Corrigé détaillé E3A Physique Chimie MP 2022 (page 2/3 : Parties III et IV)

Un conducteur parfait est un milieu conducteur idéalisé dont la conductivité électrique est infinie :

Ce modèle entraîne des conséquences fondamentales sur les champs et les sources à l'intérieur du matériau :

• Champ électrique intérieur nul : d'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}, pour que la densité volumique de courant \vec{\jmath} reste finie au sein du conducteur, le champ électrique doit être strictement nul en tout point intérieur :

  \vec{E}_{\text{int}} = \vec{0}

• Champ magnétique intérieur nul en régime variable : d'après l'équation de Maxwell-Faraday, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E}_{\text{int}} = -\frac{\partial \vec{B}_{\text{int}}}{\partial t} = \vec{0}, ce qui impose que le champ magnétique intérieur soit constant dans le temps. Pour des champs oscillants de pulsation \omega \neq 0 (ou en l'absence de champ initial permanent), le champ magnétique est donc nul à l'intérieur :

  \vec{B}_{\text{int}} = \vec{0}

  (ceci correspond également à une épaisseur de peau nulle : \delta = \sqrt{2/(\mu_0 \gamma \omega)} \to 0).

• Localisation surfacique des sources : la charge volumique \rho et le courant volumique \vec{\jmath} sont nuls à l'intérieur du conducteur. Les charges et les courants induits sont entièrement confinés sur sa surface sous forme d'une densité surfacique de charge \sigma et d'une densité surfacique de courant \vec{\jmath}_{\mathrm{s}}.

Le métal recouvrant les branches du diapason est assimilé à un conducteur parfait ; d'après la question Q17, le champ électromagnétique est donc strictement nul en son sein :

À l'interface air/métal (située dans un plan d'équation z = \text{cste}), la relation de passage du champ électrique donnée en fin d'énoncé :

montre que le saut du champ électrique est purement normal (porté par le vecteur normal \vec{u}_z). La composante tangentielle du champ électrique est donc continue à l'interface :

Or, le champ électrique incident créé par le solénoïde, \vec{E}_{\mathrm{i}} = \frac{E_0(r)}{2}\sin(\omega t)\,\vec{u}_\theta, est orthoradial : il est entièrement contenu dans le plan z = \text{cste} de l'interface et constitue donc une composante tangentielle non nulle.

Le champ incident seul ne peut satisfaire la condition aux limites. Il existe donc nécessairement dans l'air un champ électromagnétique additionnel, appelé champ réfléchi (\vec{E}_{\mathrm{r}}, \vec{B}_{\mathrm{r}}), tel que le champ total vérifie à la surface du métal :

L'interface air/métal est modélisée par un plan d'équation z = \mathrm{cste}, de vecteur normal unitaire \vec{n} = \pm \vec{u}_z. Le plan tangent à cette interface est donc engendré par les vecteurs de base (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta).

D'après les données utiles, la relation de passage pour le champ électrique s'écrit :

Le métal étant modélisé par un conducteur parfait (question Q17), le champ électrique y est nul : \vec{E}_{\text{métal}} = \vec{0}. En projetant la relation de passage sur le plan tangentiel, la discontinuité ne portant que sur la composante normale, la composante tangentielle du champ électrique est continue :

Le champ électrique dans l'air au voisinage de l'interface est la superposition du champ incident et du champ réfléchi : \vec{E} = \vec{E}_{\mathrm{i}} + \vec{E}_{\mathrm{r}}. Le champ incident donné par l'énoncé étant purement orthoradial :

il est purement tangentiel à l'interface. La composante tangentielle totale devant s'annuler, le champ réfléchi doit compenser exactement le champ incident à l'interface :

Pour déterminer \vec{B}_{\mathrm{r}}(M, t), on utilise l'équation de Maxwell-Faraday :

Le champ \vec{E}_{\mathrm{r}} ne possédant qu'une composante selon \vec{u}_\theta, dépendant uniquement de r et de t, le formulaire en coordonnées cylindriques donne :

En rappelant d'après la question Q16 que E_0(r) = \frac{1}{2}B_0\omega r, la composante s'écrit E_{\mathrm{r},\theta} = -\frac{1}{4}B_0\omega r\sin(\omega t), d'où :

