Corrigé détaillé X ENS Physique MP 2023

Un état de la matière dans lequel l'énergie thermique est suffisamment élevée pour ioniser totalement ou en grande partie les atomes, formant ainsi un mélange globalement neutre d'ions positifs et d'électrons libres en interaction coulombienne, est appelé un plasma (souvent qualifié de « quatrième état de la matière »).

Il s'agit de l'effet tunnel (ou effet tunnel quantique).

En mécanique classique, deux noyaux possédant une énergie mécanique E inférieure au sommet de la barrière de répulsion coulombienne rebroussent chemin au point tournant et ne peuvent jamais s'approcher à une distance inférieure. En mécanique quantique, la fonction d'onde ne s'annule pas à l'entrée de la barrière de potentiel mais s'y atténue de manière exponentielle, ce qui confère une probabilité non nulle de traverser cette barrière même avec E < V.

Pour x > 0, l'équation de Schrödinger indépendante du temps régissant la partie spatiale \psi(x) de la particule d'énergie E s'écrit :

Comme V > E, on réécrit cette équation sous la forme :

La solution générale est une combinaison linéaire d'exponentielles réelles :

La région x > 0 étant non bornée vers les x positifs, la fonction d'onde doit rester bornée lorsque x \to +\infty afin d'être physiquement admissible, ce qui impose B = 0.

Par continuité de \psi en x = 0, on a \psi(0) = A. Il vient ainsi :

On en déduit l'expression du rapport demandé :

D'après la question Q3, la fonction t(x) sous la barrière (x \ge 0) s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation proposée, on a :

La condition \Theta(E) \ll 1 s'écrit donc :

soit, en fonction des données du problème :

Ce qui signifie que l'épaisseur L de la barrière est grande devant la longueur d'atténuation caractéristique \delta = 1/K = \hbar/\sqrt{2m(V-E)}.

Définition du coefficient de transmission :
Le coefficient de transmission \Theta(E) est défini comme le rapport entre la norme du courant de densité de probabilité transmis j_{\mathrm{trans}} (pour x > L) et celle du courant incident j_{\mathrm{inc}} (pour x < 0) :

Le potentiel étant le même de part et d'autre de la barrière (V(x) = 0 pour x < 0 et x > L), les particules transmises et incidentes possèdent le même vecteur d'onde k = \sqrt{2mE}/\hbar et donc la même vitesse ; le rapport des courants s'identifie ainsi au rapport des densités de présence |A_{\mathrm{trans}}|^2 / |A_{\mathrm{inc}}|^2.

Origine du caractère approximatif de l'expression :
L'expression proposée n'est qu'approximative pour deux raisons physiques :

• Sous une barrière de largeur finie L, la fonction d'onde est une superposition de deux termes : une onde évanescente en \mathrm{e}^{-Kx} et une composante réfléchie à l'interface de sortie x = L en \mathrm{e}^{+Kx}. L'expression de la question Q3 correspond à une marche semi-infinie sans réflexion en x = L.
• Le raccordement des fonctions d'onde et de leurs dérivées aux deux discontinuités de potentiel (x = 0 et x = L) fait apparaître un facteur pré-exponentiel dépendant de E et de V (de l'ordre de 16\frac{E}{V}(1-\frac{E}{V})), lié à la désadaptation d'impédance quantique entre les milieux propagatifs et la région évanescente.

Lorsque KL \gg 1, l'atténuation exponentielle domine largement et le préfacteur polynomial est d'ordre 1, ce qui justifie l'approximation exponentielle.

Deux protons portent chacun la charge électrique +e. En choisissant la référence d'énergie potentielle nulle à l'infini (V(x \to +\infty) = 0), l'énergie potentielle d'interaction coulombienne entre les deux protons séparés d'une distance x > 0 s'écrit :

où \varepsilon_0 désigne la permittivité diélectrique du vide.

Pour x > 0, la fonction V(x) est strictement positive, strictement décroissante, diverge en x \to 0^+ et tend vers 0 lorsque x \to +\infty.

