Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2022

La cellule fonctionne en générateur ; la puissance électrique qu'elle fournit au circuit extérieur est donnée par :

À partir de la courbe I(U) tracée pour \mathcal{E}_i = 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, relevons plusieurs points de fonctionnement :

Tracons l'allure de la puissance P(U) ainsi obtenue :

Le tracé de P(U) met clairement en évidence un extremum :

La puissance maximale délivrée vaut alors :

Comparaison et commentaire : Ces valeurs coïncident parfaitement avec les grandeurs nominales indiquées dans le tableau de la figure 1 :

Le régime nominal d'une cellule photovoltaïque correspond donc au point de puissance maximale (Maximum Power Point, noté MPP) sous l'éclairement standard \mathcal{E}_i = 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}. En pratique, un hacheur asservi (suiveur de point de puissance maximale, MPPT) adapte la charge connectée au panneau pour opérer en permanence au voisinage de ce point optimal.

L'efficacité énergétique (ou rendement) \eta de la cellule photovoltaïque en régime nominal est le rapport de la puissance électrique fournie P_n sur la puissance lumineuse incidente P_{\text{lum}} reçue par le capteur :

D'après la légende de la figure 1, la cellule a une surface de collecte S = 100\text{ cm}^2 = 1{,}00 \times 10^{-2}\text{ m}^2.

Sous l'éclairement nominal \mathcal{E}_i = 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}, la puissance lumineuse reçue vaut :

La puissance électrique nominale étant P_n = 1{,}32\text{ W}, on en déduit :

Commentaire : Cette valeur d'environ 13\% est tout à fait typique des cellules photovoltaïques commerciales au silicium (dont les rendements se situent usuellement entre 12\% et 20\%). L'essentiel de l'énergie solaire incidente n'est pas converti en électricité en raison de plusieurs facteurs physiques : la non-absorption des photons d'énergie inférieure à la largeur de bande interdite (h\nu < E_g), la thermalisation de l'excédent d'énergie pour les photons plus énergétiques (h\nu > E_g), ainsi que les pertes par réflexion et les recombinaisons des porteurs.

La caractéristique I(U) d'une cellule photovoltaïque relie le courant délivré I à la tension à ses bornes U. Elle passe par les deux points limites de fonctionnement :

• le point de court-circuit (U=0,\, I=I_c) ;
• le point de circuit ouvert (ou à vide) (U=U_v,\, I=0).

Le point nominal de fonctionnement (U_n, I_n) correspond au point où la puissance délivrée P(U) = U I est maximale.

Sur le graphique :

• le dénominateur U_v I_c représente l'aire du rectangle circonscrit de côtés U_v et I_c ;
• le numérateur U_n I_n = P_n représente l'aire du rectangle inscrit délimité par l'origine et le point de fonctionnement nominal (U_n, I_n).

La fonction I(U) étant strictement décroissante, tout point de fonctionnement vérifie nécessairement 0 < U_n < U_v et 0 < I_n < I_c. Le rectangle de puissance nominale est donc strictement inclus dans le rectangle englobant, ce qui fournit la majoration :

D'après la définition fournie par l'énoncé, le facteur de forme s'écrit :

En utilisant les valeurs numériques données dans le tableau de la figure 1 pour un éclairement \mathcal{E}_i = 1000\text{ W}\cdot\text{m}^{-2} :

• P_n = 1{,}32\text{ W} (ou U_n I_n = 0{,}47 \times 2{,}8 = 1{,}316\text{ W}) ;
• U_v = 0{,}60\text{ V} ;
• I_c = 3{,}0\text{ A}.

L'application numérique donne :

L'équation du mouvement est issue du principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de conduction (de masse m et de charge -e) dans le référentiel du réseau cristallin, supposé galiléen :

Elle fait intervenir trois termes vectoriels :

• m \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} : le terme d'inertie (produit de la masse par l'accélération de l'électron) ;
• -e\vec{E} : la force électrostatique (partie électrique de la force de Lorentz) subie par la particule de charge -e plongée dans le champ électrique \vec{E} ;
• -m \dfrac{\vec{v}}{\tau} : une force de frottement fluide phénoménologique, qui modélise dans l'approche de Drude la perte de quantité de mouvement moyenne due aux collisions des électrons avec le réseau cristallin (phonons, impuretés). La constante \tau s'interprète comme le temps de relaxation (temps moyen entre deux collisions successives).