L'équation de Maxwell-Faraday devient alors :

En intégrant par rapport au temps et en écartant toute composante statique indépendante de l'excitation :

Dans le cadre de ce modèle simplifié, le champ électromagnétique total dans l'air s'obtient par superposition :

D'après les données numériques :

On constate la hiérarchie des longueurs :

Étudions séparément les deux termes de la fonction b(z) définie par :

1. Premier terme : Puisque z \ll L, on a z + L \simeq L. On factorise par (z+L) au dénominateur :

Comme \left(\frac{R}{L}\right)^2 \simeq 10^{-2} et \frac{R^2 z}{L^3} \simeq 10^{-3}, ces corrections sont négligeables devant le terme d'ordre 1 en \frac{z}{R} \simeq 0{,}1. À l'ordre 1 en z/R, ce premier terme vaut simplement :

2. Second terme : On factorise par R au dénominateur :

En combinant ces deux développements au premier ordre en z/R, on obtient :

Par identification avec la forme b(z) \simeq B_0\left(1 + a \frac{z}{R}\right), on en déduit la valeur du coefficient numérique a :

3. Limite retrouvant le résultat de la question Q19 : D'après la question Q19, le modèle simplifié prévoyait une annulation complète du champ magnétique dans l'air (\vec{B} = \vec{0}) en raison de la présence du conducteur parfait. Dans l'expression approchée b(z) \simeq B_0\left(1 - \frac{z}{R}\right), le champ s'annule lorsque 1 - \frac{z}{R} = 0, c'est-à-dire dans la limite où :

Remarque : Si l'on s'intéressait à la limite où le champ incident créé par le solénoïde seul est uniforme et maximal près de l'embouchure sans effet d'atténuation spatiale, la limite z \to 0 redonnerait b(0) \simeq B_0.

D'après l'énoncé, l'élément de volume \mathrm{d}V acquiert sous l'effet du champ un moment magnétique induit :

L'opérateur gradient en coordonnées cylindriques appliqué le long de \mathrm{d}\vec{\mu} = \mathrm{d}\mu_z \vec{u}_z se réduit à :

La force élémentaire subie par l'élément de volume s'écrit alors :

D'après la question Q20, le profil approché du champ est donné par :

À l'ordre le plus bas en z/R (c'est-à-dire à l'ordre 0), on a b(z) \simeq B_0, ce qui conduit à :

Avec la valeur a = -1 obtenue à la question Q20, il vient :

avec :

Comme \chi > 0, B_0 > 0 et R > 0, la constante \alpha est bien strictement positive.

Sens du déplacement : Pour z > 0, la norme du champ b(z) \simeq B_0(1 - z/R) est une fonction décroissante de z : le champ magnétique est d'autant plus intense que l'on se rapproche de l'embouchure du solénoïde (z \to 0). Puisque \alpha > 0 et \cos^2(\omega t) \ge 0, la force \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{m}} est dirigée selon -\vec{u}_z, c'est-à-dire vers les valeurs décroissantes de z.

D'après la question Q21, la force subie par un élément de volume des branches du diapason s'écrit :

En linéarisant le terme dépendant du temps, on obtient :

La force mécanique appliquée au diapason se décompose ainsi en :

• une composante statique (continue), qui induit une simple déformation moyenne constante ;

• une composante variable sinusoïdale de pulsation 2\omega, soit une fréquence mécanique d'excitation :

  f_{\mathrm{exc}} = \frac{2\omega}{2\pi} = 2 f

  où f = \frac{\omega}{2\pi} désigne la fréquence de la source de courant i(t).

Le diapason étant un oscillateur mécanique très faiblement amorti (Q \gg 1), la résonance d'amplitude a lieu à une fréquence pratiquement confondue avec sa fréquence propre f_0. Pour exciter le diapason à résonance, la fréquence de la force motrice doit donc vérifier :

Avec f_0 = 256\text{ Hz}, on trouve :

À la fermeture de l'interrupteur K à t = 0, le condensateur est initialement déchargé (u(0) = 0). Le tube est éteint et se comporte comme un circuit ouvert.

