Feuille d'entraînement : Magnétostatique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie MPI 2026, Q31

   Par définition, une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur champ magnétique \vec{B}. Le déplacement élémentaire le long de la ligne s'écrit en coordonnées sphériques :

   \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}r\,\vec{u}_r + r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{u}_\theta + r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\vec{u}_\varphi

   La condition de colinéarité \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B} = \vec{0} se traduit par :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} = \frac{r\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi}{B_\varphi}

   Puisque B_\varphi = 0 (d'après la question Q30), on a \mathrm{d}\varphi = 0 : les lignes de champ sont planes et contenues dans les plans méridiens (\varphi = \text{cte}).

   Dans un plan méridien, l'équation différentielle s'écrit :

   \frac{\mathrm{d}r}{B_r} = \frac{r\,\mathrm{d}\theta}{B_\theta} \iff \frac{\mathrm{d}r}{r} = \frac{B_r}{B_\theta}\,\mathrm{d}\theta

   En injectant les composantes établies en Q30 :

   \begin{aligned} \frac{B_r}{B_\theta} &= \frac{-\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta}{-\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3}\sin\theta} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \end{aligned}

   On obtient :

   \frac{\mathrm{d}r}{r} = 2\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\,\mathrm{d}\theta = 2\,\frac{\mathrm{d}(\sin\theta)}{\sin\theta}

   En intégrant entre un point quelconque (r,\theta) et l'équateur (\theta = \pi/2) où le rayon atteint sa valeur maximale notée r_0 :

   \begin{aligned} \ln\left(\frac{r}{r_0}\right) &= 2\ln(\sin\theta) = \ln(\sin^2\theta) \end{aligned}

   D'où l'équation de la ligne de champ :

   \boxed{r(\theta) = r_0\sin^2\theta}

   où r_0 est une constante d'intégration représentant la distance au centre à l'équateur (\theta = \pi/2).

   Orientation et tracé D'après les expressions de Q30 :

   • Au pôle Nord géographique (\theta = 0) : \vec{u}_r = \vec{u}_z, et B_r = -\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} < 0. Le champ est dirigé vers le centre de la Terre (il entre dans la Terre).
   • Au pôle Sud géographique (\theta = \pi) : \vec{u}_r = -\vec{u}_z, et B_r = +\dfrac{\mu_0 m}{2\pi r^3} > 0. Le champ est centrifuge (il sort de la Terre).
   • À l'équateur (\theta = \pi/2) : B_r = 0 et B_\theta = -\dfrac{\mu_0 m}{4\pi r^3} < 0. Comme \vec{u}_\theta est orienté du Nord vers le Sud, le champ est dirigé vers le Nord.

   Les lignes de champ sortent ainsi de l'hémisphère Sud et rentrent dans l'hémisphère Nord.

   Résultat

   $$r(\theta )=r_0{\sin }^2\theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q1

   La distribution de courant est modélisée par une nappe cylindrique de courant continu surfacique ou volumique uniforme, portée par \vec{e}_\theta.

   1. Invariances :

   • Le solénoïde étant supposé infini suivant l'axe (Oz), la distribution de courant est invariante par toute translation le long de l'axe (Oz). Le champ magnétique ne dépend donc pas de la coordonnée z.
   • La distribution de courant présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz), elle est donc invariante par toute rotation d'un angle \theta quelconque autour de cet axe. Le champ magnétique ne dépend donc pas de \theta.

   On en déduit que les composantes du champ magnétique ne dépendent que de la distance à l'axe r :

   \vec{B}(M) = \vec{B}(r)

   2. Symétries :

   • Soit \Pi_s le plan passant par M et contenant (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta) (plan perpendiculaire à l'axe (Oz)). Par réflexion par rapport à \Pi_s, les courants circulaires sont inchangés (\vec{j} \parallel \Pi_s). Le solénoïde étant infini, \Pi_s est un plan de symétrie pour la distribution de courant. Comme le champ magnétique est un pseudo-vecteur (vecteur axial), il est orthogonal à tout plan de symétrie des sources en tout point de ce plan. Ainsi :

     \vec{B}(M) \perp \Pi_s \implies \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z
   • Vérification avec le plan méridien : le plan \Pi_a = (M, \vec{e}_r, \vec{e}_z) coupe orthogonalement les lignes de courant (\vec{j} \perp \Pi_a), c'est donc un plan d'antisymétrie des sources. Le pseudo-vecteur \vec{B}(M) lui est donc parallèle, ce qui confirme B_\theta(M) = 0.

