Feuille d'entraînement : Magnétostatique

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MP 2025, Q11

   1. Invariances et symétries :

   • Invariance : Dans le modèle du solénoïde infini de section carrée, la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Az). Par conséquent, les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de la coordonnée z :

     \vec{B}(M) = \vec{B}(x,y)

   • Symétrie : Pour tout point M(x,y,z), le plan \Pi = (M, \vec{u}_x, \vec{u}_y) perpendiculaire à l'axe (Az) passant par M est un plan de symétrie pour la distribution de courant (les boucles de courant sont contenues dans des plans parallèles à (xOy) et la réflexion par rapport à \Pi laisse les vecteurs densité de courant \vec{j} inchangés).

     Comme le champ magnétique \vec{B} est un champ pseudo-vectoriel (vecteur axial), en tout point M d'un plan de symétrie des courants, \vec{B}(M) est orthogonal à ce plan. Ainsi, \vec{B}(M) est colinéaire au vecteur normal \vec{u}_z :

     \vec{B}(M) = B(x,y)\,\vec{u}_z

   2. Détermination de \vec{B}_{\text{int}}(M) par le théorème d'Ampère :

   Considérons un contour fermé rectangulaire \Gamma orienté :

   • un segment de longueur h situé à l'intérieur du solénoïde, parallèle à \vec{u}_z et orienté selon +\vec{u}_z ;
   • deux segments orthogonaux à l'axe (Az), le long desquels \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 car \vec{B} \parallel \vec{u}_z \perp \mathrm{d}\vec{\ell} ;
   • un segment de longueur h parallèle à l'axe (Az) situé à l'extérieur du solénoïde, où le champ magnétique est nul par hypothèse.

   La circulation de \vec{B} le long de ce contour s'écrit :

   \oint_\Gamma \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B(x,y) \cdot h

   D'après le théorème d'Ampère :

   \oint_\Gamma \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

   Le contour enlace n h spires parcourues chacune par le courant I, avec n = \dfrac{N}{L}. Selon la règle de la main droite, le courant enlace positivement le contour, soit I_{\text{enlacé}} = n h I. Il vient :

   B(x,y) \cdot h = \mu_0 n h I \implies B(x,y) = \mu_0 n I

   Ce résultat est indépendant de x et y : le champ magnétique est donc uniforme à l'intérieur du solénoïde.

   \boxed{\vec{B}_{\text{int}}(M) = B_0 \vec{u}_z \quad \text{avec} \quad B_0 = \mu_0 n I = \mu_0 \frac{N}{L} I}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\text{int}}(M)=B_0{\vec{u}}_z\text{avec}{B}_0={\mu }_{0}nI={\mu }_0\frac{N}{L}I$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MP 2024, Q3

   1. Approximations utilisées :

   • Approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) : l'énoncé précise que l'ARQS est applicable. Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) à l'instant t est donc identique au champ magnétostatique créé par un courant continu de valeur instantanée i(t).
   • Modèle du solénoïde infini : la longueur L étant suffisamment grande devant le rayon b (L \gg b), on néglige les effets de bord aux extrémités et on assimile le solénoïde à un solénoïde infiniment long le long de l'axe (Oz), comportant une densité linéique d'enroulement n = N/L.

   2. Symétries et invariances :

   • Tout plan contenant l'axe (Oz) est un plan d'anti-symétrie de la distribution de courant. Le champ magnétique en tout point d'un tel plan lui est perpendiculaire, ce qui implique que le champ magnétique est purement axial :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, \theta, z, t)\,\vec{e}_z

   • Pour un solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par translation selon z et par rotation autour de (Oz) (invariance selon \theta). Ainsi, B_z ne dépend spatialement que de la distance radiale r :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = B_z(r, t)\,\vec{e}_z

   3. Détermination du champ magnétique par le théorème d'Ampère : On applique le théorème d'Ampère à un contour rectangulaire fermé de côtés parallèles à \vec{e}_z (de longueur h) et orienté selon la règle du tire-bouchon :

   • Pour un contour entièrement à l'extérieur (r > b) : le courant enlacé est nul, donc B_z(r_1, t) - B_z(r_2, t) = 0. Le champ est uniforme à l'extérieur. Les sources de courant étant localisées à distance finie, le champ doit s'annuler à l'infini (r \to +\infty), d'où :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, ext}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{pour } r > b

