Feuille d'entraînement : Approche énergétique et oscillateurs mécaniques

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2025, Q15

   On étudie le système constitué de l'équipage mobile (membrane et bobine de N spires), de masse M, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen. L'équipage mobile effectue un mouvement de translation rectiligne le long de l'axe (Oz), sa vitesse étant \vec{v} = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{u}_z.

   D'après le préambule précédant la question, on néglige l'effet de la pesanteur. L'ensemble est soumis aux actions mécaniques extérieures suivantes :

   • la force de rappel élastique des suspensions modélisées par un ressort équivalent de raideur K :

     \vec{F}_{\text{rappel}} = -K z(t)\,\vec{u}_z

   • la force dissipative exercée par l'air (frottement fluide de coefficient \lambda) :

     \vec{f} = -\lambda \vec{v} = -\lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,\vec{u}_z

   • la résultante des forces de Laplace exercée sur les N spires parcourues par le courant i(t), établie à la question Q14 :

     \vec{F} = -2\pi r N B_0\,i(t)\,\vec{u}_z

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'équipage mobile s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}\,\vec{u}_z = \vec{F}_{\text{rappel}} + \vec{f} + \vec{F}

   En projetant sur le vecteur unitaire \vec{u}_z, il vient :

   \begin{aligned} M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} &= -K z - \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} - 2\pi r N B_0\,i(t) \\ M \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + K z(t) &= - 2\pi r N B_0\,i(t) \end{aligned}

   En divisant cette relation par la masse M > 0, on obtient :

   \frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2} + \frac{\lambda}{M}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t} + \frac{K}{M} z(t) = -\frac{2\pi r N B_0}{M}\,i(t)

   Par identification avec la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :

   \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{d} t^{2}}+\frac{\omega_{0}}{Q_{m}} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t}+\omega_{0}^{2} z(t)=-\beta\,i(t)

   on identifie directement :

   \boxed{\omega_0 = \sqrt{\frac{K}{M}}} \quad,\quad \boxed{Q_m = \frac{M\omega_0}{\lambda} = \frac{\sqrt{K M}}{\lambda}} \quad\text{et}\quad \boxed{\beta = \frac{2\pi r N B_0}{M}}

   Résultat

   $${\omega }_0=\sqrt{\frac{K}{M}}$$

   $$Q_m=\frac{M{\omega }_0}{\lambda }=\frac{\sqrt{KM}}{\lambda }$$

   $$\beta =\frac{2\pi rN{B}_0}{M}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q4

   On étudie un électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   D'après la question Q3, le poids de l'électron est totalement négligeable devant la force électrostatique. L'électron n'est donc soumis qu'à la force électrostatique :

   \vec{F}_e = -e \vec{E} = e \, \vec{\operatorname{grad}} V

   Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique :

   \mathcal{E}_p(r) = q \, V(r) = -e \, V(r)

   Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique \mathcal{E}_m se conserve au cours du mouvement :

   \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c(r) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = \text{cte}

   À la cathode (r = r_1), les électrons sont émis sans vitesse initiale (v(r_1) = 0) et le potentiel est choisi nul (V(r_1) = V_c = 0). L'énergie mécanique initiale est donc nulle :

   \mathcal{E}_m = 0

   On en déduit que pour tout r \in [r_1, r_2] :

   \frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = 0

   Comme V(r) \ge 0, la vitesse v(r) de l'électron à la distance r de l'axe s'écrit :

   \boxed{v(r) = \sqrt{\frac{2e \, V(r)}{m}}}

   Résultat

   $$v(r)=\sqrt{\frac{2eV(r)}{m}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q8

   On étudie le système constitué du plateau mobile et du spationaute, de masse totale m = m_1 + m_2, assimilé à un point matériel M de cote z le long de l'axe vertical (Oz).