   En combinant ces résultats, le champ magnétique créé en tout point M(r,\theta,z) est de la forme :

   \boxed{\vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $$\vec{B}(M)=B_z(r){\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q2

   D'après la question Q1, le champ magnétique est axial : \vec{B}(M) = B_z(r)\,\vec{e}_z.

   On choisit pour contour d'Ampère un rectangle orienté \mathcal{C} = ABCD contenu dans un plan méridien (\vec{e}_r, \vec{e}_z) :

   • le segment [AB], de longueur L, est situé à l'intérieur du solénoïde (r_A = r_B = r < b), orienté selon +\vec{e}_z ;
   • le segment [BC] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon +\vec{e}_r de r à r' > b ;
   • le segment [CD], de longueur L, est situé à l'extérieur (r_C = r_D = r' > b), orienté selon -\vec{e}_z ;
   • le segment [DA] est perpendiculaire à l'axe, orienté selon -\vec{e}_r de r' à r.

   La circulation de \vec{B} sur \mathcal{C} s'écrit :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \int_A^B \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_B^C \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_C^D \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} + \int_D^A \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}

   • Sur [BC] et [DA], l'élément de longueur \mathrm{d}\vec{\ell} = \pm\,\mathrm{d}r\,\vec{e}_r est orthogonal à \vec{B}, donc \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = 0.
   • Sur [CD], le champ est nul à l'extérieur par hypothèse de l'énoncé, donc l'intégrale est nulle.

   • Sur [AB], \vec{B} = B_z(r)\,\vec{e}_z et \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}z\,\vec{e}_z, d'où :

     \int_A^B \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,L

   La circulation totale vaut donc :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = B_z(r)\,L

   D'après la règle de la main droite, le vecteur normal à la surface délimitée par \mathcal{C} est orienté selon \vec{e}_z \wedge \vec{e}_r = \vec{e}_\theta. Le courant circulant dans les spires dans le sens de \vec{e}_\theta, les spires traversent la surface dans le sens positif. Sur la longueur L, le nombre de spires traversant la surface est N = n\,L, donc le courant total enlacé est :

   I_{\text{enlacé}} = n\,L\,I

   Le théorème d'Ampère s'énonce :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \mu_0\,I_{\text{enlacé}}

   soit :

   B_z(r)\,L = \mu_0\,n\,L\,I \implies B_z(r) = \mu_0\,n\,I

   Ce résultat est indépendant de r : le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde infini est donc uniforme et vaut :

   \boxed{\vec{B}_{\text{int}} = \mu_0\,n\,I\,\vec{e}_z}

   Résultat

   $${\vec{B}}_{\text{int}}={\mu }_{0}nI{\vec{e}}_z$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q6

   Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

   1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

      • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
      • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

      • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

        U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

        où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

      • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

   2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

      • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

      • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

        e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
      • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q10

   Au voisinage de l'origine, dans l'espace vide de courants (\vec{j} = \vec{0}), le champ magnétique vérifie en régime stationnaire les deux équations locales fondamentales de la magnétostatique :

   • L'équation de Maxwell-Thomson (conservation du flux magnétique) :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = 0

   • L'équation de Maxwell-Ampère stationnaire :

     \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}

   Vérifions que l'expression proposée \vec{B} = (Ky + K')\vec{e}_x + (Kx + K')\vec{e}_y satisfait ces équations :

   • Pour la divergence :

     \mathrm{div}\,\vec{B} = \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial x}(Ky + K') + \frac{\partial}{\partial y}(Kx + K') + 0 = 0

     L'équation \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 est donc bien vérifiée.

   • Pour le rotationnel : comme le champ est indépendant de z et a une composante selon \vec{e}_z nulle, seules les dérivées par rapport à x et y interviennent :

     \begin{aligned} (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_x &= \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_y &= \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} = 0 \\ (\vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B})_z &= \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(Kx + K') - \frac{\partial}{\partial y}(Ky + K') = K - K = 0 \end{aligned}

     Ainsi, on a bien \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \vec{0}.

