Le sujet étudie l'expérience du « jumping ring », où un anneau conducteur posé sur une bobine alimentée en courant alternatif est propulsé vers le haut. Il détermine le champ d'un solénoïde près de son axe, la force de Laplace moyenne sur l'anneau, puis l'envol et le vol de l'anneau avec une simulation par la méthode d'Euler en Python, et enfin son échauffement par effet Joule. Les quatre parties sont largement indépendantes.

1Partie I : champ magnétique créé par un solénoïdePar symétries et théorème d'Ampère, on obtient le champ du solénoïde infini, puis la conservation du flux donne la composante radiale près de l'axe d'un solénoïde semi-infini et l'allure des lignes de champ.
2Partie II : lévitation magnétiqueAvec les lois de Lenz et de Faraday, on établit l'équation du courant induit dans l'anneau, on le calcule en notation complexe et on obtient la valeur moyenne de la force de Laplace axiale.
3Partie III : « jumping ring »première annéeOn détermine la constante de force à l'équilibre, les travaux et la vitesse de sortie, puis le mouvement avec frottements de l'air, simulé par la méthode d'Euler explicite pour obtenir flèche et portée.
4Partie IV : température de l'anneauOn calcule la densité de courant, la puissance volumique dissipée par effet Joule et le flux conducto-convectif, puis on établit et on résout l'équation d'évolution de la température.

Difficulté moyenne. Le rapport distingue des questions classiques et proches du cours de questions demandant des prises d'initiative et des calculs plus développés, et note que les candidats ont pu traiter un nombre important de questions.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Unité du champ magnétique · Loi de Lenz mal utilisée · Conclusions malhonnêtes

La partie I a été la mieux traitée des quatre. Le début de la partie II, peu difficile mais fondé sur le cours de MP2I, a été mal traité, et le jury note un fort contraste entre les parties du programme de MP2I et de MPI. Le défaut de soin de certaines copies atteint un niveau préoccupant, et des tentatives de conclure malgré des calculs faux ont été relevées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Unité du champ magnétiqueQ3
Des unités fantaisistes et des champs de valeur absurde ont été donnés sans étonnement.
« L’unité du champ magnétique n’est pas connue par beaucoup de candidat.e.s. »
2
Loi de Lenz mal utiliséeQ7
Le sens du courant induit est souvent justifié par la seule règle de la main droite, sans raisonnement.
« La loi de Lenz a souvent été confondue avec la loi de Faraday ou avec la définition de l’inductance propre. »
3
Conclusions malhonnêtesQ5, Q11
Des candidats aboutissent à l'expression attendue malgré des erreurs de signe dans les lignes précédentes, ce que le jury sanctionne.
« Question rarement convenablement traitée, et fréquemment de façon malhonnête. »
4
Mécanique sans bilan des forcesQ15, Q17
La force de Laplace a été conservée alors qu'elle n'agit plus, le travail du poids pendant la montée a été trouvé positif sans étonnement, et l'équation non linéaire a été modifiée arbitrairement.
« Nous rappelons que tout exercice de mécanique doit impérativement commencer par la définition du système étudié, du référentiel d’étude, et du bilan des forces. »
5
Densité de courant et surface d'échangeQ23, Q25
La densité volumique de courant a souvent été écrite comme un courant divisé par un volume, et les deux faces latérales de l'anneau ont été oubliées dans le flux conducto-convectif.
6
Bilan d'énergie sans rigueurQ26
Système et transformation rarement définis, premier principe peu cité, erreurs de signe et oubli du volume dans le travail électrique ; la constante de temps doit être positive.
« Question très rarement convenablement traitée, notamment dû à un manque important de rigueur. »

Ce qui a été bien réussi

Les questions de cours 1 et 2 ont été plutôt bien traitées, et la question 4 très bien traitée.
Les questions 8, 14 et 16 ont été bien ou plutôt bien traitées.
Les questions de programmation 19 à 22 ont été plutôt bien traitées par celles et ceux qui les ont abordées.
La résolution de l'équation différentielle de la question 27 a été plutôt bien effectuée.