   L'étude est menée dans le référentiel lié à la station spatiale internationale (ISS). Dans ce référentiel, comme établi à la question Q6, le spationaute et le dispositif sont en impesanteur : la force gravitationnelle et la force d'inertie d'entraînement se compensent exactement. En l'absence de frottements, la seule force agissant selon l'axe (Oz) est la force de rappel élastique exercée par le ressort :

   \vec{F} = -k(z - \ell_0)\,\vec{u}_z

   où \ell_0 est la longueur à vide du ressort et k sa constante de raideur.

   Le principe fondamental de la dynamique appliqué au système projeté sur l'axe (Oz) s'écrit :

   m\,\ddot{z} = -k(z - \ell_0)

   soit, en posant la variable d'écart X(t) = z(t) - \ell_0 :

   \ddot{X}(t) + \frac{k}{m}\,X(t) = 0

   Il s'agit de l'équation différentielle canonique d'un oscillateur harmonique de pulsation propre :

   \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}

   La période propre d'oscillation T_0 (notée également T) s'en déduit immédiatement :

   T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

   \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}

   Résultat

   $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q15

   D'après la question Q14, l'équation différentielle régissant l'oscillation libre de la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}) s'écrit :

   \ddot{\theta}(t) + \frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}\sin\theta(t) = 0

   Dans l'approximation des petits angles, on a \sin\theta(t) \simeq \theta(t), ce qui conduit à l'équation d'un oscillateur harmonique :

   \ddot{\theta}(t) + \omega_{\mathrm{os}}^2\,\theta(t) = 0

   On en déduit l'expression de la pulsation d'oscillation :

   \boxed{\omega_{\mathrm{os}} = \sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}} g \Delta}{J_F}}}

   La période propre associée à ces oscillations libres est :

   T_0 = \frac{2\pi}{\omega_{\mathrm{os}}} = 2\pi\sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}} g \Delta}}

   Durant la phase d'oscillation gauche, la jambe est libérée en arrière en \theta = -\theta_{\mathrm{a}} avec une vitesse angulaire nulle et oscille jusqu'à atteindre l'avant en \theta = +\theta_{\mathrm{a}} où elle reprend appui au sol. Ce mouvement d'un extremum à l'extremum opposé constitue une demi-oscillation (ou un aller simple), de sorte que la durée \tau_{\mathrm{os}} correspond à une demi-période :

   \tau_{\mathrm{os}} = \frac{T_0}{2} = \frac{\pi}{\omega_{\mathrm{os}}}

   Soit, en fonction des grandeurs du problème :

   \boxed{\tau_{\mathrm{os}} = \pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}} g \Delta}}}

   Résultat

   $${\omega }_{\mathrm{os}}=\sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta }{J_F}}$$

   $${\tau }_{\mathrm{os}}=\pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}}g\Delta }}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2024, Q17

   Cette relation découle du théorème de l'énergie mécanique (ou théorème de la puissance mécanique sous forme intégrée).

   Énoncé du théorème de l'énergie mécanique : Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie mécanique \Delta\mathcal{E} d'un système matériel entre deux instants t_1 et t_2 est égale à la somme des travaux de l'ensemble des forces non conservatives (extérieures et intérieures) appliquées au système entre ces deux instants :

   \boxed{\Delta\mathcal{E} = W_{\mathrm{nc}} = \int_{t_1}^{t_2} \mathcal{P}_{\mathrm{nc}}(t) \, \mathrm{d}t}

   Dans le cas du marcheur (\Sigma) :

   • les forces de pesanteur dérivent d'une énergie potentielle déjà incluse dans \mathcal{E} ;
   • les forces de réaction du sol ne travaillent pas (contact sans glissement) ;
   • la seule contribution non conservative provient des actions musculaires (efforts intérieurs), développant une puissance \mathcal{P}_{\mathrm{nc}} = \mathscr{P}.

