ENS Physique PSI 2020, épreuve USujet et corrigé

Micromagnétisme et Mémoires MRAM

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Autres premières années : PTSI 7 · MP2I 5 · TSI1 5 · BCPST1 4 questions.

Détail par partie

Questions1/1Faisable
Partie 1 : Statique2/23En partie
- Question 3
- Question 13
Partie 2 : Dynamique4/20En partie
Partie 3 : Magnetoresistive Random-Access Memory2/15En partie
- Question 53
- Question 54

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Description

Ce sujet d'une durée de 6 heures constitue une fresque magistrale et moderne de micromagnétisme, reliant l'interaction d'échange quantique discrète à l'ingénierie contemporaine des mémoires vives magnétiques (STT-MRAM).

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JEUDI 23 AVRIL 2020-08h00-14h00 FILIÈRE PSI

ÉPREUVE DE PHYSIQUE(U)

Durée : 6 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Si le (la) candidat(e) repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il (elle) le signale lisiblement sur sa copie, propose la correction, et poursuit l'épreuve en conséquence.

Les applications numériques seront données avec un chiffre significatif.
Le sujet comporte 13 pages numérotées de 1 à 13.

Début du sujet

Notations

Dans le sujet, on note en gras un vecteur $a$ , sa norme est notée $‖a‖$
sur sa copie, le (la) candidat(e) pourra utiliser la notation $a⃗$
dans le repère cartésien ( $u_x, u_y, u_z$ ), on décompose $a = a_x u_x + a_y u_y + a_z u_z$
on écrit le vecteur position $x = xu_x + yu_y + zu_z$
$a \cdot b$ dénote le produit scalaire de $a$ et $b$
$a \land b$ dénote le produit vectoriel de $a$ et $b$
on note $\nabla$ l'opérateur différentiel nabla qui, en coordonnées cartésiennes, s'écrit $\nabla = \partial/(\partialx)u_x + \partial/(\partialy)u_y + \partial/(\partialz)u_z$
$\nablaG$ dénote le gradient $gradG, \nabla \cdot F$ dénote la divergence div $F, \nabla^2 G$ représente le Laplacien scalaire $div(gradG), \nabla \land F$ dénote le rotationnel $rotF$
on note i l'unité imaginaire, telle que $i^2 = - 1$

Identités mathématiques

Identité de Taylor-Young pour $F : ℝ^3 \to ℝ^3$ suffisamment différentiable en $x$ :

F(x + b) = F(x) + (b \cdot \nabla)F(x) + 1/2(b \cdot \nabla)^2 F(x) + o(‖b‖^2)

intégration par partie sur un volume $V$ délimité par une surface fermée $S$ :

\int_V d^3 xF \cdot \nablaG = \int_S d^2 S \cdot FG - \int_V d^3 x(\nabla \cdot F)G

avec

d^2 S = d^2 xn

où

n

est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface

S

x

d^2 x

d^3 x

sont les éléments de surface et de volume
— pour

G = cste : \int_V d^3 x\nabla \cdot F = \int_S d^2 S \cdot F

(théorème de Green-Ostrogradski)

- \nabla^2(G^2) = 2(\nablaG)^2 + 2G\nabla^2 G

- a \land (b \land c) = b(a \cdot c) - c(a \cdot b)

- (a \land b) \cdot c = a \cdot (b \land c)

Constantes mathématiques

- ln2 \approx 0, 69

- ln10 \approx 2, 3

Grandeurs physiques

Charge du proton : $e \approx 1, 6 \times 10^(- 19)$ A s
masse de l'électron : $m_e \approx 9, 1 \times 10^(- 31) kg$
perméabilité magnétique du vide : $μ_0 = 4π \times 10^(- 7) kg m A^(- 2) s^(- 2)$
constante de Boltzmann $k_B \approx 1, 4 \times 10^(- 23) kg m^2 s^(- 2) K^(- 1)$

Valeurs typiques pour des alliages de fer

Distance inter-atomique : $a \approx 5 \times 10^(- 10) m$
énergie d'échange : $JM_s^2 \approx 1 \times 10^(- 20) kg m^2 s^(- 2)$
constante d'anisotropie : $K_a M_s^2 \approx 1 \times 10^6 kg m^(- 1) s^(- 2)$
coefficient de dissipation magnétique : $α \approx 2 \times 10^(- 3)$

Micromagnétisme

Figure 1 - Un échantillon ferromagnétique de volume

V

délimité par une surface fermée

S

. (a) Zoom : les atomes composant l'échantillon portent des moments magnétiques,

μ_i(t)

. Ici, les atomes sont arrangés dans une structure cristalline cubique; chaque atome a six "plus proches voisins" à une distance

a

. (b) Plutôt que de décrire chaque moment individuel, le micromagnétisme consiste à décrire le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé aimantation

