Corrigé détaillé Mines Physique 2 MPI 2026

La distribution de courant est modélisée par une nappe cylindrique de courant continu surfacique ou volumique uniforme, portée par \vec{e}_\theta.

1. Invariances :

• Le solénoïde étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc pas de la coordonnée z.
• La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), elle est donc invariante par toute rotation d'un angle \theta quelconque autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc pas de \theta.

On en déduit que les composantes du champ magnétique ne dépendent que de la distance à l'axe r :

2. Symétries :

• Soit \Pi_s le plan passant par M et contenant (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) (plan perpendiculaire à l'axe (Oz)). Par réflexion par rapport à \Pi_s, les courants circulaires sont inchangés (\vec{j} \parallel \Pi_s). Le solénoïde étant infini, \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Comme le champ magnétique est un pseudo-vecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie des sources en tout point de ce plan. Ainsi :

  \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z
• Vérification avec le plan méridien : le plan \Pi_a = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) coupe orthogonalement les lignes de courant (\vec{j} \perp \Pi_a), c'est donc un plan d'antisymétrie des sources. Le pseudo-vecteur \vec{B}(M) lui est donc parallèle, ce qui confirme B_\theta(M) = 0.

En combinant ces résultats, le champ magnétique créé en tout point M(r,\theta,z) est de la forme :

D'après la question Q1, le champ magnétique est axial : \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z.

On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté \mathcal{C} = ABCD contenu dans un plan méridien (\vec{e}_r, \vec{e}_z) :

• le segment [AB], de longueur L, est situé à l'intérieur du solénoïde (r_A = r_B = r < b), orienté selon +\vec{e}_z ;
• le segment [BC] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon +\vec{e}_r de r à r' > b ;
• le segment [CD], de longueur L, est situé à l'extérieur (r_C = r_D = r' > b), orienté selon -\vec{e}_z ;
• le segment [DA] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon -\vec{e}_r de r' à r.

La circulation de \vec{B} sur \mathcal{C} s'écrit :

• Sur [BC] et [DA], l'élément de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = \pm\,\mathrm{d}r\,\vec{e}_r est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = 0.
• Sur [CD], le champ est nul à l'extérieur par hypothèse de l'énoncé, donc l'intégrale est nulle.

• Sur [AB], \vec{B} = B_z(r)\,\vec{e}_z et \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z, d'où :

  \int_A^B \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,L

La circulation totale vaut donc :

D'après la règle de la main droite, le vecteur normal à la surface délimitée par \mathcal{C} est orienté selon \vec{e}_z \wedge \vec{e}_r = \vec{e}_\theta. Le courant circulant dans les spires dans le sens de \vec{e}_\theta, les spires traversent la surface dans le sens positif. Sur la longueur L, le nombre de spires traversant la surface est N = n\,L, donc le courant total enlacé est :

Le théorème d'Ampère s'énonce :

soit :

Ce résultat est indépendant de r : le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde infini est donc uniforme et vaut :

Dans le cadre de l'approximation des milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes (LHI), la présence du noyau ferromagnétique de perméabilité relative \mu_r revient à remplacer la perméabilité du vide \mu_0 par la perméabilité absolue du milieu \mu = \mu_r \mu_0.

D'après le résultat de la question Q2, le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde s'écrit désormais :

Le champ magnétique est ainsi amplifié d'un facteur \mu_r par rapport à celui créé dans le vide.

L'intensité du champ magnétique vaut donc :

Application numérique : Avec \mu_r = 100, \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, n = 1000\text{ m}^{-1} et I = 10{,}0\text{ A}, on obtient :

En respectant la consigne de ne conserver qu'un seul chiffre significatif :

Les quatre équations de Maxwell locales dans le milieu considéré s'écrivent :

Considérons une surface fermée quelconque \Sigma, orientée vers l'extérieur, délimitant un volume V. En appliquant le théorème de Green-Ostrogradski (théorème de la divergence) au champ magnétique \vec{B} à travers la surface \Sigma, le flux sortant \phi_B s'exprime sous la forme :

Or, d'après l'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 en tout point de l'espace. On en déduit immédiatement :

Le flux du champ magnétique à travers toute surface fermée est donc nul : le champ magnétique est à flux conservatif.