À grande distance l'un de l'autre (x \to +\infty), le potentiel coulombien tend vers zéro (V(x) \to 0). L'énergie mécanique totale du mouvement relatif s'identifie donc à son énergie cinétique initiale :

La zone interdite au sens de la mécanique classique correspond à la région où l'énergie potentielle est supérieure à l'énergie mécanique, soit V(x) > E. La frontière de cette barrière, correspondant au point d'arrêt (ou de rebroussement classique), est la position x = L telle que :

En utilisant l'expression du potentiel électrostatique obtenue à la question Q5 :

Puisque la fusion nécessite que les protons atteignent la distance x = 0, la barrière de potentiel s'étend sur le segment [0, L]. Sa longueur est donc donnée par :

D'après les questions Q3 et Q4, le coefficient de transmission pour une barrière rectangulaire s'écrit dans la limite d'effet tunnel faible (\Theta(E) \ll 1) :

En appliquant la substitution proposée par la formule (1) de l'énoncé au cas d'un potentiel continu V(x), on obtient :

D'après les questions Q5 et Q6, l'énergie potentielle coulombienne s'écrit V(x) = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 x} et la longueur de la barrière vaut L = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 E}, si bien que :

L'intégrale se met alors sous la forme :

En effectuant le changement de variable u = \dfrac{x}{L}, avec \mathrm{d}x = L\,\mathrm{d}u, et en utilisant l'intégrale fournie par la relation (2) :

En remplaçant L par son expression en fonction de E :

L'argument de l'exponentielle dans l'expression de \Theta(E) devient ainsi :

On met cette expression sous la forme demandée \Theta(E) = \exp\left(-\left(\dfrac{E_G}{E}\right)^{1/2}\right) avec :

En élevant au carré, on obtient l'énergie de Gamow :

Le coefficient de transmission s'écrit bien :

D'après la question Q7, le coefficient de transmission par effet tunnel s'écrit pour E > 0 :

Étudions les variations de cette fonction :

• Limites aux bornes :

  \begin{aligned} \lim_{E \to 0^+} \Theta(E) &= 0 \\ \lim_{E \to +\infty} \Theta(E) &= 1 \end{aligned}

  La droite d'équation \Theta = 1 est asymptote horizontale en +\infty.

• Dérivée première :

  \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}E}(E) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{E_G}{E^3}} \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right) > 0 \quad \text{pour tout } E > 0

  La fonction \Theta est strictement croissante sur ]0, +\infty[. Par croissances comparées, \lim_{E \to 0^+} \frac{\mathrm{d}\Theta}{\mathrm{d}E}(E) = 0 : la courbe admet une tangente horizontale à l'origine.

• Dérivée seconde et convexité :

  \frac{\mathrm{d}^2\Theta}{\mathrm{d}E^2}(E) = \frac{\sqrt{E_G}}{4 E^{5/2}} \left(\sqrt{\frac{E_G}{E}} - 3\right) \exp\left(-\sqrt{\frac{E_G}{E}}\right)

  La courbe est convexe pour E < \frac{E_G}{9} et concave pour E > \frac{E_G}{9}, présentant un point d'inflexion en E = \frac{E_G}{9} pour lequel \Theta(E_G/9) = \mathrm{e}^{-3} \simeq 0{,}050.

Les deux protons possèdent la même masse m_p. La vitesse de leur centre de masse (barycentre) et leur vitesse relative s'écrivent respectivement :

On en déduit l'expression des vitesses individuelles :

La somme de leurs énergies cinétiques vaut :

D'où l'expression de l'énergie cinétique totale :

D'après le second théorème de Kœnig, cette énergie cinétique se décompose en l'énergie cinétique du centre de masse E_{c,G} = \frac{1}{2}(2m_p)v_G^2 = m_p v_G^2 et l'énergie cinétique du mouvement relatif dans le référentiel barycentrique :

L'énergie cinétique relative E s'interprète bien comme celle d'une particule fictive de masse \mu animée de la vitesse relative v, avec la masse réduite :

Le gaz de protons est modélisé par un gaz parfait classique unidimensionnel à l'équilibre thermique à la température T.

Les deux protons sont statistiquement indépendants et obéissent chacun à la loi de distribution des vitesses de Maxwell-Boltzmann à une dimension. L'énergie associée à l'état de vitesse (v_1, v_2) est la somme de leurs énergies cinétiques individuelles :

D'après le facteur de Boltzmann \mathrm{e}^{-E_c / (k_B T)}, la probabilité conjointe P(v_1, v_2)\,\mathrm{d}v_1\,\mathrm{d}v_2 s'écrit, à une constante multiplicative près :

soit encore P(v_1, v_2) = C \exp\left(-\frac{m_p v_1^2}{2k_B T}\right)\exp\left(-\frac{m_p v_2^2}{2k_B T}\right), où C est une constante de normalisation.