M(x, t)

Les matériaux ferromagnétiques, comme le fer, le nickel ou le cobalt, présentent une aimantation spontanée

M_s > 0

lorsque leur température est inférieure à une température critique, dite de Curie,

T_c

(

T_c^(fer) \approx 1043 K

). Les électrons autour de chaque noyau atomique à la position

x_i

sont à l'origine d'un moment magnétique qui est décrit par un vecteur

μ_i(t)

de norme constante, voir Fig. 1(a). La théorie du micromagnétisme consiste à remplacer cette description discrète en termes des moments magnétiques localisés sur chaque atome par une description en termes d'une fonction continue de l'espace et du temps : le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé vecteur aimantation,

M(x, t)

; voir Fig. 1(b). Un matériau ferromagnétique est rarement uniformément aimanté :

M(x, t)

peut varier en direction dans l'espace et le temps, mais conserve une norme uniforme et constante, c'est-à-dire

‖M(x, t)‖ = M_s

Figure 2 - L'aimantation

M

est un vecteur de norme constante

M_s

dont la direction est paramétrée par les angles

θ \in [0, π]

φ \in [0, 2π[

. On a représenté le repère sphérique local (

u_r, u_θ, u_φ

) avec

u_r = M/M_s

Le sujet est constitué de trois parties très largement indépendantes. Les aspects statiques de l'aimantation, c'est-à-dire avec

M(x, t) = M(x)

, seront étudiés dans une première partie. La seconde partie étudiera la dynamique de l'aimantation dans les cas où l'aimantation est uniforme dans l'espace, c'est-à-dire avec

M(x, t) = M(t)

. Enfin, la troisième partie abordera une application du micromagnétisme aux mémoires informatiques.

Question 1. Donner les unités d'un moment magnétique

‖μ‖

et de l'aimantation spontanée

M_s

dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Première partie

Statique

1.1 Énergie d'un échantillon magnétique

L'énergie d'un échantillon magnétique de volume

V

sous l'influence d'un champ magnétique externe est composée de : l'énergie d'échange, l'énergie d'anisotropie, l'énergie de démagnétisation, et l'énergie de Zeeman :

E_(tot) = E_(ech) + E_(ani) + E_(dem) + E_(ext).

Ces termes sont étudiés un par un ci-dessous.

1.1.1 Énergie d'échange

L'interaction d'échange est une interaction à courte portée entre deux moments magnétiques voisins. L'énergie d'échange entre deux moments magnétiques

μ_i

μ_j

, portés par des atomes

i

j

situés en

x_i

x_j

respectivement, est donnée par

E_(ij) = {− 2Jρ^2 μ_i ⋅ μ_j si i et j sont "plus proches voisins" [voir Fig. 1(a) ],; 0 sinon,

avec la constante

J > 0

ρ

est la densité volumique des moments magnétiques dans le matériau (supposée uniforme et constante).

Question 2. Cette interaction favorise-t-elle l'alignement ou l'anti-alignement des moments magnétiques?

L'énergie d'échange entre tous les moments magnétiques de l'échantillon est donc

E_(ech) = - 2Jρ^2\sum_((i, j))μ_i \cdot μ_j,

où la somme s'effectue sur toutes les paires de "plus proches voisins", notées

(i, j)

. On se placera dans le cas où les atomes magnétiques sont disposés dans une structure cristalline cubique, comme representée sur la Fig. 1(a). Deux atomes "plus proches voisins" sont séparés par une distance

a

Question 3. Exprimer

ρ

, la densité volumique des moments magnétiques, en termes de

a

Pour passer de l'ensemble discret des

μ_i

à la fonction continue

M(x)

, on écrit

M(x_i) = ρμ_i

où

x_i

est la position de l'atome, et on fait l'hypothèse que les variations de la fonction

M(x)

s'opèrent sur des distances beaucoup plus grandes que la distance

a

entre deux "plus proches voisins".

Question 4. Lorsque les atomes

i

j

sont "plus proches voisins", en introduisant

x_(ij) = x_i - x_j

, montrer que

ρ^2 μ_i \cdot μ_j ≃ M_s^2 + 1/2M(x_i) \cdot [(x_(ij) \cdot \nabla)^2 M(x_i)]

au premier ordre non-nul en

x_(ij)

La somme sur toutes les paires de "plus proches voisins" peut être formellement réécrite

\sum_((i, j))\dots = 1/2\sum_i\sum_(x_(ij))\dots

, où la présence du facteur

1/2

dans le terme de droite permet de ne pas comptabiliser deux fois chaque paire.

