Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2022 (page 3/3 : Partie IV)

Pour la fonction d'onde proposée \psi(x,t) = \psi_0 \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\omega t - kx)}, les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant ces expressions dans l'équation de Schrödinger :

Comme \psi(x,t) n'est pas identiquement nulle, on peut simplifier par \psi(x,t), ce qui donne :

Puisque \hbar, m, \omega et k sont des grandeurs indépendantes de la position spatiale x, le terme de gauche et le premier terme de droite sont constants. Par conséquent, l'énergie potentielle V(x) doit être indépendante de x.

Une onde plane sinusoïdale est donc solution pour un potentiel uniforme (constant) :

En particulier, si l'on choisit la référence de l'énergie potentielle telle que V_0 = 0, la particule est libre.

La relation de dispersion liant la pulsation \omega au nombre d'onde k s'écrit alors :

Dans le cas d'une particule libre (V_0 = 0), elle prend la forme classique :

D'après la question Q30, la relation de dispersion obtenue pour un potentiel constant V(x) = V_0 s'écrit :

Multiplions cette relation par la constante de Planck réduite \hbar :

Introduisons les relations fondamentales de la physique quantique :

• La relation de Planck-Einstein associe à la pulsation \omega l'énergie totale E de la particule :

  E = \hbar\omega

• La relation de de Broglie associe au vecteur d'onde k la quantité de mouvement (ou impulsion) p de la particule :

  p = \hbar k

En substituant ces deux relations, l'équation de dispersion devient :

Cette relation quantique coïncide exactement avec l'expression classique de l'énergie mécanique E_m d'une particule non relativiste de masse m évoluant dans un potentiel constant V_0 :

Le premier terme correspond à l'énergie cinétique E_c = \frac{p^2}{2m} et le second à l'énergie potentielle E_p = V_0.

L'équation de Schrödinger unidimensionnelle s'écrit :

En substituant la forme stationnaire \psi(x, t) = \varphi(x)\chi(t), on obtient :

En divisant chaque membre par le produit \varphi(x)\chi(t) (pour les points où la fonction d'onde ne s'annule pas) :

Le membre de gauche dépend uniquement de la variable temporelle t, tandis que le membre de droite dépend uniquement de la variable spatiale x. Cette égalité n'est possible pour toutes valeurs de x et de t que si les deux membres sont égaux à une même constante indépendante de x et de t.

D'après les relations de Planck-Einstein (E = \hbar\omega, question Q31), cette constante de séparation homogène à une énergie est l'énergie E de la particule dans cet état :

Pour la composante spatiale \varphi(x), on obtient l'équation de Schrödinger stationnaire (ou équation aux valeurs propres de l'énergie) :

que l'on peut également mettre sous la forme canonique :

À l'extérieur du segment [0, L], le potentiel est infini (V(x) = +\infty), ce qui impose une probabilité de présence nulle : la fonction d'onde s'annule identiquement pour x \leqslant 0 et x \geqslant L. Par continuité de \varphi en x = 0 et x = L, les conditions aux limites s'écrivent :

À l'intérieur de la boîte (0 < x < L), l'énergie potentielle est nulle (V(x) = 0). L'équation de Schrödinger indépendante du temps établie à la question Q32 devient :

Supposons que l'énergie puisse être négative (E < 0). En posant \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} > 0, l'équation s'écrit :

La solution générale est une combinaison de fonctions hyperboliques :

L'application des conditions aux limites conduit à :

• \varphi(0) = 0 \implies A = 0 ;
• \varphi(L) = 0 \implies B\sinh(\kappa L) = 0.

Comme \kappa > 0 et L > 0, \sinh(\kappa L) \neq 0, d'où B = 0.

La fonction d'onde serait donc identiquement nulle sur tout l'espace, ce qui est incompatible avec la condition de normalisation \int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(x,t)|^2\,\mathrm{d}x = 1 (la particule doit exister dans la boîte).

Dans le domaine 0 < x < L, le potentiel est nul (V(x) = 0). D'après l'équation issue de la question Q32, la partie spatiale \varphi(x) d'un état stationnaire d'énergie E > 0 vérifie :

La solution générale est de la forme :

Le potentiel étant infini à l'extérieur de la boîte (x < 0 et x > L), la particule ne peut s'y trouver, ce qui impose \varphi(x) = 0 pour x \notin [0, L]. La continuité de la fonction d'onde en x = 0 et x = L conduit aux conditions aux limites :

Pour obtenir une solution non identiquement nulle (B \neq 0), il est nécessaire que \sin(kL) = 0, soit :

Comme par définition k > 0, l'entier n est strictement positif (n \in \mathbb{N}^*). Les valeurs permises pour k sont donc discrétisées :

L'énergie de l'électron est alors quantifiée selon :

La condition de normalisation de la fonction d'onde sur l'espace complet détermine l'amplitude B :

En choisissant B réel positif (à un facteur de phase global près) et en réintroduisant la dépendance temporelle \chi_n(t) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_n t/\hbar}, on obtient l'expression complète de la fonction d'onde pour x \in [0, L] :

la fonction d'onde étant nulle à l'extérieur de l'intervalle [0, L].