   • Pour un contour traversant la nappe de courant (un côté à l'intérieur r < b, un côté à l'extérieur r > b) :

     \oint \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r, t)\,h - B_{z,\mathrm{ext}}\,h = \mu_0 I_{\text{enlacé}} = \mu_0 \left(\frac{N}{L} h\right) i(t)

     Puisque B_{z,\mathrm{ext}} = 0, on obtient :

     \vec{B}_{\mathrm{sol, int}}(M, t) = \mu_0 \frac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z \quad \text{pour } r < b

   4. Expressions selon les phases temporelles :

   • Phase 1 : t < 0 (i(t) = i_0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i_0\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 2 : t \in [0, \tau[ (i(t) décroît de i_0 à 0) :

     \begin{cases} \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{pour } r < b\\[6pt] \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases}

   • Phase 3 : t \geq \tau (i(t) = 0) :

     \vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \vec{0} \quad \text{dans tout l'espace}

   Ces résultats se résument par :

   \boxed{\vec{B}_{\mathrm{sol}}(M, t) = \begin{cases} \mu_0 \dfrac{N}{L} i(t)\,\vec{e}_z & \text{si } r < b \\ \vec{0} & \text{si } r > b \end{cases}}

   5. Homogénéité :

   • À l'intérieur (r < b), le champ ne dépend pas des coordonnées d'espace (r, \theta, z) : le champ est donc homogène (uniforme) à l'intérieur du solénoïde à chaque instant.
   • À l'extérieur (r > b), le champ est identiquement nul partout : il est donc également homogène (uniforme) à l'extérieur.

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\mathrm{sol}}(M,t)=\{\begin{array}{ll}{\mu }_0\frac{N}{L}i(t){\vec{e}}_z& \text{si }r<b\\ \vec{0}& \text{si }r>b\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2022, Q36

   1. Absence de perte d'information :

   Le dispositif des deux bobines de Helmholtz présente une symétrie de révolution autour de l'axe (\Omega, \vec{u}_3). La distribution de courant est donc invariante par toute rotation d'angle \theta autour de cet axe. Par conséquent, en coordonnées cylindriques (r, \theta, x_3), le champ magnétique ne dépend pas de l'angle \theta :

   \vec{B}(r, \theta, x_3) = \vec{B}(r, x_3)

   La connaissance du champ dans le demi-plan méridien défini par \theta = 0 (qui correspond au plan (\Omega, \vec{u}_1, \vec{u}_3)) permet de reconstituer l'ensemble du champ dans tout l'espace à trois dimensions par simple rotation d'axe (\Omega, \vec{u}_3). Il n'y a donc aucune perte d'information.

   2. Points où la direction du champ est prévisible :

   • Sur l'axe (\Omega, \vec{u}_3) (r = 0, soit x_1 = 0 dans la coupe) : Tout plan contenant l'axe (\Omega, \vec{u}_3) coupe les spires perpendiculairement au vecteur densité de courant. Par réflexion par rapport à un tel plan méridien, le vecteur courant est inversé : tout plan contenant (\Omega, \vec{u}_3) est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants (\Pi^*). Le champ magnétique \vec{B}, étant un vecteur axial (ou pseudovecteur), est contenu dans chacun de ces plans. L'axe (\Omega, \vec{u}_3) étant l'intersection de tous les plans méridiens d'antisymétrie, le champ magnétique en tout point de l'axe est nécessairement colinéaire à cet axe :

     \vec{B}(0, x_3) = B_{\text{axe}}(x_3)\,\vec{u}_3

   • Dans le plan médiateur des deux bobines (x_3 = 0, soit l'axe (\Omega, \vec{u}_1) dans la coupe) : Puisque les deux bobines sont identiques, de même rayon R_1, situées à égale distance de \Omega (x_3 = \pm R_1/2) et parcourues par des courants de même intensité et de même sens, le plan (\Omega, \vec{u}_1, \vec{u}_2) d'équation x_3 = 0 est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\Pi). Le champ magnétique \vec{B} en tout point de ce plan est orthogonal au plan de symétrie :

     \vec{B}(x_1, x_2, 0) = B_3(r, 0)\,\vec{u}_3

     En particulier, le long de la droite (\Omega, \vec{u}_1) représentée sur la figure D, le champ magnétique est rigoureusement parallèle à \vec{u}_3.