Effectuons le changement de variables de (v_1, v_2) vers (v_G, v) défini d'après la question Q9 par :

La matrice jacobienne associée s'écrit :

dont la valeur absolue du déterminant vaut |\det J| = |-1/2 - 1/2| = 1. L'élément différentiel s'écrit donc simplement :

La conservation de la probabilité implique :

En utilisant la décomposition de l'énergie cinétique totale établie à la question Q9 :

avec la masse totale M = 2m_p et la masse réduite \mu = m_p/2, l'expression de la densité de probabilité obtenue à la question Q10 devient :

La fonction se factorise immédiatement sous la forme :

avec, aux constantes multiplicatives près :

Commentaire sur la forme de P^*(v) :

• La factorisation de P^*(v_G, v) prouve que la vitesse barycentrique v_G et la vitesse relative v sont deux variables aléatoires statistiquement indépendantes.
• La distribution P^*(v) est une loi normale (gaussienne) unidimensionnelle de moyenne nulle : c'est la distribution de Maxwell-Boltzmann des vitesses pour une particule fictive de masse égale à la masse réduite \mu = m_p/2 à l'équilibre thermique à la température T.

D'après la question Q9, l'énergie cinétique relative s'écrit :

où v \in \mathbb{R}. Pour une énergie E \ge 0 donnée, la vitesse relative peut valoir v = \pm \sqrt{\frac{2E}{\mu}}. Par dérivation, on a :

Par conservation de la mesure de probabilité et par parité de P^*(v) (établie à la question Q11) :

En injectant l'expression de P^*(v) \propto \exp\left(-\frac{\mu v^2}{2k_B T}\right) = \exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right), il vient :

À une constante multiplicative près, on obtient :

Le nombre de fusions par unité de temps \Gamma(E)\,\mathrm{d}E pour des protons ayant une énergie relative dans [E,\,E+\mathrm{d}E] s'interprète comme le produit de trois grandeurs physiques indépendantes :

• Un facteur statistique : p(E)\,\mathrm{d}E représente la probabilité qu'une paire de protons possède une énergie cinétique relative comprise entre E et E+\mathrm{d}E à l'équilibre thermique à la température T (distribution de Maxwell-Boltzmann unidimensionnelle établie en Q12).
• Un facteur cinétique (flux incident) : le terme v est la vitesse relative d'approche des deux protons (v = \sqrt{2E/\mu}). En théorie cinétique des gaz, le nombre de collisions (ou de tentatives de rapprochement) par unité de temps est proportionnel au flux de particules incidentes, donc à la vitesse relative v.
• Un facteur quantique : \Theta(E) est la probabilité de franchir la barrière de potentiel coulombienne par effet tunnel à l'énergie E. C'est la probabilité qu'une tentative de collision aboutisse effectivement au contact (x=0) et donc à la réaction de fusion.

Ainsi, le taux de fusion résulte de la conjonction nécessaire :

D'après les questions précédentes, pour une vitesse relative v > 0 :

• la vitesse relative s'exprime en fonction de E = \frac{1}{2}\mu v^2 (question Q9) sous la forme :

  v = \sqrt{\frac{2E}{\mu}} \propto E^{1/2}

• la densité de probabilité en énergie vaut (question Q12) :

  p(E) \propto E^{-1/2} \exp\left(-\frac{E}{k_B T}\right)

• le coefficient de transmission par effet tunnel s'écrit (question Q7) :

  \Theta(E) = \exp\left(-\left(\frac{E_G}{E}\right)^{1/2}\right)

En injectant ces trois dépendances dans le postulat de la question Q13, le produit v\, p(E) fait disparaître toute dépendance en puissance de E :

On en déduit l'expression demandée :

où K est une constante indépendante de E, et la fonction \phi(E) est définie par :

D'après la question précédente, pour E > 0, la fonction \phi(E) s'écrit :

La fonction \phi est deux fois dérivable sur ]0, +\infty[. Ses dérivées valent :

Aux bornes du domaine :

Comme \phi''(E) > 0 pour tout E > 0, la dérivée première \phi' est strictement croissante. L'équation \phi'(E_0) = 0 admet donc une unique solution :

En élevant à la puissance 2/3, on obtient :

La fonction \phi est donc strictement décroissante sur ]0, E_0] puis strictement croissante sur [E_0, +\infty[ : elle admet un minimum absolu strict en E_0.

Comme la constante K est strictement positive et que la fonction x \mapsto \exp(-x) est strictement décroissante sur \mathbb{R}, le taux \Gamma(E) = K \exp(-\phi(E)) est strictement croissant sur ]0, E_0] puis strictement décroissant sur [E_0, +\infty[. Il admet donc un maximum absolu strict en E = E_0.

