Feuille d'entraînement : Induction électromagnétique

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q13

   Considérons une spire circulaire de rayon r, située à la cote z(t) et orientée selon \vec{u}_\theta (de sorte que le vecteur surface soit orienté selon +\vec{u}_z par la règle de la main droite).

   Pour déterminer le flux magnétique \Phi_1(z) = \iint_{\mathcal{D}(z)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S à travers le disque \mathcal{D}(z) délimité par la spire, introduisons une surface fermée cylindrique (\mathcal{S}) de rayon r, limitée par :

   • la base \mathcal{D}(z) à la cote z(t), dont la normale sortante est -\vec{u}_z ;
   • une base \mathcal{D}(z_0) située à une cote z_0 > z suffisamment éloignée de l'aimant pour que le champ magnétique y soit nul ou négligeable (\vec{B} \approx \vec{0}) ;
   • la surface latérale \Sigma_{\text{lat}} comprise entre z et z_0, de normale sortante \vec{n}_{\text{ext}} = \vec{u}_r, où règne le champ radial \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_r.

   D'après l'équation de Maxwell-Thomson, \mathrm{div}\,\vec{B} = 0, le flux du champ magnétique sortant de cette surface fermée est nul :

   \oiint_{(\mathcal{S})} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0 \iff -\iint_{\mathcal{D}(z)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{\mathcal{D}(z_0)} \vec{B}\cdot\vec{u}_z\,\mathrm{d}S + \iint_{\Sigma_{\text{lat}}} \vec{B}\cdot\vec{u}_r\,\mathrm{d}S = 0

   Comme \vec{B} \approx \vec{0} sur \mathcal{D}(z_0), il vient :

   \Phi_1(z) = \iint_{\Sigma_{\text{lat}}} \vec{B}_0\cdot\vec{u}_r\,\mathrm{d}S = \int_{z}^{z_0} B_0 \,(2\pi r\,\mathrm{d}z') = 2\pi r B_0 (z_0 - z)

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans cette spire s'écrit :

   e_1 = -\frac{\mathrm{d}\Phi_1}{\mathrm{d}t} = -\left(-2\pi r B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right) = 2\pi r B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}

   La bobine étant constituée de N spires identiques branchées en série et animées de la même vitesse \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z, la force électromotrice totale induite est la somme des f.é.m. individuelles :

   \boxed{e = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}}

   Résultat

   $$e=2\pi rN{B}_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q14

   Un élément de longueur d'une spire parcourue par le courant i s'écrit dans la base cylindrique (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta

   Cet élément est plongé dans le champ magnétique permanent radial \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_r. La force élémentaire de Laplace qui s'y applique est :

   \mathrm{d}\vec{F}_L = i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \times \vec{B}_0 = i\,(r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta) \times (B_0\,\vec{u}_r) = - i\,r B_0\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_z

   car dans la base orthonormée directe (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z), on a \vec{u}_\theta \times \vec{u}_r = -\vec{u}_z.

   En intégrant sur une spire complète (\theta \in [0, 2\pi]) et en sommant sur les N spires identiques et jointives :

   \vec{F} = N \oint_{\text{spire}} \mathrm{d}\vec{F}_L = - 2\pi r N B_0\,i\,\vec{u}_z

   \boxed{\vec{F} = - 2\pi r N B_0\,i\,\vec{u}_z}

   Calculons la puissance développée par cette force de Laplace lors du déplacement des spires à la vitesse \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z :

   \begin{aligned} \vec{F}\cdot \vec{v} &= \left(-2\pi r N B_0\,i\,\vec{u}_z\right)\cdot\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z\right) \\ &= -\left(2\pi r N B_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right) i \end{aligned}

   En reconnaissant l'expression de la f.é.m. de mouvement e = 2\pi r N B_0 \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} obtenue à la question Q13, il vient :

   \boxed{\vec{F}\cdot \vec{v} = - e\,i}

   Interprétation physique :

   • La grandeur \vec{F}\cdot\vec{v} représente la puissance mécanique reçue par la partie mobile de la part des forces électromagnétiques.
   • La grandeur e\,i représente la puissance électrique cédée par la f.é.m. d'induction au circuit électrique (convention générateur).
   • La relation \vec{F}\cdot\vec{v} + e\,i = 0 traduit la conservation de l'énergie lors de la conversion électromécanique : le couplage électromécanique convertit intégralement, et sans perte propre (hors effet Joule et frottements fluides modélisés ailleurs), la puissance électrique en puissance mécanique (fonctionnement moteur du haut-parleur) ou inversement (fonctionnement générateur d'un microphone).

