Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2023 (page 2/2 : Parties II et III)

On étudie le point matériel M de masse m dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

On utilise la base polaire (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta) liée à la tige, représentée sur la figure 3 :

où \vec{u}_r = \cos\theta\,\vec{u}_x + \sin\theta\,\vec{u}_y et \vec{u}_\theta = -\sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y. L'axe vertical (Ox) étant orienté vers le bas dans le sens de \vec{g}, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{u}_x.

La vitesse et l'accélération de M s'écrivent :

Le système est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg(\cos\theta\,\vec{u}_r - \sin\theta\,\vec{u}_\theta) ;
• la tension (ou réaction) exercée par la tige rigide : \vec{T} = T_r\,\vec{u}_r (direction radiale, la tige étant sans masse et articulée en O sans frottement).

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant cette relation sur le vecteur unitaire orthoradial \vec{u}_\theta :

ce qui conduit immédiatement à l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q16, l'équation différentielle exacte régissant le mouvement du pendule est :

Dans le cadre de l'approximation des petits angles (\theta \ll 1\text{ rad}), on effectue le développement limité au premier ordre : \sin\theta \simeq \theta. L'équation différentielle se linéarise alors sous la forme :

Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

La période propre des oscillations, notée T_0, est reliée à la pulsation propre par la relation T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0}, d'où :

Le pendule simple constitué de la masse m est soumis à :

• son poids \vec{P} = m\vec{g}, force conservative dérivant de l'énergie potentielle E_p = -mgx = -mg\ell\cos\theta (en prenant l'origine en O) ;
• la tension de la tige \vec{T} = -T\vec{u}_r, qui ne travaille pas car orthogonale au déplacement à chaque instant (\vec{v} = \ell\dot{\theta}\vec{u}_\theta).

Le système étant conservatif, l'énergie mécanique E_m = E_c + E_p est constante au cours du temps :

D'après les conditions initiales, à t = 0, \theta(0) = \theta_0 et \dot{\theta}(0) = 0, soit E_m = -mg\ell\cos\theta_0. On en déduit :

D'où l'expression générale de la vitesse angulaire :

le signe dépendant du sens de parcours de la trajectoire oscillante.

Par conservation de l'énergie, les oscillations sont périodiques et symétriques. La durée mise par le pendule pour passer de la position d'équilibre \theta = 0 à l'angle maximal \theta = \theta_0 correspond à un quart de période T/4. Durant cette étape, \dot{\theta} > 0, donc :

En intégrant entre \theta = 0 et \theta = \theta_0 :

Or, d'après la question Q17, la période propre des petites oscillations est T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}, soit \sqrt{\ell/g} = \frac{T_0}{2\pi}. On obtient ainsi :

Soit la fonction f : \chi \mapsto 1 + \sqrt{\chi} définie sur l'intervalle [a, b] = [0, 9].

1. Principe de la méthode des rectangles médians avec 9 rectangles

On subdivise l'intervalle [0, 9] en N = 9 sous-intervalles de même largeur :

Les sous-intervalles sont ainsi [k, k+1] pour k \in \{0, \dots, 8\}.

Sur chaque intervalle [k, k+1], on approxime l'aire sous la courbe par celle d'un rectangle dont la hauteur est la valeur de la fonction prise en son milieu \chi_k^* = k + \frac{1}{2} :

2. Influence du doublement du nombre de rectangles

La méthode des rectangles médians est une méthode d'intégration numérique d'ordre 2 : pour une fonction suffisamment régulière, l'erreur globale \mathcal{E}(h) = |I - I_{\text{num}}| est proportionnelle au carré du pas de discrétisation :

Lorsque l'on double le nombre de rectangles (N \to 2N), le pas h est divisé par 2 (h \to h/2). Par conséquent :

L'intégrale complète de première espèce est définie par :

On identifie donc la fonction intégrande :

Pour la méthode des rectangles médians :

• L'intervalle d'intégration [a, b] = [0, \pi/2] est subdivisé en N = 100 sous-intervalles de largeur identique :

  \text{pas} = \frac{b - a}{N}

• Le i-ième sous-intervalle (pour i allant de 0 à N-1) est [a + i \times \text{pas},\, a + (i+1) \times \text{pas}]. Son point médian est :

