Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 PSI 2024 (page 2/3 : Parties II et III)

Considérons le système fermé coïncident \Sigma^*, constitué à l'instant t par :

• le fluide contenu dans le volume de contrôle de la machine, noté V_c ;
• une masse élémentaire \mathrm{d}m de fluide située immédiatement en amont de la section d'entrée \text{E}, de volume \mathrm{d}V_e = v_e\,\mathrm{d}m (où v_e est le volume massique à l'entrée).

À l'instant t + \mathrm{d}t, cette masse \mathrm{d}m a pénétré dans la machine, et une masse identique \mathrm{d}m (en vertu de la conservation de la masse en régime stationnaire) est sortie par la section \text{S}, occupant un volume \mathrm{d}V_s = v_s\,\mathrm{d}m. Le système \Sigma^* occupe alors le volume formé par V_c et cette tranche sortante.

L'énergie mécanique macroscopique étant négligée devant les termes thermiques et enthalpiques (\Delta E_c \simeq 0 et \Delta E_p \simeq 0), l'énergie totale du système se réduit à son énergie interne U.

La variation d'énergie interne de \Sigma^* entre t et t + \mathrm{d}t s'écrit :

Le régime étant stationnaire, l'état du fluide dans le volume fixe V_c est indépendant du temps, d'où U_{V_c}(t + \mathrm{d}t) = U_{V_c}(t). Il vient :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \Sigma^* :

où :

• Q = q\,\mathrm{d}m est le transfert thermique reçu par la masse \mathrm{d}m ;

• W est le travail total des forces extérieures reçues par \Sigma^*, qui se décompose en :

  • le travail utile reçu des parties mobiles de la machine : W_u = w_u\,\mathrm{d}m ;
  • le travail des forces de pression du fluide amont qui pousse la tranche entrante : W_{p,e} = + p_e\,\mathrm{d}V_e = + p_e\,v_e\,\mathrm{d}m ;
  • le travail des forces de pression du fluide aval qui s'oppose à la sortie de la tranche : W_{p,s} = - p_s\,\mathrm{d}V_s = - p_s\,v_s\,\mathrm{d}m.

On a donc :

En égalant les deux expressions du premier principe :

En simplifiant par \mathrm{d}m > 0 et en réorganisant les termes :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + p v, on obtient la relation du premier principe pour un système ouvert en écoulement stationnaire :

1. Égalité des températures T_0 \simeq T_1 :

La compression dans la pompe est supposée adiabatique réversible, c'est-à-dire isentropique :

En modélisant l'eau liquide comme une phase condensée incompressible de capacité thermique massique c, la variation d'entropie massique s'écrit, d'après le formulaire :

L'isentropicité de la transformation impose donc :

2. Égalité des enthalpies massiques h_0 \simeq h_1 :

D'après le premier principe appliqué à la pompe en régime stationnaire sans variation d'énergie mécanique (établi à la question Q16), avec un transfert thermique nul (q = 0) :

Pour un fluide incompressible de volume massique v = 1/\rho \simeq 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}, le travail utile massique reçu réversiblement s'écrit :

Numériquement, avec p_2 - p_3 \simeq 85{,}8\text{ bar} = 85{,}8 \times 10^5\text{ Pa} :

Ce travail est négligeable devant les variations d'enthalpie mises en jeu dans le générateur de vapeur et dans la turbine (où \Delta h \sim 10^3\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}). Conformément à l'énoncé, qui invite à négliger le travail consommé par la pompe devant les autres termes énergétiques de l'installation, on a :

3. Allure dans le diagramme des frigoristes (p, h) :

Dans le diagramme des frigoristes (p, h), l'enthalpie massique h est en abscisse et la pression p (en échelle logarithmique) est en ordonnée.

L'enthalpie massique restant pratiquement constante au cours de la compression isentropique d'un liquide (h_1 \simeq h_0), la transformation (0 \to 1) est représentée par un segment vertical ascendant (orienté vers le haut, de la basse pression p_3 vers la haute pression p_2).