   En supposant cette puissance \mathscr{P} constante au cours de la phase de double contact de durée \tau_{\mathrm{dc}}, il vient :

   \begin{aligned} \Delta\mathcal{E} &= \int_0^{\tau_{\mathrm{dc}}} \mathscr{P} \, \mathrm{d}t = \mathscr{P} \, \tau_{\mathrm{dc}} \end{aligned}

   ce qui conduit immédiatement à l'évaluation proposée :

   \mathscr{P} = \frac{\Delta\mathcal{E}}{\tau_{\mathrm{dc}}}

   Résultat

   $$\Delta \mathcal{E}=W_{\mathrm{nc}}={\int }_{t_1}^{t_2}{\mathcal{P}}_{\mathrm{nc}}(t)\mathrm{d}t$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6X-ENS Physique MPI 2024, Q10

   Le choc étant élastique, l'énergie cinétique totale du système isolé \{\text{neutron} + \text{noyau}\} est conservée au cours de la collision :

   \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m{v'}^2 + \frac{1}{2}Am\,v_R^2

   En simplifiant par \frac{1}{2}m, on obtient :

   \boxed{v^2 = {v'}^2 + A\,v_R^2}

   D'après la question Q9, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit :

   v_R = \frac{v + v'}{A}

   En injectant cette expression dans la conservation de l'énergie cinétique :

   v^2 - {v'}^2 = A \left(\frac{v + v'}{A}\right)^2 = \frac{(v + v')^2}{A}

   En reconnaissant une identité remarquable et sachant que v + v' > 0 :

   \begin{aligned} (v - v')(v + v') &= \frac{(v + v')^2}{A} \\ v - v' &= \frac{v + v'}{A} \\ A(v - v') &= v + v' \\ (A - 1)v &= (A + 1)v' \end{aligned}

   On en déduit l'expression du rapport des vitesses :

   \boxed{\frac{v'}{v} = \frac{A - 1}{A + 1}}

   Résultat

   $$v^2={v^{\prime }}^2+A{v}_R^2$$

   $$\frac{v^{\prime }}{v}=\frac{A-1}{A+1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique MPI 2024, Q28

   On étudie le mouvement vertical d'un neutron de masse m dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut, l'origine z = 0 étant située sur le miroir horizontal.

   Pendant son vol libre, le neutron n'est soumis qu'au poids \vec{P} = -m g \vec{u}_z, force conservative dont dérive l'énergie potentielle de pesanteur :

   E_{\mathrm{p}}(z) = m g z \quad (\text{en choisissant } E_{\mathrm{p}}(0) = 0).

   Le choc sur le miroir étant parfaitement élastique, l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}} = E_{\mathrm{c}} + E_{\mathrm{p}} est conservée au cours de tout le mouvement.

   • Juste avant le contact avec le miroir (en z = 0), la vitesse verticale a pour norme v_0, d'où :

     E_{\mathrm{m}}(z = 0) = \frac{1}{2} m v_0^2.

   • Au sommet de la trajectoire, à l'altitude maximale z = H, la vitesse verticale s'annule momentanément :

     E_{\mathrm{m}}(z = H) = m g H.

   Par conservation de l'énergie mécanique E_{\mathrm{m}}(z = 0) = E_{\mathrm{m}}(z = H), on obtient :

   \frac{1}{2} m v_0^2 = m g H,

   soit :

   \boxed{H = \frac{v_0^2}{2g}} \quad \text{ou de façon équivalente} \quad \boxed{v_0 = \sqrt{2gH}}.

   Résultat

   $$H=\frac{v_0^2}{2g}$$

   $$v_0=\sqrt{2gH}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CCINP Physique-Chimie MPI 2023, Q6

   On applique la seconde loi de Newton à la platine, assimilée à un point matériel de masse M, dans le référentiel terrestre supposé galiléen lié au support fixe.