Considérons la surface fermée \Sigma délimitant le cylindre élémentaire de rayon r, d'axe (Oz), compris entre les cotes z et z + \mathrm{d}z. La surface \Sigma se compose de :

• la base inférieure à la hauteur z, d'aire S = \pi r^2, orientée vers l'extérieur par -\vec{e}_z. Proche de l'axe, le champ axial est approximativement uniforme sur le disque et vaut B_z(z), d'où le flux sortant :

  \Phi_{\text{inf}} = - \pi r^2 B_z(z)

• la base supérieure à la hauteur z + \mathrm{d}z, d'aire S = \pi r^2, orientée vers l'extérieur par +\vec{e}_z :

  \Phi_{\text{sup}} = \pi r^2 B_z(z + \mathrm{d}z)

• la paroi latérale de rayon r et de hauteur \mathrm{d}z, d'aire 2\pi r \mathrm{d}z, orientée vers l'extérieur par +\vec{e}_r. Pour \mathrm{d}z infinitésimal, le champ radial y vaut B_r(r,z), d'où le flux sortant :

  \Phi_{\text{lat}} = 2\pi r \mathrm{d}z \, B_r(r,z)

Le champ magnétique étant à flux conservatif, le flux total à travers la surface fermée \Sigma est nul :

Au premier ordre en \mathrm{d}z, B_z(z + \mathrm{d}z) - B_z(z) = \frac{\mathrm{d}B_z}{\mathrm{d}z} \mathrm{d}z. En divisant par 2\pi r \mathrm{d}z, on obtient l'équation liant B_r(r,z) et B_z(z) :

Calculons maintenant la dérivée de la composante axiale :

En dérivant par rapport à z :

Il vient ainsi :

En réinjectant cette dérivée dans l'expression de B_r(r,z), on obtient :

Dans l'approximation z \gg b, on pose \varepsilon = \frac{b}{z} \ll 1.

Pour la composante axiale B_z(z) :

En injectant ce développement dans l'expression admise de B_z(z) :

Pour la composante radiale B_r(r,z) établie à la question Q5 :

On en déduit immédiatement le terme dominant :

Un déplacement élémentaire le long d'une ligne de champ s'écrit dans la base cylindrique (le champ étant invariant par rotation et sans composante orthoradiale) :

La condition d'alignement \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = \vec{0} se traduit par :

Soit :

En remplaçant par les expressions équivalentes dominantes obtenues :

On sépare les variables pour r > 0 et z > 0 :

Ce qui donne bien :

où k = r_0 / z_0 > 0 est une constante d'intégration fixant la ligne de champ.

Au voisinage de l'axe et pour z \gg b, les lignes de champ magnétique sont donc des segments de droites concourantes en O, s'évasant vers le haut à mesure que l'on s'éloigne de l'extrémité du solénoïde.

1. Énoncé de la loi de Lenz

La loi de Lenz est une loi qualitative de modération : les effets de l'induction s'opposent aux causes qui leur donnent naissance.

En particulier, le courant induit crée un champ magnétique propre dont les effets tendent à s'opposer à la variation du flux magnétique inducteur qui lui donne naissance.

2. Méthode pour déterminer le sens du courant i_2

Pour prévoir le sens de circulation du courant induit i_2(t) dans l'anneau :

1. On choisit un sens de parcours arbitraire sur l'anneau (par exemple selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta), ce qui définit le vecteur surface élémentaire \mathrm{d}\vec{S} selon +\vec{e}_z d'après la règle de la main droite.
2. On détermine le signe de la variation temporelle du flux du champ magnétique inducteur \vec{B}_1(t) à travers l'anneau : \dfrac{\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}}{\mathrm{d}t}.