Conseils du jury

Commencer tout exercice de mécanique par le système, le référentiel et le bilan des forces, à refaire quand les forces changent.
Détailler les calculs de flux et de circulation en précisant orientation de surface et sens de parcours.
Revoir l'électricité et la notation complexe de première année, évaluées au même titre que le programme de deuxième année.
Mener les calculs de façon littérale, sans valeurs numériques intermédiaires.
Écrire le premier principe complètement et préciser qui reçoit le flux thermique.
Garder un regard critique sur les résultats et mettre les flèches sur les vecteurs.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

27 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

27 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 19 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS et CHAUSSÉES, ISAE-SUPAERO, ENSTA, TÉLÉCOM PARIS, MINES PARIS - PSL, MINES SAINT-ÉTIENNE, MINES NANCY, IMT ATLANTIQUE, ENSAE PARIS, CHIMIE PARISTECH - PSL.

Concours Mines-Télécom, Concours Centrale-Supélec (Cycle International).

CONCOURS 2026

DEUXIÈME ÉPREUVE DE PHYSIQUE
Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage de la calculatrice ou de tout dispositif électronique est interdit.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

PHYSIQUE II - MPI

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Le « jumping ring » d'Elihu Thomson

Elihu Thomson [1853-1937] est un ingénieur et inventeur américain à l'origine de la fondation de la Thomson-Houston Electric Company qui est à l'origine des noms des sociétés Thomson-Brandt (devenue Thomson Grand Public puis Technicolor), Thomson-CSF (devenue Thales) et Als-Thom (devenue Alstom).
L'expérience du « jumping ring », mise au point par Elihu Thomson en 1877, est une des premières expériences de lévitation magnétique par induction.

Le principe de l'expérience est le suivant : une bobine (circuit primaire), dans laquelle un noyau ferromagnétique a été inséré, est placée verticalement. Un anneau (circuit secondaire) en matériau conducteur est déposé sur le haut de la bobine. Lorsqu'une différence de tension alternative est appliquée aux bornes de la bobine, l'anneau est propulsé vers le haut.

Figure 1 - L'expérience d'Elihu Thomson

Nous nous penchons dans ce problème sur un certain nombre de points clefs de cette expérience :

-Dans la partie I, on détermine une forme simplifiée du champ magnétique généré par la bobine inductrice au voisinage de son axe.
-Dans la partie II, on détermine la résultante de la force de Laplace exercée par la bobine inductrice sur un anneau conducteur placé sur l'axe du solénoïde.
-Dans la partie III, on étudie l'expérience du "jumping ring" avec comme objectif final d'atteindre une cible située plus loin.
-Dans la partie IV, on effectue un bilan d'énergie pour prévoir si l'anneau peut fondre en chauffant.

Toutes ces parties sont largement indépendantes et peuvent être traitées séparément.
Les résultats des applications numériques ne comporteront qu'un chiffre significatif. On donne :

-la perméabilité diélectrique du vide : $μ_0 = 4π \cdot 10^(- 7)H \cdot m^(- 1)$
-l'accélération de la pesanteur : $g = 9, 81 m \cdot s^(- 2)$

I Champ magnétique créé par un solénoïde

On se place en coordonnées cylindriques dans le référentiel

{O, e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_z}

.
On considère le solénoïde schématisé sur la figure 2 :

-de rayon $b = 5 cm$ ;
-de dimension infinie dans la direction $z$ ;
-parcouru par un courant $I$ supposé constant dans cette partie;
-possédant $n$ spires par unité de longueur.

Figure 2 - Solénoïde infini

□ - 1. Par des arguments d'invariance et de symétrie, simplifiez la forme du champ magnétique

B⃗(M)

créé par ce solénoïde en un point quelconque

M

de coordonnées cylindriques

(r, θ, z)

.
□ - 2. On suppose que le champ magnétique est nul à l'extérieur du solénoïde. En appliquant le théorème d'Ampère, déterminer alors l'expression de

B⃗(M)

créé à l'intérieur du solénoïde infini.
□ - 3. On ajoute un noyau ferromagnétique de perméabilité relative

μ_r = 100

. Que devient le champ magnétique?
Calculer l'intensité de ce champ si

I = 10, 0 A, n = 1000

spires par mètre.
On coupe le solénoïde à l'altitude

z = 0

, on ne conserve que la partie inférieure

(z < 0)

et on cherche à déterminer la composante

B_r(r, z)

créé par ce solénoïde semi-infini à une altitude

z > 0

proche de son axe.
□ - 4. Donner les 4 équations de Maxwell dans un milieu de perméabilité

μ_0

et de permittivité

ε_0

avec une densité volumique de charge

ρ

et une densité de courant volumique

j⃗

.
À partir de l'une d'entre-elle, montrer que le flux du champ magnétique

φ_B

est nul à travers toute surface fermée i.e. que le champ magnétique est à flux conservatif.