Pour t \in [0, t_a[, le circuit se réduit à l'association série du générateur idéal de tension continue de f.é.m. E, du conducteur ohmique de résistance R et du condensateur de capacité C. La loi des mailles s'écrit :

soit, en posant \tau = RC :

Compte tenu de la condition initiale u(0) = 0, la tension aux bornes du condensateur est :

Cette fonction est strictement croissante et tend asymptotiquement vers E quand t \to +\infty. Pour que la tension atteigne le seuil d'allumage U_a en un temps fini, il est nécessaire et suffisant que la tension asymptotique soit strictement supérieure à U_a :

L'instant d'allumage t_a est défini par u(t_a) = U_a :

En prenant le logarithme népérien, on obtient :

Pour t > t_a, le tube fluorescent est allumé et se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r. Le condensateur C et la résistance r sont branchés en parallèle, sous la tension commune u(t).

D'après la loi des nœuds au pôle supérieur du condensateur :

En explicitant les courants à l'aide des relations constitutives :

En regroupant les termes en u(t) :

En divisant par \left(1 + \frac{R}{r}\right) et en introduisant les notations définies par l'énoncé, \tau = RC, \tau' = \frac{\tau}{1 + R/r} et E' = \frac{E}{1 + R/r}, l'équation différentielle s'écrit :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants est :

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur à l'instant de basculement t = t_a, on a u(t_a^+) = u(t_a^-) = U_a. On en déduit :

L'expression de la tension pour t > t_a (tant que le tube reste allumé) est donc :

D'après l'énoncé, le tube s'éteint dès que la tension u(t) décroît jusqu'à atteindre la tension d'extinction U_e.

Pour t > t_a, le tube étant allumé, la tension évolue selon l'expression obtenue à la question Q24 :

La fonction u(t) décroît de manière monotone depuis la valeur initiale u(t_a^+) = U_a vers la valeur asymptotique u(+\infty) = E'. Pour que la tension puisse atteindre la valeur seuil U_e à un instant fini, il est indispensable que l'asymptote soit strictement inférieure à U_e :

Remarque : Sachant que U_e < U_a, cette condition implique directement E' < U_a, ce qui garantit bien la stricte décroissance de u(t) pour t > t_a.

L'instant d'extinction t_e > t_a est défini par la condition :

Soit, en explicitant :

On en déduit :

D'où l'expression de l'instant d'extinction t_e :

En injectant l'expression de t_a = \tau \ln\left(\frac{E}{E - U_a}\right) obtenue à la question Q23, on peut également écrire :

Une fois le régime périodique de relaxation établi, la tension u(t) oscille indéfiniment entre la tension d'extinction U_e et la tension d'allumage U_a. La période T est la somme des durées des deux étapes successives :

1. Phase où le tube est allumé :
D'après les questions Q24 et Q25, le tube s'allume lorsque u = U_a et s'éteint dès que u = U_e. La tension évolue selon :

La durée pendant laquelle le tube reste allumé, notée \Delta t_{\text{allumé}}, correspond à :

2. Phase où le tube est éteint :
À l'extinction, le dipôle T équivaut à un interrupteur ouvert. Le circuit se résume à la charge du condensateur à travers le conducteur ohmique de résistance R sous la tension constante E, avec pour constante de temps \tau = RC. L'équation d'évolution de la tension s'écrit :

En prenant pour origine des temps l'instant d'extinction où u = U_e, la solution s'écrit :

Le tube se rallume dès que la tension u(t) réatteint la tension de seuil U_a. La durée de cette phase de charge, \Delta t_{\text{éteint}}, vérifie donc :

3. Expression de la période T :
La période du signal périodique vaut la somme des deux durées de charge et de décharge :

L'évolution temporelle de la tension u(t) se décompose en une phase transitoire initiale suivie d'un régime périodique d'oscillations de relaxation :

1. Phase de charge initiale (0 \le t \le t_a) : le condensateur, initialement déchargé (u(0)=0), se charge à travers la résistance R vers la tension asymptotique E avec la constante de temps \tau = RC. La concavité est tournée vers le bas (\ddot{u} < 0). À l'instant t_a, la tension atteint le seuil d'allumage u(t_a) = U_a, provoquant l'allumage du tube.
2. Première phase de décharge (t_a \le t \le t_e) : le tube étant allumé, le condensateur se décharge vers la tension asymptotique E' = \frac{E}{1 + R/r} < U_e avec la constante de temps \tau' = \frac{\tau}{1 + R/r}. La concavité est tournée vers le haut (\ddot{u} > 0). À l'instant t_e, la tension atteint le seuil d'extinction u(t_e) = U_e, le tube s'éteint.