1. Nom des courbes du diagramme (p, h) :

• Courbe de saturation (courbe en cloche) :

  • branche de gauche (titre en vapeur x = 0) : courbe d'ébullition (sépare le liquide sous-refroidi du mélange liquide-vapeur) ;
  • branche de droite (titre en vapeur x = 1) : courbe de rosée (sépare le mélange diphasé de la vapeur surchauffée) ;
  • le sommet de la cloche est le point critique (T_C = 374\,^\circ\text{C}, p_C = 221\text{ bar}).
• Isothermes (T = \text{constante}) : quasi-verticales dans le domaine liquide, horizontales sous la cloche (paliers de changement d'état à p = p_{\text{sat}}(T)), puis incurvées vers le bas dans le domaine de la vapeur surchauffée.
• Isentropes (s = \text{constante}) : courbes de pente positive inclinées vers le haut et la droite, traversant le domaine diphasé et le domaine vapeur.
• Isobares (p = \text{constante}) : droites horizontales.
• Isoenthalpiques (h = \text{constante}) : droites verticales.

2. Représentation du cycle de Hirn : Le cycle est décrit par les transformations suivantes :

• \mathbf{0 \to 1} : compression isentropique de l'eau liquide dans la pompe de p_3 = 0{,}040\text{ bar} à p_2 = 85{,}8\text{ bar}. D'après Q17, h_1 \simeq h_0 = 121\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} : il s'agit d'un segment vertical ascendant longeant la courbe d'ébullition.
• \mathbf{1 \to 1'} : échauffement isobare (p_2 = 85{,}8\text{ bar}) de l'eau liquide sous-refroidie jusqu'à la température de saturation T_2 = 300\,^\circ\text{C} : segment horizontal vers la droite jusqu'à la courbe d'ébullition (h_{1'} = 1345\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).
• \mathbf{1' \to 2} : vaporisation totale isobare et isotherme (p_2 = 85{,}8\text{ bar}, T_2 = 300\,^\circ\text{C}) : palier horizontal traversant le domaine diphasé jusqu'à la courbe de rosée (h_2 = 1345 + 1404 = 2749\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}).
• \mathbf{2 \to 2'} : surchauffe isobare à p_2 = 85{,}8\text{ bar} dans le domaine vapeur de 300\,^\circ\text{C} à 500\,^\circ\text{C} : segment horizontal vers la droite jusqu'au point 2' (h_{2'} = 3391\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, s_{2'} = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• \mathbf{2' \to 3} : détente isentropique dans la turbine calorifugée de p_2 = 85{,}8\text{ bar} à p_3 = 0{,}040\text{ bar} : courbe descendante le long de l'isentrope s = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}, aboutissant dans le domaine diphasé au point 3.
• \mathbf{3 \to 0} : condensation totale isobare et isotherme dans le condenseur à p_3 = 0{,}040\text{ bar} (T_0 = 29\,^\circ\text{C}) : segment horizontal vers la gauche ramenant le fluide au point 0 sur la courbe d'ébullition.

La turbine est calorifugée (q = 0) et le fonctionnement est supposé réversible, la détente 2' \to 3 est donc isentropique :

À la sortie de la turbine, le fluide se trouve sous une pression p_3 = 0{,}040\text{ bar} à la température T_0 = 29^\circ\text{C} sous forme d'un mélange liquide-vapeur. D'après le tableau 1, les grandeurs massiques de saturation valent :

• liquide juste saturé : s_{l3} = 0{,}42\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h_{l3} = 121\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• vapeur saturante sèche : s_{v3} = 8{,}47\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et h_{v3} = 2554\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

L'entropie massique du mélange s'écrit en fonction du titre massique en vapeur x_3 :

On en déduit l'expression du titre massique en vapeur :

Application numérique :

soit un titre massique en vapeur :

L'enthalpie massique du mélange s'exprime de même selon :

Application numérique :

Soit :

Positionnement du point 3 sur le document réponse 1 : Le point 3 est situé :

• sous la courbe de rosée, à l'intérieur du domaine diphasique liquide-vapeur ;
• sur l'isobare horizontale p_3 = 0{,}040\text{ bar} ;
• à l'abscisse h_3 \simeq 2013\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, qui coïncide géométriquement avec l'intersection de cette isobare et de l'isentropique s = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} issue du point 2'.