  \phi_i = a + \left(i + \frac{1}{2}\right)\text{pas}

• L'accumulateur S est incrémenté à chaque itération par la valeur de la fonction en ce point médian :

  S \leftarrow S + f(x, \phi_i)

Le code complété s'écrit donc :

import math as m

def f(x, phi):
    return 1 / m.sqrt(1 - x * m.sin(phi)**2)

S = 0.
N = 100
a = 0.
b = m.pi/2.
pas = (b - a) / N
theta_0 = m.pi/3.
x = m.sin(theta_0)**2
for i in range(N):
    phi = a + (i + 0.5) * pas
    S = S + f(x, phi)

print(pas * S)

1. Évaluation de la période réelle T

Sur la figure 4, l'axe des ordonnées présente des graduations principales espacées de 0{,}1 subdivisées en 5 intervalles de pas 0{,}02. À l'abscisse \theta_0 = 50^\circ, située à mi-chemin entre 40^\circ et 60^\circ, la courbe se trouve à mi-hauteur entre 1{,}04 et 1{,}06, ce qui donne :

Comme T_0 = 1\text{ s}, on en déduit immédiatement :

2. Décalage temporel sur une durée d'une heure

Un chronomètre ou une horloge à balancier étalonné sous l'approximation des petits angles mesure le temps en comptant le nombre N d'oscillations et en lui attribuant la durée t_{\text{mes}} = N\,T_0.

Pour mesurer une durée affichée d'une heure, soit t_{\text{mes}} = 1\text{ h} = 3600\text{ s}, l'horloge compte :

Le temps réel effectivement écoulé pendant ces 3600 oscillations vaut :

Le décalage temporel \Delta t induit par l'approximation des petits angles est donc :

L'horloge a une période réelle plus longue que sa période théorique : elle prend donc un retard de 3 minutes par heure de fonctionnement (soit un retard d'environ 1 heure et 12 minutes par tranche de 24 heures).

Une cycloïde (ou cycloïde droite) est géométriquement la courbe décrite par un point solidaire de la circonférence d'un cercle qui roule sans glisser sur une ligne droite.

Dans la vie courante, on la rencontre donc typiquement comme la trajectoire :

par exemple la valve de la roue d'une bicyclette, un catadioptre fixé sur la jante, ou un caillou coincé dans la bande de roulement d'un pneu de voiture en mouvement rectiligne.

Le résultat erroné de Lord Kelvin (environ 65 millions d'années contre un âge réel d'environ 4,55 milliards d'années) s'explique principalement par deux omissions physiques majeures dans son modèle de refroidissement purement conductif d'un solide inerte :

• L'absence de sources de chaleur internes : Kelvin ignorait l'existence de la radioactivité naturelle (découverte à la fin du XIXe siècle par Becquerel et les époux Curie). La désintégration d'isotopes radioactifs (principalement ^{238}\mathrm{U}, ^{235}\mathrm{U}, ^{232}\mathrm{Th} et ^{40}\mathrm{K}) présents dans le manteau et la croûte terrestre constitue une source permanente et volumique d'énergie thermique qui compense en grande partie les pertes par diffusion vers l'espace.
• Le mode de transfert thermique (convection mantellique) : Kelvin a supposé que la Terre se refroidissait uniquement par conduction à travers toute son épaisseur. Or, aux échelles de temps géologiques, le manteau terrestre ductile est le siège de mouvements de convection. Ce transport convectif brasse efficacement la chaleur interne et modifie radicalement le profil thermique en confinant le gradient de température conductif à une couche limite thermique superficielle (la lithosphère).

1. Définition et dimension du vecteur densité de flux thermique

Le vecteur densité de flux thermique (ou densité de courant thermique) \vec{j}_Q caractérise localement le transfert d'énergie thermique par conduction. Le transfert thermique élémentaire \delta Q (noté \delta\phi_Q dans l'énoncé) traversant un élément de surface orienté \mathrm{d}\vec{S} = \vec{n}\,\mathrm{d}S pendant une durée \mathrm{d}t s'exprime par :

Le flux thermique surfacique correspond ainsi à une puissance par unité de surface :

2. Loi de Fourier et conditions d'application

La loi phénoménologique de Fourier relie le vecteur densité de flux thermique au gradient local de température :

où \kappa désigne la conductivité thermique du milieu.

