Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 TSI 2022 (page 3/4 : Partie III)

Sur la figure B du document réponse, le cycle est parcouru dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre), comme l'indiquent les flèches portées sur la courbe :

• la détente (\mathrm{d}V > 0) a lieu à des pressions supérieures à celles de la phase de compression (\mathrm{d}V < 0).

Le travail total reçu par le fluide au cours d'un cycle fermé s'exprime par :

Dans le diagramme de Clapeyron (p, V), cette intégrale est opposée à l'aire délimitée par la courbe fermée parcourue dans le sens trigonométrique. Le parcours étant horaire :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à un fluide décrivant un cycle, le travail reçu par le fluide est donné par l'intégrale le long du cycle :

Le cycle étant moteur (parcouru dans le sens horaire d'après la question Q30), ce travail reçu est négatif. Le travail utile fourni par le moteur au milieu extérieur est donc positif et égal à l'aire \mathcal{A} délimitée par la courbe dans le diagramme (p, V) :

Déterminons l'aire élémentaire \mathcal{A}_0 correspondant à un carreau du quadrillage de la figure B :

• Suivant l'axe des ordonnées : un carreau correspond à une variation de pression \Delta p = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}.

• Suivant l'axe des abscisses : l'intervalle entre 2{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3 et 3{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3 comprend 4 carreaux. Un carreau correspond donc à :

  \Delta V = \frac{3{,}0 - 2{,}0}{4} \times 10^{-3}\text{ m}^3 = 0{,}25 \times 10^{-3}\text{ m}^3

L'aire d'un carreau représente ainsi une énergie de :

Estimons le nombre de carreaux N délimités par le cycle :

• La courbe est inscrite entre V_2 = 2{,}25 \times 10^{-3}\text{ m}^3 et V_1 = 2{,}75 \times 10^{-3}\text{ m}^3 (largeur de 2 carreaux), et entre p_{\min} \approx 1{,}5 \times 10^5\text{ Pa} et p_{\max} \approx 5{,}5 \times 10^5\text{ Pa} (hauteur d'environ 4 carreaux).

• Par comptage des carreaux entiers et des fractions de carreaux coupés par la courbe (ou en assimilant le cycle à une ellipse inclinée de demi-axes approximatifs a \approx 2{,}2 carreaux et b \approx 0{,}6 carreau, d'aire \pi a b \approx 4{,}1 carreaux), on dénombre :

  N \approx 4{,}0 \text{ à } 4{,}5\text{ carreaux}

On en déduit la valeur du travail fourni par le moteur au cours d'un cycle :

Compte tenu de la précision de lecture graphique, on retient :

(une valeur comprise entre 90\text{ J} et 120\text{ J} est parfaitement acceptable).

Le cycle de Stirling idéal suivi par les n moles de gaz parfait est délimité par les volumes V_2 (volume minimal) et V_1 (volume maximal), et par les températures extrêmes T_1 (source froide) et T_3 (source chaude avec T_3 > T_1) :

• État 1 \rightarrow État 2 : compression isotherme réversible à la température T_1. La pression varie selon la loi p(V) = \dfrac{nRT_1}{V} de V_1 à V_2. La trajectoire est une branche d'hyperbole orientée vers la gauche et vers le haut (p_2 > p_1).
• État 2 \rightarrow État 3 : échauffement isochore à volume constant V = V_2. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le haut, de p_2 = \dfrac{nRT_1}{V_2} à p_3 = \dfrac{nRT_3}{V_2}.
• État 3 \rightarrow État 4 : détente isotherme réversible à la température T_3. La pression suit l'hyperbole p(V) = \dfrac{nRT_3}{V} de V_2 à V_1. Cette isotherme est située au-dessus de la première car T_3 > T_1. La transformation est orientée vers la droite et vers le bas (p_4 < p_3).
• État 4 \rightarrow État 1 : refroidissement isochore à volume constant V = V_1. Le système est représenté par un segment vertical orienté vers le bas, ramenant la pression de p_4 = \dfrac{nRT_3}{V_1} à p_1 = \dfrac{nRT_1}{V_1}.

