Corrigé détaillé ENS Physique PSI 2020, épreuve U

Considérons une boucle de courant plane délimitant une surface d'aire S et parcourue par une intensité I. Par définition, la norme du moment dipolaire magnétique associé est donnée par :

L'intensité I s'exprime en ampères (\mathrm{A}) et la surface S en mètres carrés (\mathrm{m^2}). L'unité de \|\boldsymbol{\mu}\| dans les unités de base du système international est donc :

D'après le préambule du problème, le vecteur aimantation \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x},t) correspond au moment magnétique moyen par unité de volume :

La norme de l'aimantation spontanée M_{\mathrm{s}} s'exprime donc par le quotient de l'unité d'un moment magnétique par celle d'un volume (\mathrm{m^3}) :

Dans les unités de base du système international, l'unité de M_{\mathrm{s}} est donc :

L'énergie d'échange entre deux moments magnétiques voisins i et j est donnée par l'équation (2) de l'énoncé :

où \theta_{ij} est l'angle entre les vecteurs \boldsymbol{\mu}_i et \boldsymbol{\mu}_j.

Les normes \|\boldsymbol{\mu}_i\| et \|\boldsymbol{\mu}_j\| sont constantes et positives, la densité volumique \rho est positive et la constante de couplage vérifie J > 0. Un état d'équilibre stable correspond à un minimum de l'énergie potentielle d'interaction E_{ij}. Cette énergie est minimale lorsque :

Le minimum d'énergie est donc atteint lorsque les moments magnétiques sont parallèles et de même sens.

D'après l'énoncé et la figure 1(a), les atomes portant les moments magnétiques forment un réseau cristallin cubique simple de paramètre de maille a, chaque atome ayant 6 plus proches voisins situés à la distance a.

La maille élémentaire est un cube d'arête a, donc de volume :

Chacun des 8 sommets du cube est partagé par 8 mailles adjacentes, de sorte que la maille contient en propre :

La densité volumique de moments magnétiques \rho, correspondant au nombre d'atomes (ou de moments) par unité de volume, s'écrit donc :

Par définition de l'aimantation continue, \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_i) = \rho \boldsymbol{\mu}_i et \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_j) = \rho \boldsymbol{\mu}_j. Le terme d'échange discret s'écrit donc :

En posant \boldsymbol{x}_{ij} = \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_j, la position du site j s'écrit \boldsymbol{x}_j = \boldsymbol{x}_i - \boldsymbol{x}_{ij}. La fonction \boldsymbol{M} variant sur des distances grandes devant la distance interatomique \|\boldsymbol{x}_{ij}\| = a, on applique la formule de Taylor-Young fournie dans l'énoncé avec \boldsymbol{b} = -\boldsymbol{x}_{ij} :

puisque (-\boldsymbol{x}_{ij} \cdot \boldsymbol{\nabla})^2 = (\boldsymbol{x}_{ij} \cdot \boldsymbol{\nabla})^2.

En effectuant le produit scalaire avec \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}_i), on obtient :

Or, le matériau possède une aimantation de norme constante en tout point :

La dérivée directionnelle le long d'un vecteur quelconque \boldsymbol{b} de cette quantité constante est donc nulle :

En appliquant cette propriété au point \boldsymbol{x}_i avec le vecteur \boldsymbol{b} = \boldsymbol{x}_{ij}, le terme d'ordre 1 s'annule :

Le premier ordre non-nul est donc le second ordre en \boldsymbol{x}_{ij}, ce qui donne bien :

L'énergie d'échange totale (3) s'écrit, en réindexant la somme sur les paires selon l'indication de l'énoncé :

D'après le résultat de la question Q4, pour chaque voisin j du site i :

Dans le réseau cubique simple, les six plus proches voisins correspondent aux déplacements \boldsymbol{x}_{ij} \in \{ \pm a \boldsymbol{u}_x, \pm a \boldsymbol{u}_y, \pm a \boldsymbol{u}_z \}. Évaluons les deux termes lors de la somme sur \boldsymbol{x}_{ij} :

• Le terme d'ordre 0 donne simplement :

  \sum_{\boldsymbol{x}_{ij}} M_{\mathrm{s}}^2 = 6 M_{\mathrm{s}}^2 .

• Pour l'opérateur (\boldsymbol{x}_{ij} \cdot \boldsymbol{\nabla})^2, les deux voisins selon l'axe x (\boldsymbol{x}_{ij} = \pm a\boldsymbol{u}_x) donnent chacun :

  (\pm a \boldsymbol{u}_x \cdot \boldsymbol{\nabla})^2 = a^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} ,

  et de même pour les axes y et z. La somme sur les six voisins fournit ainsi :

  \sum_{\boldsymbol{x}_{ij}} (\boldsymbol{x}_{ij} \cdot \boldsymbol{\nabla})^2 = 2 a^2 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) = 2 a^2 \nabla^2 .

Il vient donc pour la somme locale sur les plus proches voisins :

À la limite continue, on remplace la somme discrète \sum_i par l'intégrale \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, \rho, où la densité volumique vaut \rho = 1/a^3 (question Q3) :

Le premier terme est constant (indépendant de la configuration de l'aimantation). Pour le second terme, le préfacteur s'identifie immédiatement :

En décomposant le produit scalaire \boldsymbol{M} \cdot \nabla^2 \boldsymbol{M} en composantes cartésiennes, on obtient, à une constante additive près :

D'après les identités mathématiques fournies en tête de sujet, pour toute fonction scalaire G suffisamment régulière :

ce qui permet d'écrire :

En appliquant cette identité à chaque composante M_\alpha(\boldsymbol{x}) de l'aimantation (\alpha \in \{x, y, z\}), on obtient :

En sommant ces trois relations pour \alpha \in \{x, y, z\} :

Or, d'après les hypothèses du modèle continu du micromagnétisme, la norme de l'aimantation est uniforme et constante :

de sorte que le Laplacien de cette quantité constante est strictement nul :

Il vient donc l'égalité ponctuelle :

En réinjectant cette expression dans la relation (4) de l'énergie d'échange, les deux signes moins se compensent, ce qui donne directement :

D'après l'expression établie à la question Q6 :

avec la constante de raideur d'échange A_{\mathrm{ech}} = J/a > 0.