En régime permanent, la vitesse moyenne des électrons de conduction est constante au cours du temps, soit :

L'équation du mouvement issue du modèle de Drude devient alors :

On en déduit l'expression de la vitesse des électrons :

La vitesse \vec{v} est donc bien colinéaire et proportionnelle au champ électrique appliqué \vec{E}. Par identification avec la relation définissant la mobilité \vec{v} = \mu_e \vec{E}, on obtient :

Le flux de charges associé aux n_e électrons de conduction par unité de volume, chacun de charge q = -e et animé de la vitesse moyenne de dérive \vec{v}, engendre un vecteur densité volumique de courant :

En utilisant l'expression de la vitesse en régime permanent obtenue à la question Q6, \vec{v} = -\frac{e\tau}{m} \vec{E}, il vient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma \vec{E}, on en déduit la conductivité électrique du matériau selon le modèle de Drude :

Dans le silicium pur (intrinsèque), le départ d'un électron de conduction s'accompagne de la création d'un trou, si bien que les densités volumiques d'électrons et de trous sont égales :

Les deux types de porteurs participent au transport de charge. La densité volumique de courant totale s'écrit :

Avec \vec{v}_e = -|\mu_e|\,\vec{E} et \vec{v}_p = \mu_p\,\vec{E}, il vient :

Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{j} = \gamma\,\vec{E}, la conductivité intrinsèque s'exprime par :

On en déduit la densité électronique :

Application numérique avec les données de l'annexe :

• \gamma = 4{,}3 \times 10^{-4}\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• e = 1{,}62 \times 10^{-19}\text{ C}
• |\mu_e| = 1{,}5 \times 10^{-1}\text{ m}^2\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}
• \mu_p = 4{,}5 \times 10^{-2}\text{ m}^2\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{s}^{-1}

La densité volumique d'atomes de silicium dans le cristal vaut :

Avec \rho = 2{,}33 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, M = 28{,}1 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} et \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

La proportion d'atomes de silicium libérant un électron de conduction est alors :

D'après les données, la structure électronique de valence du silicium (Z = 14, colonne 14) est 3\text{s}^2\,3\text{p}^2, soit 4 électrons de valence.

À l'aide de l'extrait de la classification périodique fourni :

• Le bore (\text{B}, Z=5) et le gallium (\text{Ga}, Z=31) appartiennent à la colonne 13 (groupe du bore) et possèdent 3 électrons de valence sur leur couche externe. Possédant un électron de valence de moins que le silicium, ils agissent comme accepteurs d'électrons : ils créent des trous mobiles dans le réseau cristallin. Ce sont des dopants de type \boldsymbol{P}.
• Le phosphore (\text{P}, Z=15) et l'arsenic (\text{As}, Z=33) appartiennent à la colonne 15 (groupe de l'azote) et possèdent 5 électrons de valence sur leur couche externe. Possédant un électron de valence supplémentaire par rapport au silicium, ils agissent comme donneurs d'électrons : ils libèrent des électrons de conduction. Ce sont des dopants de type \boldsymbol{N}.

Le taux de dopage (ou pourcentage de substitution) représente la fraction d'atomes de silicium remplacés par des atomes dopants de bore. En notant n_B = 10^{22}\text{ m}^{-3} la densité volumique d'atomes de bore introduits et n_{\text{Si}} la densité volumique d'atomes de silicium dans le cristal, ce taux s'écrit :

D'après la question Q8, la densité volumique d'atomes de silicium est :

On en déduit la valeur du taux de dopage :

Exprimé en pourcentage, le taux de substitution obtenu est :

Pour évaluer la conductivité \gamma du silicium dopé au bore, on formule les hypothèses physiques suivantes :

1. Ionisation totale des dopants à température ambiante : chaque atome de bore introduit un trou dans la bande de valence, soit une densité de trous majoritaires :

   n_p \approx n_{\mathrm{B}} = 10^{22}\text{ m}^{-3}
2. Négligence des porteurs minoritaires : la densité de trous n_p = 10^{22}\text{ m}^{-3} est très supérieure à la densité intrinsèque n_i \approx 1{,}4\times 10^{16}\text{ m}^{-3} (d'après la question Q8). La loi d'action de masse implique que la densité d'électrons libres n_e = n_i^2/n_p \approx 2\times 10^{10}\text{ m}^{-3} est totalement négligeable devant n_p. La conduction est donc quasi exclusivement assurée par les trous.
3. Constance de la mobilité : on suppose que la mobilité des trous reste égale à celle du silicium intrinsèque fournie dans les données, soit \mu_p = 4{,}5\times 10^{-2}\text{ m}^2\cdot\text{V}^{-1}\cdot\text{s}^{-1} (on néglige l'effet de diffusion supplémentaire sur les impuretés ionisées).

La conductivité électrique du silicium dopé s'exprime alors par :

Application numérique :

Commentaire : La conductivité intrinsèque du silicium pur vaut \gamma_{\mathrm{int}} = 4{,}3\times 10^{-4}\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}. Le dopage au bore permet d'augmenter la conductivité d'un facteur :

Ainsi, l'introduction d'une infime proportion d'atomes dopants (de l'ordre de 2\times 10^{-5}\,\%, d'après la question Q10) accroît la conductivité de plus de cinq ordres de grandeur. Cette conductivité reste néanmoins nettement inférieure à celle d'un bon conducteur métallique (de l'ordre de 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}).