3. On applique la loi de Lenz :

   • si le flux inducteur augmente (\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}/\mathrm{d}t > 0), le courant induit i_2 circule dans le sens tel que le champ magnétique induit propre \vec{B}_{\text{propre}} soit opposé à \vec{B}_1 (afin de s'opposer à l'augmentation du flux) ;
   • si le flux inducteur diminue (\mathrm{d}\Phi_{1\to 2}/\mathrm{d}t < 0), i_2 circule de sorte que \vec{B}_{\text{propre}} soit dans le même sens que \vec{B}_1 (afin de compenser la baisse de flux).

   La règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell) appliquée à \vec{B}_{\text{propre}} donne alors directement le sens de parcours physique de i_2.

Dans le cadre de l'ARQS, le champ magnétique créé par le demi-solénoïde au voisinage de son axe s'obtient directement à partir des résultats de la partie I en remplaçant l'intensité stationnaire I par l'intensité instantanée i_1(t) = I_1\cos(\omega t).

D'après les questions Q4 (donnée pour B_z) et Q5 pour B_r, le champ magnétique possède une composante axiale B_z et une composante radiale B_r :

Le champ magnétique total \vec{B}(r,z,t) = B_r(r,z,t)\,\vec{e}_r + B_z(z,t)\,\vec{e}_z s'écrit donc au voisinage de l'axe :

Orientons l'anneau circulaire dans le sens de \vec{e}_\theta ; le vecteur surface élémentaire est alors orienté par la règle du tire-bouchon selon \vec{e}_z : \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\vec{e}_z.

Le rayon de l'anneau a = 1\text{ cm} étant petit devant le rayon du solénoïde b = 5\text{ cm}, la composante axiale du champ magnétique \vec{B}_1 généré par le primaire peut être considérée comme uniforme sur le disque délimité par l'anneau et égale à sa valeur sur l'axe B_z(z,t) :

Le flux magnétique envoyé par le solénoïde à travers l'anneau s'écrit donc :

Par définition de l'inductance mutuelle, \Phi_{1\to 2}(t) = M(z)\,i_1(t), d'où :

Le flux magnétique total traversant le circuit secondaire s'écrit, en incluant le terme d'auto-induction :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans l'anneau à position z fixée vaut :

La loi des mailles appliquée à l'anneau résistif de résistance R s'écrit e_2(t) = R\,i_2(t), ce qui conduit immédiatement à la relation attendue :

On adopte la notation complexe associée à la pulsation \omega :

En régime sinusoïdal établi, le courant induit s'écrit \underline{i}_2(t) = \underline{I}_2(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}. L'équation différentielle établie à la question Q9 :

devient en notation complexe :

On en déduit l'expression du courant complexe \underline{i}_2(t) :

Le signal temporel réel s'écrit i_2(t) = \mathrm{Re}\left(\underline{i}_2(t)\right) = I_2(z)\cos(\omega t + \varphi), où I_2(z) = |\underline{I}_2(z)| et \varphi = \arg(\underline{I}_2(z)).

Comme M(z) > 0 et I_1 > 0, le module de \underline{I}_2(z) vaut :

Pour déterminer les lignes trigonométriques du déphasage \varphi, multiplions le numérateur et le dénominateur de \underline{I}_2(z) par le complexe conjugué R - \mathrm{j}L\omega :

Sachant que \underline{I}_2(z) = I_2(z)\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\varphi} = I_2(z)(\cos\varphi + \mathrm{j}\sin\varphi), on identifie les parties réelle et imaginaire :

Considérons un élément infinitésimal de l'anneau situé à la cote z, repéré par l'angle polaire \theta, de longueur :

En ce point, le champ magnétique créé par le demi-solénoïde présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) et s'écrit :

où les composantes B_r(a,z,t) et B_z(a,z,t) ne dépendent pas de \theta.