Ce cycle étant moteur, l'efficacité thermique (ou rendement) \eta est définie par le quotient de la puissance mécanique nette fournie à l'extérieur par la puissance thermique fournie au fluide par la source chaude. En régime stationnaire, cela revient au bilan massique :

où :

• -w_{\text{net}} = -(w_{\text{pompe}} + w_{\text{turb}}) est le travail massique net fourni à l'extérieur. Le travail de la pompe étant négligé selon l'énoncé (w_{\text{pompe}} \simeq 0), on a :

  -w_{\text{net}} \simeq -w_{\text{turb}}

  La turbine étant calorifugée (q_{\text{turb}} = 0), le premier principe en système ouvert (question Q16) donne :

  h_3 - h_{2'} = w_{\text{turb}} \implies -w_{\text{turb}} = h_{2'} - h_3

• q_c est le transfert thermique massique reçu lors du réchauffage, de la vaporisation et de la surchauffe isobares (1 \to 2'). En l'absence de parties mobiles dans ces échangeurs (w_u = 0) :

  q_c = h_{2'} - h_1 \simeq h_{2'} - h_0

  puisque h_1 \simeq h_0 (question Q17).

L'efficacité thermique de ce cycle s'exprime donc par :

Application numérique : D'après les données de l'énoncé et le résultat de la question Q19 :

• h_{2'} = 3391\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_3 \simeq 2013\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• h_0 = 121\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On a donc :

d'où :

Considérons une masse unité de fluide décrivant un cycle au sein d'une machine ditherme en contact avec deux thermostats de températures respectives T_C (source chaude) et T_F (source froide).

Le premier principe appliqué au fluide sur un cycle (\Delta h = 0) s'écrit :

où w désigne le travail net massique reçu, -w > 0 le travail utile fourni, et q_C, q_F les transferts thermiques massiques reçus des sources chaude et froide.

Le second principe appliqué sur ce cycle (\Delta s = 0) s'écrit :

Le cycle de Carnot étant par définition entièrement réversible, l'entropie créée par cycle est nulle (s_{\text{cr}} = 0), d'où :

L'efficacité thermique motrice s'en déduit immédiatement :

Application numérique : D'après les données du sujet pour le circuit secondaire :

• Température minimale : T_F = T_0 = 29\,{^\circ\text{C}} = 302{,}15\text{ K} ;
• Température maximale : T_C = T_{2'} = 500\,{^\circ\text{C}} = 773{,}15\text{ K}.

Commentaire et justification de l'écart : À la question Q20, l'efficacité obtenue est \eta \simeq 42\,\%, ce qui vérifie bien le théorème de Carnot :

Cet écart s'explique par les raisons physiques suivantes :

• Le cycle de Hirn n'est pas un cycle de Carnot car l'apport thermique depuis la source chaude n'est pas isotherme : l'eau subit d'abord un échauffement liquide sensible de 29\,{^\circ\text{C}} à 300\,{^\circ\text{C}}, puis une vaporisation à 300\,{^\circ\text{C}}, et enfin une surchauffe de 300\,{^\circ\text{C}} à 500\,{^\circ\text{C}}. La température thermodynamique moyenne d'admission de la chaleur \overline{T}_C est donc nettement inférieure à la température maximale T_C = 500\,{^\circ\text{C}}, ce qui abaisse le rendement maximal théorique \left(1 - \frac{T_F}{\overline{T}_C}\right).
• Des irréversibilités thermiques externes existent nécessairement lors des échanges de chaleur sous un écart fini de température avec les sources extérieures.

1. Représentation du cycle sur le diagramme des frigoristes (p, h) :

Le cycle se décompose selon les étapes suivantes :

• 0 \to 1 : compression isentropique dans la pompe d'alimentation du liquide saturé de p_3 = 0{,}040\text{ bar} à p_2 = 85{,}8\text{ bar}. L'eau liquide étant quasi-incompressible, cette étape est représentée par un segment vertical le long de l'isotherme T_0 \simeq T_1 = 29\,^\circ\text{C}, avec h_1 \simeq h_0 = 121\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
• 1 \to 1' \to 2 \to 2' : échauffement, vaporisation complète et première surchauffe à la pression constante p_2 = 85{,}8\text{ bar} dans le générateur de vapeur puis le surchauffeur, jusqu'à la température T_{2'} = 500\,^\circ\text{C} (segment horizontal h_1 \to h_{1'} \to h_2 \to h_{2'}). Le point 2' est situé à h_{2'} = 3391\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et s_{2'} = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