Question 5. En remarquant que dans le cas d'une structure cristalline cubique

x_(ij)

prend les valeurs

\pm au_x, \pm au_y, \pm au_z

[voir Fig. 1(a)], passer à la limite du continu, c'est-à-dire échanger

\sum_i\dots

par

\int_V d^3 xρ\dots

, et montrer que l'énergie d'échange peut s'écrire, à une constante additive près, comme

E_(ech) = - A_(ech)\int_V d^3 xM_x(x)\nabla^2 M_x(x) + M_y(x)\nabla^2 M_y(x) + M_z(x)\nabla^2 M_z(x)

où

A_(ech) = J/a

V

est le volume de l'échantillon.
Question 6. À l'aide du formulaire, montrer que l'expression (4) peut finalement s'écrire

E_(ech) = A_(ech)\int_V d^3 x[\nablaM_x(x)]^2 + [\nablaM_y(x)]^2 + [\nablaM_z(x)]^2

Question 7. Quelles configurations de l'aimantation

M(x)

minimisent

E_(ech)

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.1.2 Énergie d'anisotropie

L'environnement direct d'un moment magnétique, comme par exemple le champ électrostatique créé par les ions qui forment la structure cristalline, agit sur sa direction en favorisant certaines directions dans l'espace. Le cas le plus courant est celui de l'anisotropie uniaxiale pour laquelle l'énergie correspondante a pour expression

E_(ani) = - K_a\int_V d^3 x[u_a \cdot M(x)]^2

où

u_a

est un vecteur unitaire et

K_a \geq 0

est une contante qui dépendent tous deux du matériau considéré.

Question 8. Quelles configurations de l'aimantation

M(x)

sont favorisées par

E_(ani)

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.1.3 Énergie de démagnétisation

Dans un matériau ferromagnétique, on distingue les densités de courants électrique des charges libres et liées :

é j = j_(libres) + j_(liées)

. Les courants liés sont responsables de l'aimantation :

é j_(liées) = \nabla \land M

. De plus, chacun de ces courants liés produit un champ ressenti par les autres moments magnétiques. Le champ magnétique

B(x)

en un point de l'échantillon est donc la somme du champ dû à l'aimantation locale et du champ créé par tous les autres moments magnétiques présents dans l'ensemble de l'échantillon. On introduit le vecteur d'excitation magnétique (parfois appelé champ démagnétisant)

H_m

tel que

B = μ_0(M + H_m)

Question 9. En l'absence de courant de charges libres,

j_(libres) = 0

, montrer que

H_m

dérive d'un potentiel tel que

μ_0 H_m = - \nablaφ_m

, et que le problème se ramène à l'équation de Poisson suivante

\nabla^2 φ_m = μ_0\nabla \cdot M

À l'interface de deux milieux magnétiques 1 et 2 , le potentiel

φ_m(x)

est continu, c'est-à-dire

φ_m(x_1) = φ_m(x_2)

où

x_1

x_2

sont infiniment proches et de part et d'autre de l'interface, mais sa dérivée dans la direction normale à l'interface est discontinue.

Question 10. En sélectionnant soigneusement une surface fermée à l'interface des milieux 1 et 2 , démontrer la relation de passage

n \cdot \nabla(φ_m(x_1) - φ_m(x_2)) = μ_0(M(x_1) - M(x_2)) \cdot n,

où

n

est le vecteur unitaire normal à l'interface, orienté de 1 vers 2 .
Par analogie avec l'équation de Poisson électrostatique, la quantité

ρ_m = - \nabla \cdot M

peut être interprétée comme une densité volumique de charge magnétique et

σ_m = M \cdot n

comme sa densité surfacique. L'énergie associée à des densités de charge électrique

ρ_e

σ_e

dans un potentiel électrostatique

φ_e

est donnée par

E_(elec) = 1/2\int_V d^3 xρ_e(x)φ_e(x) + 1/2\int_S d^2 xσ_e(x)φ_e(x)

où

S

est la surface fermée délimitant le volume

V

.
Question 11. En utilisant cette analogie et à l'aide du formulaire, montrer que l'énergie magnétique correspondante, dite énergie de démagnétisation, s'écrit

E_(dem) = - 1/2μ_0\int_V d^3 xM(x) \cdot H_m(x)

Figure 3 - Échantillon magnétique ellipsoïdal.

L'équation de Poisson (7) révèle que le vecteur d'excitation magnétique

H_m

dépend de l'aimantation

M

. On ne résoudra pas cette équation dans le cas général, mais on se placera dans le cas d'un échantillon ellipsoïdal dont les axes principaux de l'ellipsoïde coïncident avec le repère cartésien (

u_x, u_y, u_z

), voir Fig. 3. On admettra que la solution est donnée par

H_m = - N_x M_x u_x - N_y M_y u_y - N_z M_z u_z,

où

N_x, N_y

, et

N_z

sont des coefficients positifs qui dépendent de la géométrie précise de l'échantillon mais vérifient nécessairement

N_x + N_y + N_z = 1

Question 12. Donner

N_x, N_y

, et

N_z

dans le cas d'un échantillon sphérique.

