PT 2020, Q6

   Considérons une onde incidente plane monochromatique de longueur d'onde dans le vide \lambda.

   1. Chemins optiques et déphasages de propagation :

   • Dans le bras selon Ox, l'onde traverse la séparatrice, effectue l'aller-retour entre O et A (distance 2L_x) dans un milieu d'indice n_x, puis se réfléchit sur la séparatrice vers la sortie - \vec{u}_y. Le chemin optique associé à ce trajet est :

     \delta_x = 2 n_x L_x

     Le déphasage accumulé lors de la propagation s'écrit donc :

     \varphi_x = \frac{2\pi}{\lambda} \delta_x = \frac{4\pi}{\lambda} n_x L_x

   • Dans le bras selon Oy, l'onde est réfléchie par la séparatrice, effectue l'aller-retour entre O et B (distance 2L_y) dans un milieu d'indice n_y, puis traverse la séparatrice vers la sortie - \vec{u}_y. Le chemin optique associé est :

     \delta_y = 2 n_y L_y

     Le déphasage accumulé lors de la propagation s'écrit donc :

     \varphi_y = \frac{2\pi}{\lambda} \delta_y = \frac{4\pi}{\lambda} n_y L_y

   La différence de phase de propagation entre les deux trajets s'exprime ainsi :

   \varphi = \varphi_y - \varphi_x = \frac{4\pi}{\lambda}(n_y L_y - n_x L_x)

   2. Prise en compte des déphasages aux réflexions :

   • Les miroirs M_x et M_y sont identiques et introduisent chacun un déphasage de \pi à la réflexion ; leur contribution relative est donc nulle (\pi - \pi = 0).
   • Selon le préambule, la séparatrice d'épaisseur nulle est dissymétrique : l'une des réflexions (face avant ou arrière) introduit un déphasage de \pi et l'autre un déphasage nul. L'une des deux ondes subit la réflexion sur la face avant (onde y) tandis que l'autre se réfléchit sur la face arrière (onde x). Les réflexions introduisent donc un saut de phase relatif intrinsèque de \pi.

   Comme l'indique la formule cible de la question 10, l'énoncé désigne par \varphi le déphasage lié au trajet optique, le terme additionnel \pi intervenant dans le signe relatif des amplitudes complexes à la question 7.

   \boxed{\varphi = \frac{4\pi}{\lambda}(n_y L_y - n_x L_x)}

   Résultat

   $$\phi =\frac{4\pi }{\lambda }(n_y{L}_y-n_x{L}_x)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2020, Q9

   Trois échelles temporelles caractéristiques interviennent dans cette mesure :

   • La période de l'onde lumineuse (fréquence optique \nu = c/\lambda) :

     T_{\text{opt}} = \frac{\lambda}{c} = \frac{600 \times 10^{-9}}{3{,}0 \times 10^8} = 2 \times 10^{-15}\text{ s}.

   • Le temps d'intégration (ou temps de réponse) du photodétecteur :

     T = 10^{-4}\text{ s}.

   • La période de l'onde gravitationnelle de fréquence f_0 \approx 1\text{ kHz} :

     T_g = \frac{1}{f_0} = \frac{1}{10^3} = 10^{-3}\text{ s}.

   On constate que ces grandeurs vérifient la hiérarchie :

   T_{\text{opt}} \ll T < T_g.

   1. D'une part, comme T \gg T_{\text{opt}} (10^{-4}\text{ s} \gg 2 \times 10^{-15}\text{ s}), le photodétecteur moyenne parfaitement les oscillations optiques ultra-rapides du champ électromagnétique. Il donne donc bien accès à l'éclairement moyen E_y = \underline{S}_y \underline{S}_y^* tel que défini à la question 7.
   2. D'autre part, comme T \ll T_g (ou plus précisément T = T_g / 10 = 0{,}1\text{ ms}), le temps de réponse est suffisamment court pour que la phase \varphi(t), modulée par l'onde gravitationnelle, puisse être considérée comme quasi constante pendant une durée de mesure T. Le détecteur n'estompe pas le signal et peut suivre en temps réel la modulation temporelle de l'éclairement E_y(t).

   \boxed{T_{\text{opt}} \ll T < T_g \implies \text{l'expression de l'éclairement } E_y \text{ établie à la question~7 reste valable à chaque instant } t.}

   Résultat

   $$T_{\text{opt}}\ll T<T_g⟹\text{l’expression de l’eˊclairement }{E}_y\text{ eˊtablie aˋ la question 7 reste valable aˋ chaque instant }t.$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question