   3. Représentation sur le document réponse :

   D'après la règle de la main droite (ou du tire-bouchon), le courant i_1 orienté selon \vec{u}_2 au voisinage de x_1 > 0 crée un champ dirigé dans le sens des x_3 croissants. Ainsi, sur l'axe des abscisses (x_1 = 0) comme sur l'axe des ordonnées (x_3 = 0), on trace des flèches dirigées vers la droite (sens de +\vec{u}_3) :

   • au centre \Omega (x_1 = 0, x_3 = 0) : un vecteur dirigé selon +\vec{u}_3 ;
   • en plusieurs points de l'axe (\Omega, \vec{u}_3) (x_1 = 0, x_3 \neq 0) : vecteurs dirigés selon +\vec{u}_3 ;
   • en plusieurs points de l'axe (\Omega, \vec{u}_1) (x_3 = 0, x_1 \neq 0) : vecteurs orthogonaux à cet axe, dirigés selon +\vec{u}_3.

   \boxed{\text{Le champ }\vec{B}\text{ est colinéaire à }\vec{u}_3\text{ en tout point de l'axe }(x_1 = 0)\text{ et en tout point du plan médian }(x_3 = 0).}

   Résultat

   $$\text{Le champ }\vec{B}\text{ est colineˊaire aˋ }{\vec{u}}_3\text{ en tout point de l’axe }(x_1=0)\text{ et en tout point du plan meˊdian }(x_3=0).$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2022, Q40

   D'après la question Q37, la conservation du flux du champ magnétique est régie par l'équation de Maxwell-Thomson :

   \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   Le système présente une invariance par rotation autour de l'axe (\Omega, \vec{u}_3), donc les composantes du champ ne dépendent pas de \theta. De plus, tout plan contenant l'axe (\Omega, \vec{u}_3) étant un plan d'antisymétrie de la distribution de courant, le champ magnétique est purement méridien, soit B_\theta = 0.

   En utilisant l'expression de la divergence en coordonnées cylindriques (r, \theta, x_3) fournie par le formulaire :

   \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{B} &= \frac{1}{r}\frac{\partial(r B_r)}{\partial r} + \frac{\partial B_3}{\partial x_3} = 0 \\ \frac{\partial(r B_r)}{\partial r} &= - r \frac{\partial B_3}{\partial x_3} \end{aligned}

   Au voisinage immédiat de l'axe (r \ll R_1), on peut approcher la composante axiale à l'ordre le plus bas par sa valeur sur l'axe :

   B_3(r, x_3) \simeq B_3(0, x_3) = B_{\mathrm{axe}}(x_3) \implies \frac{\partial B_3}{\partial x_3}(r, x_3) \simeq \frac{\mathrm{d}B_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}x_3}(x_3)

   En intégrant la relation différentielle par rapport à la variable radiale entre 0 et r à cote x_3 fixée :

   \begin{aligned} \int_0^r \frac{\partial(r' B_r)}{\partial r'}\,\mathrm{d}r' &\simeq -\frac{\mathrm{d}B_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}x_3} \int_0^r r'\,\mathrm{d}r' \\ r B_r(r, x_3) - \left[ r' B_r(r', x_3) \right]_{r'=0} &\simeq -\frac{\mathrm{d}B_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}x_3} \left[ \frac{{r'}^2}{2} \right]_0^r \end{aligned}

   Le champ magnétique restant borné sur l'axe (et s'y annulant même par symétrie : B_r(0, x_3) = 0), le terme d'intégration en r'=0 est nul. On obtient ainsi :

   \begin{aligned} r B_r(r, x_3) &\simeq -\frac{r^2}{2} \frac{\mathrm{d}B_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}x_3} \end{aligned}

   En divisant par r > 0, on démontre bien la relation annoncée :

   \boxed{B_r(r, x_3) \simeq -\frac{r}{2} \frac{\mathrm{d}B_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}x_3}}

   Résultat

   $$B_r(r,x_3)\simeq -\frac{r}{2}\frac{\mathrm{d}{B}_{\mathrm{axe}}}{\mathrm{d}{x}_3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MP 2022, Q10

   On se place en coordonnées cylindriques (r, \theta, z) de base associée (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), l'axe Oz coïncidant avec l'axe du solénoïde. La distribution de courant est modélisée par un courant surfacique orthoradial \vec{j}_s = n I \vec{u}_\theta sur le cylindre de rayon R.