Le dopage présente deux intérêts fondamentaux pour une cellule photovoltaïque :

1. Augmentation de la conductivité et réduction de la résistance interne :
   Comme établi en Q11, le dopage multiplie la conductivité électrique par un facteur de l'ordre de 10^5 par rapport au silicium intrinsèque (\gamma \approx 73\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} contre 4{,}3\times 10^{-4}\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}). Cette hausse considérable permet de diminuer drastiquement la résistance interne de la cellule, ce qui limite les pertes par effet Joule lors du débit et autorise l'extraction d'un courant électrique d'intensité notable (plusieurs ampères).
2. Création d'une jonction PN pour la séparation des charges :
   Un matériau homogène éclairé verrait les paires électron-trou créées par les photons se recombiner rapidement sans produire de courant extérieur. En juxtaposant une zone dopée P et une zone dopée N, on réalise une jonction PN au sein de laquelle s'établit un champ électrique interne (dans la zone de charge d'espace). Ce champ sépare spatialement les électrons et les trous photogénérés en les drainant vers des zones opposées, créant ainsi une force électromotrice capable d'alimenter un circuit extérieur.

Le phénomène physique responsable de la migration initiale des porteurs majoritaires à travers la jonction est le phénomène de diffusion (diffusion de matière).

À la mise en contact ou à l'interface des deux zones, il existe un très fort gradient de concentration pour chaque type de porteur :

• les électrons, très largement majoritaires dans la zone N (n_e \approx n_N) et quasi-absents de la zone P, diffusent de la zone N vers la zone P ;
• les trous, très largement majoritaires dans la zone P (n_p \approx n_P) et quasi-absents de la zone N, diffusent de la zone P vers la zone N.

Ce transport de particules par agitation thermique tend spontanément à homogénéiser les densités de porteurs (courant de diffusion régi par la première loi de Fick).

Dans le modèle de la jonction abrupte complètement désertée de porteurs libres dans la zone de charge d'espace (approximation de déplétion) :

• Dans la zone \text{N} comprise entre z = 0 et z = z_1, les atomes donneurs ont perdu leur électron de conduction parti diffuser vers la zone \text{P}. Il subsiste des ions donneurs fixes et ionisés portant chacun une charge +e. La densité volumique d'atomes donneurs étant n_N, la densité volumique de charge s'écrit :

  \boxed{\rho_1 = +e\,n_N}

• Dans la zone \text{P} comprise entre z = z_2 et z = 0 (z_2 < 0), chaque atome accepteur a capté un électron (ce qui revient à la disparition d'un trou libre). Il subsiste donc des ions accepteurs fixes portant chacun une charge -e. La densité volumique d'atomes accepteurs étant notée n_P, la densité volumique de charge s'écrit :

  \boxed{\rho_2 = -e\,n_P}

En dehors de cette zone de déplétion (pour z < z_2 et z > z_1), le semi-conducteur reste électriquement neutre (\rho = 0).

Le semi-conducteur étant globalement neutre, la charge totale développée dans la zone de charge d'espace (ZCE) par unité de surface de jonction S doit être nulle. D'après l'énoncé de la question Q14, tous les électrons libérés par les atomes donneurs dans la tranche [0, z_1] sont captés par les atomes accepteurs dans la tranche [z_2, 0].

La condition de neutralité globale de la zone de déplétion s'écrit :

En décomposant l'intégrale de part et d'autre de la jonction en z = 0 et en utilisant les densités volumiques de charge déterminées en Q14 (\rho_1 = +e\,n_N et \rho_2 = -e\,n_P) :

Sachant que z_1 > 0 et z_2 < 0, l'épaisseur de la zone désertée côté P vaut -z_2. On obtient la relation :

Direction du champ électrostatique : Dans le modèle unidimensionnel, les couches dopées sont considérées comme infinies selon les directions transverses (Ox) et (Oy). La distribution de charges présente donc :

• Une invariance par translation selon x et y, d'où \vec{E} = \vec{E}(z) ;
• Pour tout point M(z), tout plan contenant la droite parallèle à (Oz) passant par M (en particulier les plans x = \text{cste} et y = \text{cste}) est un plan de symétrie de la distribution de charges.

Le champ électrostatique en un point appartenant à l'intersection de deux plans de symétrie orthogonaux est dirigé selon leur droite d'intersection. Le champ électrostatique est donc rigoureusement parallèle à l'axe (Oz) :

Justification de la forme de la courbe E(z) : L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit dans le silicium (diélectrique de permittivité \varepsilon) :

Comme la densité de charge volumique ne présente aucune singularité surfacique, le champ E(z) est continu sur tout l'espace.