   L'axe Oz étant orienté verticalement vers le bas, la position de la platine est repérée par son écart à l'équilibre Z(t). La platine est soumise à :

   • son poids : \vec{P} = M g \vec{e}_z ;

   • la force de rappel du ressort : la platine étant située au-dessus du support fixe, un déplacement Z(t) > 0 vers le bas comprime davantage le ressort. Sa longueur s'écrit l(t) = l_{\text{équ}} - Z(t). Le ressort pousse la platine vers le haut avec une force :

     \vec{F}_{\text{ressort}} = -k\left(l_0 - l(t)\right)\vec{e}_z = -k\left(l_0 - l_{\text{équ}} + Z(t)\right)\vec{e}_z

     D'après la question Q5, à l'équilibre statique on a k(l_0 - l_{\text{équ}}) = Mg, d'où :

     \vec{F}_{\text{ressort}} = -\left(Mg + k Z(t)\right)\vec{e}_z

   • la force d'amortissement fluide :

     \vec{f} = -\lambda \vec{v}_{\text{platine}} = -\lambda \frac{\mathrm{d}Z}{\mathrm{d}t} \vec{e}_z
   • la force exercée par l'impact de la goutte : \vec{F}(t) = F(t)\vec{e}_z.

   La seconde loi de Newton s'écrit :

   M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2}\vec{e}_z = \vec{P} + \vec{F}_{\text{ressort}} + \vec{f} + \vec{F}(t)

   En projetant sur le vecteur unitaire \vec{e}_z :

   \begin{aligned} M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} &= Mg - \left(Mg + k Z(t)\right) - \lambda \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + F(t) \\ M \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} + \lambda \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + k Z(t) &= F(t) \end{aligned}

   En divisant par la masse M, on obtient l'équation différentielle demandée :

   \frac{\mathrm{d}^2 Z(t)}{\mathrm{d}t^2} + \gamma \frac{\mathrm{d}Z(t)}{\mathrm{d}t} + \beta Z(t) = \frac{F(t)}{M}

   par identification des termes :

   \boxed{\gamma = \frac{\lambda}{M} \quad \text{et} \quad \beta = \frac{k}{M}}

   Résultat

   $$\gamma =\frac{\lambda }{M}\text{et}\beta =\frac{k}{M}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q16

   On étudie le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

   On utilise la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) liée à la tige, représentée sur la figure 3 :

   \vec{OM} = \ell\,\vec{u}_r

   où \vec{u}_r = \cos\theta\,\vec{u}_x + \sin\theta\,\vec{u}_y et \vec{u}_\theta = -\sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y. L'axe vertical (Ox) étant orienté vers le bas dans le sens de \vec{g}, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{u}_x.

   La vitesse et l'accélération de M s'écrivent :

   \begin{aligned} \vec{v} &= \ell\,\dot{\theta}\,\vec{u}_\theta \\ \vec{a} &= -\ell\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + \ell\ddot{\theta}\,\vec{u}_\theta \end{aligned}

   Le système est soumis à deux forces :

   • son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg(\cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta) ;
   • la tension (ou réaction) exercée par la tige rigide : \vec{T} = T_r\,\vec{u}_r (direction radiale, la tige étant sans masse et articulée en O sans frottement).

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   m\vec{a} = \vec{P} + \vec{T}

   En projetant cette relation sur le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta :

   m\ell\,\ddot{\theta} = -mg\sin\theta

   ce qui conduit immédiatement à l'équation différentielle du mouvement :

   \boxed{\ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell}\sin\theta(t) = 0}

   Résultat

   $$\ddot{\theta }(t)+\frac{g}{\ell }\sin \theta (t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 MPI 2023, Q17

    D'après la question Q16, l'équation différentielle exacte régissant le mouvement du pendule est :

    \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell}\sin\theta(t) = 0

    Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue le développement limité au premier ordre : \sin\theta \simeq \theta. L'équation différentielle se linéarise alors sous la forme :

    \ddot{\theta}(t) + \frac{g}{\ell}\,\theta(t) = 0

    Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

    \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}}

    La période propre des oscillations, notée T_0, est reliée à la pulsation propre par la relation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, d'où :

    \boxed{T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}}

    Résultat

    $$T_0=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question