Le cycle idéal forme ainsi un « rectangle déformé » délimité par deux verticales et deux hyperboles, parcouru dans le sens horaire.

La transformation (1 \to 2) est une compression isotherme réversible à la température T_1 d'un gaz supposé parfait, passant du volume initial V_1 au volume final V_2 avec V_1 > V_2.

Expression du travail reçu W_{12} La transformation étant mécaniquement réversible, la pression extérieure est à chaque instant égale à la pression du fluide : p_{\text{ext}} = p = \frac{nRT_1}{V}. Le travail reçu par le fluide s'écrit :

En introduisant le taux de compression volumique r = \frac{V_1}{V_2}, on obtient :

Expression du transfert thermique reçu Q_{12} D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide entre les états 1 et 2 :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température (première loi de Joule). La transformation étant isotherme à la température T_1, on a :

On en déduit :

Signes de W_{12} et Q_{12} Par définition, le rapport volumique vérifie r = \frac{V_1}{V_2} > 1, donc \ln r > 0. Les températures étant absolues (T_1 > 0) et n > 0, il vient :

La transformation (2 \to 3) s'effectue à volume constant (V = V_2 = \text{cte}). Le travail des forces de pression reçu par le fluide est donc nul :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide entre les états 2 et 3 :

Pour un gaz parfait (première loi de Joule), la variation d'énergie interne ne dépend que de la température. Avec T_2 = T_1 (issue de la compression isotherme à T_1) et la capacité thermique à volume constant C_{\mathrm{V}} = \dfrac{nR}{\gamma - 1} rappelée par l'énoncé, on obtient :

On en déduit l'expression du transfert thermique :

Puisque T_3 > T_1 et \gamma > 1, on a :

Le fluide reçoit effectivement de la chaleur au cours de cet échauffement.

La transformation (3 \to 4) est une détente isotherme réversible à la température T_3. Le volume du gaz passe de V_3 = V_2 à V_4 = V_1.

Le travail reçu par les forces de pression lors de cette transformation quasi-statique et sans frottement s'écrit :

En utilisant l'équation d'état du gaz parfait p = \frac{nRT_3}{V} avec T = T_3 = \text{cste} :

Avec r = \frac{V_1}{V_2}, on obtient :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide fermé entre les états 3 et 4 :

D'après la première loi de Joule, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de sa température. La transformation étant isotherme (T_4 = T_3), on a \Delta U_{34} = 0, d'où :

Étude des signes : Le rapport volumique vérifie r = \frac{V_1}{V_2} > 1, donc \ln r > 0. Les grandeurs n, R et T_3 étant strictement positives, il vient :

La transformation (4 \to 1) est un refroidissement isochore à volume constant (V = V_1).

Les seules forces travaillant étant les forces de pression, le travail échangé est nul :

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Le fluide étant modélisé par un gaz parfait, il vérifie la première loi de Joule : son énergie interne ne dépend que de sa température. La variation d'énergie interne s'écrit donc :

Or, l'état 4 est à la température T_4 = T_3 (état final de la détente isotherme) et l'état 1 est à la température T_1. Avec C_\mathrm{V} = \dfrac{nR}{\gamma - 1}, on obtient :

Comme T_1 < T_3 et que pour tout gaz parfait \gamma > 1, on a T_1 - T_3 < 0 et \gamma - 1 > 0, d'où :

Le fluide cède de l'énergie thermique au milieu extérieur au cours de ce refroidissement.

Le rendement \eta d'un moteur thermique est défini par le rapport entre l'énergie utile fournie par le fluide au cours d'un cycle, à savoir le travail mécanique cédé à l'extérieur -W, et l'énergie thermique Q_{\text{reçu}} reçue par le fluide :

Sur l'ensemble du cycle, le travail total reçu par le gaz s'écrit, les transformations isochores n'échangeant aucun travail de forces de pression (W_{23} = W_{41} = 0) :

D'après les questions Q33 et Q35 :

On en déduit le travail fourni au cours d'un cycle :

Puisque T_3 > T_1 et r > 1, on a bien -W > 0.

