Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2022 (page 2/3 : Partie II (questions 13 à 22) et partie III)

Le phénomène physique responsable de la migration initiale des porteurs majoritaires à travers la jonction est le phénomène de diffusion (diffusion de matière).

À la mise en contact ou à l'interface des deux zones, il existe un très fort gradient de concentration pour chaque type de porteur :

• les électrons, très largement majoritaires dans la zone N (n_e \approx n_N) et quasi-absents de la zone P, diffusent de la zone N vers la zone P ;
• les trous, très largement majoritaires dans la zone P (n_p \approx n_P) et quasi-absents de la zone N, diffusent de la zone P vers la zone N.

Ce transport de particules par agitation thermique tend spontanément à homogénéiser les densités de porteurs (courant de diffusion régi par la première loi de Fick).

Dans le modèle de la jonction abrupte complètement désertée de porteurs libres dans la zone de charge d'espace (approximation de déplétion) :

• Dans la zone \text{N} comprise entre z = 0 et z = z_1, les atomes donneurs ont perdu leur électron de conduction parti diffuser vers la zone \text{P}. Il subsiste des ions donneurs fixes et ionisés portant chacun une charge +e. La densité volumique d'atomes donneurs étant n_N, la densité volumique de charge s'écrit :

  \boxed{\rho_1 = +e\,n_N}

• Dans la zone \text{P} comprise entre z = z_2 et z = 0 (z_2 < 0), chaque atome accepteur a capté un électron (ce qui revient à la disparition d'un trou libre). Il subsiste donc des ions accepteurs fixes portant chacun une charge -e. La densité volumique d'atomes accepteurs étant notée n_P, la densité volumique de charge s'écrit :

  \boxed{\rho_2 = -e\,n_P}

En dehors de cette zone de déplétion (pour z < z_2 et z > z_1), le semi-conducteur reste électriquement neutre (\rho = 0).

Le semi-conducteur étant globalement neutre, la charge totale développée dans la zone de charge d'espace (ZCE) par unité de surface de jonction S doit être nulle. D'après l'énoncé de la question Q14, tous les électrons libérés par les atomes donneurs dans la tranche [0, z_1] sont captés par les atomes accepteurs dans la tranche [z_2, 0].

La condition de neutralité globale de la zone de déplétion s'écrit :

En décomposant l'intégrale de part et d'autre de la jonction en z = 0 et en utilisant les densités volumiques de charge déterminées en Q14 (\rho_1 = +e\,n_N et \rho_2 = -e\,n_P) :

Sachant que z_1 > 0 et z_2 < 0, l'épaisseur de la zone désertée côté P vaut -z_2. On obtient la relation :

Direction du champ électrostatique : Dans le modèle unidimensionnel, les couches dopées sont considérées comme infinies selon les directions transverses (Ox) et (Oy). La distribution de charges présente donc :

• Une invariance par translation selon x et y, d'où \vec{E} = \vec{E}(z) ;
• Pour tout point M(z), tout plan contenant la droite parallèle à (Oz) passant par M (en particulier les plans x = \text{cste} et y = \text{cste}) est un plan de symétrie de la distribution de charges.

Le champ électrostatique en un point appartenant à l'intersection de deux plans de symétrie orthogonaux est dirigé selon leur droite d'intersection. Le champ électrostatique est donc rigoureusement parallèle à l'axe (Oz) :

Justification de la forme de la courbe E(z) : L'équation de Maxwell-Gauss s'écrit dans le silicium (diélectrique de permittivité \varepsilon) :

Comme la densité de charge volumique ne présente aucune singularité surfacique, le champ E(z) est continu sur tout l'espace.

