Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie MP 2024 (page 2/3 : Parties III et IV)

On étudie la jambe gauche (j_{\mathrm{g}}) dans le référentiel lié au buste, supposé galiléen selon l'énoncé. Dans ce référentiel, la jambe (j_{\mathrm{g}}) est en rotation autour de l'axe fixe passant par le pivot fémoral F_{\mathrm{g}} et parallèle à l'axe y.

D'après la figure 7b, la jambe est suspendue en F_{\mathrm{g}} et son orientation est repérée par l'angle \theta(t) par rapport à la verticale descendante, orienté dans le sens de la marche (vers les x croissants).

Le moment cinétique de (j_{\mathrm{g}}) par rapport à l'axe de rotation s'écrit :

Bilan des actions mécaniques extérieures appliquées à (j_{\mathrm{g}}) pendant cette phase où elle a quitté le sol :

• L'action de la liaison pivot en F_{\mathrm{g}}, supposée parfaite (sans frottement), dont le moment par rapport à l'axe de rotation est nul :

  \mathcal{M}_\Delta(\vec{R}_{F_{\mathrm{g}}}) = 0
• Le poids \vec{P} = m_{\mathrm{j}}\vec{g} = -m_{\mathrm{j}}g\,\vec{u}_z, appliqué en son centre de masse G_{\mathrm{jg}}, situé à la distance F_{\mathrm{g}}G_{\mathrm{jg}} = \Delta du pivot.

Le vecteur position du centre de masse par rapport à F_{\mathrm{g}} s'écrit :

Le moment du poids par rapport au point F_{\mathrm{g}} est donc :

L'axe de rotation étant orienté dans le sens des \theta croissants par le vecteur unitaire -\vec{u}_y (la rotation de -\vec{u}_z vers \vec{u}_x s'effectuant autour de -\vec{u}_y), le moment scalaire du poids par rapport à l'axe de rotation est un moment de rappel :

Le théorème du moment cinétique appliqué à (j_{\mathrm{g}}) par rapport à l'axe fixe (F_{\mathrm{g}}y) donne :

On obtient ainsi l'équation différentielle régissant l'oscillation :

1. Des oscillations sont dites isochrones si leur période (ou leur fréquence/pulsation) est indépendante de l'amplitude du mouvement.

2. D'après l'équation différentielle établie à la question précédente :

   \ddot{\theta}(t) + \frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta}{J_F}\sin\theta(t) = 0

   Dans l'approximation des petits angles, on effectue le développement limité au premier ordre \sin\theta(t) \simeq \theta(t), ce qui conduit à :

   \ddot{\theta}(t) + \frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta}{J_F}\theta(t) = 0

   Cette équation est linéaire : il s'agit de l'équation différentielle régissant un oscillateur harmonique. La période propre des oscillations ne dépend alors que des caractéristiques inertielles et géométriques du système, et non de l'angle maximal \theta_{\mathrm{a}}. Dans cette approximation, le mouvement de (j_{\mathrm{g}}) est donc isochrone.

3. Par identification avec la forme canonique de l'oscillateur harmonique \ddot{\theta}(t) + \omega_{\mathrm{os}}^2\theta(t) = 0, on identifie la pulsation propre :

   \boxed{\omega_{\mathrm{os}} = \sqrt{\frac{m_{\mathrm{j}}g\Delta}{J_F}}}

   La phase d'oscillation de la jambe gauche débute à la position arrière -\theta_{\mathrm{a}} et se termine à la position symétrique avant +\theta_{\mathrm{a}} lors de la reprise d'appui au sol (figure 7b). Ce balancement d'une position extrême à l'autre représente une demi-oscillation, soit une demi-période T_0/2 :

   \tau_{\mathrm{os}} = \frac{T_0}{2} = \frac{\pi}{\omega_{\mathrm{os}}}

   D'où l'expression de la durée d'oscillation :

   \boxed{\tau_{\mathrm{os}} = \pi \sqrt{\frac{J_F}{m_{\mathrm{j}}g\Delta}}}

L'énergie mécanique du système (\Sigma) = \{(j_{\mathrm{d}}), (j_{\mathrm{g}}), (b)\} s'écrit comme la somme des énergies mécaniques du buste (b) et des deux jambes (j_{\mathrm{d}}) et (j_{\mathrm{g}}) :