   Résultat

   $$\vec{F}=-2\pi rN{B}_{0}i{\vec{u}}_z$$

   $$\vec{F}\cdot \vec{v}=-ei$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q15

   On étudie le système constitué de l'équipage mobile (membrane et bobine de N spires), de masse M, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'équipage mobile effectue un mouvement de translation rectiligne le long de l'axe (Oz), sa vitesse étant \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z.

   D'après le préambule précédant la question, on néglige l'effet de la pesanteur. L'ensemble est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

   • la force de rappel élastique des suspensions modélisées par un ressort équivalent de raideur K :

     \vec{F}_{\text{rappel}} = -K z(t)\,\vec{u}_z

   • la force dissipative exercée par l'air (frottement fluide de coefficient \lambda) :

     \vec{f} = -\lambda \vec{v} = -\lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z

   • la résultante des forces de Laplace exercée sur les N spires parcourues par le courant i(t), établie à la question Q14 :

     \vec{F} = -2\pi r N B_0\,i(t)\,\vec{u}_z

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'équipage mobile s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{u}_z = \vec{F}_{\text{rappel}} + \vec{f} + \vec{F}

   En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_z, il vient :

   \begin{aligned} M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} &= -K z - \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} - 2\pi r N B_0\,i(t) \\ M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + K z(t) &= - 2\pi r N B_0\,i(t) \end{aligned}

   En divisant cette relation par la masse M > 0, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\lambda}{M}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \frac{K}{M} z(t) = -\frac{2\pi r N B_0}{M}\,i(t)

   Par identification avec la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :

   \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{\omega_{0}}{Q_{m}} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}+\omega_{0}^{2} z(t)=-\beta\,i(t)

   on identifie directement :

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{M}}} \quad,\quad \boxed{Q_m = \frac{M\omega_0}{\lambda} = \frac{\sqrt{K M}}{\lambda}} \quad\text{et}\quad \boxed{\beta = \frac{2\pi r N B_0}{M}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{K}{M}}$$

   $$Q_m=\frac{M{\omega }_0}{\lambda }=\frac{\sqrt{KM}}{\lambda }$$

   $$\beta =\frac{2\pi rN{B}_0}{M}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q13

   1. Explication qualitative (induction de Lorentz / loi de Lenz)

   Lorsque la spire entre dans la zone de champ magnétique uniforme \vec{B}_0 = B_0\,\vec{u}_z à la vitesse \vec{v}_0 = v_0\,\vec{u}_x, la surface de la spire plongée dans le champ augmente, ce qui entraîne une augmentation du flux magnétique à travers celle-ci.

   D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. Le courant induit doit donc s'opposer à l'augmentation du flux magnétique en créant un champ magnétique induit \vec{B}_{\text{ind}} de sens opposé à \vec{B}_0, c'est-à-dire dirigé selon -\vec{u}_z.

   D'après la règle de la main droite, le sens positif arbitraire choisi pour i sur la figure 6 (contour F \to C \to D \to E \to F) définit une normale orientée selon +\vec{u}_z, ce qui créerait un champ dans le sens +\vec{u}_z si i > 0. Par conséquent, le courant réel circule en sens inverse de la flèche : l'intensité algébrique i est négative.