   Étude des invariances :

   • Dans l'approximation du solénoïde infini, la distribution de courant est invariante par toute translation selon l'axe Oz : les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de z.
   • La distribution présente une invariance par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe Oz : les composantes du champ magnétique ne dépendent pas de \theta.

   Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

   Étude des symétries : Le champ magnétique \vec{B} étant un pseudovecteur (vecteur axial) :

   • Le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) passant par le point M et perpendiculaire à l'axe Oz est un plan de symétrie (\Pi) pour la distribution de courant (les spires y sont parallèles et la géométrie est symétrique de part et d'autre pour un solénoïde infini). Le champ magnétique en M est donc orthogonal à ce plan :

     \vec{B}(M) \perp (M, \vec{u}_r, \vec{u}_\theta) \implies B_r(M) = 0 \quad \text{et} \quad B_\theta(M) = 0
   • On peut également remarquer que tout plan contenant l'axe Oz, en particulier le plan (M, \vec{u}_r, \vec{u}_z), est un plan d'antisymétrie (\Pi^*) pour la distribution de courant (le courant orthoradial le traverse orthogonalement). Le champ magnétique est donc contenu dans ce plan, ce qui confirme B_\theta(M) = 0.

   En combinant invariances et symétries, on en déduit que le champ magnétostatique à l'intérieur du solénoïde s'écrit :

   \boxed{\vec{B}(M) = B(r) \vec{u}_z}

   Résultat

   $$\vec{B}(M)=B(r){\vec{u}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MP 2022, Q11

   1. Uniformité du champ à l'intérieur :

   À l'intérieur du solénoïde, il n'y a pas de courant volumique (\vec{j} = \vec{0}). L'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire s'écrit :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}

   D'après la question Q10, le champ s'écrit \vec{B}(M) = B(r)\,\vec{u}_z. En utilisant l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques donnée dans les données du sujet :

   \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = -\frac{\partial B}{\partial r}\,\vec{u}_\theta = \vec{0} \implies \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}r} = 0

   Le champ ne dépend donc pas de r. Comme les symétries garantissaient déjà son indépendance vis-à-vis de \theta et z, le champ magnétostatique est rigoureusement uniforme à l'intérieur du solénoïde infini :

   \vec{B}(M) = B_{\text{int}}\,\vec{u}_z

   2. Expression du champ à l'intérieur :

   Considérons un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = M_1 M_2 M_3 M_4 tracé dans un plan méridien (\theta = \text{cste}) :

   • un segment intérieur [M_1 M_2] parallèle à l'axe Oz, de longueur h, orienté selon +\vec{u}_z (r_1 < R) ;
   • un segment radial [M_2 M_3] allant de r_1 à r_2 > R ;
   • un segment extérieur [M_3 M_4] parallèle à l'axe Oz, de longueur h, orienté selon -\vec{u}_z (r_2 > R) ;
   • un segment radial [M_4 M_1] allant de r_2 à r_1.

   Calculons la circulation de \vec{B} le long de ce contour orienté :

   • Sur [M_1 M_2] : \int_{M_1}^{M_2} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}\,h.
   • Sur les segments radiaux [M_2 M_3] et [M_4 M_1] : \mathrm{d}\vec{\ell} = \pm\,\mathrm{d}r\,\vec{u}_r, or \vec{B} = B\,\vec{u}_z, donc \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0.
   • Sur le segment extérieur [M_3 M_4] : \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} selon l'énoncé, donc la circulation est nulle.

   La circulation totale s'élève ainsi à :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}\,h

   La surface orientée s'appuyant sur \mathcal{C} intercepte les spires de la paroi du solénoïde sur une hauteur h. Le nombre de spires traversées est N = n\,h, chacune transportant le courant I. D'après la règle de la main droite appliquée à l'orientation choisie (normale selon +\vec{u}_\theta), le courant enlacé algébrique vaut :

   I_{\text{enlacé}} = n\,h\,I

   D'après le théorème d'Ampère :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0\,I_{\text{enlacé}} \implies B_{\text{int}}\,h = \mu_0\,n\,h\,I

   D'où B_{\text{int}} = \mu_0\,n\,I. En tenant compte de l'orientation axiale :

   \boxed{\vec{B}(M) = \mu_0\,n\,I\,\vec{u}_z \quad (\text{pour } r < R)}

   Résultat

   $$\vec{B}(M)={\mu }_{0}nI{\vec{u}}_z(\text{pour }r<R)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MP 2021, Q29

   La lame de gauche occupe le domaine -(a+b) \le x \le -a, d'épaisseur b et de plan médian x_c = -(a + b/2). Elle est parcourue par la densité volumique de courant uniforme \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y.