L'intégrande est une somme de termes strictement positifs ou nuls. L'énergie d'échange vérifie donc E_{\mathrm{ech}} \ge 0, et atteint sa valeur minimale absolue E_{\mathrm{ech}} = 0 si et seulement si l'intégrande s'annule en tout point du volume \mathcal{V} :

Les composantes du vecteur aimantation sont alors spatialement constantes. Les configurations qui minimisent E_{\mathrm{ech}} sont donc les configurations d'aimantation spatiale uniforme :

la direction de \boldsymbol{M}_0 étant quelconque dans l'espace.

L'énergie d'anisotropie uniaxiale s'écrit :

avec K_{\mathrm{a}} \ge 0. Une configuration favorisée correspond à un minimum d'énergie, ce qui revient à maximiser la quantité [\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \cdot \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})]^2 en chaque point de l'échantillon.

Puisque le vecteur \boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} est unitaire et que l'aimantation a une norme fixée \|\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})\| = M_{\mathrm{s}}, le produit scalaire est borné par :

La valeur maximale du terme quadratique, égale à M_{\mathrm{s}}^2, est atteinte lorsque l'aimantation est colinéaire à la direction \boldsymbol{u}_{\mathrm{a}}.

Les configurations de l'aimantation favorisées par l'énergie d'anisotropie sont donc les configurations uniformes alignées ou anti-alignées avec le vecteur \boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} :

En régime statique, l'équation de Maxwell-Ampère locale s'écrit :

En l'absence de charges libres (\boldsymbol{j}_{\mathrm{libres}} = \boldsymbol{0}), la densité volumique de courant se réduit aux courants liés :

En utilisant la relation liant le champ magnétique \boldsymbol{B}, l'aimantation \boldsymbol{M} et le champ d'excitation \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}, soit \boldsymbol{B} = \mu_0(\boldsymbol{M} + \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}), on obtient :

Le champ \mu_0 \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} ayant un rotationnel identiquement nul dans tout l'espace (supposé simplement connexe), il dérive d'un potentiel scalaire magnétique \phi_{\mathrm{m}} :

Par ailleurs, l'équation de Maxwell-Thomson assure la nullité de la divergence du champ magnétique :

En y injectant l'expression de \boldsymbol{B} :

Puisque \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}\phi_{\mathrm{m}} = \nabla^2 \phi_{\mathrm{m}}, on aboutit à l'équation de Poisson :

Considérons un volume cylindrique infinitésimal \mathcal{V} chevauchant l'interface séparant les milieux 1 et 2 :

• il possède deux faces planes de surface \Delta S, parallèles à l'interface, situées en \boldsymbol{x}_1 (dans le milieu 1) et \boldsymbol{x}_2 (dans le milieu 2) ;
• le vecteur unitaire \boldsymbol{n} est orthogonal à l'interface et dirigé du milieu 1 vers le milieu 2 ; le vecteur unitaire normal sortant à la surface fermée \mathcal{S} délimitant \mathcal{V} vaut donc +\boldsymbol{n} sur la face située en 2, et -\boldsymbol{n} sur la face située en 1 ;
• la hauteur h du cylindre tend vers 0.

D'après la question Q9, le champ magnétique s'écrit :

Puisque \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B} = 0 (équation de Maxwell-Thomson), le théorème de Green-Ostrogradski appliqué au volume \mathcal{V} donne :

Le flux total à travers la surface fermée \mathcal{S} se décompose en :

Le flux à travers la surface latérale est proportionnel au périmètre de la base et à la hauteur h. Lorsque l'on fait tendre l'épaisseur h vers 0 à surface \Delta S fixée, l'aire latérale s'annule, d'où :

ce qui traduit la continuité de la composante normale de \boldsymbol{B} :

En remplaçant \boldsymbol{B} par son expression en fonction de \boldsymbol{M} et \phi_{\mathrm{m}} :

En regroupant les termes de potentiel d'un côté et les termes d'aimantation de l'autre, on obtient :

soit finalement :

Par analogie directe avec l'expression de l'énergie électrostatique (9), l'énergie magnétique de démagnétisation s'écrit en fonction des charges magnétiques équivalentes \rho_{\mathrm{m}} = -\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{M} et \sigma_{\mathrm{m}} = \boldsymbol{M}\cdot\boldsymbol{n} associées au potentiel \phi_{\mathrm{m}} :

En injectant les définitions de \rho_{\mathrm{m}} et \sigma_{\mathrm{m}}, on obtient :

D'après l'identité d'intégration par parties donnée dans le formulaire avec \boldsymbol{F} = \boldsymbol{M}, G = \phi_{\mathrm{m}} et \mathrm{d}^2\boldsymbol{S} = \mathrm{d}^2x \, \boldsymbol{n} :

Le membre de droite correspond précisément à 2E_{\mathrm{dem}}, ce qui conduit à :

D'après la question Q9, le potentiel scalaire magnétique vérifie \boldsymbol{\nabla}\phi_{\mathrm{m}} = -\mu_0 \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}. En substituant cette relation, on aboutit directement à :

Un échantillon sphérique présente une isotropie géométrique totale, de sorte que les trois axes cartésiens Ox, Oy et Oz jouent des rôles parfaitement équivalents. Les coefficients de démagnétisation le long de ces trois directions principales sont donc égaux :

Or, d'après l'énoncé, ces coefficients vérifient nécessairement la condition de trace :

On en déduit immédiatement 3N_x = 1, soit :

L'énergie de Zeeman est donnée par l'expression (12) :

La norme de l'aimantation étant fixée à \|\boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})\| = M_{\mathrm{s}} en tout point, la quantité sous l'intégrale vérifie l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

avec égalité si et seulement si \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}) est colinéaire et de même sens que \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{x}) (en tout point où \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{x}) \neq \boldsymbol{0}).