1. Variation de l'énergie potentielle de pesanteur :

• Selon la deuxième hypothèse, les variations d'énergie potentielle de pesanteur des jambes (j_{\mathrm{d}}) et (j_{\mathrm{g}}) sont négligées :

  \Delta E_{p,\mathrm{pes}}(j_{\mathrm{d}}) \approx 0 \quad \text{et} \quad \Delta E_{p,\mathrm{pes}}(j_{\mathrm{g}}) \approx 0

• Le buste de masse m_b voit son centre de masse G_b s'élever d'une hauteur h = z_{G_b}(\tau_{\mathrm{dc}}) - z_{G_b}(0), d'où :

  \Delta E_{p,\mathrm{pes}}(b) = m_b g h

On en déduit :

2. Variation de l'énergie cinétique :

• Le buste est animé d'un mouvement de translation quasi-uniforme à la vitesse \vec{V}_{\mathrm{dc}} (première hypothèse), sa vitesse est donc constante et :

  \Delta E_c(b) = 0

• La jambe droite (j_{\mathrm{d}}) effectue une rotation autour de l'axe fixe O_{\mathrm{d}}y de moment d'inertie J_O. Son énergie cinétique à la date t est :

  E_c(j_{\mathrm{d}})(t) = \frac{1}{2} J_O \Omega^2(t)

  Sachant qu'à t = 0, \Omega(0) = 0, la variation d'énergie cinétique de la jambe droite vaut :

  \Delta E_c(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega^2(\tau_{\mathrm{dc}})

• Selon la troisième hypothèse, les variations d'énergie cinétique des deux jambes sont supposées égales :

  \Delta E_c(j_{\mathrm{g}}) = \Delta E_c(j_{\mathrm{d}}) = \frac{1}{2} J_O \Omega^2(\tau_{\mathrm{dc}})

La variation d'énergie cinétique totale du système est donc :

En sommant les deux contributions, on obtient la variation d'énergie mécanique de (\Sigma) :

La relation d'évaluation de la puissance musculaire découle du théorème de l'énergie mécanique (ou sous sa forme instantanée, du théorème de la puissance mécanique) appliqué au système matériel (\Sigma) déformable dans le référentiel terrestre supposé galiléen :

« Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie mécanique \Delta\mathcal{E} d'un système matériel entre deux instants est égale à la somme des travaux des forces extérieures non conservatives et des forces intérieures non conservatives développés pendant cette durée :

\Delta\mathcal{E} = W_{\text{ext, nc}} + W_{\text{int, nc}}

ou, sous forme locale en temps :

\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t} = \mathscr{P}_{\text{ext, nc}} + \mathscr{P}_{\text{int, nc}}

 »

Pour le marcheur (\Sigma) au cours de la phase de double contact :

• les forces extérieures appliquées sont le poids (force conservative, dont l'effet est déjà inclus dans l'énergie potentielle de pesanteur) et les réactions des appuis au sol en O_{\mathrm{d}} et O_{\mathrm{g}}, qui ne travaillent pas dans l'hypothèse d'un contact sans glissement (W_{\text{ext, nc}} = 0) ;
• les seules forces non conservatives qui travaillent sont les actions motrices développées par les muscles, qui constituent des actions intérieures au système (\Sigma) déformable : \mathscr{P}_{\text{int, nc}} = \mathscr{P}.

Ainsi, \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}}{\mathrm{d}t} = \mathscr{P}. En intégrant sur la durée \tau_{\mathrm{dc}} de la phase de double contact et en supposant la puissance \mathscr{P} quasi-constante :

D'après la question Q20, la variation d'énergie mécanique du système au cours de la phase de double contact s'écrit :

Sous la condition de marche \Omega(\tau_{\mathrm{dc}}) = \omega_{\mathrm{os}}, et en utilisant l'expression de \omega_{\mathrm{os}} issue de la question Q19.c :

le terme cinétique devient :

En introduisant l'approximation géométrique h \simeq \dfrac{p^2}{2l_j}, la variation d'énergie mécanique s'écrit donc :

D'après la question Q21 et les hypothèses de la partie III.2, la durée de la phase de double contact est reliée à la vitesse moyenne horizontale V_{\mathrm{dc}} par :