Étudions les différentes régions :

• Pour z < z_2 et z > z_1, en dehors de la zone de charge d'espace, le milieu est électriquement neutre (\rho = 0) : \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = 0. Le champ étant nul dans les zones quasineutres à l'équilibre, on a :

  E(z) = 0 \quad \text{pour } z < z_2 \text{ et } z > z_1

• Pour z_2 < z < 0 (zone de déplétion côté P) : d'après la question Q14, \rho(z) = \rho_2 = -e\,n_P < 0. La dérivée est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = \frac{\rho_2}{\varepsilon} < 0

  Par continuité en z = z_2 où E(z_2) = 0, E(z) décroît linéairement :

  E(z) = \frac{\rho_2}{\varepsilon}(z - z_2) = -\frac{e\,n_P}{\varepsilon}(z - z_2)

  En z = 0, le champ atteint sa valeur minimale, notée -E_{\max} :

  E(0) = \frac{\rho_2}{\varepsilon}(-z_2) = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon} = -E_{\max} < 0 \quad (\text{car } z_2 < 0)

• Pour 0 < z < z_1 (zone de déplétion côté N) : d'après la question Q14, \rho(z) = \rho_1 = +e\,n_N > 0. La dérivée est constante et positive :

  \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = \frac{\rho_1}{\varepsilon} > 0

  E(z) croît donc linéairement depuis la valeur -E_{\max} :

  E(z) = -E_{\max} + \frac{e\,n_N}{\varepsilon} z

  Grâce à la neutralité globale établie à la question Q15 (n_N z_1 = -n_P z_2), la fonction s'annule exactement en z = z_1 :

  E(z_1) = -\frac{e\,n_P(-z_2)}{\varepsilon} + \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon} = 0

La fonction E(z) est donc nulle en dehors de [z_2, z_1], continue, affine par morceaux avec une pente négative pour z \in [z_2, 0] puis positive pour z \in [0, z_1], et admet un extremum négatif -E_{\max} en z=0, ce qui justifie précisément l'allure triangulaire de la figure 2.

D'après l'équation de Maxwell-Gauss établie à la question Q16, le champ électrostatique \vec{E}(z) = E(z)\vec{e}_z vérifie :

En dehors de la zone de charge d'espace, le milieu est électriquement neutre, d'où E(z) = 0 pour z \leqslant z_2 et pour z \geqslant z_1.

1. Côté zone N (0 < z < z_1) : la densité volumique de charge vaut \rho_1 = +e\,n_N. En intégrant entre z = 0 et z = z_1 :

   \begin{aligned} E(z_1) - E(0) &= \int_0^{z_1} \frac{e\,n_N}{\varepsilon}\,\mathrm{d}z = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon} \end{aligned}

   Comme E(z_1) = 0 et E(0) = -E_{\text{max}} d'après la figure 2, on a -(-E_{\text{max}}) = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon}, soit :

   \boxed{E_{\text{max}} = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon}}

2. Côté zone P (z_2 < z < 0) : la densité volumique de charge vaut \rho_2 = -e\,n_P. En intégrant entre z_2 et 0 :

   \begin{aligned} E(0) - E(z_2) &= \int_{z_2}^0 \left(-\frac{e\,n_P}{\varepsilon}\right)\mathrm{d}z = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon} \end{aligned}

   Comme E(z_2) = 0 et E(0) = -E_{\text{max}}, il vient -E_{\text{max}} = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon}, c'est-à-dire :

   \boxed{E_{\text{max}} = -\frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon}}

Le champ électrique dérive du potentiel électrostatique selon la relation :

soit :

En intégrant entre la limite côté P (z = z_2) et la limite côté N (z = z_1), on obtient la différence de potentiel de contact (ou potentiel interne) V_0 :

D'après la figure 2, la courbe représentative de E(z) entre z_2 et z_1 est formée de deux segments linéaires se rejoignant en z = 0 à la valeur -E_{\max}, avec E(z_2) = E(z_1) = 0.

L'intégrale \int_{z_2}^{z_1} E(z)\,\mathrm{d}z correspond à l'aire algébrique délimitée par la courbe E(z) et l'axe des abscisses, qui forme un triangle de base z_1 - z_2 et de hauteur -E_{\max} :

On en déduit immédiatement :

D'après les résultats de la question Q17, le champ électrique maximal s'exprime par :

On en déduit immédiatement les extensions de la zone de charge d'espace de part et d'autre de la jonction :

L'épaisseur totale w = z_1 - z_2 de la zone de déplétion vaut donc :

Par ailleurs, la relation obtenue à la question Q18 donne :

En injectant cette expression de E_{\max} dans celle de w, on obtient :

Puisque w > 0, on aboutit finalement à :

D'après l'expression établie à la question Q19, l'épaisseur de la zone de déplétion s'écrit :

avec \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r.

À partir des données de l'énoncé :

• n_N = 1{,}0 \times 10^{24}\text{ m}^{-3} ;
• n_P = \dfrac{n_N}{100} = 1{,}0 \times 10^{22}\text{ m}^{-3} ;
• \dfrac{1}{n_P} + \dfrac{1}{n_N} = 1{,}0 \times 10^{-22} + 1{,}0 \times 10^{-24} = 1{,}01 \times 10^{-22}\text{ m}^3 ;
• \varepsilon = 11{,}8 \times 8{,}85 \times 10^{-12} = 1{,}044 \times 10^{-10}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• V_0 = 0{,}84\text{ V} ;
• e = 1{,}62 \times 10^{-19}\text{ C} (selon la table des constantes du sujet).