1.1.4 Énergie de Zeeman

Si un champ magnétique externe

B_(ext)(x)

est appliqué, il contribue à l'énergie (plus précisément à l'enthalpie) totale via le terme

E_(ext) = - \int_V d^3 xM(x) \cdot B_(ext)(x)

Question 13. Quelle configuration de l'aimantation

M(x)

est favorisée par

E_(ext)

? (Une démonstration n'est pas requise.)

1.2 Équilibre magnétique

On cherche à déterminer les états d'équilibre de l'aimantation en identifiant les extrema de l'énergie

E_(tot)(M)

, c'est-à-dire les configurations de l'aimantation

M_0(x)

pour lesquelles

δE_(tot)(M_0) = 0

où la variation

δE_(tot)(M) = E_(tot)(M + δM) - E_(tot)(M)

est calculée au premier ordre en

δM

, une variation arbitraire infinitésimale de l'aimantation :

‖δM‖≪M_s

. Pour alléger les notations, on omet ici et dans ce qui suit d'écrire les dépendences explicites en

x

M

M_0, B_(ext), H_m, n

, et

δM

Question 14. Montrer, en calculant

δ(‖M‖^2) = ‖M + δM‖^2 - ‖M‖^2

au premier ordre en

δM

, que la norme constante de l'aimantation impose de considérer uniquement des variations transverses de l'aimantation, c'est-à-dire

δM

perpendiculaire à

M

On remarquera qu'on peut donc écrire la variation

δM = M \land δμ

avec

δμ

un vecteur de direction arbitraire en tout point

x

de l'espace et

‖δμ‖≪1

Question 15. Calculer la variation

δE_(ext)(M) = E_(ext)(M + δM) - E_(ext)(M)

et montrer que

δE_(ext)(M) = - \int_V d^3 x(B_(ext) \land M) \cdot δμ

Question 16. Montrer que

δE_(ani)(M) = - 2K_a\int_V d^3 x(u_a \cdot M)(u_a \land M) \cdot δμ

Question 17. Montrer que

δE_(ech)(M) = 2A_(ech){∫_S d^2 x[(n ⋅ ∇)M ∧ M] ⋅ δμ − ∫_V d^3 x[∇^2 M ∧ M] ⋅ δμ}.

Question 18. Montrer que pour un échantillon magnétique ellipsoïdal

δE_(dem)(M) = - μ_0\int_V d^3 x(H_m \land M) \cdot δμ

Question 19. Montrer que

δE_(tot)(M)

peut s'écrire sous la forme

δE_(tot)(M) = - \int_V d^3 x(B_(eff) \land M) \cdot δμ + 2A_(ech)\int_S d^2 x[(n \cdot \nabla)M \land M] \cdot δμ,

et donner l'expression du champ magnétique effectif

B_(eff)

B_(eff)

rassemble les contributions des interactions d'échange, d'anisotropie, de démagnétisation et du champ externe. On notera que, dans le cas général, il dépend de l'aimantation.

Question 20. Justifier que les états d'équilibre sont ainsi donnés par les équations suivantes, dites équations de Brown,

M_0, \land B_(eff) = 0 pour tout x \in V,; (n \cdot \nabla)M_0, \land M_0 = 0 pour tout x \in S.

1.3 Paroi de domaine magnétique

Figure 4 - Paroi entre deux domaines magnétiques.

Dans la plupart des cas, comme pour le fer, un matériau ferromagnétique est constitué de multiples domaines à l'intérieur de chacun desquels le vecteur aimantation est uniforme. Ces domaines sont séparés par des régions de transition, appelées parois de domaines magnétiques, où la direction de l'aimantation varie spatialement.
On cherche à estimer l'épaisseur typique

λ_B

de ces parois, c'est-à-dire la longueur typique sur laquelle l'aimantation

M_0(x)

change de direction entre deux domaines. Pour cela, on considère deux domaines magnétiques semi-infinis comme représentés sur la Fig. 4, avec les conditions aux limites

lim_(z \to - \infty)M_0(x) = M_s u_x

lim_(z \to + \infty)M_0(x) = - M_s u_x

. La paroi de domaine est ainsi parallèle au plan

(x, y)

et on détermine son épaisseur

λ_B

dans la direction

z

. On cherche donc une solution à la première équation de Brown (19) qui est invariante par translation selon

x

y : M_0(z)

.
Question 21. En admettant que la solution (11),

H_m = - N_x M_(0x)u_x - N_y M_(0y)u_y - N_z M_(0z)u_z

, est encore valable dans cette géométrie (et

N_z < 1

), utiliser une équation de Maxwell pour montrer que l'angle

θ

entre

M_0

u_z

est une constante que l'on précisera.