   Valeur de K' :

   À l'origine des coordonnées (0,0,0), le champ théorique vaut :

   \vec{B}(O) = K'\vec{e}_x + K'\vec{e}_y

   D'après les symétries établies à la question Q9, le champ est nul à l'origine (\vec{B}(O) = \vec{0}), ce qui impose :

   \boxed{K' = 0}

   Le champ quadrupolaire au voisinage de l'origine s'écrit donc simplement :

   \vec{B} = K\left(y\vec{e}_x + x\vec{e}_y\right)

   Résultat

   $$K^{\prime }=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MPI 2025, Q12

   1. Forme du champ magnétique

   • Invariances : dans le cadre du modèle du solénoïde infini selon (Az) (L \gg a), la distribution de courant est invariante par translation le long de l'axe (Az). Par conséquent, le champ magnétique ne dépend pas de la coordonnée z :

     \vec{B}(M) = \vec{B}(x, y)

   • Symétries : les spires sont planes et contenues dans des plans perpendiculaires à l'axe (Az). Tout plan \Pi d'équation z = \text{cste} est un plan de symétrie de la distribution de courants (le vecteur densité volumique de courant \vec{\jmath} appartient à ce plan).
     Le champ magnétique \vec{B} étant un vecteur axial (pseudovecteur), il est orthogonal à tout plan de symétrie des courants en tout point de ce plan. Tout point M(x, y, z) appartenant au plan z = \text{cste}, on en déduit que :

     \vec{B}(M) \parallel \vec{u}_z

   En combinant symétrie et invariance, le champ magnétique s'écrit bien :

   \boxed{\vec{B}(M) = B(x, y)\,\vec{u}_z}

   2. Expression du champ intérieur \vec{B}_{\text{int}}(M)

   Appliquons le théorème d'Ampère sur un contour rectangulaire fermé \mathcal{C} = C_1 C_2 C_3 C_4 situé dans un plan parallèle à (xOz) ou (yOz) :

   • le segment [C_1 C_2], de longueur \ell, est situé à l'intérieur du solénoïde, parallèle à l'axe (Az) et orienté dans le sens de \vec{u}_z ;
   • le segment [C_3 C_4], de même longueur \ell, est situé à l'extérieur du solénoïde et orienté dans le sens opposé (-\vec{u}_z) ;
   • les segments transverses [C_2 C_3] et [C_4 C_1] sont orthogonaux à (Az).

   Calculons la circulation de \vec{B} le long de \mathcal{C} :

   • sur les segments transverses, \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = 0 car \vec{B} \parallel \vec{u}_z \perp \mathrm{d}\vec{\ell} ;
   • sur le segment extérieur, \vec{B}_{\text{ext}} = \vec{0} d'après l'énoncé ;
   • sur le segment intérieur, \int_{C_1}^{C_2} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}(x, y)\,\ell.

   La circulation totale vaut donc :

   \oint_\mathcal{C} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = B_{\text{int}}(x, y)\,\ell

   Le nombre de spires enlacées par le contour est N_{\text{enl}} = n\,\ell, chacune étant parcourue par le courant I. D'après la règle de la main droite, le courant enlacé compte positivement :

   I_{\text{enl}} = n\,\ell\,I

   D'après le théorème d'Ampère :

   \begin{aligned} \oint_\mathcal{C} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} &= \mu_0\,I_{\text{enl}} \\ B_{\text{int}}(x, y)\,\ell &= \mu_0\,n\,\ell\,I \end{aligned}

   On en déduit que le champ ne dépend ni de x ni de y, il est donc uniforme à l'intérieur :

   \boxed{\vec{B}_{\text{int}}(M) = B_0\,\vec{u}_z \quad \text{avec} \quad B_0 = \mu_0\,n\,I = \mu_0\,\frac{N}{L}\,I}

   Résultat

   $$\vec{B}(M)=B(x,y){\vec{u}}_z$$

   $${\vec{B}}_{\text{int}}(M)=B_0{\vec{u}}_z\text{avec}{B}_0={\mu }_{0}nI={\mu }_0\frac{N}{L}I$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2024, Q34

   Sur le cercle \mathcal{C} de rayon r orienté par \vec{e}_\theta, l'élément de longueur s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = r\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta. Comme le champ magnétique est orthoradial \vec{B} = B_\theta(r,z,t)\,\vec{e}_\theta, sa circulation vaut :

   \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_0^{2\pi} B_\theta(r,z,t)\,r\,\mathrm{d}\theta = 2\pi r\,B_\theta(r,z,t)

   D'après la relation démontrée en Q33, on a :

   2\pi r\,B_\theta(r,z,t) = \mu_0\,i_{\text{enlacé}}(z,t)

   Distinguons les trois zones de l'espace :

   • Pour r < a : Le contour \mathcal{C} est situé à l'intérieur du conducteur central. Comme le conducteur est parfait, le courant est purement surfacique et circule en r = a (question Q32). Le contour n'enlace donc aucun courant :

     i_{\text{enlacé}} = 0 \implies B(r) = 0

     Ce résultat est parfaitement cohérent avec l'annulation du champ électromagnétique au sein d'un conducteur parfait.