Ses conditions d'application sont :

• un milieu matériel continu au repos macroscopique (le transfert s'effectue uniquement par conduction, sans convection) ;
• un milieu isotrope (la conductivité thermique \kappa est alors un scalaire) ;
• un régime de réponse linéaire, valable pour de faibles gradients de température.

3. Dimension de la conductivité thermique \kappa

D'après la loi de Fourier, la dimension de \kappa s'obtient par analyse dimensionnelle :

1. Énergie thermique reçue par la tranche :

La tranche de sol est délimitée par les plans de cotes y et y+\mathrm{d}y, de section transverse \mathcal{S}. Le flux thermique entrant algébriquement selon les y croissants est \Phi(y,t) = j_Q(y,t)\,\mathcal{S}. Entre les instants t et t+\mathrm{d}t, l'énergie thermique nette reçue à travers les deux frontières vaut :

2. Justification de l'échelle mésoscopique :

On étudie une tranche « mésoscopique » pour que ses dimensions soient :

• très grandes devant les distances interatomiques et le libre parcours moyen des porteurs de chaleur, de sorte que le milieu puisse être traité comme un milieu continu où la température et les grandeurs thermodynamiques ont un sens statistique moyen ;
• très petites devant les échelles spatiales macroscopiques de variation des champs physiques, ce qui permet de considérer la température comme localement uniforme dans la tranche et de développer les flux au premier ordre en \mathrm{d}y.

3. Expressions de la variation d'énergie interne :

D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué à la tranche indéformable, sans travail mécanique ni source interne de chaleur :

Par ailleurs, pour cette phase condensée indéformable de masse \mathrm{d}m = \rho\,\mathcal{S}\,\mathrm{d}y et de capacité thermique massique c, la variation d'énergie interne s'écrit également :

4. Équation de la chaleur et coefficient de diffusion :

En égalant les deux expressions de \mathrm{d}U, on obtient :

D'après la loi de Fourier unidimensionnelle, j_Q(y,t) = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y}. En supposant la conductivité thermique \kappa indépendante de y, il vient :

On en déduit l'équation de la chaleur à une dimension :

où le coefficient de diffusion thermique (ou diffusivité thermique) D est défini par :

La dimension de D est :

5. Longueur caractéristique de diffusion :

Par analyse dimensionnelle, ou en estimant les ordres de grandeur des dérivées dans l'équation de la chaleur (\frac{\Delta T}{t} \sim D\,\frac{\Delta T}{L^2}), on trouve L^2 \sim D\,t, d'où la longueur caractéristique de diffusion :

La température adimensionnée est définie par :

Les températures T_0 et T_1 étant constantes avec T_0 \neq T_1, les dérivées partielles s'écrivent :

En reportant ces expressions dans l'équation de la chaleur établie en Q25, \frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}, on obtient après simplification par (T_0 - T_1) :

La variable adimensionnée \theta(y,t) vérifie donc la même équation de diffusion que T(y,t).

Déterminons à présent les valeurs aux limites :

• Condition initiale (y > 0, t = 0) : à l'instant initial, le milieu est uniformément à la température T_1, soit T(y > 0, 0) = T_1 :

  \boxed{\theta(y > 0, t = 0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0}

• Condition à la surface (y = 0, t > 0) : la surface est maintenue à la température constante T_0, soit T(0, t > 0) = T_0 :

  \boxed{\theta(y = 0, t > 0) = \frac{T_0 - T_1}{T_0 - T_1} = 1}

• Condition à l'infini (y \to +\infty, t > 0) : à distance infinie de la perturbation thermique de surface, la température reste inchangée à sa valeur initiale, soit \lim_{y \to +\infty} T(y, t > 0) = T_1 :

  \boxed{\theta(y \to +\infty, t > 0) = \frac{T_1 - T_1}{T_0 - T_1} = 0}

La variable de similarité s'écrit :

Ses dérivées partielles par rapport à t et à y sont :

Puisque \theta ne dépend que de \eta, on applique la règle de dérivation composée :