La solution

M_0(z)

est donc uniquement déterminée par la donnée de l'angle

φ(z)

entre

M_0

u_x

. On peut donc chercher une solution sous la forme

M_0(φ(z))

. Pour simplifier, on négligera l'énergie de démagnétisation devant celle d'anisotropie en prenant

H_m = 0

, on prendra l'anisotropie selon

u_a = u_x

, et aucun champ externe appliqué, c'est-à-dire

B_(ext) = 0

Question 22. En utilisant la valeur de

θ

obtenue à la Question 21, refaire le schéma de la Fig. 2 en projection dans le plan (

x, y

). Exprimer

B_(eff θ)

B_(eff)φ

, les composantes de

B_(eff)

dans le repère sphérique local, en termes de

φ(z)

et de sa dérivée seconde.

Question 23. Réécrire la première équation de Brown (19) dans le repère sphérique local, et montrer que l'angle

φ(z)

obéit à l'équation

2A_(ech)(d^2 φ(z))/(dz^2) - (dε_(ani)(φ))/(dφ) = 0,

où l'on donnera l'expression de

ε_(ani)(φ)

.
Question 24. En ramenant au préalable l'équation précédente à une équation différentielle du premier ordre, calculer explicitement

φ(z)

. On rappelle la primitive

\int^x dt1/sint =

tan(x/2) + cste

pour

0 < x < π

et on pourra prendre

φ = π/2

z = 0

. Identifier la longueur typique

λ_B

qui sépare les deux domaines magnétiques. Évaluer numériquement

λ_B

Deuxième partie Dynamique

Les équations de Brown (19) permettent de calculer les états d'équilibre de l'aimantation, mais ne renseignent ni sur leur stabilité ni sur la manière dont ces états sont formés. Dans ce qui suit, on étudie la dynamique de l'aimantation. Pour simplifier, on se placera dans le cas où l'échantillon de volume

V

n'est composé que d'un seul domaine magnétique où l'aimantation est uniforme :

M(x, t) = M(t)

. Cette situation est attendue pour les échantillons de petite taille devant

λ_B

, si la condition initiale et si

B_(eff)(x, t)

sont eux-même uniformes.

2.1 Précession de Larmor

On rappelle le principe fondamental de la dynamique en rotation :

(dJ)/(dt) = T,

où

J

est le moment cinétique et

T

est le moment des forces appliquées. Les électrons dans les atomes ont deux types de moments cinétiques : orbital

L

et de spin

S

. Le moment cinétique orbital est dû au mouvement de l'électron autour du noyau atomique. Le spin, quant à lui, prend son origine dans la mécanique quantique; il n'a pas d'analogue classique. Le moment cinétique total est simplement la somme

J = L + S

Question 25. Donner les unités d'un moment cinétique

J

dans les unités de base du système international (m, kg, s, A, K).

Question 26. En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-àdire son spin, et en considérant un électron de charge

- e

et de masse

m_e

sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un noyau atomique, montrer que son moment magnétique

μ

est proportionnel à son moment cinétique orbital, c'est-à-dire

μ = - γ_L L

. Pour cela, on pourra exprimer tour à tour

μ

L

en termes du rayon

r

de l'orbite de l'électron et de sa période de révolution

T

, ainsi que des autres données du problème. Donner l'expression du rapport gyromagnétique

γ_L > 0

. Évaluer numériquement

γ_L

En prenant maintenant en compte le spin de l'électron, on admettra que

μ = - γJ

avec un rapport gyromagnétique

γ \approx 2 \times γ_L

. La dynamique d'un moment magnétique en présence d'un champ magnétique

B

est donc donnée par l'équation de Larmor

(dμ)/(dt) = - γμ \land B.

On rappelle que dans un matériau magnétique, on définit le moment magnétique moyen par unité de volume, appelé vecteur aimantation, qui est ici supposée uniforme :

M(t)

. L'aimantation subit l'action d'un champ magnétique effectif

B_(eff)

, décrit dans la Partie 1.

Question 27. En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation

M(t)

dans son champ magnétique effectif

B_(eff)

Question 28. Vérifier que cette équation conserve la norme de l'aimantation.
La dynamique de l'aimantation

M(t)

décrit donc des trajectoires sur la surface d'une sphère de rayon

M_s

, voir Fig. 2.

Question 29. Montrer que les états stationnaires de l'aimantation correspondent aux états d'équilibre solutions de la première équation de Brown (19).