   • Pour a < r < b : Le contour \mathcal{C} enlace le conducteur intérieur qui transporte le courant i(z,t) = i_0\cos(\omega t - kz) dans le sens de \vec{e}_z. Le courant enlacé est donc :

     i_{\text{enlacé}} = i(z,t) = i_0 \cos(\omega t - kz)

     On en déduit l'expression du champ magnétique :

     B_\theta(r,z,t) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)

     En termes d'amplitude radiale B_0(r) associée à la notation de l'énoncé \vec{B} = B_0(r)\mathrm{e}^{j(\omega t - kz)}\vec{e}_\theta, on a :

     B_0(r) = \frac{\mu_0 i_0}{2\pi r}

   • Pour r > b : Le contour \mathcal{C} enlace simultanément le conducteur intérieur parcouru par i(z,t) et le conducteur extérieur parcouru par -i(z,t). Le courant total enlacé est donc nul :

     i_{\text{enlacé}} = i(z,t) + \big(-i(z,t)\big) = 0 \implies B(r) = 0

   En résumé :

   \boxed{ B_0(r) = \begin{cases} 0 & \text{pour } r < a \\ \dfrac{\mu_0 i_0}{2\pi r} & \text{pour } a < r < b \\ 0 & \text{pour } r > b \end{cases} }

   soit, sous forme instantanée :

   \boxed{ \vec{B}(r,z,t) = \begin{cases} \vec{0} & \text{pour } r < a \\ \dfrac{\mu_0 i_0}{2\pi r}\cos(\omega t - kz)\,\vec{e}_\theta & \text{pour } a < r < b \\ \vec{0} & \text{pour } r > b \end{cases} }

   Résultat

   $$B_0(r)=\{\begin{array}{ll}0& \text{pour }r<a\\ \frac{{\mu }_0{i}_0}{2\pi r}& \text{pour }a<r<b\\ 0& \text{pour }r>b\end{array}$$

   $$\vec{B}(r,z,t)=\{\begin{array}{ll}\vec{0}& \text{pour }r<a\\ \frac{{\mu }_0{i}_0}{2\pi r}\cos (\omega t-kz){\vec{e}}_{\theta }& \text{pour }a<r<b\\ \vec{0}& \text{pour }r>b\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 MPI 2026, Q6

   Le champ magnétique total s'écrit comme la superposition :

   \vec{B}(M, t) = \vec{B}^*(M, t) + \vec{B}_{\mathrm{d}S}(M, t)

   Par conséquent, au voisinage immédiat de la surface :

   \vec{B}^*(z \rightarrow 0^\pm, t) = \vec{B}(z \rightarrow 0^\pm, t) - \vec{B}_{\mathrm{d}S}(z \rightarrow 0^\pm, t)

   D'après la question Q3, pour z \rightarrow 0^- :

   \vec{B}(z \rightarrow 0^-, t) = \frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y

   Et à l'intérieur du conducteur parfait (z > 0), les champs sont nuls, donc :

   \vec{B}(z \rightarrow 0^+, t) = \vec{0}

   Calculons le terme \frac{1}{2}\mu_0\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z. Avec l'expression de \vec{j}_s(t) obtenue à la question Q5 et la relation \varepsilon_0 \mu_0 c^2 = 1 :

   \begin{aligned} \frac{1}{2}\mu_0\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z &= \frac{1}{2}\mu_0 \left(2\varepsilon_0 c E_0 \cos(\omega t)\,\vec{e}_x\right) \wedge \vec{e}_z \\ &= \mu_0 \varepsilon_0 c E_0 \cos(\omega t)\,(-\vec{e}_y) \\ &= -\frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   D'après les expressions admises dans l'énoncé pour le champ créé par l'élément \mathrm{d}S :

   \begin{aligned} \vec{B}_{\mathrm{d}S}(z \rightarrow 0^-, t) &= -\frac{1}{2}\mu_0\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \\ \vec{B}_{\mathrm{d}S}(z \rightarrow 0^+, t) &= \frac{1}{2}\mu_0\,\vec{j}_s(t) \wedge \vec{e}_z = -\frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   On en déduit :

   \begin{aligned} \vec{B}^*(z \rightarrow 0^-, t) &= \frac{2E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y - \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \\ \vec{B}^*(z \rightarrow 0^+, t) &= \vec{0} - \left(-\frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y\right) = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   Le champ \vec{B}^* est donc continu à la traversée de la surface et vaut :

   \boxed{\vec{B}^*(z \rightarrow 0^\pm, t) = \frac{E_0}{c}\cos(\omega t)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $${\vec{B}}^{\ast }(z\to 0^{\pm },t)=\frac{E_0}{c}\cos (\omega t){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 2 MPI 2026, Q3

   Dans le cadre de l'approximation des milieux magnétiques linéaires, homogènes et isotropes (LHI), la présence du noyau ferromagnétique de perméabilité relative \mu_r revient à remplacer la perméabilité du vide \mu_0 par la perméabilité absolue du milieu \mu = \mu_r \mu_0.