L'application numérique donne :

D'après l'énoncé, l'énergie minimale requise pour créer une paire électron-trou correspond au franchissement de la barrière de potentiel de potentiel V_0 par une charge élémentaire e, soit :

L'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda dans le vide est donnée par la relation de Planck-Einstein :

La création d'une paire électron-trou par absorption d'un photon n'est donc possible que si E_{\text{ph}} \geqslant E_{\min}, c'est-à-dire :

Avec V_0 = 0{,}84\text{ V} (valeur issue de la question Q20) et les données du sujet :

Adéquation au rayonnement solaire : Le spectre du rayonnement solaire arrivant au sol présente un maximum d'intensité dans le domaine visible (\lambda \approx 500\text{ nm}) et s'étend principalement des ultraviolets proches (\lambda \approx 300\text{ nm}) jusqu'à l'infrarouge.

Puisque la longueur d'onde seuil \lambda_{\max} \approx 1{,}46\text{ }\mu\text{m} est située dans le proche infrarouge, l'ensemble des photons du spectre visible (400\text{ nm} \leqslant \lambda \leqslant 750\text{ nm}) ainsi qu'une fraction majeure du proche infrarouge possèdent une énergie suffisante pour créer des paires électron-trou (E_{\text{ph}} \geqslant 0{,}84\text{ eV}).

1. Évolution des porteurs générés :

• D'après la question Q16, le champ électrique interne de jonction est dirigé suivant les z décroissants : \vec{E} = E(z)\,\vec{e}_z avec E(z) < 0 (soit de la zone N vers la zone P).
• L'électron créé dans la zone de déplétion est soumis à la force électrostatique \vec{F}_e = -e\vec{E}, orientée vers les z croissants. Il est donc accéléré et repoussé vers la zone N.
• Le trou créé, de charge positive +e, est soumis à la force \vec{F}_h = +e\vec{E}, orientée vers les z décroissants. Il est donc accéléré et entraîné vers la zone P.

2. Rôle de générateur, polarité et sens du courant :

• La séparation spatiale systématique de ces porteurs photo-induits provoque une accumulation d'électrons libres dans la zone N et de trous dans la zone P.
• Il apparaît ainsi une force électromotrice : la zone P constitue le pôle positif (+) et la zone N constitue le pôle négatif (-).
• Dans le circuit extérieur fermé sur le récepteur, les électrons transitent de la zone N vers la zone P. Le sens conventionnel du courant électrique I (sens inverse de circulation des électrons) est donc orienté du pôle positif (zone P) vers le pôle négatif (zone N) à travers le récepteur.

Dans un milieu d'indice de réfraction réel n, la relation de dispersion d'une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation \omega s'écrit :

La forme générale du facteur de phase d'une onde plane progressive est \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}, où \vec{r} = z\vec{e}_z.

• Onde incidente : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_i = \frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

  ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_i z) avec k_i = \frac{n_v \omega}{c}.

• Onde réfléchie : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z décroissants, vers les z<0. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_r = -\frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

  On retrouve alors la phase \omega t - \vec{k}_r\cdot\vec{r} = \omega t - (-k_r z) = \omega t + k_r z avec k_r = \frac{n_v \omega}{c}.

• Onde transmise : elle se propage dans le silicium (indice n_s) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_t = \frac{n_s \omega}{c}\vec{e}_z

  ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_t z) avec k_t = \frac{n_s \omega}{c}.

Dans les deux milieux considérés (verre et silicium), assimilés à des diélectriques parfaits non magnétiques (\mu = \mu_0), l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :

Pour une onde plane progressive monochromatique harmonique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, cette relation donne la structure de l'onde :

Onde incidente (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_i = \dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z (d'après la question Q23). On a donc :

d'où l'amplitude du champ magnétique incident :

et l'expression complète :

Onde réfléchie (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_r = -\dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

d'où l'amplitude du champ magnétique réfléchi :

et l'expression complète :

Onde transmise (dans le silicium, z > 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_t = \dfrac{n_s \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

d'où l'amplitude du champ magnétique transmis :

et l'expression complète :

L'onde étant sous incidence normale avec une direction de propagation selon \vec{e}_z, les champs électriques et magnétiques sont purement transverses, donc entièrement contenus dans le plan de l'interface z = 0 : toutes leurs composantes sont tangentielles.

Sans perte de généralité, fixons la polarisation rectiligne du champ électrique incident selon \vec{u}_x :

D'après les résultats de la question Q24, les amplitudes des champs magnétiques associés s'écrivent :

D'après l'énoncé, les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique sont continues en z = 0 à chaque instant :

1. Continuité du champ électrique tangentiel en z = 0 :

   E_{0i} + E_{0r} = E_{0t} \tag{1}

2. Continuité du champ magnétique tangentiel en z = 0 :

   \frac{n_v}{c} (E_{0i} - E_{0r}) = \frac{n_s}{c} E_{0t} \iff n_v(E_{0i} - E_{0r}) = n_s E_{0t} \tag{2}

En injectant la relation (1) dans la relation (2), il vient :

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique r = \frac{E_{0r}}{E_{0i}} est donc :

En identifiant avec la notation générale de l'énoncé r_{12} = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} pour les milieux 1 = v (verre) et 2 = s (silicium), on obtient :

soit sous forme vectorielle : \vec{E}_{0r} = r_{vs} \vec{E}_{0i}.