On admet que la composante axiale du champ magnétique créée par le solénoïde sur son axe à une hauteur

z

au-dessus de son extrémité vaut :

B_z(z) = (μ_0 nI)/2(1 - z/(\sqrt(b^2 + z^2)))

On cherche à établir l'expression de la composante radiale

B_r(r, z)

proche de l'axe

(Oz)

. Pour ce faire, on considère un petit cylindre de rayon

r

compris entre

z

z + dz

centré sur l'axe

(Oz)

.
□ - 5. En utilisant le fait que le champ magnétique est à flux conservatif, écrire une équation liant

B_r(r, z)

B_z(z)

.
En déduire que, pour

r

proche de l'axe , sa composante radiale s'exprime :

B_r(r, z) = (μ_0 nIr)/4(b^2)/((b^2 + z^2)^(3/2))

On se place pour la question suivante dans l'approximation

z≫b

□- 6. Déterminer alors les expressions équivalentes de $B_r$ et $B_z$ en ne gardant qu'un seul terme dominant.
On rappelle que les lignes de champ magnétique sont les courbes tangentes à $B⃗$ en tout point et admettent pour équation : $dℓ^(\to-) \land B⃗ = 0\to$ . En déduire que les équations des lignes de champ magnétique peuvent s'écrire sous la forme : $r = kz$ où $k$ est une constante d'intégration.
Dessiner alors la forme de ces lignes de champ magnétique proche de l'axe.

II Lévitation magnétique

On assimile la bobine inductrice au demisolénoïde de la partie I qui est maintenant parcouru par un courant

i_1(t) = I_1 cos(ωt)

. On place à l'altitude

z

un petit anneau de cuivre circulaire constitué d'une unique spire ayant les caractéristiques suivantes :

-rayon $a = 1 cm$ ;
-résistance $R = 10^(- 4)Ω$ ;
-coefficient d'auto-inductance $L =$ 10 nH .

On note

i_2(t)

le courant parcourant l'anneau.

Figure 3 - Lévitation de l'anneau de Thomson

□- 7. Donner la loi de Lenz pour l'induction.
Comment faire pour prévoir le sens du courant $i_2$ ?
□- 8. À partir des résultats et données de la partie I, donner l'expression du champ magnétique total $B⃗(r, z, t)$ généré par le demi-solénoïde parcouru par le courant $i_1(t)$ .
□- 9. À partir de la loi de Faraday, montrer que le courant $i_2(t)$ satisfait une équation différentielle de la forme $Ri_2(t) + L(di_2)/(dt)(t) + M(z)(di_1)/(dt)(t) = 0$ où l'on exprimera le coefficient d'inductance mutuelle $M(z)$ en fonction de $μ_0, n, a, b$ et $z$ .
□- 10. En passant en notation complexe à la pulsation $ω$ , déterminer l'expression du courant complexe $i_-_2(t)$ circulant dans l'anneau.
Montrer alors que l'on peut écrire $i_2(t) = I_2(z)cos(ωt + φ)$ ou l'on exprimera $I_2(z)$ en fonction de $M(z), R, L, ω$ et de l'amplitude $I_1$ de $i_1$ puis $cosφ$ et $sinφ$ en fonction de $R$ , $L$ et $ω$ .

On cherche à déterminer la valeur moyenne de la résultante de la force de Laplace appliquée à l'anneau.

□- 11. Montrer que la composante radiale $F_r$ de la force de Laplace résultante est nulle.
□- 12. Montrer que la valeur moyenne temporelle de la composante axiale $F_z$ de la force de Laplace suivant l'axe $e⃗_z$ s'exprime sous la forme :
$⟨F_z⟩_t = (K(z))/((b^2 + z^2)^(3/2))$
où l'on exprimera la constante $K(z)$ en fonction de $I_2(z), φ, μ_0 nI_1, a$ et $b$ .
□- 13. Que vaut $⟨F_z⟩_t$ si on ne prend pas en compte le coefficient d'autoinductance de l'anneau? Que recommanderiez-vous de faire à l'anneau pour empêcher sa lévitation?

