Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2026

On représente un condensateur plan constitué de deux armatures métalliques planes parallèles de surface S, séparées d'une distance d.

Pour u = V_1 - V_2 > 0 et q > 0 :

• l'armature supérieure (repérée 1) porte la charge +q > 0 et se trouve au potentiel V_1 ;
• l'armature inférieure (repérée 2) porte la charge -q < 0 et se trouve au potentiel V_2 ;
• la flèche de tension u = V_1 - V_2 pointe vers l'armature au potentiel le plus élevé (l'armature 1) ;
• le champ électrique \vec{E}, orienté selon les potentiels décroissants (\vec{E} = -\vec{\nabla} V), est dirigé de l'armature chargée positivement vers l'armature chargée négativement.

1. Définition de la capacité C
La capacité C d'un condensateur est le coefficient de proportionnalité positif reliant la charge q portée par l'armature portée au potentiel le plus élevé à la tension u régnant entre ses armatures :

Elle s'exprime en farads (\mathrm{F}) et ne dépend que de la géométrie du dispositif et des propriétés diélectriques du milieu inter-armatures.

2. Expression du champ électrique \vec{E}
Comme d \ll \sqrt{S}, on néglige les effets de bord et les armatures sont modélisées par des plans infinis uniformément chargés portant les densités surfaciques respectives \sigma_1 = q/S en z = 0 et \sigma_2 = -q/S en z = d, avec l'axe (Oz) orienté de l'armature 1 vers l'armature 2.

Les invariances par translation selon (Ox) et (Oy) imposent un champ de la forme \vec{E} = E(z)\,\vec{u}_z. D'après le principe de superposition, une nappe plane infinie de densité \sigma produit un champ électrostatique uniforme de part et d'autre : \vec{E}_{\pm} = \pm \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\vec{u}_n. Entre les armatures (0 < z < d), les contributions des deux armatures s'additionnent :

Le champ électrique dans l'entre-armature est donc uniforme et s'écrit :

3. Expression de la capacité C
La tension u = V(0) - V(d) s'obtient par circulation du champ électrostatique :

En identifiant avec q = C u, on obtient :

D'après la figure 1, le stator comporte deux électrodes fixes (3) et (4) et le rotor deux électrodes mobiles (1) et (2), chacune ayant la forme d'un quart de disque de rayon utile R. La capacité du système est proportionnelle à la surface en regard (de recouvrement) entre le rotor et le stator :

• À la position \theta_{\mathrm{r}} = 0, les électrodes du rotor se trouvent entièrement dans les intervalles libres du stator : le recouvrement surfacique est nul. La capacité C(\theta_{\mathrm{r}}) atteint donc sa valeur minimale C_{\min} pour :

  \theta_{\mathrm{r}} \equiv 0 \pmod \pi \quad (\text{soit } \theta_{\mathrm{r}} = k\pi,\, k \in \mathbb{Z})

  Sur l'intervalle [0, 2\pi], cela correspond à \theta_{\mathrm{r}} \in \{0, \pi, 2\pi\}.

• À la position \theta_{\mathrm{r}} = \pi/2, chaque quart de disque du rotor recouvre exactement un quart de disque du stator : le recouvrement surfacique est total. La capacité C(\theta_{\mathrm{r}}) atteint donc sa valeur maximale C_{\max} pour :

  \theta_{\mathrm{r}} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod \pi \quad \left(\text{soit } \theta_{\mathrm{r}} = \frac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \mathbb{Z}\right)

  Sur l'intervalle [0, 2\pi], cela correspond à \theta_{\mathrm{r}} \in \{\pi/2, 3\pi/2\}.

Pour \theta_{\mathrm{r}} = \pi/2, les deux paires d'électrodes en vis-à-vis constituent deux condensateurs plans élémentaires identiques branchés en parallèle, chacun d'armatures de surface égale à un quart de disque, soit :

La surface totale de recouvrement vaut donc :

En utilisant l'expression de la capacité d'un condensateur plan sans effets de bord établie à la question Q2 (C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}), on en déduit l'expression de C_{\max} :

Lorsque \theta_{\mathrm{r}} croît de 0 à \pi/2, les deux électrodes du rotor recouvrent progressivement les deux électrodes du stator. L'angle d'ouverture du recouvrement pour chaque paire vaut \theta_{\mathrm{r}}, de sorte que la surface totale en regard varie proportionnellement à \theta_{\mathrm{r}} :

La capacité augmentant linéairement avec la surface en regard, elle varie de manière affine entre sa valeur minimale C_{\min} en \theta_{\mathrm{r}} = 0 et sa valeur maximale C_{\max} en \theta_{\mathrm{r}} = \pi/2 :

Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\frac{\pi}{2}, \pi\right], les secteurs rotoriques quittent les secteurs statoriques : la surface de recouvrement décroît linéairement pour s'annuler à nouveau en \theta_{\mathrm{r}} = \pi, où la capacité retrouve la valeur C_{\min} :

L'expression générale sur l'intervalle [0, \pi] s'écrit donc :

Par symétrie centrale du système (invariance par rotation d'un demi-tour \theta_{\mathrm{r}} \to \theta_{\mathrm{r}} + \pi), la fonction C(\theta_{\mathrm{r}}) est périodique de période :

La courbe représentative de C(\theta_{\mathrm{r}}) sur l'intervalle [0, 2\pi] forme une onde triangulaire :

L'énergie électrostatique emmagasinée dans le condensateur sous la tension u s'écrit :

En appliquant la formule fournie pour le couple électrostatique à tension u fixée, on obtient :

Pour un fonctionnement en moteur dans le sens direct (\Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}} > 0), la puissance mécanique moyenne développée par le couple doit être strictement positive :

Le couple moyen doit donc impérativement vérifier :

Si le système était alimenté par une tension constante u = U_{\text{cst}}, le couple moyen sur une période angulaire T_{\theta} = \pi de la capacité s'écrirait :

Or, d'après la question précédente, la fonction C(\theta_{\mathrm{r}}) est \pi-périodique, donc C(\pi) = C(0), ce qui donne :

On ne peut donc pas alimenter le système par une tension constante pour faire tourner le moteur de manière continue.

D'après la question Q5, le couple instantané s'écrit :

Pour que le rotor soit entraîné dans le sens trigonométrique (\Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}} > 0), le couple moteur doit être strictement positif ou nul à chaque instant, sans jamais devenir résistant. Puisque u^2 \ge 0, le signe de \Gamma est imposé par celui de \dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}.