Le flux moyen d'énergie électromagnétique transporté par une onde plane progressive monochromatique se propageant dans un milieu d'indice n est donné par la norme du vecteur de Poynting moyen :

Les ondes incidente et réfléchie se propageant toutes deux dans le même milieu (le verre d'indice n_v), le coefficient de réflexion énergétique R s'écrit simplement :

En utilisant l'expression de r_{vs} établie à la question Q25 :

Avec n_v = 1{,}5 et n_s = 4{,}0 :

Soit numériquement :

Commentaire : Plus d'un cinquième (21\,\%) de l'énergie lumineuse incidente est directement réfléchie à l'interface verre-silicium et ne peut donc pas être absorbée pour produire des paires électron-trou. Il s'agit d'une perte d'énergie considérable qui diminue significativement le rendement de la cellule. Cela justifie la mise en place d'un traitement antireflet (étudié en partie III.B) pour abaisser ce facteur de réflexion et maximiser le rayonnement transmis dans le silicium.

À l'interface z = e entre le dépôt antireflet (milieu d, pour 0 < z < e) et le silicium (milieu s, pour z > e), la lumière se propage sous incidence normale. Les champs électriques sont purement transverses (orthogonaux à \vec{e}_z).

Dans la couche antireflet, le champ électrique total s'écrit :

avec k_d = \dfrac{n_d\omega}{c}. D'après la relation de structure d'une onde plane progressive monochromatique (analogue à la question Q24), le champ magnétique associé est :

Dans le silicium (z > e), seule l'onde transmise vers les z > 0 se propage :

La continuité des composantes tangentielles des champs électrique et magnétique en z = e s'écrit :

En éliminant le champ transmis \underline{\vec{E}}_t(e,t) entre ces deux équations, on obtient :

Soit, avec r_{ds} = \dfrac{n_d - n_s}{n_d + n_s} :

En remplaçant par les formes d'onde en z = e :

Après simplification par \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, on dégage l'amplitude complexe \underline{\vec{E}}_{02} :

Or, 2k_d e = 2\,\dfrac{n_d\omega}{c}\,e = \varphi. On aboutit donc directement à :

Dans le verre (z < 0), l'onde réfléchie étant nulle par hypothèse, le champ électromagnétique se réduit à l'onde incidente :

Dans la couche antireflet (0 < z < e), le champ est la somme de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur le silicium :

Les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique étant continues en z = 0, on obtient en choisissant une polarisation rectiligne selon \vec{e}_x (et donc un champ magnétique selon \vec{e}_y) :

En éliminant l'amplitude incidente \vec{E}_{0i}, il vient :

soit :

Or, d'après le résultat de la question Q27, l'interface en z = e impose :

Comme l'amplitude transmise \vec{E}_{01} n'est pas identiquement nulle, on en déduit l'égalité :

Dans le cas d'une couche intermédiaire où n_v < n_d < n_s :

On peut donc réécrire la relation sous la forme :

Comme |r_{vd}| / |r_{ds}| est un réel strictement positif et que |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}| = 1, l'égalité impose :

1. Pour la phase : \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi} = -1, ce qui nécessite :

   \boxed{\varphi = (2p+1)\pi \quad (p \in \mathbb{Z})}

2. Pour les amplitudes : |r_{vd}| = |r_{ds}|, soit avec les signes identifiés :

   \begin{aligned} r_{vd} = r_{ds} &\iff \frac{n_v - n_d}{n_v + n_d} = \frac{n_d - n_s}{n_d + n_s} \\ &\iff (n_v - n_d)(n_d + n_s) = (n_d - n_s)(n_v + n_d) \\ &\iff n_v n_d + n_v n_s - n_d^2 - n_d n_s = n_d n_v + n_d^2 - n_s n_v - n_s n_d \\ &\iff 2n_d^2 = 2n_v n_s. \end{aligned}

Les indices optiques étant positifs, on conclut :

En l'absence de traitement antireflet, une fraction significative de l'énergie lumineuse incidente est renvoyée par réflexion à l'interface verre-silicium : d'après la question Q26, le coefficient de réflexion énergétique vaut :

Plus d'un cinquième des photons incidents est ainsi définitivement perdu pour l'effet photovoltaïque.

Lorsque les conditions établies à la question Q28 sont satisfaites (\varphi = (2p+1)\pi et n_d = \sqrt{n_v n_s}), l'interférence destructive des ondes réfléchies annule complètement l'onde réfléchie dans le verre (R = 0). En l'absence d'absorption au sein de la couche mince diélectrique, la conservation du flux énergétique impose un facteur de transmission surfacique vers le silicium maximal :

La totalité du flux de photons incidents à cette longueur d'onde pénètre alors dans le silicium pour y créer des paires électron-trou dans la zone de déplétion (d'après la question Q22). Cela permet de maximiser le photocourant généré et, par suite, d'accroître la puissance électrique utile et l'efficacité globale \eta de la cellule.