On en déduit l'expression de la puissance musculaire moyenne \mathscr{P} = \dfrac{\Delta\mathcal{E}}{\tau_{\mathrm{dc}}} :

On obtient bien la relation attendue :

D'après l'expression établie à la question Q22, la puissance \mathscr{P} s'écrit en fonction du pas p sous la forme :

À vitesse moyenne de marche V_{\mathrm{dc}} fixée, la fonction \mathscr{P}(p) est dérivable sur ]0, +\infty[ et sa dérivée par rapport à p vaut :

La condition d'extremum \dfrac{\mathrm{d}\mathscr{P}}{\mathrm{d}p} = 0 conduit à :

Comme une longueur de pas est nécessairement positive, on en déduit l'unique valeur stationnaire :

La dérivée seconde est strictement positive pour tout p > 0 :

La puissance musculaire \mathscr{P} admet donc bien un minimum strict en p = p_{\mathrm{opt}}.

D'après le résultat de la question Q23, le pas optimal s'exprime par :

Dans le cas d'une jambe de masse uniformément répartie, on a \Delta = \frac{l_{\mathrm{j}}}{2} et J_O = J_F, ce qui simplifie l'expression :

Avec l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m}, m_{\mathrm{j}} = 10\text{ kg} et m_{\mathrm{b}} = 60\text{ kg}, on obtient :

a) Paramètres modifiés et inchangés

L'échasse est modélisée par une tige de masse négligeable, fixée sous la jambe :

• Paramètres inchangés :

  • La masse du buste m_{\mathrm{b}} : elle n'est pas modifiée.
  • La masse de la jambe m_{\mathrm{j}} : la masse de l'échasse étant négligeable, la masse totale de la jambe équipée reste égale à m_{\mathrm{j}}.
  • La distance \Delta = F_{\mathrm{d}}G_{\mathrm{jd}} : la masse de l'échasse étant négligée, le centre de masse G_{\mathrm{j}} conserve la même position relative par rapport au pivot fémoral F.
  • Le moment d'inertie J_F par rapport à l'axe passant par le pivot fémoral F : l'échasse étant de masse négligeable, elle n'apporte aucune contribution inertielle supplémentaire autour de F_y.

• Paramètres modifiés :

  • La longueur de la jambe en appui au sol : elle devient la longueur de la « jambe équivalente » :

    l_{\mathrm{j}} \longrightarrow l_{\mathrm{j}} + l^*

  • Le moment d'inertie de la jambe par rapport à l'axe de rotation au sol (point de contact E) : la jambe étant surélevée d'une hauteur l^* par rapport au sol, la distribution de masse s'éloigne de l'axe de rotation :

    J_O \longrightarrow J_E^*

b) Expression de p_{\text{opt}}^* et du rapport \dfrac{p_{\text{opt}}^*}{p_{\text{opt}}}

En substituant les grandeurs modifiées dans l'expression de p_{\text{opt}} obtenue en Q23, on obtient :

On en déduit le rapport :

a) D'après le tableau 1, pour une jambe à répartition uniforme de masse :

Le rapport des moments d'inertie au point de contact avec le sol s'écrit donc :

En reportant cette expression dans la relation établie en Q25.b :

b) Pour un berger avec l_{\mathrm{j}} = 1\text{ m} et des échasses de longueur l^* = 1\text{ m}, le rapport sans dimension vaut \frac{l^*}{l_{\mathrm{j}}} = 1. Il vient :

c) La durée de la phase d'oscillation autour de l'axe fémoral s'écrit, d'après Q19.c :

L'échasse étant modélisée comme une tige de masse négligeable :

• la masse du membre inférieur reste m_{\mathrm{j}} ;
• la position du centre de masse G_{\mathrm{j}} n'est pas modifiée, d'où \Delta^* = \Delta ;
• le moment d'inertie par rapport à l'axe passant par le pivot fémoral n'est pas modifié : J_F^* = J_F.

Par conséquent, la pulsation \omega_{\mathrm{os}} ainsi que la durée de la phase oscillante \tau_{\mathrm{os}} ne sont pas changées avec les échasses :

d) La vitesse moyenne horizontale étant proportionnelle à p_{\mathrm{opt}} et à \omega_{\mathrm{os}} (V \propto p_{\mathrm{opt}}\,\omega_{\mathrm{os}}), et comme \omega_{\mathrm{os}}^* = \omega_{\mathrm{os}}, on obtient :

Commentaire : La vitesse moyenne de marche du berger est multipliée par un facteur de l'ordre de 3{,}7 par rapport à la marche ordinaire, tout en conservant une dépense énergétique musculaire optimisée. Les échasses permettent ainsi de parcourir de bien plus grandes distances en un temps réduit et sans fatigue excessive à travers la lande marécageuse, ce qui justifie pleinement le qualificatif de « marche à pied augmentée ».