D'après les résultats de la question Q4 :

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[k\pi, k\pi + \dfrac{\pi}{2}\right] (k \in \mathbb{Z}), \dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = +\dfrac{2}{\pi}(C_{\max} - C_{\min}) > 0. Il convient donc d'appliquer la tension u = U > 0. Le couple vaut alors :

  \Gamma_{\max} = \frac{1}{\pi}(C_{\max} - C_{\min}) U^2
• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left]k\pi + \dfrac{\pi}{2}, (k+1)\pi\right[ (k \in \mathbb{Z}), \dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = -\dfrac{2}{\pi}(C_{\max} - C_{\min}) < 0. Il convient donc d'annuler la tension (u = 0) pour que le couple soit nul et ne freine pas le rotor.

Il convient ainsi d'appliquer la tension U sur les intervalles angulaires :

Tracé de la courbe \Gamma(\theta_{\mathrm{r}}) :

Expression du couple moyen \langle \Gamma \rangle :

Le couple \Gamma(\theta_{\mathrm{r}}) étant \pi-périodique, sa valeur moyenne sur une période angulaire \pi vaut :

Soit, en remplaçant \Gamma_{\max} par son expression :

D'après la question Q6, la tension en créneaux u doit être appliquée lorsque la capacité croît, soit sur des intervalles angulaires de largeur \pi/2, et annulée sur les intervalles suivants de largeur \pi/2. La tension u(\theta_{\mathrm{r}}) est donc une fonction périodique de la position angulaire \theta_{\mathrm{r}}, de période angulaire :

En régime permanent de rotation à vitesse angulaire constante \Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}}, la position angulaire varie selon \theta_{\mathrm{r}}(t) = \Omega t + \theta_0. La période temporelle T de la tension d'alimentation u(t) vérifie donc :

La pulsation \omega du fondamental du signal périodique u(t) est définie par :

On en déduit la relation recherchée :

La puissance mécanique instantanée transmise au rotor en rotation autour d'un axe fixe à la vitesse angulaire \Omega sous l'action du couple électrostatique \Gamma s'écrit :

En régime permanent de rotation, la vitesse angulaire \Omega est supposée constante. La puissance mécanique moyenne s'obtient alors en moyennant sur une période temporelle :

D'après la question 6, l'expression du couple moyen est :

D'après la question 7, la fréquence f de la tension en créneaux u(t) vérifie f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{\Omega}{\pi}, soit :

En combinant ces résultats, il vient :

On obtient bien la relation attendue :

1. Période de la fonction C(\theta_{\mathrm{r}}) :
   Le stator et le rotor comportent chacun 2p portions de disque identiques d'angle d'ouverture \frac{\pi}{2p}, séparées par des intervalles vides de même angle \frac{\pi}{2p}. Le motif géométrique se répète avec une invariance par rotation d'angle :

   \Delta \theta = \frac{\pi}{2p} + \frac{\pi}{2p} = \frac{\pi}{p}

   La fonction C(\theta_{\mathrm{r}}) est donc périodique de période angulaire :

   \boxed{T_{\theta} = \frac{\pi}{p}}

2. Intervalles angulaires d'application de la tension U :
   Pour obtenir un couple moteur (\Gamma > 0), la tension U doit être appliquée uniquement lorsque la capacité est strictement croissante avec \theta_{\mathrm{r}} \left(\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} > 0\right), c'est-à-dire lors de l'accroissement de la surface de recouvrement :

   \boxed{\theta_{\mathrm{r}} \in \left[ k\frac{\pi}{p}, \; k\frac{\pi}{p} + \frac{\pi}{2p} \right] \quad (k \in \mathbb{Z})}

3. Couple moyen \langle\Gamma\rangle :
   La surface totale maximale de recouvrement reste égale à la moitié de la surface du disque :

   S_{\max} = 2p \times \left(\frac{1}{2}R^2 \times \frac{\pi}{2p}\right) = \frac{\pi R^2}{2}

   Les valeurs extrêmes C_{\max} et C_{\min} sont donc inchangées par rapport au cas p=1. En revanche, cette variation s'effectue désormais sur une plage angulaire de largeur \frac{\pi}{2p}, ce qui donne sur la phase croissante :

   \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = \frac{C_{\max} - C_{\min}}{\frac{\pi}{2p}} = \frac{2p}{\pi}(C_{\max} - C_{\min})

   Le couple instantané pendant cette phase vaut donc :

   \Gamma = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}U^2 = \frac{p}{\pi}U^2(C_{\max} - C_{\min})

   Puisque la tension est nulle sur la seconde moitié de la période angulaire (rapport cyclique de 1/2), le couple moyen devient :

   \langle\Gamma\rangle = \frac{1}{2}\,\Gamma = \boxed{\frac{p}{2\pi} U^2 (C_{\max} - C_{\min})}

   Le couple moyen est ainsi multiplié par p par rapport au cas p = 1.

4. Relation entre \omega et \Omega :
   À la vitesse angulaire de rotation \Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}} constante, la période temporelle T du signal de commande correspond au parcours d'une période angulaire T_{\theta} = \frac{\pi}{p} :

   T = \frac{T_{\theta}}{\Omega} = \frac{\pi}{p\Omega}

   La pulsation \omega du fondamental de la tension en créneaux vérifie :

   \boxed{\omega = \frac{2\pi}{T} = 2p\,\Omega}

5. Puissance moyenne \langle\mathcal{P}\rangle du moteur :
   La puissance mécanique moyenne développée par le moteur s'écrit :

   \langle\mathcal{P}\rangle = \langle\Gamma\rangle\,\Omega = p\,\langle\Gamma\rangle_{p=1}\,\Omega = p\,\langle\mathcal{P}\rangle_{p=1}

   À vitesse de rotation \Omega fixée, la puissance mécanique moyenne est multipliée par p.
   En introduisant la fréquence d'alimentation f = \frac{1}{T} = \frac{p\Omega}{\pi}, on constate que la puissance moyenne conserve formellement la même expression :

   \boxed{\langle\mathcal{P}\rangle = \frac{1}{2} f U^2 (C_{\max} - C_{\min})}

1. Relation entre C_N(\theta_{\mathrm{r}}) et C(\theta_{\mathrm{r}})

Le rotor est constitué de N plaques et le stator de N+1 plaques intercalées. Chaque plaque rotorique est ainsi entourée par deux plaques statoriques, une au-dessus et une en dessous.