   1. Invariances En négligeant les effets de bord, la distribution de courant est invariante par translation selon les axes (Oy) et (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc spatialement que de la variable x :

   \vec{B}_1(M,t) = \vec{B}_1(x,t)

   2. Symétries

   • Tout plan z = \text{cste} est un plan de symétrie (\Pi_s) de la distribution de courant, car le vecteur densité de courant \vec{\jmath}_1 = -J(t)\,\vec{e}_y est contenu dans ce plan. Le champ magnétique étant un vecteur axial (pseudovecteur), il est orthogonal à tout plan de symétrie des courants :

     \vec{B}_1(x,t) = B_{1,z}(x,t)\,\vec{e}_z

   • Le plan x = x_c = -(a + b/2) est également un plan de symétrie (\Pi_s) pour la lame considérée seule (le courant lui étant parallèle). Le champ en tout point de ce plan doit donc être orthogonal au plan, c'est-à-dire dirigé selon \vec{e}_x. Comme \vec{B}_1 est colinéaire à \vec{e}_z, on en déduit que :

     B_{1,z}(x_c, t) = 0

     De plus, sous la symétrie plane par rapport à x = x_c, la composante axiale parallèle au plan est transformée en son opposée, ce qui montre que B_{1,z}(x,t) est une fonction impaire de la variable (x - x_c) :

     B_{1,z}(x_c + u, t) = - B_{1,z}(x_c - u, t) \quad (\forall u \ge 0)

   3. Application du théorème d'Ampère Dans le cadre de l'ARQS magnétique, appliquons le théorème d'Ampère à un contour fermé rectangulaire \mathcal{C} tracé dans un plan y = \text{cste}, symétrique par rapport au plan x = x_c, constitué de deux côtés de longueur L parallèles à l'axe (Oz) situés en x_c + u et x_c - u (u > 0).

   Orientons le contour de sorte que la normale associée par la règle de la main droite soit -\vec{e}_y (c'est-à-dire dans le sens du courant -J(t)\vec{e}_y).

   Les côtés parallèles à (Ox) ne contribuent pas à la circulation car \vec{B}_1 \cdot \vec{e}_x = 0. La circulation de \vec{B}_1 le long de \mathcal{C} s'écrit :

   \begin{aligned} \Gamma &= \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}_1 \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{1,z}(x_c + u, t)\,L - B_{1,z}(x_c - u, t)\,L \\ &= 2\,B_{1,z}(x_c + u, t)\,L \end{aligned}

   D'après le théorème d'Ampère, \Gamma = \mu_0 I_{\text{enl}} où I_{\text{enl}} est le courant total traversant le rectangle :

   • À l'extérieur de la lame (u \ge b/2) : Le rectangle englobe toute l'épaisseur b de la lame, donc le courant enlacé vaut I_{\text{enl}} = J(t)\,b\,L. On en déduit :

     2\,B_{1,z}(x_c + u, t)\,L = \mu_0 J(t)\,b\,L \implies B_{1,z}(x_c + u, t) = \frac{\mu_0 J(t) b}{2}

     Par imparité, de part et d'autre de la lame :

     \begin{aligned} \text{Pour } x > -a \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = \frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \\ \text{Pour } x < -(a+b) \text{ :} \quad & \vec{B}_1(x,t) = -\frac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z \end{aligned}

   • À l'intérieur de la lame (u \le b/2, soit -(a+b) \le x \le -a) : La largeur de la tranche de courant traversée est 2u = 2(x - x_c), d'où I_{\text{enl}} = J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L. Il vient :

     2\,B_{1,z}(x,t)\,L = \mu_0 J(t) \cdot 2(x - x_c) \cdot L \implies B_{1,z}(x,t) = \mu_0 J(t)\left(x + a + \frac{b}{2}\right)