La force de Laplace élémentaire subie par cet élément parcouru par le courant i_2(t) vaut :

Sachant que \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_r = -\vec{e}_z et \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_r, on obtient :

La résultante des forces dans le plan horizontal (xOy) s'obtient en intégrant la contribution portée par \vec{e}_r sur tout le pourtour de l'anneau (\theta \in [0, 2\pi]) :

Le vecteur unitaire radial dépend de \theta selon \vec{e}_r(\theta) = \cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y. Comme i_2(t), a et B_z(a,z,t) sont indépendants de \theta, on a :

Par conséquent, la résultante de la force de Laplace n'a aucune composante dans le plan radial :

L'anneau de rayon a, situé à la cote z, est orienté selon \vec{e}_\theta. Un élément infinitésimal du conducteur s'écrit :

Le champ magnétique généré par le demi-solénoïde au niveau de l'anneau (question Q8) s'exprime par :

La force de Laplace élémentaire subie par cet élément de longueur est :

puisque \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_r = -\vec{e}_z et \vec{e}_\theta \wedge \vec{e}_z = \vec{e}_r.

La composante selon l'axe vertical \vec{e}_z de la force de Laplace totale s'obtient par intégration sur le cercle de rayon a :

D'après la question Q5, la composante radiale au rayon r = a est :

En injectant i_1(t) = I_1\cos(\omega t), il vient :

Avec i_2(t) = I_2(z)\cos(\omega t + \varphi), la moyenne temporelle du produit s'écrit :

On en déduit :

Cette force moyenne se met bien sous la forme demandée :

avec :

D'après les résultats de la question Q10, le déphasage \varphi vérifie :

Si l'on ne prend pas en compte le coefficient d'auto-inductance de l'anneau, on pose L = 0. Il vient alors :

D'après l'expression de K(z) établie à la question Q12, K(z) est proportionnelle à \cos\varphi :

La valeur moyenne temporelle de la force de Laplace axiale est donc nulle :

Pour empêcher la lévitation de l'anneau, il suffit de supprimer la force de Laplace en empêchant la circulation du courant induit i_2(t). Pour cela, on recommande de :

À l'équilibre dans le référentiel du laboratoire galiléen, l'anneau est soumis à deux forces selon l'axe vertical (Oz) :

• son poids : \vec{P} = -m g \,\vec{e}_z ;
• la force de Laplace moyenne ascendante : \langle \vec{F}_L \rangle_t = \frac{K'}{z^5}\,\vec{e}_z.

La condition d'équilibre mécanique de l'anneau à l'altitude z_{\mathrm{eq}} s'écrit :

On en déduit l'expression de la constante K' :

Application numérique :

• m = 3\text{ g} = 3 \cdot 10^{-3}\text{ kg} ;
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• z_{\mathrm{eq}} = 15\text{ cm} = 0{,}15\text{ m} = 1{,}5 \cdot 10^{-1}\text{ m}.

On calcule :

Avec un seul chiffre significatif :

Le déplacement élémentaire le long de l'axe vertical (Oz) s'écrit \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z.

Travail W_1 de la force de Laplace : La valeur moyenne temporelle de la force de Laplace s'écrit \langle\vec{F}\rangle_t = \frac{K'}{z^5}\,\vec{e}_z. Son travail entre l'altitude initiale z_0 et le sommet du barreau \ell vaut :

Comme \ell = 1\text{ m} \gg z_0 = 0{,}05\text{ m}, le terme 1/\ell^4 = 1\text{ m}^{-4} est négligeable devant :

En réinjectant K' = mg\,z_{\text{eq}}^5 (question Q14), le travail s'exprime remarquablement selon :

Avec le rapport z_{\text{eq}}/z_0 = 15/5 = 3, il vient :

Avec un seul chiffre significatif :

(En utilisant la valeur arrondie K' \approx 2\cdot 10^{-6}\text{ N}\cdot\text{m}^5, on trouve W_1 \approx \frac{2\cdot 10^{-6} \times 1{,}6\cdot 10^5}{4} = 8\cdot 10^{-2}\text{ J}.)