L'empilement comporte au total (N+1) + N = 2N+1 plaques conductrices, délimitant :

Toutes les plaques rotoriques sont reliées électriquement entre elles (axe conducteur), et toutes les plaques statoriques le sont également. Ces 2N condensateurs élémentaires, identiques à la structure à un seul entrefer étudiée précédemment, sont donc connectés en parallèle sous la même tension u(t).

Les capacités s'additionnent, d'où :

2. Puissance mécanique moyenne

D'après le résultat de la question Q8 (ou Q9), la puissance mécanique moyenne s'écrit :

La puissance moyenne développée par le moteur est donc multipliée par le facteur 2N :

3. Évaluations numériques

Pour un entrefer élémentaire, avec p = 3 paires d'électrodes, la surface utile de recouvrement maximal correspond à la moitié du disque, soit S_{\max} = \frac{\pi R^2}{2}. En négligeant les effets de bord, la capacité maximale d'un étage vaut (cf. Q3) :

Avec \varepsilon_0 \approx 9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}, R = 10\text{ mm} = 10^{-2}\text{ m}, d = 150\ \mu\mathrm{m} = 1{,}5 \times 10^{-4}\text{ m} et en approximant \pi \approx 3 :

On en déduit :

Pour la structure complète avec N = 14 couches, le nombre d'entrefers vaut 2N = 28 :

En arrondissant à un chiffre significatif :

En négligeant la capacité minimale C_{N,\min} \ll C_{N,\max}, la puissance moyenne développée s'évalue avec U = 100\text{ V} et f = 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz} :

Soit, avec un seul chiffre significatif :

4. Commentaire

Malgré l'empilement de N = 14 rotors (28 entrefers actifs), une tension notable (100\text{ V}) et une fréquence élevée (1\text{ kHz}), la puissance mécanique moyenne obtenue reste extrêmement faible, de l'ordre du milliwatt. Cela illustre la très faible densité volumique de puissance des convertisseurs électrostatiques à l'échelle macroscopique, comparée à celle des machines électromagnétiques usuelles.

Dans le système initial, les électrodes statoriques étaient connectées en parallèle à une même borne du générateur, de sorte que la capacité totale résultait de la somme des capacités de chaque secteur :

Chaque demi-stator présente donc, avec le rotor, une capacité moitié moindre :

Dans la configuration de la figure 3, le rotor est isolé électriquement (conducteur flottant). Le courant circulant de l'un des demi-stators vers l'autre traverse successivement le premier condensateur, le rotor, puis le second condensateur. Le schéma électrique équivalent est donc l'association en série de deux capacités variables :

La capacité équivalente entre les deux bornes d'alimentation s'écrit :

L'excursion de capacité vaut ainsi :

D'après l'expression établie à la question Q8, la puissance mécanique moyenne développée par cette structure sous une tension en créneaux d'amplitude notée U' et de même fréquence f est :

Pour que cette puissance moyenne soit inchangée par rapport au système initial où \langle \mathcal{P} \rangle = \frac{1}{2} f U^2 (C_{\max} - C_{\min}), il faut :

Comme les amplitudes sont positives, on obtient :

Dans le fer doux constituant le stator et le rotor, la perméabilité magnétique relative est très élevée : \mu_{\mathrm{r}} \gg 1 (typiquement \mu_{\mathrm{r}} \sim 10^3 à 10^4). Dans l'air de l'entrefer, on a \mu \approx \mu_0.

Les lois de comportement magnétique s'écrivent :

À l'interface fer-air de l'entrefer, les lignes de champ magnétique sont quasi-perpendiculaires à la surface car \mu_{\mathrm{r}} \gg 1. La continuité de la composante normale du champ magnétique impose :

L'intensité \|\vec{B}\| est donc du même ordre de grandeur dans le circuit en fer doux et dans les entrefers.

En revanche, pour l'excitation magnétique, on en déduit :

Ainsi, l'excitation magnétique \|\vec{H}\| est considérablement plus intense dans l'entrefer que dans le matériau ferromagnétique doux.

D'après le code couleur fourni :

• La simulation 1 montre un champ quasiment nul (très clair) dans tout le fer, et extrêmement concentré (très foncé) exclusivement au niveau de l'entrefer (comme le confirme le zoom) : elle représente donc l'intensité \|\vec{H}\|.
• La simulation 2 présente des niveaux élevés (couleurs foncées) répartis dans l'ensemble du circuit magnétique (stator et rotor) ainsi que dans l'entrefer : elle représente donc l'intensité \|\vec{B}\|.

Le stator et le rotor sont constitués de fer doux de perméabilité magnétique relative très élevée (\mu_{\mathrm{r}} \gg 1, typiquement 10^3 à 10^4).

Dans le fer doux, l'excitation magnétique vaut \vec{H}_{\text{fer}} = \frac{\vec{B}}{\mu_0 \mu_{\mathrm{r}}} \approx \vec{0}, de sorte que le fer se comporte comme un quasi-équipotentiel pour le potentiel scalaire magnétique V_{\mathrm{m}} (défini par \vec{H} = -\vec{\nabla} V_{\mathrm{m}} hors des courants). La différence de potentiel magnétique \Delta V_{\mathrm{m}} entre le stator et le rotor est imposée par les ampères-tours des bobinages statoriques d'après le théorème d'Ampère :

Dans l'air (\mu = \mu_0), le champ magnétique s'écrit B = \mu_0 H \sim \mu_0 \frac{\Delta V_{\mathrm{m}}}{d_{\text{air}}}, où d_{\text{air}} est l'épaisseur d'air séparant le stator et le rotor le long d'une ligne de champ :

• Au niveau des entrefers minces, la distance parcourue dans l'air est d_{\text{air}} = e, d'où un champ intense :

  B_{\mathrm{entrefer}} \sim \frac{\mu_0 \Delta V_{\mathrm{m}}}{e}

• En dehors de ces entrefers, les surfaces en regard sont séparées par une distance de l'ordre de la taille du rotor, d_{\text{air}} \sim R :

  B_{\text{hors}} \sim \frac{\mu_0 \Delta V_{\mathrm{m}}}{R}

Comme e \ll R, le rapport des champs magnétiques vérifie :

En termes de circuit magnétique (théorème d'Hopkinson), la réluctance d'un tube de flux dans l'air \mathcal{R} = \frac{d_{\text{air}}}{\mu_0 S} est proportionnelle à la longueur traversée dans l'air : elle est donc considérablement plus grande pour tout chemin passant hors de l'entrefer que pour le chemin direct à travers l'entrefer mince.