De même, pour les dérivées par rapport à y :

En reportant ces dérivées dans l'équation de diffusion vérifiée par \theta (établie à la question Q26) :

Pour t > 0, en multipliant par 4t et en regroupant les termes du même côté, on obtient :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q27, la fonction \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta(\eta)}{\mathrm{d}\eta} vérifie :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients variables, dont la solution générale s'écrit :

où A est une constante réelle d'intégration. En intégrant entre 0 et \eta, on obtient :

soit :

D'après la question Q26, les conditions aux limites pour t > 0 sont :

• en surface (y = 0, soit \eta = 0) : \theta(0) = 1 ;
• à l'infini (y \to +\infty, soit \eta \to +\infty) : \lim_{\eta \to +\infty}\theta(\eta) = 0.

La première condition impose directement \theta(0) = 1. La seconde condition donne alors :

L'énoncé donne \int_0^{+\infty} e^{-z^2}\,\mathrm{d}z = \frac{\sqrt{\pi}}{2}, d'où :

On en déduit l'expression de \theta(\eta) :

D'après la définition de la température adimensionnée introduite en Q26 :

En remplaçant \theta(\eta) par son expression avec \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}}, on obtient :

soit, sous forme factorisée :

L'équation différentielle régissant la température adimensionnée \theta en fonction de la variable autosimilaire \eta est (question Q27) :

En posant \varphi(\eta) = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}\eta}, l'équation se réécrit \frac{\mathrm{d}\varphi}{\varphi} = -2\eta\,\mathrm{d}\eta, ce qui conduit par intégration à :

où C_1 est une constante réelle. Une nouvelle intégration fournit la forme générale de \theta(\eta) :

où A = \frac{\sqrt{\pi}}{2} C_1 et B = C_2 sont deux constantes d'intégration, en utilisant la définition :

Dans cette partie III.B, la température adimensionnée est définie pour la croûte solide 0 \leqslant y \leqslant y_s(t) par :

Les conditions aux limites se traduisent pour la variable \eta = \frac{y}{2\sqrt{Dt}} :

• À la surface extérieure y = 0, soit \eta = 0, la température est imposée à T_0 :

  \theta(0) = \frac{T_0 - T_0}{T_f - T_0} = 0

  Comme \operatorname{erf}(0) = 0, il vient immédiatement B = 0.

• Au front de solidification y = y_s(t), soit \eta_s = \lambda, la température est la température de fusion T_f :

  \theta(\lambda) = \frac{T_f - T_0}{T_f - T_0} = 1

  D'où A \operatorname{erf}(\lambda) = 1, soit A = \frac{1}{\operatorname{erf}(\lambda)}.

On en déduit l'expression de \theta(\eta) :

Considérons la tranche de lave d'épaisseur \mathrm{d}y_s et de surface S qui se solidifie entre les instants t et t+\mathrm{d}t. Son volume est :

La masse de lave subissant la transition de phase liquide \to solide est donc :

La solidification étant la transformation inverse de la fusion, l'enthalpie massique de solidification vérifie :

Cette transformation est exothermique : le système cède à l'extérieur un transfert thermique \delta Q_{\text{reçu}} = \mathrm{d}m\,\Delta h_{\mathrm{liq}\to\mathrm{sol}}(T_f) < 0.

L'énergie thermique \delta Q libérée (donc comptée positivement) par la solidification de cette tranche s'écrit ainsi :

Considérons l'interface de solidification située en y = y_s(t) à l'instant t.

• D'après la question Q30, la solidification d'une épaisseur \mathrm{d}y_s pendant la durée \mathrm{d}t libère l'énergie thermique :

  \delta Q = \rho \, S \, \Delta h_{\mathrm{sol}\to\mathrm{liq}}(T_f) \, \mathrm{d}y_s
• La lave en fusion (y > y_s) étant à température uniforme T_f, le gradient thermique y est nul : aucun flux d'énergie ne se propage vers le liquide.