Par ailleurs, l'épaisseur e du dépôt de nitrure de silicium est couramment choisie pour p=0 (\varphi = \pi, soit e = \frac{\lambda_0}{4 n_d}) pour une longueur d'onde \lambda_0 \approx 600\text{ nm}, précisément située au voisinage du maximum d'émission spectrale du rayonnement solaire au niveau du sol (spectre AM1.5).

Pour la fonction d'onde proposée \psi(x,t) = \psi_0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega t - kx)}, les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant ces expressions dans l'équation de Schrödinger :

Comme \psi(x,t) n'est pas identiquement nulle, on peut simplifier par \psi(x,t), ce qui donne :

Puisque \hbar, m, \omega et k sont des grandeurs indépendantes de la position spatiale x, le terme de gauche et le premier terme de droite sont constants. Par conséquent, l'énergie potentielle V(x) doit être indépendante de x.

Une onde plane sinusoïdale est donc solution pour un potentiel uniforme (constant) :

En particulier, si l'on choisit la référence de l'énergie potentielle telle que V_0 = 0, la particule est libre.

La relation de dispersion liant la pulsation \omega au nombre d'onde k s'écrit alors :

Dans le cas d'une particule libre (V_0 = 0), elle prend la forme classique :

D'après la question Q30, la relation de dispersion obtenue pour un potentiel constant V(x) = V_0 s'écrit :

Multiplions cette relation par la constante de Planck réduite \hbar :

Introduisons les relations fondamentales de la physique quantique :

• La relation de Planck-Einstein associe à la pulsation \omega l'énergie totale E de la particule :

  E = \hbar\omega

• La relation de de Broglie associe au vecteur d'onde k la quantité de mouvement (ou impulsion) p de la particule :

  p = \hbar k

En substituant ces deux relations, l'équation de dispersion devient :

Cette relation quantique coïncide exactement avec l'expression classique de l'énergie mécanique E_m d'une particule non relativiste de masse m évoluant dans un potentiel constant V_0 :

Le premier terme correspond à l'énergie cinétique E_c = \frac{p^2}{2m} et le second à l'énergie potentielle E_p = V_0.

L'équation de Schrödinger unidimensionnelle s'écrit :

En substituant la forme stationnaire \psi(x, t) = \varphi(x)\chi(t), on obtient :

En divisant chaque membre par le produit \varphi(x)\chi(t) (pour les points où la fonction d'onde ne s'annule pas) :

Le membre de gauche dépend uniquement de la variable temporelle t, tandis que le membre de droite dépend uniquement de la variable spatiale x. Cette égalité n'est possible pour toutes valeurs de x et de t que si les deux membres sont égaux à une même constante indépendante de x et de t.

D'après les relations de Planck-Einstein (E = \hbar\omega, question Q31), cette constante de séparation homogène à une énergie est l'énergie E de la particule dans cet état :

Pour la composante spatiale \varphi(x), on obtient l'équation de Schrödinger stationnaire (ou équation aux valeurs propres de l'énergie) :

que l'on peut également mettre sous la forme canonique :

À l'extérieur du segment [0, L], le potentiel est infini (V(x) = +\infty), ce qui impose une probabilité de présence nulle : la fonction d'onde s'annule identiquement pour x \leqslant 0 et x \geqslant L. Par continuité de \varphi en x = 0 et x = L, les conditions aux limites s'écrivent :

À l'intérieur de la boîte (0 < x < L), l'énergie potentielle est nulle (V(x) = 0). L'équation de Schrödinger indépendante du temps établie à la question Q32 devient :

Supposons que l'énergie puisse être négative (E < 0). En posant \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} > 0, l'équation s'écrit :

La solution générale est une combinaison de fonctions hyperboliques :

L'application des conditions aux limites conduit à :

• \varphi(0) = 0 \implies A = 0 ;
• \varphi(L) = 0 \implies B\sinh(\kappa L) = 0.

Comme \kappa > 0 et L > 0, \sinh(\kappa L) \neq 0, d'où B = 0.

La fonction d'onde serait donc identiquement nulle sur tout l'espace, ce qui est incompatible avec la condition de normalisation \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,\mathrm{d}x = 1 (la particule doit exister dans la boîte).

Dans le domaine 0 < x < L, le potentiel est nul (V(x) = 0). D'après l'équation issue de la question Q32, la partie spatiale \varphi(x) d'un état stationnaire d'énergie E > 0 vérifie :

La solution générale est de la forme :

Le potentiel étant infini à l'extérieur de la boîte (x < 0 et x > L), la particule ne peut s'y trouver, ce qui impose \varphi(x) = 0 pour x \notin [0, L]. La continuité de la fonction d'onde en x = 0 et x = L conduit aux conditions aux limites :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), il est nécessaire que \sin(kL) = 0, soit :

Comme par définition k > 0, l'entier n est strictement positif (n \in \mathbb{N}^*). Les valeurs permises pour k sont donc discrétisées :

L'énergie de l'électron est alors quantifiée selon :

La condition de normalisation de la fonction d'onde sur l'espace complet détermine l'amplitude B :

En choisissant B réel positif (à un facteur de phase global près) et en réintroduisant la dépendance temporelle \chi_n(t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_n t/\hbar}, on obtient l'expression complète de la fonction d'onde pour x \in [0, L] :

la fonction d'onde étant nulle à l'extérieur de l'intervalle [0, L].