D'après le résultat de la question Q15, l'énergie E_0 s'écrit :

Formons les rapports de E_0 avec k_B T et E_G :

Dans la limite où E_G \gg k_B T, on a \dfrac{E_G}{4 k_B T} \gg 1 et \dfrac{k_B T}{2 E_G} \ll 1. Par conséquent :

Passons à l'application numérique avec E_G \simeq 500\text{ keV} et k_B T \simeq 1{,}5\text{ keV} :

Sachant que 1{,}3^3 = 2{,}197 \approx 2{,}25, on a (2{,}25)^{1/3} \approx 1{,}31, ce qui donne :

D'après l'expression de \phi(E) établie à la question Q14 :

À l'énergie E_0, la condition d'annulation de la dérivée \phi'(E_0) = 0 s'écrit :

Le second terme de \phi(E_0) vaut ainsi exactement le double du premier, soit :

En injectant l'expression de E_0 obtenue à la question Q15, E_0 = \left(\dfrac{E_G}{4}\right)^{1/3} (k_B T)^{2/3} :

On en déduit l'expression littérale de \phi(E_0) :

Application numérique : Avec E_G \simeq 500\text{ keV} et k_B T \simeq 1{,}5\text{ keV} :

Comme 4^3 = 64 et 5^3 = 125, on a (83{,}3)^{1/3} \simeq 4{,}37, ce qui donne :

On peut également utiliser la valeur E_0 \simeq 6{,}6\text{ keV} trouvée à la question Q16 :

La fonction de taux s'écrit d'après les questions précédentes :

• Pour E \to 0^+, le facteur d'effet tunnel domine : \sqrt{E_G/E} \to +\infty \implies \Gamma(E) \to 0.
• Pour E \to +\infty, le facteur de Boltzmann domine : E/(k_B T) \to +\infty \implies \Gamma(E) \to 0.
• La fonction présente un unique maximum en E = E_0.

Particularité dans la limite E_G \gg k_B T :

Effectuons un développement de Taylor de \phi(E) au voisinage de E_0. Sachant que \phi'(E_0) = 0 et que d'après la question Q15 :

au voisinage de E_0, \Gamma(E) s'approxime par un profil gaussien :

La largeur relative du pic s'écrit alors :

Les réactions de fusion se déroulent ainsi exclusivement dans une plage d'énergie très étroite (la « fenêtre de Gamow ») située très au-delà de l'énergie thermique moyenne (E_0 \gg k_B T).

Le problème à deux corps isolé se ramène classiquement et quantiquement au mouvement d'une particule fictive dans le référentiel barycentrique. La masse associée au mouvement relatif est la masse réduite du système :

L'énergie potentielle électrostatique s'écrit désormais :

Elle se déduit de celle de la question Q5 par la substitution e^2 \longrightarrow Z_1 Z_2 e^2.

La longueur de la barrière coulombienne devient donc :

En reprenant le calcul de la question Q7 avec la masse \mu et cette nouvelle longueur L, l'argument de l'exponentielle s'écrit :

On en déduit la nouvelle expression de l'énergie de Gamow :

où \alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 \hbar c} \simeq \frac{1}{137} est la constante de structure fine.

L'énergie de Gamow est donc proportionnelle à \mu (Z_1 Z_2)^2.

Les expressions des grandeurs caractéristiques de la fenêtre de Gamow conservent la même forme avec ces valeurs modifiées de \mu et E_G :

Le taux de réaction nucléaire est dominé par les particules d'énergie proche du pic de Gamow E_0. D'après la question Q17, l'exposant intervenant dans l'exponentielle vaut :

Par identification avec la dépendance en température donnée par l'énoncé, \exp\left(-(b_i/T)^{1/3}\right), on en déduit :

Or, d'après le résultat de la question Q19, l'énergie de Gamow s'écrit :

Le coefficient b_i est donc directement proportionnel à la quantité \mu_i (Z_{1,i} Z_{2,i})^2 :

En approximant la masse d'un neutron par celle d'un proton (m_n \simeq m_p), les masses des noyaux valent approximativement m(\mathrm{p}) = m_p, m(\mathrm{D}) \simeq 2m_p et m(\mathrm{^3He}) \simeq 3m_p. Déterminons la grandeur \mu_i (Z_{1,i} Z_{2,i})^2 pour chacune des trois réactions :

• Réaction 1 (\mathrm{p + p}) : Z_1 = Z_2 = 1 et m_1 = m_2 = m_p, d'où :