Étudions les différentes régions :

• Pour z < z_2 et z > z_1, en dehors de la zone de charge d'espace, le milieu est électriquement neutre (\rho = 0) : \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = 0. Le champ étant nul dans les zones quasineutres à l'équilibre, on a :

  E(z) = 0 \quad \text{pour } z < z_2 \text{ et } z > z_1

• Pour z_2 < z < 0 (zone de déplétion côté P) : d'après la question Q14, \rho(z) = \rho_2 = -e\,n_P < 0. La dérivée est constante et négative :

  \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = \frac{\rho_2}{\varepsilon} < 0

  Par continuité en z = z_2 où E(z_2) = 0, E(z) décroît linéairement :

  E(z) = \frac{\rho_2}{\varepsilon}(z - z_2) = -\frac{e\,n_P}{\varepsilon}(z - z_2)

  En z = 0, le champ atteint sa valeur minimale, notée -E_{\max} :

  E(0) = \frac{\rho_2}{\varepsilon}(-z_2) = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon} = -E_{\max} < 0 \quad (\text{car } z_2 < 0)

• Pour 0 < z < z_1 (zone de déplétion côté N) : d'après la question Q14, \rho(z) = \rho_1 = +e\,n_N > 0. La dérivée est constante et positive :

  \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}z} = \frac{\rho_1}{\varepsilon} > 0

  E(z) croît donc linéairement depuis la valeur -E_{\max} :

  E(z) = -E_{\max} + \frac{e\,n_N}{\varepsilon} z

  Grâce à la neutralité globale établie à la question Q15 (n_N z_1 = -n_P z_2), la fonction s'annule exactement en z = z_1 :

  E(z_1) = -\frac{e\,n_P(-z_2)}{\varepsilon} + \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon} = 0

La fonction E(z) est donc nulle en dehors de [z_2, z_1], continue, affine par morceaux avec une pente négative pour z \in [z_2, 0] puis positive pour z \in [0, z_1], et admet un extremum négatif -E_{\max} en z=0, ce qui justifie précisément l'allure triangulaire de la figure 2.

D'après l'équation de Maxwell-Gauss établie à la question Q16, le champ électrostatique \vec{E}(z) = E(z)\vec{e}_z vérifie :

En dehors de la zone de charge d'espace, le milieu est électriquement neutre, d'où E(z) = 0 pour z \leqslant z_2 et pour z \geqslant z_1.

1. Côté zone N (0 < z < z_1) : la densité volumique de charge vaut \rho_1 = +e\,n_N. En intégrant entre z = 0 et z = z_1 :

   \begin{aligned} E(z_1) - E(0) &= \int_0^{z_1} \frac{e\,n_N}{\varepsilon}\,\mathrm{d}z = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon} \end{aligned}

   Comme E(z_1) = 0 et E(0) = -E_{\text{max}} d'après la figure 2, on a -(-E_{\text{max}}) = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon}, soit :

   \boxed{E_{\text{max}} = \frac{e\,n_N z_1}{\varepsilon}}

2. Côté zone P (z_2 < z < 0) : la densité volumique de charge vaut \rho_2 = -e\,n_P. En intégrant entre z_2 et 0 :

   \begin{aligned} E(0) - E(z_2) &= \int_{z_2}^0 \left(-\frac{e\,n_P}{\varepsilon}\right)\mathrm{d}z = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon} \end{aligned}

   Comme E(z_2) = 0 et E(0) = -E_{\text{max}}, il vient -E_{\text{max}} = \frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon}, c'est-à-dire :

   \boxed{E_{\text{max}} = -\frac{e\,n_P z_2}{\varepsilon}}

Le champ électrique dérive du potentiel électrostatique selon la relation :

soit :

En intégrant entre la limite côté P (z = z_2) et la limite côté N (z = z_1), on obtient la différence de potentiel de contact (ou potentiel interne) V_0 :

D'après la figure 2, la courbe représentative de E(z) entre z_2 et z_1 est formée de deux segments linéaires se rejoignant en z = 0 à la valeur -E_{\max}, avec E(z_2) = E(z_1) = 0.

L'intégrale \int_{z_2}^{z_1} E(z)\,\mathrm{d}z correspond à l'aire algébrique délimitée par la courbe E(z) et l'axe des abscisses, qui forme un triangle de base z_1 - z_2 et de hauteur -E_{\max} :

On en déduit immédiatement :

D'après les résultats de la question Q17, le champ électrique maximal s'exprime par :

On en déduit immédiatement les extensions de la zone de charge d'espace de part et d'autre de la jonction :

L'épaisseur totale w = z_1 - z_2 de la zone de déplétion vaut donc :

Par ailleurs, la relation obtenue à la question Q18 donne :

En injectant cette expression de E_{\max} dans celle de w, on obtient :

Puisque w > 0, on aboutit finalement à :

D'après l'expression établie à la question Q19, l'épaisseur de la zone de déplétion s'écrit :

avec \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r.