L'énergie E_{\mathrm{ext}} est donc minimale pour une aimantation alignée parallèlement et dans le même sens que le champ magnétique extérieur appliqué :

Si en particulier le champ externe \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} est uniforme, la configuration favorisée est une aimantation uniforme \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x}) = M_{\mathrm{s}} \frac{\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}}{\|\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}}\|}.

Le carré de la norme du vecteur aimantation perturbé s'écrit :

Au premier ordre par rapport à la perturbation infinitésimale \|\delta \boldsymbol{M}\| \ll M_{\mathrm{s}}, le terme quadratique \|\delta \boldsymbol{M}\|^{2} est négligeable, de sorte que la variation de \|\boldsymbol{M}\|^{2} s'écrit :

D'après l'énoncé, la norme de l'aimantation est uniforme et constante en tout point et à tout instant :

Il en résulte que la norme de l'aimantation ne varie pas sous l'effet de la perturbation, c'est-à-dire :

On en déduit donc immédiatement :

Cette condition scalaire nulle signifie que la variation \delta \boldsymbol{M} est orthogonale au vecteur \boldsymbol{M} en tout point de l'échantillon. La contrainte de norme constante impose ainsi de ne considérer que des variations purement transverses de l'aimantation.

L'énergie de Zeeman s'écrit d'après la relation (12) :

La variation infinitésimale de cette énergie lors d'une perturbation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M} est donnée par :

D'après la question Q14, la conservation de la norme de l'aimantation impose que la variation \delta \boldsymbol{M} soit transverse, paramétrable sous la forme \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu}, où \delta \boldsymbol{\mu} est un vecteur infinitésimal arbitraire. Le terme scalaire sous l'intégrale devient donc :

En utilisant la symétrie du produit scalaire et l'identité mathématique du formulaire rappelant la permutation circulaire du produit mixte, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

En réinjectant cette identité dans l'intégrale, on obtient :

L'énergie d'anisotropie est donnée par l'équation (6) :

Considérons une variation infinitésimale de l'aimantation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}. Au premier ordre en \delta \boldsymbol{M}, le terme quadratique dans l'intégrale s'écrit :

La variation au premier ordre de l'énergie d'anisotropie est donc :

D'après la question Q14, la contrainte de norme constante \|\boldsymbol{M}\| = M_{\mathrm{s}} permet d'écrire \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu}. En utilisant l'identité du produit mixte rappelée dans le formulaire, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}), on a :

En reportant cette relation dans l'intégrale, on obtient directement :

D'après l'équation (5) établie à la question Q6, l'énergie d'échange s'écrit :

Effectuons une variation infinitésimale de l'aimantation \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}. Au premier ordre en \delta \boldsymbol{M}, la variation de chaque terme quadratique s'écrit :

La variation au premier ordre de l'énergie d'échange est donc :

Utilisons l'identité d'intégration par parties fournie dans les rappels mathématiques :

avec \boldsymbol{F} = \boldsymbol{\nabla} M_k, G = \delta M_k, et \mathrm{d}^2\boldsymbol{S} = \mathrm{d}^2x \, \boldsymbol{n}. Il vient :

L'intégrale se réécrit donc :

En sommant sur k \in \{x,y,z\}, on reconnaît les produits scalaires vectoriels :

On obtient ainsi :

En injectant l'expression de la variation transverse \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu} et en utilisant l'identité du produit mixte rappelée dans l'énoncé, (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

On en déduit finalement l'expression demandée :

D'après l'équation (10) établie à la question Q11, l'énergie de démagnétisation s'écrit :

Pour un échantillon ellipsoïdal dont les axes principaux coïncident avec (O, \boldsymbol{u}_x, \boldsymbol{u}_y, \boldsymbol{u}_z), le champ démagnétisant est donné par l'équation (11) :

Le terme d'interaction s'écrit donc localement :

Sous une variation infinitésimale \boldsymbol{M} \to \boldsymbol{M} + \delta \boldsymbol{M}, la variation au premier ordre de ce produit scalaire vaut :

On en déduit la variation de l'énergie de démagnétisation :

En utilisant la paramétrisation transverse \delta \boldsymbol{M} = \boldsymbol{M} \wedge \delta \boldsymbol{\mu} introduite à la question Q14, l'intégrand devient :

D'après l'identité vectorielle du formulaire (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) avec \boldsymbol{a} = \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}, \boldsymbol{b} = \boldsymbol{M} et \boldsymbol{c} = \delta \boldsymbol{\mu}, on a :

On obtient finalement l'expression demandée :

L'énergie totale s'écrit d'après l'équation (1) de l'énoncé :

Par linéarité de l'opérateur de variation différentielle au premier ordre :

En rappelant les résultats établis aux questions précédentes :

• d'après la question Q15 : \delta E_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{M}) = -\displaystyle\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} ;

• d'après la question Q16 :

  \delta E_{\mathrm{ani}}(\boldsymbol{M}) = -2K_{\mathrm{a}} \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \cdot \boldsymbol{M})(\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = -\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, \left( \left[ 2K_{\mathrm{a}}(\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \cdot \boldsymbol{M})\boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} \right] \wedge \boldsymbol{M} \right) \cdot \delta \boldsymbol{\mu}

• d'après la question Q17 :

  \delta E_{\mathrm{ech}}(\boldsymbol{M}) = -\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, \left( [2A_{\mathrm{ech}}\nabla^2\boldsymbol{M}] \wedge \boldsymbol{M} \right) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} + 2A_{\mathrm{ech}} \int_{\mathcal{S}} \mathrm{d}^2x \, [(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{M}] \cdot \delta \boldsymbol{\mu}
• d'après la question Q18 : \delta E_{\mathrm{dem}}(\boldsymbol{M}) = -\displaystyle\int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\mu_0\boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} \wedge \boldsymbol{M}) \cdot \delta \boldsymbol{\mu}.