  \mu_1 = \frac{m_p}{2}, \quad (Z_1 Z_2)_1 = 1 \implies \mu_1 (Z_1 Z_2)_1^2 = \frac{1}{2}\,m_p

• Réaction 2 (\mathrm{p + D}) : Z_1 = Z_2 = 1 et m_1 = m_p, m_2 \simeq 2m_p, d'où :

  \mu_2 = \frac{m_p \times 2m_p}{m_p + 2m_p} = \frac{2}{3}\,m_p, \quad (Z_1 Z_2)_2 = 1 \implies \mu_2 (Z_1 Z_2)_2^2 = \frac{2}{3}\,m_p

• Réaction 3 (\mathrm{^3He + {^3He}}) : Z_1 = Z_2 = 2 et m_1 = m_2 \simeq 3m_p, d'où :

  \mu_3 = \frac{3m_p}{2}, \quad (Z_1 Z_2)_3 = 4 \implies \mu_3 (Z_1 Z_2)_3^2 = \frac{3}{2}\,m_p \times 4^2 = 24\,m_p

On prédit ainsi les relations théoriques :

Vérification numérique :

• Pour le premier rapport :

  \left(\frac{b_2}{b_1}\right)_{\text{tab}} = \frac{51{,}52}{38{,}65} \simeq 1{,}3330

  L'accord avec la valeur prédite 4/3 \simeq 1{,}3333 est exceptionnel (écart relatif inférieur à 0{,}03\,\%).

• Pour le second rapport :

  \left(\frac{b_3}{b_1}\right)_{\text{tab}} = \frac{1828}{38{,}65} \simeq 47{,}3

  L'accord avec la valeur prédite de 48 est très satisfaisant (écart relatif d'environ 1{,}5\,\%). Cet écart résiduel s'explique par les défauts de masse des noyaux atomiques et par la différence de masse entre neutron et proton.

Pour un moteur thermique opérant de façon cyclique, le but est de convertir de l'énergie thermique issue d'une source chaude en énergie mécanique.

Le rendement \eta est défini comme le rapport sans dimension de l'énergie utile extraite au cours d'un cycle (le travail W) sur l'énergie thermique qu'il a fallu lui fournir (le transfert thermique Q cédé par la source chaude) :

Avec les conventions de l'énoncé, W > 0 représente le travail extrait (fourni au milieu extérieur) et Q > 0 l'énergie thermique cédée par la source chaude au système.

Considérons le fluide décrivant un cycle au contact de deux thermostats aux températures T_1 (source chaude) et T_2 (source froide). Notons Q_2 le transfert thermique reçu par le fluide de la part de la source froide au cours d'un cycle. Le travail reçu par le fluide étant -W (avec W le travail extrait), le premier principe s'écrit sur un cycle :

Le second principe de la thermodynamique appliqué au fluide sur ce même cycle conduit à :

où S_\text{c} \geq 0 désigne l'entropie créée au cours du cycle due aux irréversibilités. On en déduit l'expression de Q_2 :

En reportant cette relation dans l'expression du travail extrait W, on obtient :

Les températures absolues étant strictement positives, le travail extrait W est maximal lorsque le cycle est réversible, c'est-à-dire pour S_\text{c} = 0 :

Le rendement maximal associé, noté \eta_0, est le rendement de Carnot d'un moteur ditherme :

Le flux thermique \Phi transféré de la source solide à la température T_1 vers le fluide caloporteur à la température T_3 à travers une interface de conductance thermique G_{\mathrm{th}} s'écrit, d'après la loi phénoménologique des transferts thermiques conducto-convectifs :

Les températures T_1 et T_3 étant supposées uniformes et indépendantes du temps, le flux \Phi est constant au cours du cycle. L'énergie thermique Q fournie au fluide pendant la durée \tau d'un cycle s'en déduit par intégration temporelle :

soit :

La machine thermique fonctionne entre une source chaude à la température T_3 et une source froide à la température T_2.

Puisqu'elle fonctionne à son rendement maximal, son rendement est le rendement de Carnot associé à ces deux températures, obtenu à la question 22 en remplaçant la température de la source chaude T_1 par T_3 :

Le travail extrait au cours d'un cycle s'écrit donc :

En utilisant l'expression du transfert thermique Q = G_{\mathrm{th}} \tau (T_1 - T_3) établie à la question 23, on en déduit :

D'après la question 24, le travail extrait au cours d'un cycle est :

La puissance moyenne extraite par la machine s'écrit donc :

Pour que la machine fonctionne en moteur (W > 0) et reçoive de la chaleur de la source solide (Q > 0), la température T_3 du caloporteur doit vérifier :

Aux deux extrémités de cet intervalle :

• en T_3 = T_2, le rendement de la machine s'annule : \eta = 1 - T_2/T_3 = 0, donc \mathcal{P}(T_2) = 0 ;
• en T_3 = T_1, le transfert thermique s'annule : Q = 0, donc \mathcal{P}(T_1) = 0.