   2. Détermination quantitative de l'intensité i

   Pour t \in \left[0, \frac{a}{v_0}\right], la partie avant EF est à l'abscisse x(t) = v_0 t. La surface de la spire située dans la zone de champ non nul est un rectangle de longueur x(t) et de largeur a :

   S(t) = a\,x(t) = a\,v_0\,t

   Avec la convention d'orientation choisie sur la figure 6, le vecteur unitaire normal au plan de la spire est \vec{n} = +\vec{u}_z. Le flux magnétique à travers la spire s'écrit donc :

   \Phi(t) = \iint_{\text{spire}} \vec{B} \cdot \vec{n}\,\mathrm{d}S = B_0\,S(t) = B_0\,a\,v_0\,t

   D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire vaut :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0\,a\,v_0

   En négligeant l'auto-inductance de la spire et son champ propre, la loi d'Ohm appliquée au circuit fermé de résistance R donne :

   e = R\,i \implies i = \frac{e}{R}

   \boxed{i = -\frac{B_0\,a\,v_0}{R}}

   L'intensité i est constante pendant toute la phase d'entrée et bien négative, en accord avec l'analyse qualitative.

   Résultat

   $$i=-\frac{B_{0}a{v}_0}{R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q14

   La force de Laplace totale s'exerçant sur la spire fermée s'écrit :

   \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}

   Pendant la phase d'entrée dans la zone de champ magnétique (0 < x < a) :

   • Le côté arrière (CD) est dans la région où le champ est nul : sa contribution est nulle.
   • Les parties immergées des deux côtés latéraux (parallèles à \vec{u}_x) sont de même longueur x, baignent dans le même champ uniforme \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z, et sont parcourues par des courants en sens opposés. Les forces de Laplace élémentaires exercées sur ces deux côtés sont donc directement opposées et leur résultante est nulle.
   • Il ne subsiste ainsi que la force exercée sur le côté avant (EF), entièrement situé dans la zone de champ uniforme \vec{B}_0.

   Avec le sens d'orientation associé à la normale \vec{n} = +\vec{u}_z, le vecteur déplacement élémentaire le long du segment EF orienté est porté par \vec{u}_y : \int_E^F \mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\vec{u}_y. La force s'écrit donc :

   \vec{F} = i \left( \int_E^F \mathrm{d}\vec{\ell} \right) \wedge \vec{B}_0 = i\,(a\,\vec{u}_y) \wedge (B_0\,\vec{u}_z) = i\,a\,B_0\,\vec{u}_x

   En utilisant l'expression du courant induit établie à la question Q13, i = -\dfrac{B_0 a v_0}{R} :

   \boxed{ \vec{F} = -\frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x }

   Puisque les grandeurs B_0, a, R et v_0 sont indépendantes du temps pendant cette phase d'entrée, la force est constante.

   Justification qualitative du sens : D'après la loi de modération de Lenz, les phénomènes d'induction s'opposent à la cause qui leur donne naissance. La cause de l'induction étant le déplacement de la spire à la vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x, la force de Laplace induite tend à freiner la spire en s'opposant au mouvement : elle est donc orientée selon -\vec{u}_x.

   Résultat

   $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q1

   Le phénomène à l'origine du signal électrique est l'induction électromagnétique :

   1. Aimantation de la corde : La corde, constituée d'un matériau ferromagnétique, acquiert une aimantation sous l'effet du champ magnétique créé par les aimants permanents du micro. Elle se comporte ainsi comme une source auxiliaire de champ magnétique (modélisée ici par un dipôle magnétique).
   2. Variation du champ magnétique : Lorsque la corde vibre, sa position relative par rapport au bobinage varie périodiquement dans le temps. Le champ magnétique total \vec{B} régnant au niveau de la bobine est donc modulé à la fréquence de vibration de la corde.
   3. Variation de flux et induction : Le circuit constitué par la bobine étant fixe dans le référentiel d'étude, la dépendance temporelle de \vec{B}(t) entraîne une variation temporelle du flux magnétique \Phi(t) à travers les spires de la bobine (\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t \neq 0).

   4. Apparition d'une force électromotrice : D'après la loi de Faraday, cette variation temporelle de flux induit une force électromotrice :

      \boxed{e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

      aux bornes de la bobine, convertissant ainsi l'onde mécanique en un signal électrique de même fréquence fondamentale.