   En résumé, le champ magnétique produit par la lame de gauche s'écrit dans tout l'espace :

   \boxed{ \vec{B}_1(x,t) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z & \text{pour } x < -(a+b) \\[6pt] \mu_0 J(t)\left(x + a + \dfrac{b}{2}\right)\vec{e}_z & \text{pour } -(a+b) \le x \le -a \\[6pt] +\dfrac{1}{2}\,\mu_0 J(t) b\,\vec{e}_z & \text{pour } x > -a \end{cases} }

   Résultat

   $${\vec{B}}_1(x,t)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}{\mu }_{0}J(t)b{\vec{e}}_z& \text{pour }x<-(a+b)\\ {\mu }_{0}J(t)\left(x+a+\frac{b}{2}\right){\vec{e}}_z& \text{pour }-(a+b)\le x\le -a\\ +\frac{1}{2}{\mu }_{0}J(t)b{\vec{e}}_z& \text{pour }x>-a\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique MP 2020, Q14

   1. Expression de l'intensité du courant dans (R)

   Dans le référentiel (R), le fil chargé se déplace à la vitesse \vec{V}_e = V_e \vec{e}_z. La densité volumique de courant associée à ce mouvement d'ensemble des charges est :

   \vec{\jmath} = \rho_f \vec{V}_e = \rho_f V_e \vec{e}_z

   L'intensité I traversant une section droite \mathcal{S} orientée selon \vec{e}_z s'obtient par intégration du flux de \vec{\jmath} :

   I = \iint_{\mathcal{S}} \vec{\jmath} \cdot \vec{e}_z \, \mathrm{d}S = \rho_f V_e \cdot (\pi a^2) = \lambda_f V_e

   \boxed{I = \lambda_f V_e}

   2. Détermination de \vec{B} par le théorème d'Ampère

   La distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe Oz et par rotation autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc que de la coordonnée radiale r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

   Tout plan contenant l'axe Oz est un plan de symétrie pour la distribution de courant \vec{\jmath}. En tout point M, le champ magnétique \vec{B}(M) est orthogonal à ce plan de symétrie, donc selon le vecteur orthoradial \vec{e}_\theta :

   \vec{B}(M) = B_\theta(r)\,\vec{e}_\theta

   Choisissons comme contour d'Ampère \mathcal{C} un cercle de rayon r > a, orthogonal à l'axe Oz, centré sur celui-ci et orienté selon \vec{e}_\theta.

   • La circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} vaut :

     \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} B_\theta(r) \, r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r B_\theta(r)
   • Le courant total enlacé par le contour \mathcal{C} est l'intensité totale du fil : I_{\text{enl}} = I = \lambda_f V_e.

   D'après le théorème d'Ampère, 2\pi r B_\theta(r) = \mu_0 I_{\text{enl}} = \mu_0 \lambda_f V_e, d'où :

   \boxed{\vec{B} = \frac{\mu_0 \lambda_f V_e}{2\pi r}\,\vec{e}_\theta}

   3. Commentaire par rapport à Q12

   La loi de transformation classique (galiléenne) des champs utilisée à la question Q12 prévoyait \vec{B} = \vec{B}' = \vec{0}, car le fil est purement électrostatique dans son référentiel propre (R').

   Or, l'application directe des lois fondamentales de l'électromagnétisme (théorème d'Ampère, issu de l'équation de Maxwell-Ampère en régime stationnaire) montre que le déplacement du fil dans (R) crée un courant réel I = \lambda_f V_e et induit donc un champ magnétique non nul.

   La transformation galiléenne des champs est donc incompatible avec les équations de Maxwell : l'électromagnétisme classique n'est pas invariant par transformation de Galilée, ce qui impose d'abandonner celle-ci au profit des transformations de Lorentz et de la relativité restreinte.

   Résultat

   $$I={\lambda }_f{V}_e$$

   $$\vec{B}=\frac{{\mu }_0{\lambda }_f{V}_e}{2\pi r}{\vec{e}}_{\theta }$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q13

   1. Champ contenu dans le plan xOy

   Les axes des quatre bobines sont situés dans le plan xOy. Les spires de chaque bobine sont coupées orthogonalement par ce plan. La réflexion par rapport au plan xOy inverse le sens de circulation du courant dans chaque spire : le plan xOy est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant \vec{\jmath}.