En sommant ces quatre termes, les quatre intégrales volumiques se regroupent sous la forme :

avec le champ magnétique effectif :

D'après l'équation (18) établie à la question précédente, la variation au premier ordre de l'énergie totale s'écrit, pour une configuration d'équilibre \boldsymbol{M}_0 :

Cette égalité doit être satisfaite pour tout champ de vecteurs infinitésimaux \delta\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}) défini sur \mathcal{V} \cup \mathcal{S}.

1. Équation en volume : On peut en particulier choisir une variation \delta\boldsymbol{\mu}(\boldsymbol{x}) à support compact inclus dans l'intérieur ouvert de \mathcal{V}, de sorte que \delta\boldsymbol{\mu} = \boldsymbol{0} sur \mathcal{S}. L'intégrale de surface s'annule, ce qui impose :

   \int_{\mathcal{V}} \mathrm{d}^3x \, (\boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} \wedge \boldsymbol{M}_0) \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = 0.

   Cette relation devant être vérifiée pour tout \delta\boldsymbol{\mu} arbitraire dans \mathcal{V}, le lemme fondamental du calcul des variations impose l'annulation locale du terme sous l'intégrale :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0} \iff \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = \boldsymbol{0} \quad \text{pour tout } \boldsymbol{x} \in \mathcal{V}.

2. Condition aux limites en surface : L'équation en volume étant satisfaite en tout point de \mathcal{V}, le terme d'intégrale de volume est identiquement nul quelle que soit l'extension de \delta\boldsymbol{\mu} à la surface. La condition d'équilibre se réduit donc à :

   2 A_{\mathrm{ech}} \int_{\mathcal{S}} \mathrm{d}^2x \, [(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0] \cdot \delta \boldsymbol{\mu} = 0.

   Puisque cette égalité est vraie pour toute variation \delta\boldsymbol{\mu} arbitraire sur la frontière \mathcal{S} et que A_{\mathrm{ech}} \neq 0, le terme sous l'intégrale de surface est lui aussi identiquement nul :

   (\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0} \quad \text{pour tout } \boldsymbol{x} \in \mathcal{S}.

Les états d'équilibre vérifient donc bien le système d'équations de Brown :

Le champ magnétique total est donné par \boldsymbol{B} = \mu_0(\boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}}). D'après la relation (11) admise dans cette géométrie, sa composante selon \boldsymbol{u}_z s'écrit :

L'aimantation \boldsymbol{M}_0 étant invariante par translation selon x et y, toutes les grandeurs ne dépendent que de la coordonnée z. L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) s'écrit :

ce qui implique que la composante B_z est spatialement uniforme :

Les conditions aux limites aux bords des domaines semi-infinis imposent :

En projetant sur \boldsymbol{u}_z, on a \lim_{z \to \pm \infty} M_{0z}(z) = 0, d'où \lim_{z \to \pm \infty} B_z(z) = 0. La constante étant nulle, il vient :

Comme N_z < 1, le facteur (1 - N_z) n'est pas nul, ce qui impose :

D'après le repérage en coordonnées sphériques (Figure 2), la projection de \boldsymbol{M}_0 sur l'axe \boldsymbol{u}_z vaut :

Comme M_{\mathrm{s}} > 0 et \theta \in [0, \pi], l'annulation de M_{0z} entraîne :

L'angle \theta est donc constant et vaut :

Pour \theta = \pi/2, l'aimantation \boldsymbol{M}_0(z) est confinée dans le plan (x, y) :

Les vecteurs du repère sphérique local s'écrivent :

Le vecteur \boldsymbol{u}_\theta est orthogonal au plan (x, y) et dirigé selon -\boldsymbol{u}_z.

D'après la question Q19, avec \boldsymbol{B}_{\mathrm{ext}} = \boldsymbol{0}, \boldsymbol{H}_{\mathrm{m}} = \boldsymbol{0} et \boldsymbol{u}_{\mathrm{a}} = \boldsymbol{u}_x, le champ effectif se réduit à :

1. Contribution de l'anisotropie : Puisque \boldsymbol{u}_x \cdot \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\cos\varphi et \boldsymbol{u}_x = \cos\varphi\,\boldsymbol{u}_r - \sin\varphi\,\boldsymbol{u}_\varphi, on a :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{ani}} = 2 K_{\mathrm{a}} M_{\mathrm{s}}\cos\varphi \left(\cos\varphi\,\boldsymbol{u}_r - \sin\varphi\,\boldsymbol{u}_\varphi\right).

2. Contribution de l'échange : L'aimantation ne dépendant que de z, le laplacien vectoriel se réduit à la dérivée seconde par rapport à z :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}z} &= M_{\mathrm{s}} \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\left(-\sin\varphi\,\boldsymbol{u}_x + \cos\varphi\,\boldsymbol{u}_y\right) = M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\,\boldsymbol{u}_\varphi, \\ \frac{\mathrm{d}^2\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}z^2} &= M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi + M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{u}_\varphi}{\mathrm{d}z} = M_{\mathrm{s}}\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi - M_{\mathrm{s}}\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\right)^2\boldsymbol{u}_r. \end{aligned}

   D'où :

   \boldsymbol{B}_{\mathrm{ech}} = 2 A_{\mathrm{ech}} M_{\mathrm{s}}\left[ -\left(\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}\right)^2\boldsymbol{u}_r + \frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}z^2}\,\boldsymbol{u}_\varphi \right].