• 2' \to 4 : détente isentropique dans la turbine haute pression (HP) le long de l'isentrope s = s_{2'} = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} jusqu'à atteindre l'isotherme T_4 = 300\,^\circ\text{C}. L'intersection de l'isentrope s = 6{,}68\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} et de l'isotherme T_4 = 300\,^\circ\text{C} fixe l'état 4 :

  p_4 \simeq 23\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_4 \simeq 3020\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• 4 \to 4' : seconde surchauffe isobare à la pression intermédiaire p_4 \simeq 23\text{ bar} jusqu'à la température T_{4'} = 500\,^\circ\text{C}. L'intersection de l'isobare p_4 avec l'isotherme 500\,^\circ\text{C} donne l'état 4' :

  h_{4'} \simeq 3465\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_{4'} \simeq 7{,}38\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

• 4' \to 5 : détente isentropique dans la turbine basse pression (BP) le long de l'isentrope s = s_{4'} \simeq 7{,}38\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} jusqu'à la basse pression du condenseur p_3 = 0{,}040\text{ bar}. L'état 5 se trouve dans le domaine diphasique :

  \begin{aligned} x_5 &= \frac{s_{4'} - s_{l3}}{s_{v3} - s_{l3}} = \frac{7{,}38 - 0{,}42}{8{,}47 - 0{,}42} \simeq 0{,}865, \\ h_5 &= h_{l3} + x_5 (h_{v3} - h_{l3}) = 121 + 0{,}865 \times (2554 - 121) \simeq 2225\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. \end{aligned}
• 5 \to 0 : condensation isobare et isotherme totale à p_3 = 0{,}040\text{ bar} et T_0 = 29\,^\circ\text{C} (segment horizontal vers la gauche jusqu'à la courbe d'ébullition).

2. Définition et expression de l'efficacité du cycle :

L'efficacité \eta d'un cycle moteur est le rapport du travail mécanique massique net fourni au milieu extérieur -w_u sur le transfert thermique massique total reçu de la source chaude q_c :

Le travail utile est fourni lors des deux détentes dans les turbines (le travail de la pompe étant négligé) :

La chaleur est fournie par la source chaude lors de la première chauffe/surchauffe (1 \to 2') et lors de la seconde surchauffe (4 \to 4') :

En utilisant h_1 \simeq h_0, l'efficacité s'écrit :

3. Calcul numérique de l'efficacité :

Avec les valeurs relevées et calculées :

ce qui donne :

1. Puissance thermique fournie au fluide secondaire
Dans les échangeurs principaux (générateurs de vapeur), l'eau du circuit secondaire reçoit un transfert thermique de la part du circuit primaire. D'après le premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire sans échange de travail utile ni variation d'énergie mécanique :

D'après le tableau 2 :

On obtient :

On retrouve précisément la puissance thermique totale développée dans le cœur P_1 = 2776\text{ MW} donnée dans la partie I.

2. Puissance mécanique délivrée par les turbines
Les turbines sont calorifugées (détentes adiabatiques). En régime stationnaire, la puissance mécanique utile fournie par le fluide à chaque turbine est égale à la différence entre le flux d'enthalpie entrant et la somme des flux d'enthalpie sortants :

\bullet Turbine haute pression (HP) : Le fluide entre à l'admission et ressort par trois soutirages (6, 5 et 4) et à l'échappement vers le sécheur-surchauffeur :

On vérifie la conservation du débit massique :

Comme h_4 = h_{\text{éch,HP}} = 2562{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, l'application numérique donne :

\bullet Turbine basse pression (BP) : Le fluide entre à l'admission de la BP et sort par trois soutirages (3, 2 et 1) et par l'échappement vers le condenseur :

On vérifie également la conservation du débit massique :

L'application numérique donne :

La puissance mécanique totale recueillie sur la ligne d'arbre s'élève donc à :

3. Efficacité du cycle
L'efficacité thermodynamique du cycle est le rapport de la puissance mécanique totale fournie par les turbines sur la puissance thermique reçue au générateur de vapeur :

4. Puissance disponible aux bornes de l'alternateur
En supposant un alternateur idéal sans pertes (\eta_{\text{alt}} = 1) et en négligeant le travail des pompes, la puissance disponible est égale à la puissance mécanique sur l'arbre :

5. Explication de l'écart avec la valeur réelle de 960\text{ MW}
La puissance électrique nette disponible (960\text{ MW}) est inférieure à la puissance mécanique calculée (988\text{ MW}) en raison de plusieurs pertes incontournables :

• le rendement électromécanique de l'alternateur \eta_{\text{alt}} < 1 (pertes par effet Joule dans les bobinages, pertes magnétiques fer et frottements mécaniques dans les paliers, typiquement \eta_{\text{alt}} \approx 98 à 98{,}5\%, ce qui représente déjà environ 15 à 20\text{ MW} de pertes) ;
• la puissance mécanique ou électrique consommée par les auxiliaires de tranche indispensables au fonctionnement en continu, en premier lieu les pompes alimentaires et les pompes de circulation d'eau de refroidissement du condenseur.