   Le champ magnétique \vec{B} étant un champ de pseudo-vecteurs, en tout point M d'un plan d'antisymétrie des sources, le champ magnétique est contenu dans ce plan :

   \forall M \in xOy, \quad B_z(M) = 0 \iff \vec{B}(M) \in xOy

   2. Direction et sens du champ au voisinage de l'origine

   • Sur l'axe Ox (y=0) : Le plan xOz est un plan de symétrie pour la distribution de courant (les bobines supérieures et inférieures ont des courants symétriques). En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal au plan de symétrie. Le champ \vec{B} est donc purement selon \vec{e}_y (vertical) :

     \vec{B}(x, 0, 0) = B_y(x) \, \vec{e}_y

     D'après le sens des courants indiqué sur la figure 2b (règle de la main droite) :

     • pour x > 0, les bobines créent un pôle Nord en bas à droite et un pôle Sud en haut à droite : le champ est dirigé vers le haut, dans le sens de +\vec{e}_y ;
     • pour x < 0, le pôle Nord est en haut à gauche et le pôle Sud en bas à gauche : le champ est dirigé vers le bas, dans le sens de -\vec{e}_y.

   • Sur l'axe Oy (x=0) : Le plan yOz est également un plan de symétrie pour la distribution de courant. En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal au plan, c'est-à-dire purement selon \vec{e}_x (horizontal) :

     \vec{B}(0, y, 0) = B_x(y) \, \vec{e}_x

     D'après le sens des courants :

     • pour y > 0, les lignes de champ vont du pôle Nord (en haut à gauche) vers le pôle Sud (en haut à droite) : le champ est dirigé vers la droite, dans le sens de +\vec{e}_x ;
     • pour y < 0, les lignes vont du pôle Nord (en bas à droite) vers le pôle Sud (en bas à gauche) : le champ est dirigé vers la gauche, dans le sens de -\vec{e}_x.

   3. Valeur du champ à l'origine

   L'origine O(0,0,0) appartient simultanément à l'axe Ox et à l'axe Oy. Le champ en O doit ainsi être à la fois colinéaire à \vec{e}_y et à \vec{e}_x. Les vecteurs \vec{e}_x et \vec{e}_y étant orthogonaux, le champ magnétique est nécessairement nul en O :

   \boxed{\vec{B}(O) = \vec{0}}

   Physiquement, les champs créés au centre par les quatre bobines identiques, disposées de façon symétrique, se compensent exactement deux à deux.

   Résultat

   $$\vec{B}(O)=\vec{0}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MP 2025, Q14

    Au voisinage de l'axe, dans l'espace vide où circule le faisceau d'électrons, la densité volumique de courant est nulle (\vec{\jmath} = \vec{0}). En régime stationnaire, le champ magnétique vérifie les deux équations locales suivantes :

    • l'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

      \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

    • le théorème d'Ampère sous forme locale (Maxwell-Ampère stationnaire hors sources) :

      \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} = \vec{0}

    Testons le champ magnétique proposé \vec{B} = (K y + K')\,\vec{e}_x + (K x + K')\,\vec{e}_y :

    • Divergence :

      \begin{aligned} \mathrm{div}\,\vec{B} &= \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(K y + K') + \frac{\partial}{\partial y}(K x + K') + 0 = 0 \end{aligned}

    • Rotationnel : le champ étant bidimensionnel et indépendant de z, ses composantes selon \vec{e}_x et \vec{e}_y sont nulles. Sa composante selon \vec{e}_z vaut :

      \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(K x + K') - \frac{\partial}{\partial y}(K y + K') \\ &= K - K = 0 \end{aligned}

      soit \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

    Le champ proposé vérifie donc bien les deux équations fondamentales de la magnétostatique dans le vide.

    Valeur de K' :
    À l'origine du repère, l'expression du champ donne :

    \vec{B}(O) = K'\,\vec{e}_x + K'\,\vec{e}_y

    Or, d'après les symétries établies à la question Q13, le champ magnétique est nul à l'origine : \vec{B}(O) = \vec{0}. On en déduit :

    \boxed{K' = 0}

    Le champ quadrupolaire s'écrit donc au voisinage de l'axe :

    \vec{B} = K\left(y\,\vec{e}_x + x\,\vec{e}_y\right)

    Résultat

    $$K^{\prime }=0$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question