Considérons une ligne de champ moyenne fermée \mathcal{C}, orientée dans le sens du champ magnétique, qui traverse successivement :

• le pôle saillant supérieur du stator ;
• l'entrefer supérieur d'épaisseur e ;
• le rotor ;
• l'entrefer inférieur d'épaisseur e ;
• le pôle saillant inférieur du stator, puis la culasse statorique pour se refermer.

Appliquons le théorème d'Ampère au champ d'excitation magnétique \vec{H} le long de ce contour \mathcal{C} :

1. Circulation dans le fer doux :
Dans le rotor et le stator en fer doux, \vec{B} = \mu \vec{H}. Le champ magnétique \vec{B} y restant d'intensité finie, l'hypothèse d'une perméabilité magnétique infinie (\mu \to \infty) entraîne :

2. Circulation dans les entrefers :
Dans l'air assimilé au vide, \vec{B}_{\mathrm{a}} = \mu_0 \vec{H}_{\mathrm{a}}, soit \vec{H}_{\mathrm{a}} = \dfrac{\vec{B}_{\mathrm{a}}}{\mu_0}.
Les entrefers étant très minces (e \ll R), le champ y est quasi uniforme, radial et dirigé colinéairement à la normale aux parois. Par symétrie du dispositif, le champ a la même intensité B_{\mathrm{a}} dans chacun des deux entrefers. La circulation de \vec{H} sur les deux entrefers de même épaisseur e vaut donc :

3. Courant enlacé :
Le contour \mathcal{C} enlace les deux enroulements statoriques connectés en série. D'après le sens des spires indiqué sur la figure 4, les forces magnétomotrices des deux bobines de N spires s'additionnent le long de la ligne de champ. Le courant total algébrique enlacé est donc :

En égalant circulation et courant enlacé :

On en déduit l'intensité du champ magnétique en tout point de l'entrefer :

L'entrefer mince correspond aux zones d'épaisseur e où les pôles ferromagnétiques du rotor et du stator se font face. La surface d'une zone d'entrefer sous-tendant un angle \alpha est S = R\,\alpha\,\ell, et son volume s'écrit :

1. Cas \theta_{\mathrm{r}} = k\pi (recouvrement minimal) :

Dans cette configuration, les axes des pôles du rotor sont en quadrature avec ceux des pôles du stator. L'écart angulaire séparant deux pôles statoriques consécutifs est :

Comme chaque pôle rotorique a pour largeur angulaire \beta_{\mathrm{r}} = \frac{\pi}{2} + 2\epsilon > \gamma_{\mathrm{s}}, le rotor dépasse légèrement et vient en vis-à-vis du stator sur ses bords. À chacune des 4 extrémités des deux pôles rotoriques, l'angle de recouvrement vaut :

Il y a 4 zones de recouvrement identiques d'angle \frac{\epsilon}{2}, soit un angle de recouvrement total \alpha_{\min} = 4 \times \frac{\epsilon}{2} = 2\epsilon.

Le volume total minimal de l'entrefer est donc :

2. Cas \theta_{\mathrm{r}} = (2k+1)\frac{\pi}{2} (recouvrement maximal) :

Dans cette configuration, les pôles du rotor sont parfaitement alignés avec les pôles du stator. Puisque \beta_{\mathrm{r}} = \frac{\pi}{2} + 2\epsilon > \beta_{\mathrm{s}} = \frac{\pi}{2} - \epsilon, les pôles rotoriques débordent de chaque pôle statorique. L'angle de recouvrement de chaque pôle est donc limité par l'étendue angulaire du pôle statorique :

Pour les deux pôles en vis-à-vis, l'angle total de recouvrement vaut \alpha_{\max} = 2\beta_{\mathrm{s}} = \pi - 2\epsilon \approx \pi.

L'expression simplifiée du volume total maximal de l'entrefer est par conséquent :

L'inductance propre L du bobinage est définie énergétiquement par la relation liant le courant i à l'énergie magnétique totale \mathcal{E}_{\mathrm{ma}} emmagasinée dans le système :

Dans le fer doux, la perméabilité magnétique étant infinie (\mu \to \infty), le champ d'excitation vérifie \vec{H} = \vec{B}/\mu = \vec{0}, de sorte que la densité volumique d'énergie magnétique y est nulle :

L'énergie magnétique est donc entièrement localisée dans l'air des deux entrefers d'épaisseur e, où règne le champ uniforme B_{\mathrm{a}} = \frac{\mu_0 N i}{e} (d'après la question Q14). La densité d'énergie magnétique dans l'air y est :

L'énergie magnétique totale s'obtient en intégrant w_{\mathrm{m}} sur le volume total V de l'entrefer :

Par identification avec \mathcal{E}_{\mathrm{ma}} = \frac{1}{2}Li^2, on en déduit l'expression de l'inductance en fonction du volume de l'entrefer :

En utilisant les volumes minimal et maximal établis à la question Q15 :

• Pour V_{\min} = 2\epsilon R \ell e (position \theta_{\mathrm{r}} = k\pi) :

  \boxed{L_{\min} = \frac{2\mu_0 \epsilon N^2 R \ell}{e}}

• Pour V_{\max} = \pi R \ell e (position \theta_{\mathrm{r}} = (2k+1)\frac{\pi}{2}) :

  \boxed{L_{\max} = \frac{\mu_0 \pi N^2 R \ell}{e}}

Entre ces deux positions extrêmes, la surface de recouvrement des pôles rotoriques et statoriques varie linéairement avec l'angle de rotation \theta_{\mathrm{r}}. Par conséquent, le volume de l'entrefer et l'inductance L(\theta_{\mathrm{r}}) varient de manière affine par morceaux (allure triangulaire ou trapézoïdale avec paliers de saturation dus aux effets géométriques et d'angles \beta_{\mathrm{r}} et \beta_{\mathrm{s}}).

L'énergie magnétique stockée dans le système linéaire s'exprime sous la forme :

En utilisant la relation fournie pour le couple électromagnétique à courant i fixé :

Si l'on alimente le moteur par un courant continu constant i(t) = I_0, le couple moyen sur une période angulaire T_\theta de l'inductance s'écrit :

puisque la fonction L(\theta_{\mathrm{r}}) est périodique de période T_\theta.