La réaction (1) s'écrit :

En assimilant les activités des espèces en solution aqueuse à leurs concentrations adimensionnées (a_{\mathrm{X}} = [\mathrm{X}]/C^\circ avec C^\circ = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}), celle de l'eau liquide (solvant) à 1, et celle du dioxyde de carbone gazeux à sa pression partielle adimensionnée (a_{\mathrm{CO_2(g)}} = P_{\mathrm{CO_2}}/P^\circ avec P^\circ = 1\text{ bar}), la constante thermodynamique d'équilibre de la réaction (1) s'écrit :

Cette réaction peut être décomposée selon les trois équilibres suivants :

• Déprotonation de l'ion dihydrogénodiphosphate :

  \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}} + \mathrm{H_2O} \rightleftarrows \mathrm{HP_2O_7^{3-}} + \mathrm{H_3O^+} \quad ; \quad K_1^\circ = K_{a1} = \frac{a(\mathrm{HP_2O_7^{3-}})\,a(\mathrm{H_3O^+})}{a(\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}})}

• Protonation de l'ion hydrogénocarbonate (réaction inverse de l'acidité de \mathrm{CO_{2,aq}}) :

  \mathrm{HCO_3^-} + \mathrm{H_3O^+} \rightleftarrows \mathrm{CO_{2,aqueux}} + 2\,\mathrm{H_2O} \quad ; \quad K_2^\circ = \frac{1}{K_{a3}} = \frac{a(\mathrm{CO_{2,aqueux}})}{a(\mathrm{HCO_3^-})\,a(\mathrm{H_3O^+})}

• Dégazage du dioxyde de carbone dissous (réaction inverse de la dissolution de Henry) :

  \mathrm{CO_{2,aqueux}} \rightleftarrows \mathrm{CO_2(g)} \quad ; \quad K_3^\circ = \frac{1}{K_s} = \frac{a(\mathrm{CO_2(g)})}{a(\mathrm{CO_{2,aqueux}})}

La réaction (1) étant la somme membre à membre de ces trois équilibres, sa constante d'équilibre vaut le produit de leurs constantes :

Application numérique à 25~^\circ\text{C} : Avec \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7, \mathrm{p}K_{a3} = 6{,}3 et K_s = 2{,}8 \cdot 10^{-2} :

D'après les masses molaires atomiques fournies :

D'après l'équation de la réaction (1) :

les nombres stœchiométriques des réactifs sont égaux à 1. Les réactifs sont donc introduits dans les proportions stœchiométriques si :

Le sachet de 15\text{ g} contenant 4\text{ g} d'amidon inerte, la masse cumulée des deux réactifs vaut :

En remplaçant m_d = m_b \frac{M_d}{M_b} dans la relation précédente, on obtient :

et symétriquement :

Applications numériques :

(ou m_d = 7{,}98\text{ g} et m_b = 3{,}02\text{ g} en conservant trois chiffres significatifs).

D'après l'équation bilan de la réaction (1) :

les réactifs sont introduits dans les proportions stœchiométriques (d'après la question Q28). La réaction étant supposée totale lors de la cuisson, la quantité de dioxyde de carbone gazeux libérée est égale à la quantité initiale de chacun des réactifs :

En assimilant le dioxyde de carbone à un gaz parfait, son volume V(\mathrm{CO_2}) s'exprime selon :

Application numérique :

• T = 170 + 273 = 443\text{ K} ;
• P = 1\text{ bar} = 1{,}0 \cdot 10^5\text{ Pa} ;
• R = 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• n(\mathrm{CO_2}) = \frac{11}{306}\text{ mol} \approx 3{,}595 \cdot 10^{-2}\text{ mol}.

a) Attribution des espèces aux différentes courbes :

• Courbe 4 : droite de pente -1 passant par le point (0,0). Elle correspond à :

  \log\left(\frac{[\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+]}{c^\circ}\right) = -\mathrm{pH}

  Il s'agit donc de l'espèce \mathbf{H_3O^+}.