D'après la définition de la grandeur k rappelée à la question Q34 :

La relation E = f(k) est donc parabolique.

Les états stationnaires sont discrets et caractérisés par un nombre d'onde k_n = n k_1 (avec k_1 = \pi/L et n \in \mathbb{N}^*). Les énergies associées valent E_n = n^2 E_1, où E_1 = \frac{\hbar^2 k_1^2}{2m}. Les trois états de plus faible énergie correspondent à :

• n = 1 (état fondamental) : k_1 et E_1 ;
• n = 2 (premier état excité) : k_2 = 2k_1 et E_2 = 4E_1 ;
• n = 3 (deuxième état excité) : k_3 = 3k_1 et E_3 = 9E_1.

D'après la question Q34, l'énergie de l'état fondamental (n=1) d'une particule de masse m confinée dans un puits de potentiel infini de largeur L est :

L'énoncé imposant d'exprimer les énergies en \text{eV}, on divise par la charge élémentaire e :

Avec les valeurs numériques fournies :

• h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• L = 1\text{ }\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m} ;
• e = 1{,}62 \times 10^{-19}\text{ C}.

Il vient :

L'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à la température T = 300\text{ K} est donné par :

En convertissant en électron-volts avec k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} :

On constate que l'énergie fondamentale E_1, ainsi que l'écart entre niveaux successifs de basse énergie \Delta E_n = E_{n+1} - E_n = (2n+1)E_1, sont extrêmement faibles devant l'énergie d'agitation thermique :

L'agitation thermique est largement suffisante pour exciter les électrons entre niveaux voisins. La quantification des niveaux d'énergie devient donc indiscernable expérimentalement : le spectre discret est assimilable à un spectre continu d'états accessibles, d'où le terme de quasi-continuum d'énergie.

D'après le préambule de la partie IV.B, la densité linéique d'électrons libres le long du segment de longueur L vaut N_0^{1/3}. Le nombre total d'électrons confinés dans la boîte est donc :

À T = 0\text{ K}, le système se trouve dans son état fondamental. Les électrons occupent successivement les niveaux d'énergie E_n les plus bas possibles (n = 1, 2, \dots, n_F). En vertu du principe d'exclusion de Pauli, chaque état orbital n ne peut contenir qu'au maximum deux électrons (de projections de spin \pm 1/2).

Le remplissage complet des n_F premiers états conduit à :

On en déduit le nombre de Fermi :

D'après la question Q34, l'énergie d'un niveau stationnaire est E_n = n^2 E_1. L'énergie de Fermi E_F, qui correspond à l'énergie du dernier état occupé à T = 0\text{ K}, s'écrit donc :

soit :

Dans le cadre de la modélisation d'un solide cristallin par un potentiel périodique unidimensionnel (modèle de Kronig-Penney simplifié) :

• Les cuvettes de potentiel (intervalles où V(x) = 0) représentent le voisinage des cœurs ioniques positifs (atomes ou ions du réseau cristallin). L'attraction électrostatique coulombienne exercée par les noyaux sur les électrons s'y traduit par une diminution locale de l'énergie potentielle.
• La période spatiale 2a représente la périodicité spatiale du réseau cristallin, c'est-à-dire le paramètre de maille (ou la distance interatomique entre deux sites équivalents successifs du réseau).

D'après la question Q32, la fonction d'amplitude spatiale \varphi(x) vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

Distinguons les deux régions de chaque motif élémentaire :

• Dans les puits : pour (2n-1)a < x < 2na, le potentiel est nul (V(x) = 0). L'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}}(x) + \frac{2mE}{\hbar^{2}}\varphi(x) = 0

  Comme E > V_0 > 0, la constante \frac{2mE}{\hbar^{2}} est strictement positive. En posant la pulsation spatiale positive :

  \boxed{k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}}

  l'équation devient \dfrac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}} + k^{2}\varphi = 0, dont la forme générale des solutions complexes s'exprime comme une combinaison linéaire d'ondes planes stationnaires contra-propagatives :

  \varphi(x) = A_{n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} + B_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}

• Sur les barrières : pour 2na < x < (2n+1)a, le potentiel vaut V(x) = V_0. L'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}}(x) + \frac{2m(E - V_{0})}{\hbar^{2}}\varphi(x) = 0

  Comme E > V_0, la quantité E - V_{0} est strictement positive. On pose de même la pulsation spatiale positive :

  \boxed{K = \frac{\sqrt{2m(E - V_{0})}}{\hbar}}

  l'équation s'écrit \dfrac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}} + K^{2}\varphi = 0, dont la solution générale est :

  \varphi(x) = C_{n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Kx} + D_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}Kx}

Les coefficients complexes A_n, B_n, C_n, D_n dépendent de l'indice n de la maille considérée.