   D'après le résultat de la question Q2, le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde s'écrit désormais :

   \boxed{\vec{B} = \mu_r \mu_0 n I \vec{e}_z}

   Le champ magnétique est ainsi amplifié d'un facteur \mu_r par rapport à celui créé dans le vide.

   L'intensité du champ magnétique vaut donc :

   B = \mu_r \mu_0 n I

   Application numérique : Avec \mu_r = 100, \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1}, n = 1000\text{ m}^{-1} et I = 10{,}0\text{ A}, on obtient :

   B = 100 \times 4\pi \cdot 10^{-7} \times 1000 \times 10{,}0 = 4\pi \cdot 10^{-1}\text{ T} \approx 1{,}26\text{ T}

   En respectant la consigne de ne conserver qu'un seul chiffre significatif :

   \boxed{B = 1\text{ T}}

   Résultat

   $$\vec{B}={\mu }_r{\mu }_{0}nI{\vec{e}}_z$$

   $$B=1\text{ T}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q9

    1. Champ dans le plan xOy

    Le plan xOy contient les axes des quatre bobines, et les spires le traversent orthogonalement. Par réflexion par rapport à ce plan, le sens de parcours des spires est inversé :

    \vec{\jmath}(x, y, -z) = -\operatorname{sym}_{xOy}\big(\vec{\jmath}(x, y, z)\big)

    Le plan (xOy) est donc un plan d'antisymétrie pour la distribution de courants (\Pi^*).

    Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est parallèle aux plans d'antisymétrie des courants en tout point de ceux-ci :

    \forall M \in (xOy), \quad B_z(M) = 0 \implies \vec{B}(M) \text{ est contenu dans le plan } xOy

    2. Direction et sens du champ au voisinage de l'origine

    • Sur l'axe Ox (y = 0, z = 0) :

      • Le plan (xOz) est un plan de symétrie pour la distribution de courants (\Pi) : la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) est l'image par réflexion de celle du quatrième quadrant (x>0, y<0), avec des sens de circulation qui se correspondent par réflexion.

      • En tout point d'un plan de symétrie des courants, le champ magnétique est orthogonal à ce plan. Ainsi, sur l'axe Ox, \vec{B} est orthogonal à (xOz) :

        \vec{B}(x, 0, 0) \parallel \vec{e}_y

        La direction est donc portée par l'axe Oy.

      • Sens : d'après le sens des courants (règle du tire-bouchon), la bobine du quatrième quadrant (x>0, y<0) crée un pôle Nord dirigé vers le centre (le champ en sort), tandis que la bobine du premier quadrant (x>0, y>0) crée un pôle Sud vers le centre (le champ y entre). Les lignes de champ vont donc du bas vers le haut :

        • pour x > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_y ;
        • pour x < 0, les rôles des bobines s'inversent (pôle Nord en y>0, Sud en y<0) : \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_y.

    • Sur l'axe Oy (x = 0, z = 0) :

      • De même, le plan (yOz) est un plan de symétrie des courants (\Pi).

      • En tout point de ce plan, le champ magnétique est orthogonal à (yOz) :

        \vec{B}(0, y, 0) \parallel \vec{e}_x

        La direction est donc portée par l'axe Ox.

      • Sens : la bobine du deuxième quadrant (x<0, y>0) présentant un pôle Nord vers le centre et celle du premier quadrant (x>0, y>0) un pôle Sud, les lignes de champ vont de gauche à droite :

        • pour y > 0, \vec{B} est dirigé selon +\vec{e}_x ;
        • pour y < 0, \vec{B} est dirigé selon -\vec{e}_x.

    3. Valeur du champ à l'origine

    L'origine O(0,0,0) appartient à la fois au plan (xOz) et au plan (yOz) :

    \vec{B}(O) \parallel \vec{e}_y \quad \text{et} \quad \vec{B}(O) \parallel \vec{e}_x

    Ces deux vecteurs unitaires étant orthogonaux, cela impose :

    \boxed{\vec{B}(O) = \vec{0}}

    On retrouve également ce résultat par compensation exacte, à l'origine, des champs magnétiques créés par les quatre bobines identiques disposées symétriquement deux à deux en opposition.

    Résultat

    $$\vec{B}(O)=\vec{0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question