D'après la définition de la grandeur k rappelée à la question Q34 :

La relation E = f(k) est donc parabolique.

Les états stationnaires sont discrets et caractérisés par un nombre d'onde k_n = n k_1 (avec k_1 = \pi/L et n \in \mathbb{N}^*). Les énergies associées valent E_n = n^2 E_1, où E_1 = \frac{\hbar^2 k_1^2}{2m}. Les trois états de plus faible énergie correspondent à :

• n = 1 (état fondamental) : k_1 et E_1 ;
• n = 2 (premier état excité) : k_2 = 2k_1 et E_2 = 4E_1 ;
• n = 3 (deuxième état excité) : k_3 = 3k_1 et E_3 = 9E_1.

D'après la question Q34, l'énergie de l'état fondamental (n=1) d'une particule de masse m confinée dans un puits de potentiel infini de largeur L est :

L'énoncé imposant d'exprimer les énergies en \text{eV}, on divise par la charge élémentaire e :

Avec les valeurs numériques fournies :

• h = 6{,}63 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s} ;
• m = 9{,}11 \times 10^{-31}\text{ kg} ;
• L = 1\text{ }\mu\text{m} = 1{,}0 \times 10^{-6}\text{ m} ;
• e = 1{,}62 \times 10^{-19}\text{ C}.

Il vient :

L'ordre de grandeur de l'énergie d'agitation thermique à la température T = 300\text{ K} est donné par :

En convertissant en électron-volts avec k_B = 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1} :

On constate que l'énergie fondamentale E_1, ainsi que l'écart entre niveaux successifs de basse énergie \Delta E_n = E_{n+1} - E_n = (2n+1)E_1, sont extrêmement faibles devant l'énergie d'agitation thermique :

L'agitation thermique est largement suffisante pour exciter les électrons entre niveaux voisins. La quantification des niveaux d'énergie devient donc indiscernable expérimentalement : le spectre discret est assimilable à un spectre continu d'états accessibles, d'où le terme de quasi-continuum d'énergie.

D'après le préambule de la partie IV.B, la densité linéique d'électrons libres le long du segment de longueur L vaut N_0^{1/3}. Le nombre total d'électrons confinés dans la boîte est donc :

À T = 0\text{ K}, le système se trouve dans son état fondamental. Les électrons occupent successivement les niveaux d'énergie E_n les plus bas possibles (n = 1, 2, \dots, n_F). En vertu du principe d'exclusion de Pauli, chaque état orbital n ne peut contenir qu'au maximum deux électrons (de projections de spin \pm 1/2).

Le remplissage complet des n_F premiers états conduit à :

On en déduit le nombre de Fermi :

D'après la question Q34, l'énergie d'un niveau stationnaire est E_n = n^2 E_1. L'énergie de Fermi E_F, qui correspond à l'énergie du dernier état occupé à T = 0\text{ K}, s'écrit donc :

soit :

Dans le cadre de la modélisation d'un solide cristallin par un potentiel périodique unidimensionnel (modèle de Kronig-Penney simplifié) :

• Les cuvettes de potentiel (intervalles où V(x) = 0) représentent le voisinage des cœurs ioniques positifs (atomes ou ions du réseau cristallin). L'attraction électrostatique coulombienne exercée par les noyaux sur les électrons s'y traduit par une diminution locale de l'énergie potentielle.
• La période spatiale 2a représente la périodicité spatiale du réseau cristallin, c'est-à-dire le paramètre de maille (ou la distance interatomique entre deux sites équivalents successifs du réseau).

D'après la question Q32, la fonction d'amplitude spatiale \varphi(x) vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

Distinguons les deux régions de chaque motif élémentaire :

• Dans les puits : pour (2n-1)a < x < 2na, le potentiel est nul (V(x) = 0). L'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}}(x) + \frac{2mE}{\hbar^{2}}\varphi(x) = 0

  Comme E > V_0 > 0, la constante \frac{2mE}{\hbar^{2}} est strictement positive. En posant la pulsation spatiale positive :

  \boxed{k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}}

  l'équation devient \dfrac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}} + k^{2}\varphi = 0, dont la forme générale des solutions complexes s'exprime comme une combinaison linéaire d'ondes planes stationnaires contra-propagatives :