Pour un fonctionnement en moteur à vitesse moyenne non nulle, le couple moyen doit être strictement positif (\langle \Gamma \rangle > 0) afin de vaincre les couples résistants et d'entretenir la rotation. Sous courant constant, le rotor ne ferait qu'osciller autour de la position d'inductance maximale (position d'équilibre stable où le couple est nul et de dérivée négative).

Conclusion : Non, on ne peut pas alimenter ce système par un courant constant pour réaliser un moteur.

D'après la question Q17, le couple électromagnétique instantané s'écrit :

Puisque i^2 \geqslant 0, le signe de \Gamma est imposé par celui de la dérivée \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}. Pour obtenir un fonctionnement moteur (\Gamma \geqslant 0 et \langle\Gamma\rangle > 0), il convient :

• d'appliquer le courant i(\theta_{\mathrm{r}}) = I sur les intervalles où l'inductance est strictement croissante (\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} > 0) ;
• d'annuler le courant (i = 0) sur les paliers de saturation et sur les phases où l'inductance décroît (\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} \leqslant 0), sous peine de créer un couple résistant freinant le rotor.

D'après la figure 6, les paliers de saturation haut (L_{\max}) et bas (L_{\min}) ont une largeur angulaire \Delta\beta. L'inductance est donc strictement croissante sur les intervalles angulaires :

soit, en degrés sur l'intervalle [0, 360^\circ] :

Sur ces intervalles, la pente de l'inductance est constante et vaut :

Le couple électromagnétique prend alors une valeur constante positive non nulle :

et \Gamma(\theta_{\mathrm{r}}) = 0 en dehors de ces intervalles.

Le profil de couple étant \pi-périodique en angle, calculons le couple moyen par intégration sur une période angulaire [0, \pi] :

Comme L\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\Delta\beta}{2}\right) = L_{\max} et L\left(\frac{\Delta\beta}{2}\right) = L_{\min}, on obtient :

D'après la figure 6 et l'étude menée à la question précédente, l'inductance L(\theta_{\mathrm{r}}) est une fonction périodique de la position angulaire \theta_{\mathrm{r}}, de période angulaire :

Pour maximiser le couple moteur moyen, le créneau de courant I doit être appliqué à chaque phase de croissance de l'inductance, c'est-à-dire une fois par période angulaire T_\theta.

Le rotor tournant à vitesse angulaire constante \Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}}, la position angulaire évolue selon \theta_{\mathrm{r}}(t) = \Omega t (à une constante près). La période temporelle T du courant en créneaux i(t) est donc la durée nécessaire au rotor pour effectuer une rotation d'un angle T_\theta :

La fréquence temporelle associée est f = \frac{1}{T} = \frac{\Omega}{\pi}.

La pulsation \omega du fondamental du courant d'alimentation i(t) vaut :

d'où la relation de synchronisme :

Le rotor étant en régime permanent de rotation à vitesse angulaire \Omega = \dot{\theta}_{\mathrm{r}} constante, la puissance mécanique instantanée développée par le couple électromagnétique s'écrit :

En prenant la moyenne temporelle sur une période, \Omega étant constante, il vient :

D'après la question Q18, l'expression du couple moyen développé sous une alimentation en créneaux de courant d'amplitude I est :

De plus, la relation entre la vitesse angulaire \Omega et la fréquence d'alimentation f établie à la question Q19 donne :

En substituant ces deux grandeurs dans la puissance mécanique moyenne, on obtient :

soit finalement :

Le moteur est modélisé par un dipôle passif constitué d'une résistance r en série avec un enroulement de flux propre total \Phi(t) = L(\theta_{\mathrm{r}}) \, i(t).

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans l'enroulement est e(t) = -\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}. En convention récepteur, la tension aux bornes du moteur s'écrit :

Le flux magnétique dépendant du temps à la fois par l'inductance L(\theta_{\mathrm{r}}(t)) et par le courant i(t), la règle de Leibniz donne :

Le rotor tourne à la vitesse angulaire instantanée :

Par dérivation d'une fonction composée, on exprime les dérivées temporelles en fonction des dérivées par rapport à la variable angulaire \theta_{\mathrm{r}} :

En reportant ces relations dans l'expression de la tension u, on obtient :

Soit, en factorisant par i(\theta_{\mathrm{r}}) :

1. État de la diode D :

Prenons comme référence des potentiels le rail inférieur du circuit (V_{\mathrm{bas}} = 0). La source idéale de tension impose au rail supérieur le potentiel V_{\mathrm{haut}} = U_0 > 0.

Lorsque le transistor T est passant (fermé), il se comporte comme un interrupteur idéal fermé, donc sans chute de tension à ses bornes : le potentiel du point milieu relié à la cathode de la diode D vaut

L'anode de la diode D étant reliée au rail inférieur (V_{\mathrm{anode}} = 0), la tension à ses bornes est :

La diode est donc polarisée en inverse : elle est à l'état bloqué (interrupteur ouvert).

2. Tension aux bornes du moteur :

La borne droite du moteur étant reliée au rail inférieur de potentiel nul et sa borne gauche au potentiel V_{\mathrm{cathode}} = U_0, la tension u aux bornes du moteur, en convention récepteur, vaut directement :

3. Signe du courant i :

Le transistor T ne peut être traversé que par un courant circulant dans le sens passant de sa flèche (du haut vers le bas). De plus, comme rappelé par l'énoncé, le bobinage interdit tout courant négatif. Par conséquent :

4. Respect des règles d'interconnexion :

En électronique de puissance :

• la source d'alimentation continue impose sa tension U_0 indépendamment du courant : c'est une source de tension ;
• le moteur est un récepteur inductif (bobinage présentant une inductance L) : le courant qui le traverse ne peut pas subir de discontinuité. Il se comporte donc, à l'échelle des commutations, comme une source de courant.

La règle fondamentale d'interconnexion stipule qu'une source de tension ne doit jamais être court-circuitée et qu'une source de courant ne doit jamais être ouverte. Une source de tension doit donc toujours être connectée à une source de courant.

Ici, lorsque T est passant et D bloquée, la source de tension U_0 est connectée en parallèle aux bornes de la source de courant formée par le moteur. Les règles d'interconnexion sont donc parfaitement respectées.