Question 30. Dans le cas simple où le champ magnétique effectif est statique, soit

B_(eff) = B_0

avec

dB_0/dt = 0

, montrer que l'énergie

E_(tot) = - VM \cdot B_0

est constante. Pour une condition initiale quelconque, l'équation de Larmor (22) permet-elle de rendre compte de la relaxation de l'aimantation vers un état d'équilibre stable?

Par "renversement du temps", on désigne l'opération qui consiste à renverser le déroulé du film d'une action. Ainsi, une particule se déplaçant à une vitesse

v = dx/dt

et une accélération

a = d^2 x/dt^2

apparaît se déplacer à la vitesse

- v

et une accélération

+ a

après renversement du temps.

Question 31. Comment se transforme un champ magnétique

B

si l'on renverse la flèche du temps? (On pourra s'aider du fait qu'un champ magnétique peut être vu comme résultant d'une charge électrique en rotation.)

Question 32. Comment se transforment

μ

M

par renversement du temps? Comment se transforme l'équation de Larmor après un renversement du temps?

2.2 Dissipation

Pour expliquer la relaxation du système magnétique vers son état d'équilibre stable, on doit prendre en compte le phénomène de friction magnétique dû à l'environnement magnétique (l'aimantation résiduelle des noyaux atomiques, des autres atomes non-magnétiques, etc). Cela se traduit par l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) :

(dM)/(dt) = - γM \land B_(eff) + αM/(M_s) \land (dM)/(dt),

où

α

est une petite constante sans dimension qui depend du matériau,

0 < α≪1

.
Question 33. Vérifier que l'équation de LLG conserve la norme de l'aimantation.
Question 34. Montrer que l'équation de LLG peut se mettre sous la forme suivante, dite de Landau-Lifshitz (LL),

(dM)/(dt) = - γ_(LL)M \land B_(eff) - αγ_(LL)M \land (M/(M_s) \land B_(eff)),

où

γ_(LL)

sera donné en termes de

γ

α

. Justifier que

γ_(LL) \approx γ

.
Question 35. Représenter les deux moments de l'équation de Landau-Lifshitz agissant sur

M

sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan

(y, z)

dans le cas

φ = π/2

(on choisira

B_(eff)

orienté selon

u_z

Question 36. Dans le cas simple où le champ effectif est statique, soit

B_(eff) = B_0

avec

dB_0/dt = 0

, montrer que l'énergie

E_(tot) = - VM \cdot B_0

est une fonction décroissante du temps, permettant ainsi la relaxation de l'aimantation vers un état d'équilibre stable quelle que soit sa condition initiale.

Question 37. Dans le cas où l'on applique un champ magnétique dépendant du temps, c'est-à-dire

dB_(eff)/dt \neq 0

, la variation

dE_(tot)/dt

donne lieu à deux termes distincts. En argumentant succintement, identifier le terme qui peut être interprété comme un travail par unité de temps, noté

W˙

, et celui qui peut être interprété comme une chaleur échangée avec l'environnement par unité de temps, noté

Q˙

Question 38. Donner la forme de l'équation de LLG après un renversement du temps. Quelle est l'influence du terme proportionnel à

α

sur cette dynamique?

2.3 Susceptibilité

On s'intéresse à la dynamique des perturbations de l'aimantation autour de sa valeur d'équilibre

M_0

lorsqu'on varie infinitésimalement le champ magnétique externe autour de sa valeur statique

B_0

. On pose

M(t) = M_0 + m(t)

B_(ext)(t) = B_0 + b(t)

, avec

‖m(t)‖≪‖M_0‖ = M_s

‖b(t)‖≪‖B_0‖

. Pour simplifier, on considère un matériau isotrope, c'est-à-dire

K_a = 0

, et on néglige la démagnétisation en prenant

H_m = 0

. On commence l'étude en négligeant aussi la dissipation, c'est-à-dire en prenant

α = 0

, de telle sorte que seul

B_(ext)(t)

contribue à

B_(eff)(t)

Question 39. Montrer, à l'ordre le plus bas en

m(t)

b(t)

, que

m(t)

obéit à l'équation

(dm(t))/(dt) = - γ[m(t) \land B_0 + M_0 \land b(t)].

Question 40. En utilisant le résultat de la Question 14 pour la perturbation initiale

m(t = 0)

et l'équation ci-dessus pour les temps

t > 0

, montrer que la perturbation

m(t)

est perpendiculaire à

M_0

à tout temps

t \geq 0

L'équation différentielle ci-dessus est linéaire, à coefficients constants, et on peut chercher des solutions à des perturbations harmoniques à la fréquence

ω

en passant en représentation de Fourier. Pour cela, on remplace

m(t)

b(t)

par

m_-e^(iωt)

b_-e^(iωt)

, respectivement, où

m_-

b_-

sont des amplitudes complexes. Pour simplifier, on prendra

B_0 = B_0 u_z, M_0 = M_s u_z

, et

b(t) = b_x(t)u_x

Question 41. Montrer que la susceptibilité longitudinale

χ_-_‖ = μ_0 m_-_x/b_-_x

et la susceptibilité transverse

χ_-_⊥ = μ_0 m_-_y/b_-_x

sont données par

χ_-_‖(ω) = (ω_0 ω_M)/(ω_0^2 - ω^2), χ_-_⊥(ω) = - i(ωω_M)/(ω_0^2 - ω^2),

où la fréquence

ω_M

et la fréquence de résonance

ω_0

seront exprimées en termes des données du problème.