3. Régime périodique (t \ge t_e) : le tube étant éteint, le condensateur se recharge vers E à partir de U_e avec la constante de temps \tau. Dès que u(t) réatteint U_a, le tube se rallume et le condensateur se décharge à nouveau vers E' jusqu'à U_e avec la constante de temps \tau'. La tension oscille ainsi périodiquement entre U_e et U_a avec la période :

   T = \Delta t_{\text{charge}} + \Delta t_{\text{décharge}}

1. Fréquence propre du diapason

D'après la question Q21, la force magnétique exercée sur les branches du diapason est proportionnelle à \cos^2(\omega t) = \frac{1 + \cos(2\omega t)}{2}. La fréquence d'excitation mécanique vaut donc :

Puisque le facteur de qualité est très grand (Q \gg 1), la fréquence de résonance est confondue avec la fréquence propre f_0.

Sur le document 3, le maximum de la courbe de résonance est atteint pour :

On en déduit la fréquence propre du diapason A :

2. Facteur de qualité

L'amplitude maximale de la tension délivrée par le microphone est :

S'agissant d'une amplitude (et non d'une puissance), la bande passante à -3\text{ dB} est délimitée par la condition :

Graphiquement, la courbe coupe le niveau 485\text{ mV} aux fréquences :

La largeur de la bande passante en fréquence d'excitation vaut donc :

Comme les fréquences mécaniques sont doublées (f_{\text{force}} = 2 f_{\text{tube}}), la bande passante mécanique est \Delta f_0 = 2\Delta f_{\text{tube}} \simeq 0{,}24\text{ Hz}. Le facteur de qualité Q s'exprime alors par :

3. Commentaires

• La fréquence propre mesurée f_0 \simeq 440\text{ Hz} correspond exactement au \text{La}_3 de référence et est parfaitement cohérente avec la valeur obtenue en réponse libre à la question Q9 (f_0 \simeq 440\text{ Hz}).
• Le facteur de qualité Q \simeq 2\cdot 10^3 est en très bon accord avec l'estimation issue de l'amortissement libre en présence de la caisse de résonance à la question Q9 (Q \simeq 3\cdot 10^3).
• Cette valeur très élevée (Q \sim 10^3) traduit une résonance extrêmement aiguë (bande passante mécanique de seulement 0{,}2\text{ Hz}) : le diapason est un filtre mécanique très sélectif, garantissant la pureté et la stabilité de la note émise.

L'oscillateur à tube délivre un signal périodique de fréquence fondamentale f. D'après le théorème de Fourier, ce courant se décompose en une somme d'harmoniques de fréquences k f (avec k \in \mathbb{N}^*) et d'une éventuelle composante continue.

Comme établi aux questions Q21 et Q22, la force magnétique de couplage dépend quadratiquement du champ excitateur, générant des composantes d'excitation mécanique de fréquences discrètes, notamment à la fréquence 2f issue du fondamental, mais aussi à d'autres fréquences multiples de f.

Or, le diapason est un oscillateur linéaire possédant :

• une fréquence de résonance propre très aiguë f_0 \simeq 440\text{ Hz} ;

• un facteur de qualité très grand (Q \sim 10^3 à 10^4), d'où une bande passante mécanique extrêmement étroite :

  \Delta f = \frac{f_0}{Q} \sim 0{,}1 \text{ à } 0{,}4\text{ Hz}.

Le diapason agit donc comme un filtre passe-bande mécanique ultra-sélectif :

• lorsque la fréquence de l'oscillateur est réglée au voisinage de f \simeq 220\text{ Hz}, la composante d'excitation à 2f \simeq 440\text{ Hz} excite le système en pleine résonance ;
• les autres composantes spectrales de la force d'excitation se trouvent à des fréquences éloignées de f_0 de plusieurs centaines de hertz, soit à des dizaines ou centaines de fois la largeur de la bande passante \Delta f. Elles sont donc totalement atténuées par la fonction de transfert du résonateur.