Le champ effectif total n'a aucune composante selon \boldsymbol{u}_z (donc selon \boldsymbol{u}_\theta). On obtient donc :

Dans la base sphérique locale (\boldsymbol{u}_r, \boldsymbol{u}_\theta, \boldsymbol{u}_\varphi), l'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}_0 = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r. Le champ effectif se décompose sous la forme :

Le produit vectoriel régissant la première équation de Brown (19) vaut donc :

L'équation d'équilibre \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = \boldsymbol{0} équivaut donc au système :

D'après la question Q22, la première condition B_{\mathrm{eff}, \theta} = 0 est identiquement satisfaite. La seconde condition B_{\mathrm{eff}, \varphi} = 0 s'écrit, en reprenant l'expression trouvée en Q22 :

Comme M_{\mathrm{s}} \neq 0, on simplifie par M_{\mathrm{s}} :

On remarque que 2 \cos\varphi \sin\varphi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi}(\sin^2\varphi) = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\varphi}(\cos^2\varphi). L'équation d'équilibre prend alors exactement la forme :

avec

D'après la question Q23, l'angle \varphi(z) vérifie :

avec \epsilon_{\mathrm{ani}}(\varphi) = K_{\mathrm{a}}\sin^{2}\varphi.

En multipliant cette équation par \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z}, on reconnaît une dérivée totale :

soit l'équation différentielle du premier ordre :

Loin de la paroi (z \to -\infty), l'aimantation est uniforme selon \boldsymbol{u}_{x} : \lim_{z\to -\infty}\boldsymbol{M}_{0} = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_{x}, d'où \varphi \to 0 et \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z} \to 0. Comme \sin(0) = 0, la constante d'intégration est nulle :

Puisque \varphi(z) croît continûment de 0 à \pi pour z variant de -\infty à +\infty, on a \sin\varphi \ge 0 et \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}z} \ge 0. En introduisant la longueur typique :

l'équation se réduit à :

Par séparation des variables :

En intégrant à l'aide de la primitive fournie :

La condition \varphi(0) = \frac{\pi}{2} impose \ln\left(\tan\frac{\pi}{4}\right) = \ln(1) = 0 = C, d'où :

soit l'expression explicite du profil de la paroi de Bloch :

La longueur typique qui gouverne la largeur de la zone de transition entre les deux domaines magnétiques est :

Application numérique :
Comme A_{\mathrm{ech}} = J/a, on a :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• a \approx 5 \times 10^{-10}\text{ m}
• J M_{\mathrm{s}}^{2} \approx 1 \times 10^{-20}\text{ kg}\cdot\text{m}^{2}\cdot\text{s}^{-2}
• K_{\mathrm{a}} M_{\mathrm{s}}^{2} \approx 1 \times 10^{6}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-1}\cdot\text{s}^{-2}

On obtient :

Avec un chiffre significatif :

Le moment cinétique d'un point matériel de masse m et de vitesse \boldsymbol{v} par rapport à une origine O est défini par :

En termes de dimensions physiques :

Dans les unités de base du Système international (\mathrm{m}, \mathrm{kg}, \mathrm{s}, \mathrm{A}, \mathrm{K}), le moment cinétique \boldsymbol{J} s'exprime donc en :

Considérons un électron de masse m_e et de charge -e décrivant à vitesse constante v une trajectoire circulaire de rayon r et de période de révolution T = \frac{2\pi r}{v}.

Expression du moment magnétique orbital Le passage régulier de la charge -e à travers une section quelconque de l'orbite équivaut à un courant électrique stationnaire :

où l'orientation positive de la boucle est choisie dans le sens de parcours de l'électron, caractérisé par le vecteur normal unitaire \boldsymbol{n}.

L'aire délimitée par la trajectoire étant \mathcal{S} = \pi r^2, le vecteur surface s'écrit \boldsymbol{S} = \pi r^2 \boldsymbol{n}. Le moment magnétique associé à cette spire élémentaire vaut :

Expression du moment cinétique orbital En mécanique du point, le moment cinétique orbital par rapport au centre de l'atome s'écrit, compte tenu de l'orthogonalité de \boldsymbol{r} et \boldsymbol{v} :

Relation de proportionnalité et rapport gyromagnétique En comparant les deux expressions vectorielles, on obtient :

On a bien la relation demandée \boldsymbol{\mu} = -\gamma_L \boldsymbol{L}, avec :

Application numérique Avec les données de l'énoncé :

• e \approx 1,6 \times 10^{-19}\text{ A}\cdot\text{s} ;
• m_e \approx 9,1 \times 10^{-31}\text{ kg}.

Avec un chiffre significatif :

L'aimantation uniforme du milieu macroscopique est reliée au moment magnétique microscopique par \boldsymbol{M}(t) = \rho \boldsymbol{\mu}(t), où \rho est la densité volumique de moments magnétiques, constante et uniforme. En multipliant l'équation de Larmor (22) par \rho et en remplaçant le champ magnétique \boldsymbol{B} par le champ magnétique effectif \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}, on obtient directement l'équation d'évolution :

Pour vérifier la conservation de la norme de l'aimantation \|\boldsymbol{M}(t)\|, dérivons le carré de sa norme par rapport au temps :

En utilisant l'équation d'évolution de Larmor établie à la question précédente :

puisque le produit vectoriel d'un vecteur avec lui-même est nul (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{M} = \boldsymbol{0}), ce qui assure que \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} est orthogonal à \boldsymbol{M}.

On en déduit immédiatement :

L'équation de Larmor conserve donc bien la norme de l'aimantation :

Un état de l'aimantation est qualifié de stationnaire si le vecteur aimantation \boldsymbol{M} est indépendant du temps, c'est-à-dire si :

D'après l'équation de Larmor établie à la question Q27 :

Le rapport gyromagnétique étant strictement positif (\gamma > 0), la condition de stationnarité s'écrit de manière équivalente :

On retrouve précisément la première équation de Brown (19) régissant les états d'équilibre statique \boldsymbol{M}_0 dans le volume \mathcal{V} de l'échantillon :

Les états stationnaires de l'évolution dynamique coïncident donc rigoureusement avec les configurations d'équilibre statique de Brown.