Question 42. En prenant maintenant en compte la dissipation telle qu'introduite à l'équation (23), soit

α > 0

, montrer que

m_-_x

obéit à l'équation d'un oscillateur harmonique amorti forcé avec pour équation (puisque

α≪1

, on négligera le terme d'ordre

α^2

et la correction d'ordre

α

au terme de forçage)

- ω^2 m_-_x + 2ηiωm_-_x + ω_0^2 m_-_x = (ω_0 ω_M)/(μ_0)b_-_x.

Exprimer

η

en termes des données du problème.
Question 43. Donner la relation de proportionalité entre

m_-_y

m_-_x

, à l'ordre 0 en

α

.
Question 44. En utilisant les réponses aux deux dernières questions et en repassant en notation réelle, calculer

m_x(t)

m_y(t)

dans le cas où la variation du champ magnétique

b(t)

est nulle et la perturbation initiale de l'aimantation est orientée selon

u_y

, c'est-à-dire

m(t = 0) = m_0 u_y

. Tracer la solution dans le plan (

m_x, m_y

), paramétriquement en

t

Troisième partie Magnetoresistive Random-Access Memory

Les ordinateurs modernes font appel à plusieurs types de mémoires. La mémoire cache, positionnée au plus près du processeur central, doit être rapide quitte à être relativement coûteuse. La mémoire principale est généralement une mémoire vive dynamique (DRAM) à base de semi-conducteurs; elle est volatile en cela qu'elle nécessite un apport constant d'énergie pour conserver l'information entreposée. Le stockage de masse, non-volatile, est lui typiquement assuré par la mémoire flash ou les disques durs magnétiques.
Ici, on s'intéresse à une nouvelle alternative à la DRAM : la MRAM, pour Magnetoresistive Random-Access Memory. C'est une mémoire vive basée sur les principes du micromagnétisme étudiés dans les deux premières parties. La MRAM promet de combiner robustesse, non-volatilité, grande vitesse de lecture et d'écriture, faible consommation électrique, le tout à un coût modéré.

3.1 Écriture par transfert de spin

On dit qu'un courant électrique est polarisé en spin lorsque les électrons participant au courant portent un moment cinétique de spin orienté selon un même vecteur unitaire

u_p

. Lorsqu'un courant polarisé en spin traverse un domaine magnétique, il y a un échange de moment cinétique entre les électrons qui participent au courant et ceux qui gravitent autour des atomes de l'échantillon magnétique (selon la conservation du moment cinétique total). Cela se traduit par un transfert de moment magnétique entre le courant polarisé en spin et l'aimantation de l'échantillon. Ce phénomène, appelé transfert de spin (TS), peut être utilisé pour manipuler l'aimantation qui encode les bits d'information dans une MRAM. On étudie le dispositif représenté sur la Fig. 5. Les électrons se déplacent selon

- u_z

. Conventionnellement, cela se traduit par un courant électrique

I \leq 0

. Le courant est d'abord polarisé en spin en le faisant passer à travers une première couche ferromagnétique F 1 , dite de référence, aimantée uniformément selon

M_1 = M_s u_z

. On admet qu'elle est suffisament épaisse pour polariser tous les spins électroniques qui composent le courant dans la direction

u_z

sans que

M_1

soit sensiblement affecté. Après avoir traversé une très fine couche non-magnétique, le courant pénètre dans une seconde couche ferromagmétique F2, dite de stockage. F2 est cylindrique de section

S

et d'épaisseur

d

. Son aimantation est supposée uniforme, c'est-à-dire

M_2(x, t) = M_2(t)

, et de norme constante

‖M_2(t)‖ = M_s

Figure 5 - Principe d'écriture magnétique par transfert de spin. Une couche de référence F1 est aimantée selon

M_1 = M_s u_z

. En la traversant, les électrons du courant

I

se polarisent en spin, puis viennent manipuler l'aimantation de la couche de stockage,

M_2

Le courant polarisé en spin exerce un moment

- γT_(TS)

sur

M_2

. On admettra donc que pour une faible dissipation et un faible courant, on peut simplement remplacer l'équation de Landau-Lifshitz (24) par

(dM_2)/(dt) = - γM_2 \land B_(eff) - αγM_2 \land ((M_2)/(M_s) \land B_(eff)) - γT_(TS),

où le champ magnétique effectif

B_(eff)

a été introduit et discuté dans la Partie 1 , où

γ > 0

α > 0

ont été introduits et discutés dans la Partie 2, et où

T_(TS) = - G(M_2)/(M_s) \land ((M_2)/(M_s) \land u_z),

avec

G \geq 0

une grandeur discutée ci-dessous.
Question 45. Calculer la norme de

T_(TS)

, et justifier que

G

est la quantité maximale de moment cinétique absorbée par la couche F2 par unité de volume et de temps.