À partir des données de l'énoncé :

• n_N = 1{,}0 \times 10^{24}\text{ m}^{-3} ;
• n_P = \dfrac{n_N}{100} = 1{,}0 \times 10^{22}\text{ m}^{-3} ;
• \dfrac{1}{n_P} + \dfrac{1}{n_N} = 1{,}0 \times 10^{-22} + 1{,}0 \times 10^{-24} = 1{,}01 \times 10^{-22}\text{ m}^3 ;
• \varepsilon = 11{,}8 \times 8{,}85 \times 10^{-12} = 1{,}044 \times 10^{-10}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1} ;
• V_0 = 0{,}84\text{ V} ;
• e = 1{,}62 \times 10^{-19}\text{ C} (selon la table des constantes du sujet).

L'application numérique donne :

D'après l'énoncé, l'énergie minimale requise pour créer une paire électron-trou correspond au franchissement de la barrière de potentiel de potentiel V_0 par une charge élémentaire e, soit :

L'énergie d'un photon de longueur d'onde \lambda dans le vide est donnée par la relation de Planck-Einstein :

La création d'une paire électron-trou par absorption d'un photon n'est donc possible que si E_{\text{ph}} \geqslant E_{\min}, c'est-à-dire :

Avec V_0 = 0{,}84\text{ V} (valeur issue de la question Q20) et les données du sujet :

Adéquation au rayonnement solaire : Le spectre du rayonnement solaire arrivant au sol présente un maximum d'intensité dans le domaine visible (\lambda \approx 500\text{ nm}) et s'étend principalement des ultraviolets proches (\lambda \approx 300\text{ nm}) jusqu'à l'infrarouge.

Puisque la longueur d'onde seuil \lambda_{\max} \approx 1{,}46\text{ }\mu\text{m} est située dans le proche infrarouge, l'ensemble des photons du spectre visible (400\text{ nm} \leqslant \lambda \leqslant 750\text{ nm}) ainsi qu'une fraction majeure du proche infrarouge possèdent une énergie suffisante pour créer des paires électron-trou (E_{\text{ph}} \geqslant 0{,}84\text{ eV}).

1. Évolution des porteurs générés :

• D'après la question Q16, le champ électrique interne de jonction est dirigé suivant les z décroissants : \vec{E} = E(z)\,\vec{e}_z avec E(z) < 0 (soit de la zone N vers la zone P).
• L'électron créé dans la zone de déplétion est soumis à la force électrostatique \vec{F}_e = -e\vec{E}, orientée vers les z croissants. Il est donc accéléré et repoussé vers la zone N.
• Le trou créé, de charge positive +e, est soumis à la force \vec{F}_h = +e\vec{E}, orientée vers les z décroissants. Il est donc accéléré et entraîné vers la zone P.

2. Rôle de générateur, polarité et sens du courant :

• La séparation spatiale systématique de ces porteurs photo-induits provoque une accumulation d'électrons libres dans la zone N et de trous dans la zone P.
• Il apparaît ainsi une force électromotrice : la zone P constitue le pôle positif (+) et la zone N constitue le pôle négatif (-).
• Dans le circuit extérieur fermé sur le récepteur, les électrons transitent de la zone N vers la zone P. Le sens conventionnel du courant électrique I (sens inverse de circulation des électrons) est donc orienté du pôle positif (zone P) vers le pôle négatif (zone N) à travers le récepteur.

Dans un milieu d'indice de réfraction réel n, la relation de dispersion d'une onde électromagnétique plane monochromatique de pulsation \omega s'écrit :

La forme générale du facteur de phase d'une onde plane progressive est \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}, où \vec{r} = z\vec{e}_z.

• Onde incidente : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_i = \frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

  ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_i z) avec k_i = \frac{n_v \omega}{c}.