Pour T_3 \in \,]T_2, T_1[, les deux facteurs sont strictement positifs, donc \mathcal{P}(T_3) > 0. La puissance passe par un unique maximum entre T_2 et T_1.

D'après les questions Q21, Q23 et Q24, le rendement de la machine globale s'écrit :

Pour que le transfert thermique s'effectue spontanément de la source solide vers le caloporteur (T_3 \le T_1) et que le moteur ditherme fournisse un travail positif (T_3 \ge T_2), la température T_3 doit être comprise dans l'intervalle [T_2, \, T_1].

La dérivée première par rapport à T_3 vaut :

et la dérivée seconde est négative :

La fonction \eta(T_3) est donc strictement croissante et concave sur [T_2, \, T_1]. Elle s'annule en T_3 = T_2 et atteint sa valeur maximale pour T_3 = T_1, qui coïncide avec le rendement de Carnot \eta_0 :

Le rendement est maximal pour :

En reportant cette valeur dans l'expression de la puissance extraite \mathcal{P}(T_3) = G_{\mathrm{th}}(T_1 - T_3)\left(1 - \frac{T_2}{T_3}\right) établie à la question Q24 :

Commentaire : Pour atteindre le rendement maximal de Carnot \eta_0, il faut que le transfert thermique à l'interface se fasse sans écart de température (T_3 = T_1), condition indispensable à la réversibilité thermique du contact. Cependant, le flux thermique conductif \dot{Q} = G_{\mathrm{th}}(T_1 - T_3) s'annule alors rigoureusement.

Une machine fonctionnant au rendement de Carnot développe donc une puissance utile nulle, car chaque cycle nécessiterait un temps infini (\tau \to \infty) pour transférer une quantité d'énergie finie. Pour extraire une puissance non nulle, il est impératif d'accepter des irréversibilités de transfert fini (T_3 < T_1), ce qui dégrade inévitablement le rendement en deçà de la limite de Carnot.

D'après la question Q24, la puissance moyenne extraite s'écrit pour T_2 \le T_3 \le T_1 :

En développant cette expression, on obtient :

La fonction \mathcal{P} est continûment dérivable par rapport à T_3 sur ]T_2, T_1[. Sa dérivée s'écrit :

La condition d'annulation \frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}T_3} = 0 conduit à :

Les températures étant strictement positives, l'unique solution est la moyenne géométrique des températures T_1 et T_2 :

Puisque T_1 > T_2 > 0, on a bien T_2 < \sqrt{T_1 T_2} < T_1, de sorte que cette valeur appartient à l'intervalle physique considéré.

De plus, la dérivée seconde :

est strictement négative sur tout l'intervalle, ce qui assure que cette valeur correspond bien au maximum absolu de la puissance.

La valeur optimale de T_3 est donc :

D'après la question Q26, le rendement de la machine ditherme s'écrit en fonction de la température T_3 du caloporteur :

À puissance maximale, la température optimale trouvée à la question Q27 est T_3 = \sqrt{T_1 T_2}. En substituant cette valeur dans l'expression du rendement, on obtient :

soit finalement :

D'après la question 22, le rendement de Carnot s'écrit :

En substituant ce rapport dans l'expression du rendement à puissance maximale établie à la question 28, \eta_1 = 1 - \sqrt{T_2/T_1}, on obtient :

Dans la limite d'un faible écart relatif de température, soit \eta_0 \ll 1, effectuons un développement limité à l'ordre 1 :

L'expression de \eta_1 se simplifie donc sous la forme :

Pour représenter la variation de \eta_1 en fonction de \eta_0 \in [0,\,1] :

• En \eta_0 = 0, \eta_1 = 0. La tangente à l'origine a pour pente \dfrac{\mathrm{d}\eta_1}{\mathrm{d}\eta_0}(0) = \dfrac{1}{2}.
• Pour \eta_0 \in [0,\,1[, \dfrac{\mathrm{d}\eta_1}{\mathrm{d}\eta_0} = \dfrac{1}{2\sqrt{1-\eta_0}} > 0 et \dfrac{\mathrm{d}^2\eta_1}{\mathrm{d}\eta_0^2} = \dfrac{1}{4(1-\eta_0)^{3/2}} > 0 : la fonction est strictement croissante et convexe.
• En \eta_0 \to 1^-, \eta_1 = 1 et la tangente devient verticale (\lim_{\eta_0 \to 1} \frac{\mathrm{d}\eta_1}{\mathrm{d}\eta_0} = +\infty).
• Pour tout \eta_0 \in ]0,\,1[, la courbe est située sous la première bissectrice (\eta_1 < \eta_0).