Le champ magnétique extérieur est uniforme et stationnaire : \vec{B} = B\,\vec{u}_x. À l'instant t, l'axe normal \vec{n}(t) à la spire, orienté selon la règle de la main droite avec le sens positif du courant i(t), forme l'angle \theta(t) = \omega t avec l'axe (Ox) :

Le flux magnétique extérieur à travers la spire de surface S s'écrit donc :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite d'origine extérieure est :

En tenant compte du phénomène d'auto-induction lié à l'inductance propre L, le flux propre est \Phi_p = L i(t), soit une force électromotrice d'auto-induction e_p(t) = -L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}. La loi des mailles appliquée à la spire fermée sur elle-même de résistance R donne :

soit l'équation différentielle linéaire régissant le courant :

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, en associant à e_{\text{ext}}(t) = \operatorname{Im}\left(B S \omega \mathrm{e}^{j\omega t}\right) l'amplitude complexe \underline{E}_0 = B S \omega, le courant s'écrit i(t) = \operatorname{Im}\left(\underline{I}_0 \mathrm{e}^{j\omega t}\right) avec :

où \varphi désigne le déphasage défini par \tan\varphi = \frac{L\omega}{R} avec \varphi \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[.

En revenant à l'expression temporelle, on obtient :

ou, sous forme développée :

Le rotor est modélisé par une spire plane de surface S, de normale unitaire \vec{n}(t), parcourue par le courant i(t). Son moment magnétique dipolaire s'écrit :

D'après la figure 7, l'angle entre \vec{u}_x et la normale \vec{n}(t) vaut \omega t, de sorte que :

Le champ magnétique est uniforme et constant : \vec{B} = B\,\vec{u}_x. Le moment du couple subi par la spire vaut alors :

La projection de ce couple sur l'axe de rotation (Oz) est donc :

D'après la question Q24, l'intensité en régime sinusoïdal forcé s'écrit :

En injectant cette expression dans \Gamma_z(t) :

À l'aide de la formule trigonométrique donnée dans l'énoncé, \sin a \sin b = \frac{1}{2}\bigl[\cos(a-b) - \cos(a+b)\bigr] :

Le terme \cos(2\omega t - \varphi) étant de moyenne temporelle nulle, la valeur moyenne de la projection du moment du couple s'écrit :

Or, à partir du triangle des impédances, on a :

En remplaçant I_0 et \cos\varphi par leurs expressions :

Interprétation du signe : Puisque R > 0, \omega > 0, B > 0 et S > 0, la moyenne \langle \Gamma_z \rangle est strictement négative. Le vecteur rotation de la spire étant orienté selon +\vec{u}_z, ce moment s'oppose à la rotation imposée : il s'agit d'un couple de freinage (ou couple résistant). Ce résultat illustre la loi de modération de Lenz, selon laquelle les effets induits (ici les forces de Laplace) s'opposent à la cause qui leur a donné naissance (la rotation du rotor).

1. Puissance mécanique moyenne de la turbine

Le rotor tourne à la vitesse angulaire \omega constante autour de l'axe fixe (Oz) et les frottements mécaniques sont négligés. D'après le théorème du moment cinétique appliqué au rotor et projeté sur l'axe (Oz) :

où \Gamma_{\text{turb}} désigne le moment exercé par la turbine et \Gamma_z le moment des forces de Laplace calculé à la question Q25.

La puissance mécanique instantanée délivrée par la turbine au rotor est :

En prenant la moyenne temporelle et en utilisant le résultat de la question Q25 :

2. Puissance moyenne dissipée par effet Joule

La puissance instantanée dissipée par effet Joule dans la spire de résistance R s'écrit :

Le courant étant purement sinusoïdal d'amplitude I_0 = \frac{B S \omega}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}} (question Q24), la valeur moyenne du carré de l'intensité vaut \langle i^2 \rangle = \frac{1}{2} I_0^2. On en déduit :

3. Comparaison des deux puissances

On constate l'égalité rigoureuse entre ces deux grandeurs :