  \varphi(x) = A_{n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}kx} + B_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}kx}

• Sur les barrières : pour 2na < x < (2n+1)a, le potentiel vaut V(x) = V_0. L'équation s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}}(x) + \frac{2m(E - V_{0})}{\hbar^{2}}\varphi(x) = 0

  Comme E > V_0, la quantité E - V_{0} est strictement positive. On pose de même la pulsation spatiale positive :

  \boxed{K = \frac{\sqrt{2m(E - V_{0})}}{\hbar}}

  l'équation s'écrit \dfrac{\mathrm{d}^{2}\varphi}{\mathrm{d}x^{2}} + K^{2}\varphi = 0, dont la solution générale est :

  \varphi(x) = C_{n}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}Kx} + D_{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}Kx}

Les coefficients complexes A_n, B_n, C_n, D_n dépendent de l'indice n de la maille considérée.

Le potentiel V(x) est borné et présente uniquement des discontinuités de première espèce (sauts finis de hauteur V_0). D'après l'équation de Schrödinger stationnaire,

est finie en tout point. Par intégration au voisinage d'une discontinuité :

• la fonction d'onde spatiale \varphi(x) est continue en tout point ;
• sa dérivée première \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x}(x) est également continue en tout point.

Considérons la barrière de potentiel indicée par n, située sur l'intervalle 2na < x < (2n+1)a, où :

Pour retrouver les équations avec les phases indiquées, on prend pour origine locale de la cellule la position de l'interface gauche x = 2na (ce qui correspond à x = 0 pour la cellule n=0).

1. Continuité à l'interface gauche (x = 0) L'interface sépare le puits à gauche (coefficients A_n, B_n) et la barrière à droite (coefficients C_n, D_n) :

La continuité de \varphi impose :

De même, pour la dérivée spatiale :

En divisant par -\mathrm{i}, la continuité de \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} donne :

2. Continuité à l'interface droite (x = a) Cette interface sépare la barrière (coefficients C_n, D_n) du puits suivant (2n+1)a < x < (2n+2)a (dont les coefficients dans la même base locale d'abscisse sont notés A_{n+1} et B_{n+1}) :

La continuité de \varphi impose :

Pour la dérivée spatiale :

En divisant par -\mathrm{i}, la continuité de \dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} donne :

On obtient bien le système homogène attendu :

Dans le modèle proposé, les puits de potentiel (V=0, vecteur d'onde k) et les barrières de potentiel (V=V_0, vecteur d'onde K) ont la même largeur spatiale a.

Une translation spatiale de vecteur a\,\vec{u}_x intervertit la position des barrières et des puits. À une constante près sur l'énergie potentielle (choix de l'origine des potentiels), les rôles joués par les deux milieux de largeur a sont strictement symétriques. La condition d'existence d'états acceptables doit donc rester invariante par échange des vecteurs d'onde :

Puisque \alpha = \dfrac{K}{k}, la transformation k \longleftrightarrow K implique :

Examinons la symétrie des trois propositions sous cette transformation :

• Le premier terme \cos(ka)\cos(\alpha ka) = \cos(ka)\cos(Ka) est symétrique.
• Pour la proposition a), le coefficient \dfrac{1}{2}\left(\alpha + \dfrac{2}{\alpha}\right) n'est pas invariant lors de la permutation \alpha \longleftrightarrow \dfrac{1}{\alpha}.
• Pour la proposition b), le terme \sin(ka)\sin(ka) ne fait pas intervenir le produit symétrique \sin(ka)\sin(Ka).

• Pour la proposition c), le second terme s'écrit :

  -\frac{1}{2}\left(\alpha + \frac{1}{\alpha}\right)\sin(ka)\sin(\alpha ka) = -\frac{1}{2}\left(\frac{K}{k} + \frac{k}{K}\right)\sin(ka)\sin(Ka)

  Cette expression est rigoureusement invariante par échange de k et K.

Par conséquent, seule l'expression c) est physiquement acceptable.

D'après l'énoncé, les états stationnaires de l'électron sont physiquement acceptables (fonction d'onde bornée dans tout le cristal infini, conformément au théorème de Bloch) si et seulement si :

Complétion de la figure A du document réponse :

1. Sur le graphe supérieur représentant F_\alpha(ka) :

   • On trace les deux droites horizontales limites F_\alpha = +1 et F_\alpha = -1.
   • Les intervalles de ka pour lesquels -1 \leqslant F_\alpha(ka) \leqslant +1 correspondent aux zones permises.
   • Les intervalles où |F_\alpha(ka)| > 1 constituent des zones interdites en vecteur d'onde.