D'après la question Q18, pour assurer un fonctionnement moteur (\Gamma > 0), le courant doit être injecté lorsque l'inductance est strictement croissante. Le transistor \mathrm{T} est donc rendu passant sur cette phase de montée.

D'après la figure 6, l'inductance L(\theta_{\mathrm{r}}) croît linéairement de L_{\min} à L_{\max} entre la fin du palier bas (en \theta_{\mathrm{r}} = \Delta\beta/2) et le début du palier haut (en \theta_{\mathrm{r}} = \pi/2 - \Delta\beta/2). L'intervalle angulaire associé est donc :

La variation de L étant affine sur cet intervalle, la dérivée est constante et s'écrit :

D'après la question Q21, l'équation différentielle régissant le circuit s'écrit :

Pendant la phase de conduction de \mathrm{T}, la tension aux bornes du moteur est u(\theta_{\mathrm{r}}) = U_0 (question Q22) et la pente vaut \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = \rho. L'équation différentielle devient ainsi :

1. État de la diode D :

À l'instant où le transistor T est ouvert, le bobinage présente un comportement inductif et le courant i(\theta_{\mathrm{r}}), qui est strictement positif, ne peut subir de discontinuité. Pour assurer la continuité de ce courant, celui-ci s'établit à travers la diode D :

La diode étant supposée idéale, la tension à ses bornes est nulle, ce qui impose aux bornes du moteur :

2. Valeurs successives de la dérivée \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} :

D'après la courbe de la figure 6 et la définition de \rho = \frac{L_{\max}-L_{\min}}{\pi/2 - \Delta\beta} introduite à la question Q23, l'intervalle \left[\frac{\pi}{2} - \frac{\Delta\beta}{2}, \pi + \frac{\Delta\beta}{2}\right] se décompose en trois domaines :

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\frac{\pi}{2} - \frac{\Delta\beta}{2}, \, \frac{\pi}{2} + \frac{\Delta\beta}{2}\right] : palier de saturation haute où L(\theta_{\mathrm{r}}) = L_{\max}, soit :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0}

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\frac{\pi}{2} + \frac{\Delta\beta}{2}, \, \pi - \frac{\Delta\beta}{2}\right] : phase de décroissance linéaire de largeur \frac{\pi}{2} - \Delta\beta, de pente opposée à celle de la phase croissante, soit :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = -\rho = -\frac{L_{\max} - L_{\min}}{\pi/2 - \Delta\beta}}

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\pi - \frac{\Delta\beta}{2}, \, \pi + \frac{\Delta\beta}{2}\right] : palier de saturation basse où L(\theta_{\mathrm{r}}) = L_{\min}, soit :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0}

3. Équations différentielles successives régissant i(\theta_{\mathrm{r}}) :

D'après la question Q21, l'équation différentielle s'écrit avec u(\theta_{\mathrm{r}}) = 0 :

En injectant les valeurs de L(\theta_{\mathrm{r}}) et de sa dérivée sur chaque domaine (pour i(\theta_{\mathrm{r}}) > 0) :

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\frac{\pi}{2} - \frac{\Delta\beta}{2}, \, \frac{\pi}{2} + \frac{\Delta\beta}{2}\right] :

  \boxed{r \, i(\theta_{\mathrm{r}}) + \Omega L_{\max} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0}

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\frac{\pi}{2} + \frac{\Delta\beta}{2}, \, \pi - \frac{\Delta\beta}{2}\right] :

  \boxed{(r - \rho \Omega) \, i(\theta_{\mathrm{r}}) + \Omega L(\theta_{\mathrm{r}}) \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0}

• Pour \theta_{\mathrm{r}} \in \left[\pi - \frac{\Delta\beta}{2}, \, \pi + \frac{\Delta\beta}{2}\right] :

  \boxed{r \, i(\theta_{\mathrm{r}}) + \Omega L_{\min} \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0}

Si le courant s'annule, la diode se bloque et le courant reste nul jusqu'au prochain amorçage de T.

1. Phase de magnétisation (T passant, u = U_0) :

   • Au début de la phase (\theta_{\mathrm{r}} \gtrsim \frac{\Delta\beta}{2}), le courant i est quasi nul et l'inductance est minimale (L \approx L_{\min}). La dérivée initiale du courant :

     \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} \approx \frac{U_0}{\Omega L_{\min}}

     est grande car L_{\min} est faible. Le courant s'établit donc très rapidement.

   • Au fur et à mesure que le rotor tourne, l'inductance L(\theta_{\mathrm{r}}) augmente et la force contre-électromotrice d'origine motrice, proportionnelle à \rho \Omega i, prend de l'importance. L'effet inductif plus prononcé et cette tension induite opposée à U_0 ralentissent la croissance du courant, courbant la caractéristique vers un palier.

2. Phase de démagnétisation (T ouvert, u = 0, diode D passante) :

   • Sur le palier supérieur (\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = 0, L = L_{\max}) : le circuit est fermé en roue libre sur la diode idéale avec u = 0, soit L_{\max}\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + ri = 0. La résistance interne r du bobinage étant très faible et L_{\max} grande, la constante de temps \tau = L_{\max}/r est élevée : la décroissance du courant est particulièrement lente.
   • Sur la phase de décroissance de l'inductance (\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = -\rho < 0) : la variation d'inductance crée une f.é.m. induite -\Omega \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} i = +\rho\Omega i > 0. D'après la loi de Lenz, la diminution de l'inductance tend à maintenir le flux magnétique \Phi = L\,i, ce qui soutient le courant et empêche son annulation rapide.

1. Défaut du montage : Sur la figure 8, on observe qu'après la phase de saturation de l'inductance, le couple instantané \Gamma(\theta_{\mathrm{r}}) devient négatif (couple résistant ou freinage).

Ce couple négatif s'oppose à la rotation du rotor, ce qui entraîne :

• une diminution importante du couple moyen utile \langle \Gamma \rangle ;
• une dégradation du rendement global de conversion électromécanique.

2. Cause physique et électrique : D'après la relation établie à la question 17 :

Puisque i^2 \ge 0, le signe du couple est identique à celui de \frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}.

Lorsque l'inductance décroît (\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} = -\rho < 0), le courant i(\theta_{\mathrm{r}}) n'a pas eu le temps de s'annuler. Cette décroissance trop lente du courant provient du fait que :

• le transistor \mathrm{T} étant ouvert, la diode de roue libre \mathrm{D} conduit et impose une tension nulle aux bornes du moteur (u = 0) ;
• en l'absence de tension négative appliquée pour forcer une démagnétisation rapide, l'extinction du courant n'est assurée que par la dissipation Joule dans la résistance r, partiellement compensée par le terme électromoteur (-\rho\Omega \, i).