En l'absence de régénérateur, l'énergie thermique reçue par le fluide provient des deux étapes où le transfert thermique est positif, c'est-à-dire l'échauffement isochore (Q_{23} > 0, d'après Q34) et la détente isotherme (Q_{34} > 0, d'après Q35) :

En effectuant le rapport, la quantité nR se simplifie :

Soit, en divisant le numérateur et le dénominateur par nR :

On peut également l'écrire sous forme adimensionnée :

Le rendement de Carnot \eta_{\mathrm{C}} est le rendement théorique maximal que peut atteindre tout moteur thermique fonctionnant de manière cyclique entre deux thermostats aux températures T_1 (source froide) et T_3 (source chaude, avec T_3 > T_1). D'après le théorème de Carnot, cette valeur limite est atteinte lorsque le cycle est entièrement réversible.

Pour un cycle moteur ditherme réversible :

• Le premier principe de la thermodynamique sur un cycle (\Delta U = 0) s'écrit :

  W + Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}} = 0 \implies -W = Q_{\mathrm{c}} + Q_{\mathrm{f}}

  où Q_{\mathrm{c}} > 0 est la chaleur reçue de la source chaude (à T_3) et Q_{\mathrm{f}} < 0 celle cédée à la source froide (à T_1).

• Le second principe sur un cycle réversible (\Delta S = 0 et S_{\mathrm{cr\acute{e}\acute{e}e}} = 0) donne l'égalité de Clausius :

  \frac{Q_{\mathrm{c}}}{T_3} + \frac{Q_{\mathrm{f}}}{T_1} = 0 \implies \frac{Q_{\mathrm{f}}}{Q_{\mathrm{c}}} = -\frac{T_1}{T_3}

Par définition du rendement thermique \eta = \frac{-W}{Q_{\mathrm{c}}} :

On obtient ainsi :

Lorsque le moteur est équipé d'un régénérateur idéal, le transfert thermique cédé par le gaz lors du refroidissement isochore (4 \rightarrow 1), soit |Q_{41}| = -Q_{41}, est entièrement stocké par le régénérateur, puis intégralement restitué au fluide lors de l'échauffement isochore (2 \rightarrow 3) :

Cette étape d'échauffement ne nécessite donc plus aucun apport d'énergie thermique de la part de la source chaude extérieure.

La seule énergie thermique fournie au fluide par la source chaude au cours du cycle est désormais celle apportée lors de la détente isotherme réversible (3 \rightarrow 4) :

Le travail mécanique total fourni par le fluide sur un cycle reste inchangé :

Le rendement du cycle idéal avec régénérateur devient ainsi :

Le rendement du cycle idéal de Stirling avec régénération parfaite est donc égal au rendement maximal de Carnot.

Les températures thermodynamiques des sources chaude et froide s'écrivent :

D'après la question Q38, le rendement de Carnot associé à ces températures vaut :

L'énoncé indique que l'efficacité globale \eta des moteurs a évolué entre 30\,\% et 50\,\% de l'efficacité de Carnot :

La conversion du travail mécanique en travail électrique étant supposée parfaite, la puissance mécanique fournie par les deux moteurs est égale à la puissance électrique produite : \mathcal{P}_{\text{meca}} = P_{\text{elec}} = 180\text{ W}.

Le rendement thermique s'exprime par le quotient de la puissance utile par la puissance thermique fournie par la source chaude :

On en déduit un encadrement de la puissance thermique reçue par les deux moteurs :

• Pour une efficacité de 50\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}318) :

  P_{\text{th},\min} = \frac{180}{0{,}50 \times 0{,}6352} \approx 567\text{ W} \approx 5{,}7 \times 10^2\text{ W}.

• Pour une efficacité de 30\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}191) :

  P_{\text{th},\max} = \frac{180}{0{,}30 \times 0{,}6352} \approx 945\text{ W} \approx 9{,}4 \times 10^2\text{ W}.

En prenant une efficacité moyenne de 40\,\% de Carnot (\eta \approx 0{,}254), on obtient :