2. Sur le graphe inférieur représentant l'énergie E(ka) :

   • On projette verticalement, à l'aide de traits pointillés, les abscisses de coupure (définies par F_\alpha(ka) = \pm 1) sur la courbe E(ka).
   • On projette ensuite horizontalement ces points sur l'axe de l'énergie E.
   • L'axe des énergies se trouve ainsi partitionné en bandes d'énergie permises et en bandes d'énergie interdites (ou gaps).

Explication de l'existence des bandes : Pour une particule libre (V(x) = 0), toutes les énergies E > 0 sont autorisées et le spectre d'énergie est continu.

Dans un potentiel périodique (modèle de Kronig-Penney), les réflexions successives de l'onde de matière de de Broglie sur les barrières périodiques du réseau cristallin donnent lieu à des interférences constructives ou destructives (analogie avec la diffraction de Bragg) :

• Lorsque |F_\alpha(ka)| \leqslant 1, les ondes transmises et réfléchies se recombinent sous la forme d'ondes de Bloch propageables à travers le cristal : les énergies associées forment des bandes permises.
• Lorsque |F_\alpha(ka)| > 1, aucune onde de Bloch réelle ne peut se propager sans diverger à l'infini (le vecteur de Bloch serait complexe, correspondant à des ondes évanescentes). Ces énergies sont inaccessibles aux électrons dans le cristal : elles constituent les bandes interdites (band gaps).

D'après la question Q41, la fonction F_\alpha(ka) s'écrit :

Pour \alpha = 1, le facteur pré-factoriel vaut \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{1}\right) = 1, d'où :

La fonction cosinus étant bornée par -1 et +1, on a pour tout k \in \mathbb{R}^+ :

La condition d'acceptabilité physique est donc vérifiée pour toutes les valeurs de ka \geqslant 0.

Par conséquent :

• Il n'existe plus aucune bande d'énergie interdite ;
• Toutes les énergies E > 0 sont permises : on retrouve un continuum d'énergie.

Justification physique :
Par définition, \alpha = \frac{K}{k} = \sqrt{\frac{E - V_0}{E}} = \sqrt{1 - \frac{V_0}{E}}. Avoir \alpha = 1 équivaut à :

Le potentiel périodique s'annule (ou devient totalement négligeable devant l'énergie cinétique) : le milieu devient parfaitement homogène et l'électron se comporte comme une particule libre, dont le spectre d'énergie est continu et sans bande interdite.

D'après l'étude précédente (questions Q39 et Q42), les états stationnaires ne sont physiquement acceptables que si |F_\alpha(ka)| \leqslant 1. Les bandes interdites correspondent ainsi aux domaines où |F_\alpha(ka)| > 1.

Sur la figure A du document réponse, pour \alpha = 0{,}2, la première bande interdite apparaît lorsque F_\alpha(ka) < -1. La lecture graphique des deux bornes donne :

D'après la question Q39, le vecteur d'onde k dans les puits de potentiel (V = 0) est relié à l'énergie E par :

La largeur en énergie de cette première bande interdite s'écrit donc :

Le paramètre de maille du silicium valant 2a = 0{,}54\text{ nm}, on en déduit :

Calculons le facteur d'échelle énergétique :

Avec (ka)_2^2 - (ka)_1^2 \approx 3{,}0^2 - 1{,}7^2 = 9{,}00 - 2{,}89 = 6{,}11, on obtient :

Compte tenu de la précision de la lecture graphique, on retient :

La valeur expérimentale de la largeur de bande interdite (ou gap) du silicium est d'environ 1{,}1\text{ eV}, ce qui est bien conforme à l'indication de l'énoncé (E_g \sim 1\text{ eV}).

Le résultat obtenu à la question Q44 (\Delta E \approx 3{,}2\text{ eV}) est du même ordre de grandeur que cette valeur expérimentale (quelques électron-volts). Compte tenu de la simplicité du modèle de Kronig-Penney étudié, cet accord semi-quantitatif est très satisfaisant.

L'écart résiduel s'explique par les hypothèses simplificatrices drastiques du modèle :

• Dimensionnalité : le calcul repose sur un modèle strictement unidimensionnel, alors que le silicium cristallise dans une structure tridimensionnelle (réseau cubique type diamant) ;
• Forme du potentiel : le profil réel du potentiel cristallin dérive de l'interaction coulombienne entre les électrons et les cœurs ioniques (écrantée par les autres électrons), qui varie continûment en 1/r, et non par des créneaux rectangulaires discontinus ;
• Interactions électron-électron : l'approximation d'électrons indépendants néglige les corrélations électroniques ;
• Choix des paramètres : la valeur \alpha = 0{,}2 utilisée pour le tracé a été fixée a priori et ne découle pas d'un ajustement précis de la hauteur de barrière V_0 au silicium réel.