• Courbe 5 : droite de pente +1 passant par le point (14,0). D'après le produit ionique de l'eau K_e = [\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+][\mathrm{OH}^-]/c^{\circ 2} = 10^{-14} à 25~^\circ\mathrm{C}, on a :

  \log\left(\frac{[\mathrm{OH}^-]}{c^\circ}\right) = \mathrm{pH} - 14

  Il s'agit donc de l'espèce \mathbf{OH^-}.

• Courbes 1, 2 et 3 : elles correspondent aux trois espèces dérivées du diphosphate, successives selon l'acidité du milieu :

  • À \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7, la forme la plus protonée est prédominante : la courbe 1 correspond à \mathbf{H_2P_2O_7^{2-}}.
  • Pour \mathrm{p}K_{a1} < \mathrm{pH} < \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, l'ampholyte est prédominant : la courbe 2 correspond à \mathbf{HP_2O_7^{3-}}.
  • À \mathrm{pH} > \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3, la forme la plus déprotonée est prédominante : la courbe 3 correspond à \mathbf{P_2O_7^{4-}}.

b) Détermination de la concentration totale C_p :

Sur les domaines de prédominance exclusive (par exemple à \mathrm{pH} \le 4 pour \mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}, ou à \mathrm{pH} \ge 12 pour \mathrm{P_2O_7^{4-}}), la concentration de l'espèce prédominante tend vers la concentration totale C_p. Le tracé présente alors un plateau horizontal d'ordonnée :

On en déduit :

Remarque : cette valeur est en parfait accord avec la quantité introduite en Q31, où n_d \approx 3{,}60\cdot 10^{-2}\text{ mol} dans un volume de 100\text{ mL} donne C_p = \frac{n_d}{V} = 0{,}36\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

c) Signification théorique des points P et Q :

• Le point \mathrm{P} est le point d'intersection des courbes 1 (\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}) et 2 (\mathrm{HP_2O_7^{3-}}). À cette intersection, les concentrations de l'acide et de sa base conjuguée sont égales :

  [\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}] = [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]

  D'après la relation d'Henderson-Hasselbalch :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a1} + \log\left(\frac{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}{[\mathrm{H_2P_2O_7^{2-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a1}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{P} est donc égale à :

  \boxed{\mathrm{pH_P} = \mathrm{p}K_{a1} = 6{,}7}

• Le point \mathrm{Q} est le point d'intersection des courbes 2 (\mathrm{HP_2O_7^{3-}}) et 3 (\mathrm{P_2O_7^{4-}}). À cette intersection :

  [\mathrm{HP_2O_7^{3-}}] = [\mathrm{P_2O_7^{4-}}]

  On en déduit de même :

  \mathrm{pH} = \mathrm{p}K_{a2} + \log\left(\frac{[\mathrm{P_2O_7^{4-}}]}{[\mathrm{HP_2O_7^{3-}}]}\right) = \mathrm{p}K_{a2}

  L'abscisse théorique du point \mathrm{Q} est donc égale à :

  \boxed{\mathrm{pH_Q} = \mathrm{p}K_{a2} = 9{,}3}

Après cuisson et réaction (1) totale avec dégazage complet de \mathrm{CO}_2, les ions \mathrm{H}_2\mathrm{P}_2\mathrm{O}_7^{2-} et \mathrm{HCO}_3^- introduits en proportions stœchiométriques ont été intégralement consommés. L'espèce phosphorée issue de cette réaction est l'ampholyte \mathrm{HP}_2\mathrm{O}_7^{3-}, à la concentration globale C_p \approx 0{,}36\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}.

L'équilibre régissant la composition de la solution est :

Partant de \mathrm{HP}_2\mathrm{O}_7^{3-} seul, la stœchiométrie de cet équilibre impose l'égalité des concentrations des espèces formées :

Sur la figure 8, cette condition correspond à l'intersection entre :

• la courbe 1 représentant \log\left[\mathrm{H}_2\mathrm{P}_2\mathrm{O}_7^{2-}\right] ;
• la courbe 3 représentant \log\left[\mathrm{P}_2\mathrm{O}_7^{4-}\right].

On lit directement à l'intersection des courbes 1 et 3 :