Puisque le champ effectif \boldsymbol{B}_0 est statique (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), la dérivée temporelle de l'énergie totale E_{\mathrm{tot}} = -\mathcal{V}\boldsymbol{M}(t)\cdot \boldsymbol{B}_0 s'écrit :

D'après l'équation de Larmor établie à la question Q27, \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\gamma \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0. On en déduit :

Le vecteur \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0 étant orthogonal à \boldsymbol{B}_0, le produit scalaire (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{B}_0 est identiquement nul :

L'énergie totale étant conservée, la composante de l'aimantation colinéaire au champ \boldsymbol{M} \cdot \boldsymbol{B}_0 = -E_{\mathrm{tot}}/\mathcal{V} reste strictement constante au cours du temps. L'aimantation précesse indéfiniment autour de l'axe de \boldsymbol{B}_0 à angle constant, sans jamais se rapprocher de la direction du champ.

Par conséquent, pour une condition initiale quelconque où \boldsymbol{M} n'est pas initialement aligné avec \boldsymbol{B}_0, l'équation de Larmor ne permet pas de rendre compte de la relaxation vers l'état d'équilibre stable d'énergie minimale \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{\|\boldsymbol{B}_0\|}.

Considérons une charge électrique q décrivant une trajectoire circulaire de rayon r à la vitesse \boldsymbol{v}.

Par renversement de la flèche du temps (t \mapsto -t), la position de la charge est inchangée mais sa vitesse change de signe :

Le courant électrique I, qui correspond au flux temporel de charges, change donc de signe (I \mapsto -I) puisque la charge parcourt la boucle dans le sens rétrograde.

D'après la loi de Biot et Savart (ou le théorème d'Ampère), le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un courant I s'écrit sous la forme :

Comme la géométrie spatiale est inchangée et que le courant I est inversé, le champ magnétique est inversé sous renversement du temps :

Le champ magnétique \boldsymbol{B} est une grandeur impaire par renversement du temps.

1. Transformation de \boldsymbol{µ} et de \boldsymbol{M} :

Le moment magnétique orbital d'un électron s'écrit \boldsymbol{\mu} = -\gamma_L \boldsymbol{L} avec \boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \wedge \boldsymbol{p} = m_e \, \boldsymbol{r} \wedge \boldsymbol{v}. Lors de l'opération de renversement du temps t \mapsto -t :

• la position est invariante : \boldsymbol{r} \mapsto \boldsymbol{r} ;
• la vitesse change de signe : \boldsymbol{v} \mapsto -\boldsymbol{v} ;
• le moment cinétique est donc impair : \boldsymbol{L} \mapsto -\boldsymbol{L}.

Il en va de même pour le spin intrinsèque \boldsymbol{S} et le moment cinétique total \boldsymbol{J}. Par conséquent, le moment magnétique est impair par renversement du temps :

L'aimantation \boldsymbol{M} représentant le moment magnétique par unité de volume (\boldsymbol{M} = \rho \boldsymbol{\mu}), le volume étant d'origine purement spatiale et donc invariant sous t \mapsto -t, elle se transforme de la même manière :

2. Transformation de l'équation de Larmor :

Considérons l'équation de Larmor (22) régissant l'évolution du moment magnétique :

Sous la transformation temporelle t' = -t :

• L'opérateur de dérivation temporelle change de signe : \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mapsto -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}.

• Le membre de gauche devient :

  \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mu}}{\mathrm{d}t} \longmapsto \left(-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'}\right)\big(-\boldsymbol{\mu}(t')\big) = +\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\mu}}{\mathrm{d}t'}

• Pour le membre de droite, sachant que \boldsymbol{B} \mapsto -\boldsymbol{B} (d'après la question Q31) et \boldsymbol{\mu} \mapsto -\boldsymbol{\mu} :

  -\gamma \boldsymbol{\mu} \wedge \boldsymbol{B} \longmapsto -\gamma (-\boldsymbol{\mu}) \wedge (-\boldsymbol{B}) = -\gamma \boldsymbol{\mu} \wedge \boldsymbol{B}

L'équation de Larmor s'écrit donc dans le sens rétrograde du temps :

(Le même raisonnement s'applique rigoureusement à l'équation pour \boldsymbol{M}(t) avec \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}).

La dérivée par rapport au temps du carré de la norme de l'aimantation s'écrit :

En effectuant le produit scalaire de l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (23) avec le vecteur \boldsymbol{M}, on obtient :

Par propriété du produit vectoriel, pour tout vecteur \boldsymbol{u} et tout vecteur \boldsymbol{v}, le vecteur \boldsymbol{u} \wedge \boldsymbol{v} est orthogonal à \boldsymbol{u}, ce qui implique l'annulation du produit mixte :

En appliquant cette propriété aux deux termes du membre de droite :

On en déduit immédiatement :

La norme de l'aimantation est donc rigoureusement constante au cours du temps, fixée par sa valeur initiale \|\boldsymbol{M}(t=0)\| = M_{\mathrm{s}} :

L'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (23) s'écrit :

Prenons le produit vectoriel à gauche par \boldsymbol{M} de chaque membre :

D'après la formule du double produit vectoriel rappelée dans le formulaire, \boldsymbol{a} \wedge (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) = \boldsymbol{b}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}) - \boldsymbol{c}(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}), on développe le dernier terme :

Comme \|\boldsymbol{M}\| = M_{\mathrm{s}} = \text{cste}, on a d'après la question Q33 :

Le double produit vectoriel se simplifie donc en :

d'où l'expression :

En réinjectant cette expression dans l'équation de LLG initiale (23), il vient :

En regroupant les termes en \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} dans le membre de gauche :