Travail W_2 du poids : Le poids étant une force constante \vec{P} = -mg\,\vec{e}_z, son travail est résistant lors de l'ascension :

Application numérique avec \ell - z_0 = 1 - 0{,}05 = 0{,}95\text{ m} :

Avec un chiffre significatif :

1. Énergie cinétique E_{c,0} et vitesse v_0 en quittant le barreau :

On applique le théorème de l'énergie cinétique à l'anneau (assimilé à un point matériel de masse m), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, entre sa position initiale z_0 (où il est lâché sans vitesse initiale) et le sommet du barreau d'altitude \ell :

où W_1 et W_2 sont les travaux calculés à la question précédente. Il vient :

Avec les valeurs obtenues à la question Q15 (W_1 \approx 8{,}9 \cdot 10^{-2}\text{ J} et W_2 \approx -2{,}8 \cdot 10^{-2}\text{ J}) :

L'expression de l'énergie cinétique étant E_{c,0} = \frac{1}{2}m v_0^2, on en déduit la norme de la vitesse initiale :

Application numérique :

2. Hauteur maximale z_{\text{max}} atteinte :

Une fois l'anneau sorti du barreau (z \ge \ell), la force de Laplace cesse d'agir et les frottements de l'air sont négligés. L'anneau n'est alors soumis qu'à son poids, force conservative : l'énergie mécanique se conserve au cours de cette phase de vol libre.

Entre la sortie du barreau (altitude \ell, vitesse v_0) et le sommet de la trajectoire (altitude z_{\text{max}}, vitesse nulle) :

La hauteur maximale au-dessus de la bobine s'exprime ainsi :

On remarque également que m g(z_{\text{max}} - \ell) = E_{c,0} = W_1 - mg(\ell - z_0), d'où la relation globale :

Application numérique :

L'anneau s'élève donc d'environ 2\text{ m} au-dessus du sommet du barreau ferromagnétique.

Le système étudié est l'anneau assimilé à un point matériel de masse m, repéré par sa vitesse \vec{v} = v\vec{e}_z dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. Après sa sortie du barreau à l'altitude z = \ell, la force de Laplace cesse d'agir. L'anneau n'est plus soumis qu'à :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = -mg\vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide quadratique : \vec{f} = -\alpha v\vec{v} = -\alpha \|\vec{v}\|\vec{v}.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

soit, en divisant par m :

Pendant la phase ascendante, le mouvement est rectiligne vers le haut, donc \vec{v} = v(t)\vec{e}_z avec v(t) \geqslant 0. La projection sur \vec{e}_z donne :

En séparant les variables :

En intégrant entre l'instant initial t = 0 (où v(0) = v_0) et l'instant t :

D'où l'expression de la vitesse pendant la phase de montée :

L'anneau atteint sa hauteur maximale à l'instant t_1 où sa vitesse s'annule : v(t_1) = 0. L'argument de la tangente s'annule alors, ce qui conduit à :

Pour l'estimation numérique, évaluons la grandeur sans dimension X = \sqrt{\frac{\beta}{g}}v_0 avec v_0 \approx 6\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q16), g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} et \beta = 2\cdot 10^{-5}\text{ m}^{-1} :

Puisque X \ll 1, on effectue le développement au premier ordre \arctan(X) \approx X :

Application numérique (avec un chiffre significatif) :

On étudie l'anneau, assimilé à un point matériel de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, muni de la base cartésienne orthonormée (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) où \vec{e}_z est vertical ascendant.

Une fois que l'anneau a quitté le barreau, il est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = -mg\,\vec{e}_z ;
• la force de frottement fluide linéaire : \vec{f} = -\gamma\,\vec{v} = -\gamma (v_x\,\vec{e}_x + v_z\,\vec{e}_z).