• Dans la lave solide (y \leqslant y_s), la loi de Fourier donne le vecteur densité de flux thermique :

  \vec{j}_Q = -\kappa \frac{\partial T}{\partial y} \, \vec{u}_y

  Puisque T_0 < T_f, la température augmente avec la profondeur, soit \left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)_{y=y_s} > 0. Le flux s'évacue donc vers le haut, c'est-à-dire dans le sens de -\vec{u}_y.

L'énergie thermique évacuée par diffusion vers la lave solide à travers la surface S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

La conservation de l'énergie à l'interface impose \delta Q = \delta Q_{\text{évac}}, ce qui donne :

En divisant par S \, \mathrm{d}t, on obtient la condition de Stefan à l'interface :

Par définition de la constante \lambda, la position de l'interface de solidification s'écrit :

Sa vitesse de progression est donc :

D'après la question Q29, la température dans la croûte solide (0 \leqslant y \leqslant y_s(t)) est donnée par :

On en déduit le gradient spatial de température :

Sachant que \operatorname{erf}(\eta) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^\eta e^{-z^2}\,\mathrm{d}z, sa dérivée par rapport à \eta vaut \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-\eta^2}. Au niveau de l'interface (y = y_s \iff \eta = \lambda), le gradient de température s'écrit :

En reportant ces deux expressions dans la condition de Stefan établie à la question Q31 :

Le facteur temporel \sqrt{t} se simplifie (ce qui confirme l'autosimilarité de la solution). De plus, d'après la question Q25, la conductivité s'exprime par \kappa = \rho c D, d'où :

En simplifiant par \rho\sqrt{D} puis en isolant le terme dépendant de \lambda, on obtient la relation demandée :

La détermination de la constante \lambda revient à résoudre numériquement une équation non linéaire de la forme :

On peut utiliser l'un des algorithmes classiques suivants :

1. La méthode de dichotomie (ou bissection)

• Initialisation : on choisit un intervalle [a, b] sur lequel la fonction continue F change de signe, soit F(a) \cdot F(b) < 0 (d'après le théorème des valeurs intermédiaires, F s'annule au moins une fois sur [a, b] ; l'unicité est garantie par la stricte décroissance de \lambda \mapsto \frac{\exp(-\lambda^2)}{\lambda \operatorname{erf}(\lambda)}).

• Itération : à chaque étape, on calcule le milieu de l'intervalle m = \frac{a+b}{2}.

  • Si F(a) \cdot F(m) \leqslant 0, la racine se situe dans la moitié gauche, on pose b = m.
  • Sinon, elle se situe dans la moitié droite, on pose a = m.
• Arrêt : l'algorithme s'arrête dès que la largeur de l'intervalle b - a \leqslant \varepsilon, où \varepsilon est la précision souhaitée. L'approximation de \lambda est alors donnée par m.

2. Autre algorithme possible : la méthode de Newton-Raphson Partant d'une valeur initiale \lambda_0 > 0, on génère la suite :

qui offre une convergence d'ordre 2 (quadratique) vers la racine, avec un critère d'arrêt portant sur |\lambda_{k+1} - \lambda_k| < \varepsilon ou |F(\lambda_k)| < \varepsilon.

1. Estimation numérique de \lambda

D'après la question Q32, le paramètre \lambda vérifie :

Avec les données fournies :

Sur la figure 7, pour une ordonnée de 0{,}71, on lit en abscisse :

(une valeur comprise entre 0{,}84 et 0{,}88 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

2. Épaisseur de la croûte six mois après l'éruption

Une durée de six mois correspond à :

La longueur caractéristique de diffusion associée est :

L'épaisseur de la croûte solide est alors donnée par y_s(t) = 2\lambda\sqrt{Dt} :

3. Comparaison avec les données expérimentales de la figure 8

Sur la figure 8, à l'abscisse t = 0{,}5\text{ yr} (six mois) :

• la courbe théorique tracée indique une épaisseur y_m \approx 5{,}7\text{ m} ;
• les points de mesure expérimentaux (notamment ceux du cratère de Makaopuhi \circ et de Kilauea Iki \Box) sont resserrés autour de cette valeur, entre 5{,}5\text{ m} et 6{,}0\text{ m}.

Le modèle de diffusion thermique avec transition de phase (problème de Stefan autosimilaire) reproduit donc remarquablement bien la cinétique de solidification observée in situ.