III « Jumping ring »

L'expérience du "jumping ring" de Thomson permet d'envoyer dans les airs un anneau de cuivre ou d'aluminium.

On glisse cet anneau de masse

m = 3 g

sur un barreau ferromagnétique de hauteur

ℓ = 1 m

puis on fait passer un courant sinusoïdal à l'intérieur de la bobine inductrice de sorte à appliquer sur l'anneau une force ascendante donnée par la formule (1).

On cherche dans un premier temps à déterminer la vitesse initiale

v_0

qu'a l'anneau en quittant le barreau ferromagnétique placé de façon verticale.

En faisant l'approximation

z≫b

, on obtient une force de Laplace de la forme :

⟨F_z⟩_t = (K^')/(z^5)

Pour déterminer expérimentalement la constante

K^'

, on laisse l'anneau à l'équilibre au-dessus de la bobine. On mesure une hauteur

z_(eq) = 15 cm

à laquelle l'anneau lévite.

□- 14. Exprimer puis calculer numériquement la constante $K^'$ .
On va pour la suite de cette partie considérer la forme (2) pour la valeur moyenne de la force de Laplace. On place l'anneau initialement à une hauteur $z_0 = 5 cm$ au-dessus de la bobine inductrice, puis on applique la force ci-dessus.
□- 15. Calculer numériquement le travail $W_1$ de cette force ainsi que le travail $W_2$ du poids entre $z_0$ et $ℓ$ la longueur du barreau.
□- 16. Quelle est l'énergie cinétique de l'anneau $E_(c, 0)$ après avoir quitté le barreau ferromagnétique de hauteur $ℓ$ ? On négligera les frottements solides avec le barreau ferromagnétique.
En déduire la vitesse initiale $v_0$ qu'a acquis l'anneau en quittant la tige.
On suppose que la force de Laplace n'agit plus une fois que l'anneau a quitté le barreau ferromagnétique. À quelle hauteur $z_(max)$ l'anneau monte-il en négligeant tout frottement avec l'air ?
Pour le moment et comme dans l'expérience originelle, on maintient toujours le barreau ferromagnétique selon un axe $(O, e⃗_z)$ vertical ascendant de sorte à propulser initialement l'anneau selon une direction opposée à la pesanteur locale $g⃗$ . L'origine $O$ de l'axe est prise au sommet du barreau. L'anneau est assimilé à un point de vitesse $v⃗ = ve⃗_z$ . Dans un premier modèle, on suppose que les frottements appliqués par l'air sur l'anneau sont de la forme : $f⃗ = - αvv⃗$ avec $v = ‖v⃗‖$ et $α > 0$ .
□- 17. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par $v⃗$ .
Résoudre cette équation dans la partie ascendante du mouvement.
En déduire l'expression du temps $t_1$ mis par l'anneau pour atteindre la hauteur maximale en fonction de $g, v_0$ et $β = α/m$ .
Estimer la valeur numérique de $t_1$ sachant que $β = 2 \cdot 10^(- 5) m^(- 1)$ .

On incline à présent le barreau ferromagnétique d'un angle

θ

par rapport à

e⃗_x

dans le plan

(O, e⃗_x, e⃗_z)

de telle manière que la vitesse initiale de l'anneau soit maintenant

v⃗_0 = v_0(cosθe⃗_x +

sinθe⃗_z

). Sur la base des résultats de la question précédente, on passe à un modèle simplifié pour les frottements de l'air que l'on considère maintenant de la forme

f⃗ = - γv⃗

avec

γ > 0

□- 18. Déterminer les équations du mouvement en $v_x = v⃗ \cdot e⃗_x$ et $v_z = v⃗ \cdot e⃗_z$ .
On va chercher à intégrer numériquement ces équations en python.
□- 19. Définir une fonction euler(u0,F,dt,N) qui applique le schéma d'Euler explicite pour résoudre numériquement une équation différentielle du premier ordre.
□- 20. Définir les fonctions Fx et Fz qui interviennent dans le schéma d'Euler pour résoudre les listes temporelles des vitesses Vx et Vz. Définir Vx et Vz à partir de la fonction euler.
□- 21. Définir alors les listes temporelles des positions X et Z à partir des listes des vitesses Vx et Vz.
□- 22. Définir alors deux fonctions :
- -fleche(X,Z) qui renvoie la hauteur maximale atteinte par la trajectoire.
- -portee(X, Z) qui renvoie la distance parcourue par le projectile au moment où il retombe au sol.