D'après la deuxième loi de Newton :

En projetant sur \vec{e}_x et \vec{e}_z, on obtient les équations différentielles vérifiées par les composantes de la vitesse :

Ce que l'on peut également écrire sous la forme canonique :

avec les conditions initiales v_x(0) = v_0\cos\theta et v_z(0) = v_0\sin\theta.

Le schéma d'Euler explicite pour une équation différentielle \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} = F(u) (les équations régissant v_x et v_z étant autonomes) se traduit par la relation de récurrence :

On implémente cette méthode par la fonction Python suivante, qui renvoie la liste des N+1 valeurs de u obtenues :

def euler(u0, F, dt, N):
    u = [u0]
    for k in range(N):
        u_suivant = u[-1] + dt * F(u[-1])
        u.append(u_suivant)
    return u

D'après la question Q18, le principe fondamental de la dynamique projeté sur les axes horizontal et vertical conduit aux équations différentielles scalaires découplées :

Les fonctions seconds membres à implémenter pour le schéma d'Euler s'écrivent donc :

À l'instant initial t = 0, la vitesse initiale est \vec{v}_0 = v_0(\cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_z), d'où les composantes :

L'implémentation en Python est alors la suivante :

import numpy as np

def Fx(vx):
    return - (gamma / m) * vx

def Fz(vz):
    return - g - (gamma / m) * vz

# Conditions initiales
vx0 = v0 * np.cos(theta)
vz0 = v0 * np.sin(theta)

# Resolution numerique des vitesses par la methode d'Euler
Vx = euler(vx0, Fx, dt, N)
Vz = euler(vz0, Fz, dt, N)

Les composantes du vecteur position \vec{r}(t) = x(t)\,\vec{e}_x + z(t)\,\vec{e}_z sont reliées aux composantes de la vitesse par :

À l'instant initial t = 0, l'anneau quitte le sommet du barreau, choisi comme origine O du repère, d'où les conditions initiales :

Le schéma d'Euler explicite permet d'approcher les positions aux instants t_k = k\,\mathrm{d}t par la relation de récurrence :

où v_{x,k} et v_{z,k} désignent respectivement le k-ième élément des listes Vx et Vz.

On construit alors les listes temporelles X et Z en Python par une boucle itérative :

# Initialisation des positions a l'origine O
X = [0.0]
Z = [0.0]

# Integration numerique par la methode d'Euler
for k in range(N):
    X.append(X[-1] + Vx[k] * dt)
    Z.append(Z[-1] + Vz[k] * dt)

1. Définition de la fonction fleche

La flèche correspond au maximum de l'altitude z atteinte au cours du vol :

def fleche(X, Z):
    return max(Z)

2. Définition de la fonction portee

Le point de tir étant situé en Z[0] = 0, la retombée au sol correspond au premier instant t_i > 0 (indice i \ge 1) tel que Z[i] \le 0. On renvoie alors l'abscisse X[i], ou de manière plus précise, la valeur obtenue par interpolation linéaire entre les indices i-1 et i :

def portee(X, Z):
    for i in range(1, len(Z)):
        if Z[i] <= 0:
            # Interpolation lineaire entre l'indice i-1 et l'indice i
            x_sol = X[i-1] - Z[i-1] * (X[i] - X[i-1]) / (Z[i] - Z[i-1])
            return x_sol
    return X[-1]  # Si le sol n'est pas atteint sur la duree simulee

Une version renvoyant directement X[i] sans interpolation est également tout à fait recevable.

L'anneau étant circulaire et coaxial avec la bobine inductrice, les lignes de courant sont, par symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), des cercles coaxiaux à l'axe. Le courant circule donc selon la direction orthoradiale (ou azimutale), portée par le vecteur unitaire \vec{e}_\theta.