D'après le deuxième principe de la thermodynamique, l'entropie créée au cours d'une transformation est nécessairement positive ou nulle :

avec égalité si et seulement si le cycle est entièrement réversible. La durée d'un cycle étant strictement positive (\tau > 0), on en déduit immédiatement le signe de \Sigma :

Pour une machine thermique réelle fonctionnant avec des irréversibilités, on a strictement \Sigma > 0.

Commentaire de la modélisation :

• Limite des processus infiniment lents (\tau \to +\infty) : Lorsque la durée d'un cycle devient très grande devant les temps caractéristiques de relaxation du système, les transformations deviennent quasi-statiques et réversibles : S_c = \Sigma/\tau \to 0. On retrouve bien la limite idéale de Carnot.
• Limite des processus très rapides (\tau \to 0) : À cadence élevée, les irréversibilités (frottements visqueux ou mécaniques, inhomogénéités, transferts thermiques sous gradients finis) divergent : S_c \to +\infty. L'énergie fournie se dissipe sous forme d'entropie créée.

• Dépendance en 1/\tau : Dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles linéaires, les flux dissipatifs (flux thermique, forces de frottement) sont proportionnels aux forces motrices (gradients de température ou vitesses mécaniques), lesquelles sont de l'ordre de 1/\tau. Le taux de création d'entropie instantané varie donc comme le produit d'un flux et d'une force, soit \dot{S}_c \propto 1/\tau^2. Intégrée sur la durée \tau d'un cycle, l'entropie créée par cycle s'écrit :

  S_c = \int_0^\tau \dot{S}_c \, \mathrm{d}t \sim \dot{S}_c \, \tau \propto \frac{1}{\tau}

  Ce modèle phénoménologique rend ainsi compte de manière simple des contraintes de la thermodynamique en temps fini.

Considérons le fluide décrivant le cycle moteur pendant la durée \tau. Comme l'état du fluide est identique au début et à la fin d'un cycle, ses fonctions d'état ont une variation nulle : \Delta U = 0 et \Delta S = 0.

D'après le premier principe de la thermodynamique, en notant Q_2 le transfert thermique reçu de la source froide à la température T_2, et -W le travail reçu par le fluide (W étant le travail extrait de la machine par cycle) :

D'après le second principe de la thermodynamique, le bilan entropique sur un cycle s'écrit :

Les transferts thermiques s'effectuant avec des thermostats aux températures T_1 et T_2, l'entropie échangée vaut :

En introduisant l'expression phénoménologique de l'entropie créée S_{\mathrm{c}} = \dfrac{\Sigma}{\tau}, il vient :

On en déduit le transfert thermique avec la source froide :

En reportant cette relation dans l'expression du travail extrait W, on obtient :

D'après la question Q31, le travail extrait par cycle s'écrit, avec \eta_0 = 1 - \dfrac{T_2}{T_1} :

La puissance mécanique moyenne fournie par la machine sur un cycle de durée \tau est donc :

Pour Q fixé, \mathcal{P}(\tau) est une fonction dérivable sur ]0, +\infty[. Sa dérivée première par rapport à \tau vaut :

La dérivée s'annule pour une unique valeur \tau_2 > 0 :

Comme T_2, \Sigma, \eta_0 et Q sont strictement positifs :

• \dfrac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}\tau} > 0 pour \tau \in ]0, \tau_2[ ;
• \dfrac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}\tau} < 0 pour \tau \in ]\tau_2, +\infty[.

La fonction \mathcal{P}(\tau) admet ainsi un maximum absolu en \tau_2, dont l'expression est :

D'après la question Q31, le travail extrait au cours d'un cycle s'écrit :

où \eta_0 = 1 - \frac{T_2}{T_1} est le rendement de Carnot.