• Onde réfléchie : elle se propage dans le verre (indice n_v) dans le sens des z décroissants, vers les z<0. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_r = -\frac{n_v \omega}{c}\vec{e}_z

  On retrouve alors la phase \omega t - \vec{k}_r\cdot\vec{r} = \omega t - (-k_r z) = \omega t + k_r z avec k_r = \frac{n_v \omega}{c}.

• Onde transmise : elle se propage dans le silicium (indice n_s) dans le sens des z croissants. Son vecteur d'onde s'écrit :

  \vec{k}_t = \frac{n_s \omega}{c}\vec{e}_z

  ce qui correspond bien à la phase (\omega t - k_t z) avec k_t = \frac{n_s \omega}{c}.

Dans les deux milieux considérés (verre et silicium), assimilés à des diélectriques parfaits non magnétiques (\mu = \mu_0), l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit en notation complexe :

Pour une onde plane progressive monochromatique harmonique de pulsation \omega et de vecteur d'onde \vec{k}, cette relation donne la structure de l'onde :

Onde incidente (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_i = \dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z (d'après la question Q23). On a donc :

d'où l'amplitude du champ magnétique incident :

et l'expression complète :

Onde réfléchie (dans le verre, z < 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_r = -\dfrac{n_v \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

d'où l'amplitude du champ magnétique réfléchi :

et l'expression complète :

Onde transmise (dans le silicium, z > 0) : Le vecteur d'onde est \vec{k}_t = \dfrac{n_s \omega}{c}\,\vec{e}_z. Il vient :

d'où l'amplitude du champ magnétique transmis :

et l'expression complète :

L'onde étant sous incidence normale avec une direction de propagation selon \vec{e}_z, les champs électriques et magnétiques sont purement transverses, donc entièrement contenus dans le plan de l'interface z = 0 : toutes leurs composantes sont tangentielles.

Sans perte de généralité, fixons la polarisation rectiligne du champ électrique incident selon \vec{u}_x :

D'après les résultats de la question Q24, les amplitudes des champs magnétiques associés s'écrivent :

D'après l'énoncé, les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique sont continues en z = 0 à chaque instant :

1. Continuité du champ électrique tangentiel en z = 0 :

   E_{0i} + E_{0r} = E_{0t} \tag{1}

2. Continuité du champ magnétique tangentiel en z = 0 :

   \frac{n_v}{c} (E_{0i} - E_{0r}) = \frac{n_s}{c} E_{0t} \iff n_v(E_{0i} - E_{0r}) = n_s E_{0t} \tag{2}

En injectant la relation (1) dans la relation (2), il vient :

Le coefficient de réflexion en amplitude du champ électrique r = \frac{E_{0r}}{E_{0i}} est donc :

En identifiant avec la notation générale de l'énoncé r_{12} = \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} pour les milieux 1 = v (verre) et 2 = s (silicium), on obtient :

soit sous forme vectorielle : \vec{E}_{0r} = r_{vs} \vec{E}_{0i}.

Le flux moyen d'énergie électromagnétique transporté par une onde plane progressive monochromatique se propageant dans un milieu d'indice n est donné par la norme du vecteur de Poynting moyen :

Les ondes incidente et réfléchie se propageant toutes deux dans le même milieu (le verre d'indice n_v), le coefficient de réflexion énergétique R s'écrit simplement :

En utilisant l'expression de r_{vs} établie à la question Q25 :

Avec n_v = 1{,}5 et n_s = 4{,}0 :

Soit numériquement :

Commentaire : Plus d'un cinquième (21\,\%) de l'énergie lumineuse incidente est directement réfléchie à l'interface verre-silicium et ne peut donc pas être absorbée pour produire des paires électron-trou. Il s'agit d'une perte d'énergie considérable qui diminue significativement le rendement de la cellule. Cela justifie la mise en place d'un traitement antireflet (étudié en partie III.B) pour abaisser ce facteur de réflexion et maximiser le rayonnement transmis dans le silicium.

À l'interface z = e entre le dépôt antireflet (milieu d, pour 0 < z < e) et le silicium (milieu s, pour z > e), la lumière se propage sous incidence normale. Les champs électriques sont purement transverses (orthogonaux à \vec{e}_z).