Le moteur est connecté entre le point milieu du bras gauche (noté A, relié à T_1 et D_1) et le point milieu du bras droit (noté B, relié à D_2 et T_2). La tension aux bornes du moteur est u = V_A - V_B, et le potentiel de référence est pris sur le rail inférieur négatif (0\text{ V}), le rail supérieur étant à U_0.

1. Phase 1 : T_1 et T_2 passants

   • Le transistor T_1 impose V_A = U_0 et T_2 impose V_B = 0.
   • La diode D_1 a sa cathode au potentiel V_A = U_0 et son anode à 0\text{ V} : sa tension d'anode-cathode est -U_0 < 0, elle est donc bloquée.
   • La diode D_2 a son anode au potentiel V_B = 0\text{ V} et sa cathode à U_0 : sa tension d'anode-cathode est -U_0 < 0, elle est donc bloquée.

   • La tension aux bornes du moteur vaut alors :

     \boxed{u = U_0} \quad \text{avec } D_1 \text{ et } D_2 \text{ bloquées.}

2. Phase 2 : T_1 et T_2 ouverts

   • Par continuité du courant inductif (i > 0), celui-ci ne peut s'interrompre instantanément. Il n'a d'autre chemin que de s'écouler du rail inférieur vers le point A à travers D_1, traverser le moteur de A vers B, puis remonter du point B vers le rail supérieur à travers D_2.
   • Les deux diodes D_1 et D_2 sont donc polarisées en direct et sont passantes.

   • Le potentiel en A est fixé au rail inférieur (V_A = 0) et celui en B au rail supérieur (V_B = U_0). La tension aux bornes du moteur s'inverse :

     \boxed{u = -U_0} \quad \text{avec } D_1 \text{ et } D_2 \text{ passantes.}

     (Une fois le courant totalement éteint, les deux diodes se bloquent et la tension devient nulle).

3. Phase 3 : T_2 passant et T_1 ouvert

   • Le transistor T_2 relie la borne B au rail inférieur (V_B = 0).
   • Le courant i > 0 se referme par la diode inférieure D_1, qui devient passante, assurant une boucle de roue libre : le potentiel en A vaut V_A = 0.
   • La diode D_2 a son anode à V_B = 0 et sa cathode à U_0 : elle reste bloquée.

   • Les deux bornes étant au même potentiel, la tension aux bornes du moteur est :

     \boxed{u = 0} \quad \text{avec } D_1 \text{ passante et } D_2 \text{ bloquée.}

1. Comparaison de l'évolution du courant i(\theta_{\mathrm{r}})

• Dans le montage n°1 (figure 8) : lors de l'ouverture du transistor, le moteur est mis en roue libre sous tension nulle (u = 0). L'extinction du courant est alors lente et passive, gouvernée par la résistance interne r. Par conséquent, le courant ne s'annule pas à temps et subsiste largement sur la plage angulaire où l'inductance est décroissante (\mathrm{d}L/\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}} < 0).
• Dans le montage n°2 (figure 10) : l'application d'une tension négative (u = -U_0, phase 2) impose une démagnétisation forcée très rapide du bobinage, car le terme moteur de la dérivée devient négatif et de forte amplitude. Le courant est ainsi totalement annulé avant que l'inductance n'amorce sa phase de décroissance. De plus, la phase de roue libre (u = 0, phase 3) permet de stabiliser un palier de courant à proximité de L_{\max}, approchant bien plus fidèlement la forme d'un créneau idéal.

2. Performance accrue du montage n°2

• Suppression du couple résistant : comme \Gamma = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}i^2, la présence d'un courant non nul lorsque \mathrm{d}L/\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}} < 0 crée un couple résistant (\Gamma < 0) dans le montage n°1. Le montage n°2 supprime intégralement ce freinage indésirable : le couple instantané y est toujours positif ou nul (\Gamma(\theta_{\mathrm{r}}) \ge 0).
• Augmentation du couple moyen et de la puissance utile : l'absence de phases de couple négatif et la meilleure forme de créneau maximisent l'intégrale du couple sur une période, conférant au moteur un couple moyen \langle \Gamma \rangle et une puissance mécanique moyenne \langle \mathcal{P}_{\mathrm{m,ma}} \rangle nettement supérieurs.
• Récupération d'énergie vers la source : durant la phase de démagnétisation forcée (u = -U_0 et i > 0), la puissance reçue par le moteur u(t)i(t) < 0 est négative. L'énergie magnétique résiduelle du bobinage est ainsi restituée à la source continue U_0 au lieu d'être dissipée en pure perte par effet Joule dans le moteur.

1. Cas du moteur électrostatique :

Sous l'hypothèse C_{\min} \ll C_{\max}, la puissance mécanique moyenne s'écrit :

Dans le cadre de l'approximation du condensateur plan (effets de bord négligés), le champ électrique régnant dans l'espace inter-armatures d'épaisseur d soumis à la tension U est uniforme et de norme :

De plus, si S_{\max} désigne la surface maximale en regard des armatures, la capacité maximale vaut :

Le volume maximal de l'espace inter-armatures est V_{\mathrm{a,\max}} = S_{\max}\,d. Il vient alors :

On obtient ainsi :

2. Cas du moteur électromagnétique :

Sous l'hypothèse L_{\min} \ll L_{\max}, la puissance mécanique moyenne s'écrit :

D'après la relation établie à la question Q14, le champ magnétique dans les entrefers d'épaisseur e parcourus par le courant I a pour intensité :

D'après la question Q16, l'inductance maximale du moteur vaut :

Le volume total maximal des deux entrefers (obtenu à la question Q15) est V_{\mathrm{e,\max}} = \pi R \ell e. En combinant ces grandeurs :

On en déduit :

Pour deux convertisseurs de mêmes dimensions fonctionnant à la même fréquence f, les volumes d'entrefer sont du même ordre de grandeur : V_{\mathrm{a,\max}} \approx V_{\mathrm{e,\max}}.