En divisant par (1 + \alpha^2), on obtient la forme de Landau-Lifshitz (24) :

avec :

Comme le coefficient d'amortissement sans dimension vérifie \alpha \ll 1 (typiquement \alpha \approx 2 \times 10^{-3}, soit \alpha^2 \approx 4 \times 10^{-6} \ll 1), un développement limité au premier ordre non nul donne :

L'écart relatif entre \gamma_{\mathrm{LL}} et \gamma est de l'ordre de \alpha^2 \sim 10^{-6}, ce qui justifie parfaitement l'approximation :

L'équation de Landau-Lifshitz (24) s'écrit sous la forme :

où les deux moments agissant sur l'aimantation sont :

Plaçons-nous dans les conditions de l'énoncé : \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = B_{\mathrm{eff}}\boldsymbol{u}_z (avec B_{\mathrm{eff}} > 0) et \varphi = \pi/2. D'après les relations usuelles du repère sphérique :

l'aimantation \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r est intégralement contenue dans le plan (y, z). Les vecteurs unitaires orthoradiaux s'écrivent :

Calculons les deux moments :

• Moment de précession :

  \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = (M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r) \wedge (B_{\mathrm{eff}}\boldsymbol{u}_z) = -M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\varphi = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_x.

  Par conséquent :

  \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{prec}} = -\gamma_{\mathrm{LL}} M_{\mathrm{s}} B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_x.

  Le repère (\boldsymbol{u}_x, \boldsymbol{u}_y, \boldsymbol{u}_z) étant direct, \boldsymbol{u}_x = \boldsymbol{u}_y \wedge \boldsymbol{u}_z est perpendiculaire au plan (y, z) et dirigé vers l'avant (vers le lecteur). Le moment \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{prec}} est donc perpendiculaire au plan (y, z) et dirigé vers l'arrière (sens rentrant \otimes, selon -\boldsymbol{u}_x).

• Moment de dissipation (amortissement) : En utilisant \frac{\boldsymbol{M}}{M_{\mathrm{s}}} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}} = B_{\mathrm{eff}}\sin\theta\,\boldsymbol{u}_x, on obtient :

  \boldsymbol{M} \wedge \left(\frac{\boldsymbol{M}}{M_{\mathrm{s}}} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}\right) = (M_{\mathrm{s}}\boldsymbol{u}_r) \wedge (B_{\mathrm{eff}}\sin\theta\,\boldsymbol{u}_x) = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, (\boldsymbol{u}_r \wedge \boldsymbol{u}_x) = M_{\mathrm{s}}B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\theta.

  On en déduit :

  \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{diss}} = -\alpha\gamma_{\mathrm{LL}} M_{\mathrm{s}} B_{\mathrm{eff}}\sin\theta \, \boldsymbol{u}_\theta.

  Ce vecteur est contenu dans le plan (y, z), tangent au cercle de rayon M_{\mathrm{s}}, et dirigé selon -\boldsymbol{u}_\theta, c'est-à-dire vers le pôle nord (axe +z, dans le sens des \theta décroissants).

On représente ces deux contributions sur la projection dans le plan (y, z) ci-dessous :

Le champ magnétique effectif étant statique (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), la dérivée temporelle de l'énergie s'écrit directement :

En utilisant l'équation de Landau-Lifshitz (24) :

le produit scalaire avec \boldsymbol{B}_0 comporte deux termes :

1. Le terme de précession est orthogonal à \boldsymbol{B}_0 :

   (-\gamma_{\mathrm{LL}} \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{B}_0 = 0.

2. Pour le terme d'amortissement, on utilise l'invariance par permutation circulaire du produit mixte (\boldsymbol{a} \wedge \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} \wedge \boldsymbol{c}) :

   \begin{aligned} [\boldsymbol{M} \wedge (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0)] \cdot \boldsymbol{B}_0 &= \boldsymbol{M} \cdot [(\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \wedge \boldsymbol{B}_0] \\ &= - \boldsymbol{M} \cdot [\boldsymbol{B}_0 \wedge (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0)] \\ &= - (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot (\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0) \\ &= - \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0\|^2. \end{aligned}

En rassemblant ces contributions, on obtient :

d'où :

Puisque \alpha > 0, \gamma_{\mathrm{LL}} > 0, \mathcal{V} > 0 et M_{\mathrm{s}} > 0, l'énergie E_{\mathrm{tot}}(t) est une fonction décroissante du temps.

De plus, l'énergie est minorée par sa valeur minimale absolue :

atteinte lorsque \boldsymbol{M} est strictement aligné avec le champ appliqué : \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0}.

La dérivée \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{tot}}}{\mathrm{d}t} ne s'annule que si \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}, ce qui correspond aux deux états d'alignement colinéaire :

• \boldsymbol{M} = -M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} (anti-aligné) : maximum d'énergie, équilibre instable ;
• \boldsymbol{M} = +M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} (aligné) : minimum d'énergie, équilibre stable.

L'énergie décroissant strictement tant que le système n'est pas aligné, l'aimantation relaxe nécessairement vers l'état d'équilibre stable \boldsymbol{M} = M_{\mathrm{s}}\frac{\boldsymbol{B}_0}{B_0} pour toute condition initiale (hors le point fixe instable exact).