En remplaçant la durée de cycle par la valeur optimale \tau_2 = \frac{2 T_2 \Sigma}{\eta_0 Q} obtenue à la question Q32, le travail mécanique extrait à puissance maximale devient :

Par définition du rendement d'un moteur thermique (question Q21), \eta_2 = \frac{W(\tau_2)}{Q}, d'où :

D'après les questions Q29 et Q33, les rendements à puissance maximale dans chaque modèle s'expriment en fonction du rendement de Carnot \eta_0 = 1 - T_2/T_1 par :

Comparaison des deux rendements :
Pour tout \left.\eta_0 \in \right]0, 1[, la concavité stricte de la fonction racine carrée (ou l'inégalité de Taylor-Lagrange) assure que :

On a donc systématiquement :

Le premier modèle prédit ainsi un rendement à puissance maximale toujours supérieur à celui du second modèle.

Limite de coïncidence :
D'après la question Q29, au voisinage de \eta_0 \to 0, le développement limité au premier ordre donne :

Les deux prédictions coïncident donc dans la limite où :

Degré d'irréversibilité :
Cette limite correspond à un très faible écart relatif de température entre les sources chaude et froide (T_1 - T_2 \ll T_1). Les transferts thermiques se font alors sous des gradients de température très faibles, ce qui correspond à une faible irréversibilité (domaine de la thermodynamique linéaire des processus irréversibles, proche de la réversibilité).

Considérons le système fermé constitué par l'interface de transfert thermique et le fluide caloporteur décrivant un cycle réversible entre T_3 et T_2. Au cours d'un cycle complet de durée \tau :

• l'état du système étant identique au début et à la fin du cycle, la variation d'entropie est nulle : \Delta S_{\mathrm{cycle}} = 0 ;
• le système échange de la chaleur avec la source solide à la température T_1 (chaleur reçue Q) et avec la source froide à la température T_2 (chaleur reçue Q_2).

L'entropie échangée s'écrit donc :

D'après la question Q24, la machine ditherme entre T_3 et T_2 fonctionne de manière réversible, son rendement étant celui de Carnot :

Le bilan entropique sur le cycle s'écrit \Delta S_{\mathrm{cycle}} = S_{\mathrm{ech}} + S_{\mathrm{c}} = 0, d'où :

D'après la question Q23, le transfert thermique à l'interface donne T_1 - T_3 = \dfrac{Q}{G_{\mathrm{th}}\tau}, soit T_3 = T_1 - \dfrac{Q}{G_{\mathrm{th}}\tau}. En substituant :

Dans la limite où la durée du cycle est grande devant le temps caractéristique de transfert thermique, c'est-à-dire :

on peut négliger le terme \dfrac{Q}{G_{\mathrm{th}} T_1 \tau} devant 1 au dénominateur (T_3 \simeq T_1), ce qui donne :

Commentaires :

• Cette expression montre que le modèle phénoménologique introduit à la question Q30 (S_{\mathrm{c}} = \Sigma/\tau) correspond précisément au régime des faibles gradients thermiques (T_1 - T_3 \ll T_1) du premier modèle, avec la constante \Sigma = \dfrac{Q^2}{G_{\mathrm{th}} T_1^2} > 0.
• Lorsque \tau \to \infty (fonctionnement quasi-statique), S_{\mathrm{c}} \to 0 : le transfert thermique devient réversible et la machine atteint le rendement de Carnot.
• À l'inverse, lorsque \tau diminue (recherche de grande puissance), l'écart thermique T_1 - T_3 s'accroît, engendrant une forte création d'entropie qui dégrade le rendement effectif.

Pour fournir une énergie mécanique (ou électrique) W, l'énergie thermique à extraire du combustible est :

Le coût du combustible consommé est proportionnel à Q, donc inversement proportionnel au rendement \eta :

• Cas où le coût du combustible est très supérieur au coût d'investissement :
  La dépense principale provient de l'achat de combustible (charbon, gaz, etc.). Pour minimiser la consommation Q à énergie utile W fixée, on a tout intérêt à optimiser (maximiser) le rendement \eta, quitte à réduire la puissance instantanée et à accepter des installations de plus grandes dimensions.
• Cas où le coût de construction et de fonctionnement est très supérieur au coût du combustible :
  Le coût du combustible est négligeable devant les coûts fixes d'investissement (capital investi pour le réacteur, échangeurs, turbines). L'objectif est d'amortir au plus vite cette infrastructure en maximisant la recette par unité de temps, c'est-à-dire en maximisant la puissance électrique délivrée \mathcal{P}. Par ailleurs, pour fournir une puissance cible donnée \mathcal{P}, fonctionner au régime de puissance maximale permet de minimiser la taille requise pour les échangeurs thermiques (conductance G_{\text{th}}). On a donc intérêt à maximiser la puissance.

En résumé :