D'après les résultats de la question Q29, l'égalité des puissances mécaniques développées \langle\mathcal{P}_{\mathrm{m,el}}\rangle = \langle\mathcal{P}_{\mathrm{m,ma}}\rangle se ramène à l'égalité des densités volumiques d'énergie électrostatique et magnétique :

On en déduit l'expression du champ électrique nécessaire :

où c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0} désigne la vitesse de la lumière dans le vide.

En prenant le champ magnétique maximal fixé par la saturation du matériau ferromagnétique, soit B_{\mathrm{e}} \approx B_{\mathrm{sat}} \approx 1\text{ T}, et avec c \approx 3 \times 10^{8}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} :

1. Champ disruptif de l'air sous pression atmosphérique

À la pression atmosphérique (p \approx 1\text{ bar}), pour un entrefer macroscopique typique de d = 1\text{ mm}, le produit vaut pd = 1\text{ bar}\cdot\text{mm}. Sur la figure 11, dans la partie linéaire de pente 1 en coordonnées logarithmiques, on lit :

Le champ disruptif E_{\mathrm{d}} sous la pression atmosphérique vaut donc :

2. Évaluation du rapport \kappa

En considérant deux moteurs de même fréquence de fonctionnement f et de mêmes volumes actifs (V_{\mathrm{a,\max}} = V_{\mathrm{e,\max}}), et en utilisant les expressions de Q29 :

Avec E_{\mathrm{d}} \approx 3 \times 10^6\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}, c \approx 3 \times 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et B_{\mathrm{sat}} \approx 1\text{ T} :

On en déduit :

3. Faisabilité des moteurs électrostatiques macroscopiques

À dimensions et fréquence identiques, la puissance développée par un moteur électrostatique est environ 10\,000 fois plus faible que celle d'un moteur électromagnétique. Par conséquent, les moteurs électrostatiques macroscopiques ne sont pas viables technologiquement sous la pression atmosphérique pour des applications de puissance.

4. Pression nécessaire pour que \kappa \sim 1

Pour obtenir \kappa \sim 1, il faudrait atteindre un champ électrique E_{\mathrm{a}} \approx c B_{\mathrm{sat}} \approx 3 \times 10^8\text{ V}\cdot\text{m}^{-1} (d'après la question Q30).

Sur la branche linéaire de la courbe de Paschen (pd \gg 10^{-2}\text{ bar}\cdot\text{mm}), la tension de claquage est proportionnelle au produit pd, soit :

Pour multiplier le champ disruptif par un facteur 10^2, il faudrait donc multiplier la pression par 10^2 :

Les unités usuelles des constantes fondamentales du vide sont :

• pour la permittivité diélectrique du vide \varepsilon_0 : le farad par mètre (\mathrm{F\cdot m^{-1}}) ;
• pour la perméabilité magnétique du vide \mu_0 : le henry par mètre (\mathrm{H\cdot m^{-1}}).

D'après ces unités, une capacité C et une inductance L sont dimensionnellement homogènes au produit d'une constante fondamentale par une dimension spatiale (une longueur caractéristique d_{\text{carac}}) :

Les grandeurs \varepsilon_0 et \mu_0 étant des constantes physiques indépendantes du changement d'échelle géométrique, et toute dimension spatiale vérifiant la loi d'échelle L_x \sim h, on en déduit directement :

Ce résultat est parfaitement cohérent avec les expressions obtenues dans les parties précédentes :

• pour le condensateur plan (question Q2) : C = \varepsilon_0 \dfrac{S}{d} \sim \dfrac{h^2}{h} = h ;
• pour le moteur électromagnétique (question Q16) : L_{\max} = \dfrac{\mu_0 \pi N^2 R \ell}{e} \sim \dfrac{h \cdot h}{h} = h, le nombre de spires N étant sans dimension.

Les armatures sont des conducteurs à l'équilibre électrostatique. Les charges nettes se répartissent donc intégralement en surface sur les faces internes en regard. En négligeant les effets de bord, la distribution est uniforme, caractérisée par une densité surfacique de charge \sigma = \frac{q}{S}.

Le champ électrique entre les armatures s'écrit :

Le champ électrique maximal admissible est fixé par la rigidité diélectrique du milieu isolant (champ disruptif E_{\mathrm{d}}), qui est une grandeur locale intensive indépendante de la taille du dispositif. Ainsi, la densité surfacique maximale \sigma est invariante par changement d'échelle :

Puisque la surface des armatures vérifie S \sim h^2, la charge totale varie selon :

Or, d'après la question Q32, la capacité suit la loi d'échelle C \sim h. On en déduit la loi d'échelle sur la tension U = \frac{q}{C} (ou de façon équivalente U = E d avec d \sim h) :

Considérons le rotor en rotation autour de son axe fixe de révolution.

• Moment d'inertie J : Le moment d'inertie par rapport à l'axe de rotation s'écrit :

  J = \iiint r_{\perp}^2 \, \mathrm{d}m = \iiint \rho \, r_{\perp}^2 \, \mathrm{d}V

  Les matériaux étant inchangés, la masse volumique est invariante (\rho \sim 1). Avec une distance à l'axe r_{\perp} \sim h et un élément de volume \mathrm{d}V \sim h^3, on obtient :

  J \sim h^2 \times h^3 = h^5

• Énergie cinétique E_{\mathrm{c}} : L'angle de rotation \theta_{\mathrm{r}} est sans dimension, donc invariant par changement d'échelle (\theta_{\mathrm{r}} \sim 1). La vitesse angulaire vérifie ainsi :

  \Omega = \frac{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}}{\mathrm{d}t} \sim \frac{1}{t}

  L'énergie cinétique s'écrit donc :

  E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} J \Omega^2 \sim J \left(\frac{1}{t}\right)^2 \sim \frac{h^5}{t^2}

• Travail des actions électrostatiques W : D'après la question Q5, le couple électrostatique s'exprime par \Gamma = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}}} u^2. Sachant que C \sim h (d'après la question Q32), \theta_{\mathrm{r}} \sim 1 et U \sim h (d'après la question Q33), le couple varie selon :

  \Gamma \sim h \times h^2 = h^3

  Le travail fourni sur une rotation angulaire caractéristique \Delta\theta_{\mathrm{r}} \sim 1 est :

  W = \int \Gamma \, \mathrm{d}\theta_{\mathrm{r}} \sim \Gamma \sim h^3

Le théorème de l'énergie cinétique appliqué au rotor donne \Delta E_{\mathrm{c}} = W, d'où la relation d'échelle :

On en déduit bien :