IV Température de l'anneau

En touchant l'anneau de cuivre, on se rend compte que celui-ci chauffe sensiblement. Cela est dû à l'effet Joule au sein du conducteur. On suppose dans cette partie que l'anneau possède la géométrie cylindrique représentée ci-dessous.

On note :

- -son épaisseur $e = 1 mm$ ;
- -sa hauteur $d = 5 mm$ ;
- - $γ = 6 \cdot 10^7 S \cdot m^(- 1)$ : la conductivité électrique du cuivre ;
- - $ρ = 9 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$ : la masse volumique du cuivre;
- - $c = 0, 38 kJ \cdot K^(- 1) \cdot kg^(- 1)$ : la capacité thermique massique du cuivre.

Le courant

i_2

traversant l'anneau s'exprime :

i_2(t) = I_2 cos(ωt) avec I_2 = 15 A

Figure 5 - Forme cylindrique de l'anneau

On suppose également que la densité volumique de courant

j⃗_2

est uniforme sur l'ensemble de la section de l'anneau de cuivre.

□- 23. Dans quelle direction est porté le courant dans l'anneau?
Déterminer l'expression de la densité volumique de courant $j⃗_2(t)$ en fonction de $I_2, ω, t$ ainsi que des dimensions de l'anneau.
□- 24. Calculer $p_J$ la valeur moyenne temporelle de la puissance volumique dissipée par effet joule en fonction notamment de la conductivité électrique $γ$ de l'anneau de cuivre.

On cherche à déterminer l'évolution temporelle de la température

T(t)

de l'anneau. Pour ce faire, on suppose que la température de l'anneau peut être définie à tout instant.

On suppose que l'anneau est en contact avec l'air de la pièce de température constante

T_0

sur ses deux faces latérales et on note

h = 0, 5 W \cdot m^(- 2) \cdot K^(- 1)

le coefficient de conducto-convection. On suppose également que

T(t = 0) = T_0 = 300 K

□- 25. En tenant compte du fait que l'épaisseur de l'anneau est très petite devant son rayon, déterminer le flux thermique conducto-convectif total entre l'air et l'anneau en fonction de $h, a, d, T_0$ et la température $T(t)$ de l'anneau.
□- 26. En appliquant un bilan d'énergie sur l'anneau en entier, établir alors l'équation différentielle sur $T(t)$ sous la forme suivante :
$(dT)/(dt) + (T - T_0)/τ = A$
où l'on exprimera les grandeurs $τ$ et $A$ en fonction de $h, c, ρ, γ, I_2, e$ et $d$ .
□- 27. Déterminer la température de l'anneau $T(t)$ en fonction du temps.
La température de fusion du cuivre est $θ_(fus) = 1085^\circC$ . L'anneau va-t-il finir par fondre?

FIN DE L'ÉPREUVE

Les sujets sont la propriété du GIP CCMP. Ils sont publiés sous les termes de la licence Creative Commons Attribution - Pas d'Utilisation Commerciale - Pas de Modification 3.0 France.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Mines physique 2 MPI 2026 ?

Le sujet mobilise la magnétostatique et les équations de Maxwell, l'induction et la force de Laplace, le régime sinusoïdal, la mécanique du point avec frottements, la méthode d'Euler en Python et un bilan thermique avec effet Joule.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en Mines physique 2 MPI 2026 ?

Le jury cite l'unité du champ magnétique mal connue, une loi de Lenz confondue avec la loi de Faraday, des conclusions forcées malgré des calculs faux, l'absence de bilan des forces et un bilan d'énergie sans rigueur.

Le sujet Mines physique 2 MPI 2026 porte-t-il sur le programme de première année ?

En partie : selon le rapport, la partie III portait exclusivement sur le cours de MP2I et le début de la partie II s'appuyait aussi sur ce cours. Le jury rappelle qu'il évalue les deux années de CPGE.

Quelle partie a été la mieux réussie en Mines physique 2 MPI 2026 ?

La partie I, sur le champ magnétique créé par un solénoïde, a été la mieux traitée des quatre.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Physique 2 MPI 2026

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...