Question 46. Discuter l'action du moment

- γT_(TS)

sur

M_2

sur le schéma de la Fig. 2 qui aura été préalablement recopié en projection dans le plan (

y, z

) dans le cas

φ = π/2

Question 47. En supposant que le transfert de spin a lieu pour chacun des électrons qui traversent F2, exprimer

G

en termes du courant

I

, de la charge électrique d'un electron

- e

, du moment cinétique échangé par chaque électron, noté

σ

, et des autres données du problème.
On considérera le cas où le champ effectif est statique et orienté dans la même direction que

M_1 : B_(eff) = B_0 = B_0 u_z

avec

B_0 > 0

.
Question 48. En utilisant l'équation (28), donner l'expression

G_c

G

pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Question 49. Donner l'expression du courant critique

I_c \leq 0

pour laquelle l'effet de la dissipation est exactement compensé par le transfert de spin.

Question 50. On rappelle que l'énergie s'écrit

E_(tot) = - VM_2 \cdot B_0

. Exprimer la variation temporelle de l'énergie,

dE_(tot)/dt

, en fonction de

M_(2z) = M_2 \cdot u_z, G - G_c, B_0

, et des autres données du problème.

Le transfert de spin peut donc être utilisé pour manipuler la direction d'un moment magnétique, c'est-à-dire écrire un bit d'information (0 ou 1).

Question 51. Quel est l'état stationnaire de l'aimantation lorsque

0 \geq I > I_c

, et lorsque

I < I_c

3.2 Stabilité thermique

Pour les applications à la mémoire numérique, une caractéristique clef est la durée pendant laquelle les informations qui y ont été écrites peuvent être conservées sans altération.

On considère la situation où une fois le bit d'information écrit, on laisse le dispositif au repos à la température

T

, sans appliquer de champ magnétique externe, ni de courant électrique. Le matériau de la couche F2 est choisi pour exhiber une forte anisotropie selon

u_a = u_z

avec

K_a > 1/2μ_0

. On admettra que le vecteur d'excitation magnétique

H_m

est donné par la relation (11) avec

N_x = N_y = 0

N_z = 1

Question 52. En se référant à la Partie 1, exprimer l'énergie de la couche de stockage F2 seule,

E_(tot)(M_2)

Question 53. Tracer

E_(tot)

en fonction des valeurs possibles de

M_(2z) = M_2 \cdot u_z

. Identifier les états d'équilibre de l'aimantation, et distinguer les équilibres stables et instables.

Question 54. Exprimer la barrière d'énergie

ΔE > 0

, définie comme la différence d'énergie entre état instable et état stable.

La loi de Arrhenius donne le temps typique de commutation accidentelle de l'aimantation dûe aux fluctuations thermiques à la température

T

τ = τ_0 exp((ΔE)/(k_B T)),

où

τ_0 \approx 1 ns

. Pour un bit donné, la probabilité de ne pas avoir commuté accidentellement pendant un temps

t

est

P(t) = exp(- t/τ).

Question 55. Donner la probabilité

P_(erreur)^((1))(t)

qu'un bit ait subit au moins une commutation accidentelle pendant un temps

t

Question 56. Pour un ensemble de

N

bits, donner la probabilité

P_(erreur)^((N))(t)

qu'il y ait eu au moins une commutation accidentelle d'un des bits pendant un temps

t

Question 57. Pour un ensemble de

N

bits, donner l'expression du rapport

ΔE/k_B T

nécessaire pour que la probabilité qu'au moins une erreur survienne pendant un temps

t

soit inférieure à une certaine valeur

p

Question 58. Application numérique : pour une MRAM avec une capacité de 1 Gbit conservée à la température ambiante de 300 K pendant 10 ans , quelle doit être la valeur typique de

ΔE

pour assurer que la probabilité qu'une erreur survienne sur un des bits soit inférieure à

p = 10^(- 4)

Question 59. Application numérique : estimer le rayon minimal

r

d'une couche de stockage F2 cylindrique d'épaisseur

d \approx 1 nm

qui est ainsi nécessaire pour stocker un de ces bits.

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Commentaires• ENS Physique PSI 2020, épreuve U

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