La section droite de l'anneau, normale aux lignes de courant, correspond à la section par un demi-plan méridien à \theta = \text{cte}. Il s'agit d'un rectangle de dimension radiale e et de hauteur axiale d, d'aire :

Puisque la densité volumique de courant \vec{j}_2(t) est supposée uniforme sur l'ensemble de cette section, le courant total i_2(t) traversant l'anneau s'exprime par le flux :

avec \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}r\,\mathrm{d}z\,\vec{e}_\theta. On en déduit :

D'après la loi d'Ohm locale sous forme conductrice, le champ électrique local dans l'anneau s'écrit :

La puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule en tout point du conducteur est donnée par :

En utilisant l'expression de \vec{j}_2(t) établie à la question Q23, il vient :

La valeur moyenne temporelle sur une période du terme en cosinus au carré vaut \langle \cos^2(\omega t) \rangle_t = \frac{1}{2}. On en déduit l'expression de la puissance volumique moyenne :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• I_2 = 15\text{ A} ;
• \gamma = 6\cdot 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• e = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} ;
• d = 5\text{ mm} = 5\cdot 10^{-3}\text{ m}.

Le dénominateur vaut :

D'où :

Avec un seul chiffre significatif, on obtient :

L'anneau possède deux faces cylindriques latérales en contact avec l'air à la température T_0 :

• la face latérale intérieure de rayon a et de hauteur d, d'aire S_{\text{int}} = 2\pi a d ;
• la face latérale extérieure de rayon a+e et de hauteur d, d'aire S_{\text{ext}} = 2\pi (a+e) d.

Comme l'épaisseur est très petite devant le rayon (e \ll a), on a S_{\text{ext}} \approx 2\pi a d. L'aire latérale totale d'échange thermique vaut ainsi :

D'après la loi de Newton (ou de conducto-convection), le flux thermique algébrique \Phi reçu par l'anneau de la part de l'air ambiant s'écrit :

De façon équivalente, le flux thermique cédé (ou évacué) par l'anneau vers l'air ambiant s'exprime par :

On applique le premier principe de la thermodynamique à l'anneau complet de cuivre entre les instants t et t+\mathrm{d}t. L'anneau est un solide indéformable de volume constant V \approx 2\pi a e d et de masse m = \rho V = 2\pi a e d \rho.

En considérant sa température T(t) spatialement uniforme à chaque instant, la dérivée temporelle de son énergie interne s'écrit :

L'anneau échange de l'énergie avec l'extérieur selon deux contributions :

• le flux thermique conducto-convectif reçu de l'air ambiant, déterminé à la question Q25 :

  \Phi_{\text{air}\to\text{anneau}} = 4\pi a d h (T_0 - T)

• la puissance moyenne dissipée par effet Joule (qui constitue un apport thermique pour le solide), issue de la puissance volumique moyenne p_J calculée à la question Q24 :

  P_J = p_J V = \frac{I_2^2}{2\gamma e^2 d^2} \times 2\pi a e d = \frac{\pi a I_2^2}{\gamma e d}

Le bilan d'énergie sous forme de taux s'écrit donc :

En divisant cette équation par la capacité thermique totale C = 2\pi a e d \rho c, le rayon a de l'anneau se simplifie :

On identifie ainsi l'équation sous la forme requise :

avec :

L'équation différentielle établie à la question Q26 est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre constant :

La solution générale est de la forme :

où K est une constante déterminée par la condition initiale T(t=0) = T_0 :

On en déduit l'expression temporelle de la température de l'anneau :

Lorsque t \to +\infty, la température tend de manière asymptotique vers une température maximale de régime stationnaire :

En utilisant les expressions de \tau et A obtenues à la question Q26 :

Avec les valeurs numériques de l'énoncé :

• p_J \approx 7{,}5\cdot 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} (soit 8\cdot 10^4\text{ W}\cdot\text{m}^{-3} avec un chiffre significatif) ;
• e = 1\text{ mm} = 10^{-3}\text{ m} ;
• h = 0{,}5\text{ W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-1}.

On obtient l'élévation maximale de température :

La température finale atteinte par l'anneau est donc :

Cette valeur est très inférieure à la température de fusion du cuivre :