L'énergie totale de l'échantillon s'écrit :

En dérivant cette expression par rapport au temps lorsque le champ effectif dépend du temps, on obtient deux termes :

Par analogie avec le premier principe de la thermodynamique sous forme différentielle, \frac{\mathrm{d}E_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t} = \dot{W} + \dot{Q} :

1. Travail par unité de temps \dot{W} : Le terme faisant intervenir la variation temporelle du paramètre externe de contrôle \boldsymbol{B}_{\text{eff}} représente la puissance mécanique/magnétique reçue de l'opérateur extérieur :

   \boxed{\dot{W} = -\mathcal{V} \, \boldsymbol{M} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{B}_{\text{eff}}}{\mathrm{d}t}}

2. Chaleur échangée par unité de temps \dot{Q} : Le terme associé à la réorganisation interne de l'aimantation \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} s'exprime, d'après le résultat de la question Q36 :

   -\mathcal{V} \, \boldsymbol{B}_{\text{eff}} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\alpha \gamma_{\text{LL}} \mathcal{V}}{M_{\mathrm{s}}} \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\text{eff}}\|^2 \le 0

   Il s'interprète comme la puissance thermique dissipée par friction avec l'environnement microscopique (réseau cristallin, électrons de conduction). C'est le flux thermique algébriquement reçu par le système :

   \boxed{\dot{Q} = -\mathcal{V} \, \boldsymbol{B}_{\text{eff}} \cdot \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\alpha \gamma_{\text{LL}} \mathcal{V}}{M_{\mathrm{s}}} \|\boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\text{eff}}\|^2}

   Le signe négatif confirme qu'il s'agit d'une chaleur évacuée vers l'environnement (\dot{Q}_{\text{cédée}} = -\dot{Q} \ge 0).

Considérons l'opération de renversement du temps t \mapsto t' = -t. D'après les résultats des questions Q31 et Q32 :

• L'opérateur de dérivation temporelle se transforme selon \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \mapsto -\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t'},
• L'aimantation, proportionnelle à des moments magnétiques orbitaux et de spin, est impaire : \boldsymbol{M}(t) \mapsto -\boldsymbol{M}(t'),
• Le champ magnétique effectif est impair : \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}(t) \mapsto -\boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}(t'),
• La norme M_{\mathrm{s}} est une constante scalaire positive invariante.

Évaluons la transformation de chaque terme de l'équation de LLG (23) :

Après renversement du temps, en réécrivant la variable temporelle sous la forme usuelle t, l'équation de LLG devient :

Influence du terme en \alpha :

• Le terme proportionnel à \alpha change de signe sous renversement du temps, ce qui brise la réversibilité temporelle de la dynamique : l'équation de LLG n'est pas invariante par renversement du temps.
• Ce changement de signe transforme l'effet dissipatif (friction magnétique) en un terme d'anti-amortissement (amplification) : dans le sens rétrograde du temps, l'aimantation s'éloigne de son état d'équilibre stable en augmentant son énergie, ce qui met en évidence l'existence d'une flèche du temps macroscopique imposée par la dissipation.

D'après les hypothèses du préambule, le matériau est isotrope (K_{\text{a}} = 0), sans champ démagnétisant (\boldsymbol{H}_{\text{m}} = \boldsymbol{0}), sans dissipation (\alpha = 0) et l'aimantation est spatialement uniforme (\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{M} = \boldsymbol{0}). Le champ magnétique effectif se réduit donc au seul champ magnétique externe appliqué :

L'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}(t) = \boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{m}(t). L'équation d'évolution de Larmor (question Q27) s'écrit alors :

En développant le produit vectoriel par bilinéarité et la dérivée temporelle, sachant que \boldsymbol{M}_0 est stationnaire (\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}_0}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{0}), il vient :

Analysons les différents ordres de grandeur :

• À l'ordre 0 en perturbation, l'état non perturbé \boldsymbol{M}_0 est un état d'équilibre en présence du champ statique \boldsymbol{B}_0. D'après la première équation de Brown (questions Q20 et Q29), on a :

  \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}.
• Le terme \boldsymbol{m}(t) \wedge \boldsymbol{b}(t) est du second ordre par rapport aux grandeurs infinitésimales \|\boldsymbol{m}\| \ll M_{\mathrm{s}} et \|\boldsymbol{b}\| \ll \|\boldsymbol{B}_0\|, il est donc négligeable devant les termes d'ordre 1.

En ne conservant que l'ordre le plus bas non nul (l'ordre 1), on obtient bien :

À l'instant initial t = 0, l'aimantation s'écrit \boldsymbol{M}(0) = \boldsymbol{M}_0 + \boldsymbol{m}(0) avec \|\boldsymbol{M}(0)\| = \|\boldsymbol{M}_0\| = M_{\mathrm{s}}. D'après la question Q14, la conservation de la norme au premier ordre impose que la perturbation initiale soit transverse à l'aimantation d'équilibre :

Pour étudier l'évolution ultérieure de cette grandeur, dérivons par rapport au temps le produit scalaire \boldsymbol{m}(t) \cdot \boldsymbol{M}_0 (l'état d'équilibre \boldsymbol{M}_0 étant indépendant du temps) :

En injectant l'équation du mouvement (25) obtenue à la question Q39 :

Examinons chacun des deux termes à l'aide de l'invariance par permutation circulaire du produit mixte :

• Pour le premier terme : (\boldsymbol{m} \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{m} \cdot (\boldsymbol{B}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0). Or, à l'équilibre, en l'absence d'anisotropie et de champ démagnétisant, le champ effectif se réduit au champ statique \boldsymbol{B}_0, si bien que la première équation de Brown (19) donne \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{B}_0 = \boldsymbol{0}. Par conséquent, \boldsymbol{B}_0 \wedge \boldsymbol{M}_0 = \boldsymbol{0}, d'où :

  (\boldsymbol{m}(t) \wedge \boldsymbol{B}_0) \cdot \boldsymbol{M}_0 = 0.

• Pour le second terme, le produit vectoriel \boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{b}(t) est par construction orthogonal à \boldsymbol{M}_0, ce qui donne immédiatement :

  (\boldsymbol{M}_0 \wedge \boldsymbol{b}(t)) \cdot \boldsymbol{M}_0 = 0.

On en déduit que la dérivée temporelle est identiquement nulle pour tout t > 0 :

La perturbation \boldsymbol{m}(t) reste donc perpendiculaire à \boldsymbol{M}_0 à tout temps t \ge 0.