   Résultat

   $$e(t)=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q2

   Pour un circuit filiforme orienté \mathcal{C} s'appuyant sur une surface ouverte \mathcal{S}, toute variation au cours du temps du flux magnétique \Phi à travers le circuit donne naissance à une force électromotrice induite e donnée par :

   \boxed{e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}}

   où :

   • \Phi = \displaystyle\iint_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S} désigne le flux du champ magnétique \vec{B} à travers la surface \mathcal{S} ;
   • le vecteur surface infinitésimal \mathrm{d}\vec{S} est orienté en cohérence avec le sens de parcours choisi sur le contour \mathcal{C} selon la règle de la main droite ;
   • le signe négatif traduit la loi de modération de Lenz : les effets induits s'opposent à la cause qui les a créés.

   Résultat

   $$e=-\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q3

   Soit \mathcal{C} le contour fermé orienté modélisant une spire de la bobine, et soit S une surface orientée quelconque s'appuyant sur ce contour.

   Le flux magnétique \phi du champ \vec{B} à travers cette spire est défini par l'intégrale de surface :

   \boxed{\phi = \iint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{S}}

   où :

   • \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n} \, \mathrm{d}S est le vecteur surface élémentaire orienté localement par le vecteur unitaire normal \vec{n} ;
   • le sens de \vec{n} est relié à l'orientation du contour de la spire par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon) ;
   • le flux magnétique s'exprime en webers (\mathrm{Wb} = \mathrm{T} \cdot \mathrm{m}^2 = \mathrm{V} \cdot \mathrm{s}).

   Résultat

   $$\varphi ={\iint }_S\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q6

   Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

   1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

      • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
      • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

      • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

        U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

        où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

      • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

   2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

      • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

      • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

        e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
      • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q15

    Pendant la phase de sortie, la partie avant (EF) de la spire est déjà sortie de la zone de champ non nul (x > a), tandis que la partie arrière (CD) y est encore présente (x - a < a, soit x \in [a, 2a]).

    La longueur de spire encore immergée dans la zone de champ magnétique selon l'axe (Ox) est donc :

    L_x = a - (x(t) - a) = 2a - x(t)

    La surface de la spire baignée par le champ magnétique \vec{B}_0 = B_0 \vec{u}_z vaut :

    S(t) = a\,(2a - x(t))

    En conservant la même orientation que pour la question Q13 (normale \vec{n} = \vec{u}_z associée au sens positif du courant indiqué sur la figure 6), le flux magnétique à travers la spire s'écrit :

    \Phi(t) = \iint \vec{B}_0 \cdot \mathrm{d}\vec{S} = B_0\,S(t) = B_0\,a\,(2a - x(t))

    D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite est :

    e = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = - B_0 a \left(-\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) = + B_0 a v_0

    L'auto-inductance étant négligée, la loi d'Ohm donne l'intensité du courant induit :

    i = \frac{e}{R} = +\frac{B_0 a v_0}{R}

    Le courant s'est donc inversé par rapport à la phase d'entrée (i_{\text{sortie}} = - i_{\text{entrée}}).

    Calculons la résultante des forces de Laplace \vec{F} = \oint_{\text{spire}} i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} :

    • La partie avant (EF) est en dehors de la zone de champ magnétique (\vec{B} = \vec{0}), donc \vec{F}_{\text{EF}} = \vec{0}.
    • Sur les deux brins horizontaux, le champ étant uniforme et les courants opposés, les forces de Laplace se compensent deux à deux.
    • Seule la branche arrière (CD) est soumise à une force non nulle. Sur ce segment, le courant circule en sens inverse de celui qui parcourait la branche EF : \vec{\ell}_{\text{CD}} = - \vec{\ell}_{\text{EF}}.

    Comme le courant i et le vecteur déplacement le long du brin ont tous deux changé de signe par rapport à la phase d'entrée, la force de Laplace reste rigoureusement identique à celle obtenue en Q14 :

    \vec{F} = \vec{F}_{\text{CD}} = i\,\vec{\ell}_{\text{CD}} \wedge \vec{B}_0 = (-i_{\text{entrée}})(-\vec{\ell}_{\text{EF}}) \wedge \vec{B}_0 = \vec{F}_{\text{entrée}}

    On retrouve bien :

    \boxed{\vec{F} = -\frac{B_0^2 a^2}{R} v_0\,\vec{u}_x}

    Résultat

    $$\vec{F}=-\frac{B_0^2{a}^2}{R}{v}_0{\vec{u}}_x$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question