Dans la couche antireflet, le champ électrique total s'écrit :

avec k_d = \dfrac{n_d\omega}{c}. D'après la relation de structure d'une onde plane progressive monochromatique (analogue à la question Q24), le champ magnétique associé est :

Dans le silicium (z > e), seule l'onde transmise vers les z > 0 se propage :

La continuité des composantes tangentielles des champs électrique et magnétique en z = e s'écrit :

En éliminant le champ transmis \underline{\vec{E}}_t(e,t) entre ces deux équations, on obtient :

Soit, avec r_{ds} = \dfrac{n_d - n_s}{n_d + n_s} :

En remplaçant par les formes d'onde en z = e :

Après simplification par \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, on dégage l'amplitude complexe \underline{\vec{E}}_{02} :

Or, 2k_d e = 2\,\dfrac{n_d\omega}{c}\,e = \varphi. On aboutit donc directement à :

Dans le verre (z < 0), l'onde réfléchie étant nulle par hypothèse, le champ électromagnétique se réduit à l'onde incidente :

Dans la couche antireflet (0 < z < e), le champ est la somme de l'onde incidente et de l'onde réfléchie sur le silicium :

Les composantes tangentielles des champs électrique et magnétique étant continues en z = 0, on obtient en choisissant une polarisation rectiligne selon \vec{e}_x (et donc un champ magnétique selon \vec{e}_y) :

En éliminant l'amplitude incidente \vec{E}_{0i}, il vient :

soit :

Or, d'après le résultat de la question Q27, l'interface en z = e impose :

Comme l'amplitude transmise \vec{E}_{01} n'est pas identiquement nulle, on en déduit l'égalité :

Dans le cas d'une couche intermédiaire où n_v < n_d < n_s :

On peut donc réécrire la relation sous la forme :

Comme |r_{vd}| / |r_{ds}| est un réel strictement positif et que |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi}| = 1, l'égalité impose :

1. Pour la phase : \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi} = -1, ce qui nécessite :

   \boxed{\varphi = (2p+1)\pi \quad (p \in \mathbb{Z})}

2. Pour les amplitudes : |r_{vd}| = |r_{ds}|, soit avec les signes identifiés :

   \begin{aligned} r_{vd} = r_{ds} &\iff \frac{n_v - n_d}{n_v + n_d} = \frac{n_d - n_s}{n_d + n_s} \\ &\iff (n_v - n_d)(n_d + n_s) = (n_d - n_s)(n_v + n_d) \\ &\iff n_v n_d + n_v n_s - n_d^2 - n_d n_s = n_d n_v + n_d^2 - n_s n_v - n_s n_d \\ &\iff 2n_d^2 = 2n_v n_s. \end{aligned}

Les indices optiques étant positifs, on conclut :

En l'absence de traitement antireflet, une fraction significative de l'énergie lumineuse incidente est renvoyée par réflexion à l'interface verre-silicium : d'après la question Q26, le coefficient de réflexion énergétique vaut :

Plus d'un cinquième des photons incidents est ainsi définitivement perdu pour l'effet photovoltaïque.

Lorsque les conditions établies à la question Q28 sont satisfaites (\varphi = (2p+1)\pi et n_d = \sqrt{n_v n_s}), l'interférence destructive des ondes réfléchies annule complètement l'onde réfléchie dans le verre (R = 0). En l'absence d'absorption au sein de la couche mince diélectrique, la conservation du flux énergétique impose un facteur de transmission surfacique vers le silicium maximal :

La totalité du flux de photons incidents à cette longueur d'onde pénètre alors dans le silicium pour y créer des paires électron-trou dans la zone de déplétion (d'après la question Q22). Cela permet de maximiser le photocourant généré et, par suite, d'accroître la puissance électrique utile et l'efficacité globale \eta de la cellule.

Par ailleurs, l'épaisseur e du dépôt de nitrure de silicium est couramment choisie pour p=0 (\varphi = \pi, soit e = \frac{\lambda_0}{4 n_d}) pour une longueur d'onde \lambda_0 \approx 600\text{ nm}, précisément située au voisinage du maximum d'émission spectrale du rayonnement solaire au niveau du sol (spectre AM1.5).