Feuille d'entraînement : Systèmes ouverts en écoulement

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2026, Q44

   Considérons une tranche de fluide en écoulement stationnaire incompressible et homogène entre la surface libre du puits en A_0 et l'entrée du vase d'expansion en D. En l'absence de pertes de charge, le bilan d'énergie mécanique (théorème de Bernoulli avec apport de puissance mécanique par la pompe) s'écrit :

   \Delta e_m = \left( \frac{v_D^2 - v_{A_0}^2}{2} \right) + g(z_D - z_{A_0}) + \frac{P_D - P_{A_0}}{\rho} = w_{\text{pompe}}

   où w_{\text{pompe}} = \frac{\mathcal{P}}{D_m} = \frac{\mathcal{P}}{\rho D_p} est le travail massique utile transféré par la pompe au fluide.

   D'après la question précédente, la variation d'énergie cinétique est négligée devant la variation d'énergie potentielle, d'où :

   \frac{\mathcal{P}}{\rho D_p} = g(z_D - z_{A_0}) + \frac{P_D - P_{A_0}}{\rho}

   Or, d'après les conditions de fonctionnement imposées :

   • la surface libre A_0 est à l'air libre : P_{A_0} = P_0 = 1{,}0\text{ bar} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa} ;
   • au point D, la pression maximale recherchée est P_D = P_{\max} = 6{,}0\text{ bar} = 6{,}0 \times 10^5\text{ Pa} ;
   • le dénivelé vaut z_D - z_{A_0} = h = 25\text{ m}.

   En multipliant par le débit massique D_m = \rho D_p, on obtient l'expression littérale de la puissance mécanique :

   \boxed{\mathcal{P} = D_p \left[ (P_{\max} - P_0) + \rho g h \right]}

   Application numérique :

   • D_p = 1000\text{ L}\cdot\text{min}^{-1} = \frac{1000 \times 10^{-3}\text{ m}^3}{60\text{ s}} = \frac{1}{60}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} ;
   • P_{\max} - P_0 = (6{,}0 - 1{,}0)\text{ bar} = 5{,}0 \times 10^5\text{ Pa} ;

   • avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} (ou g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}) :

     \rho g h = 1{,}0 \times 10^3 \times 9{,}8 \times 25 = 2{,}45 \times 10^5\text{ Pa} \quad (\text{ou } 2{,}5 \times 10^5\text{ Pa})

   La surpression totale à assurer vaut donc :

   \Delta P_{\text{tot}} = (P_{\max} - P_0) + \rho g h = 5{,}0 \times 10^5 + 2{,}45 \times 10^5 = 7{,}45 \times 10^5\text{ Pa} \quad (\text{soit } 7{,}5 \times 10^5\text{ Pa pour } g=10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2})

   On en déduit :

   \mathcal{P} = \frac{7{,}45 \times 10^5}{60} \approx 12{,}4\text{ kW} \quad \left(\text{ou } \mathcal{P} = \frac{7{,}50 \times 10^5}{60} = 12{,}5\text{ kW}\right)

   \boxed{\mathcal{P} \approx 12{,}4\text{ kW} \quad (\text{ou } 12{,}5\text{ kW avec } g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2})}

   Résultat

   $$\mathcal{P}=D_p\left[(P_{\max }-P_0)+\rho gh\right]$$

   $$\mathcal{P}\approx 12,4\text{ kW}(\text{ou }12,5\text{ kW avec }g=10\text{ m}\cdot {\text{s}}^{-2})$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Physique B PT 2026, Q5

   1. Définition du système étudié

   On considère un composant du circuit (volume de contrôle \mathcal{V}_c) à une entrée e et une sortie s, traversé en régime stationnaire par un fluide de débit massique D_m. Pour appliquer les lois de la thermodynamique, on définit un système fermé \Sigma constitué :

   • à la date t : de la masse de fluide présente dans \mathcal{V}_c, augmentée de la masse \delta m = D_m\,\mathrm{d}t s'apprêtant à entrer ;
   • à la date t+\mathrm{d}t : de la masse de fluide présente dans \mathcal{V}_c, augmentée de la même masse \delta m venant de sortir.

   2. Expression générale du premier principe industriel

   En appliquant le premier principe de la thermodynamique au système fermé \Sigma entre t et t+\mathrm{d}t, et en tenant compte du travail des forces de pression aux frontières (qui transforme l'énergie interne u en enthalpie h = u + P v), on obtient sous forme massique :

   \left(h_s - h_e\right) + \frac{1}{2}\left(c_s^2 - c_e^2\right) + g\left(z_s - z_e\right) = w_u + q

   ou sous forme de puissances, en multipliant par le débit massique D_m :

   D_m \left[ \Delta h + \Delta e_c + \Delta e_p \right] = \mathcal{P}_u + \dot{Q}

   où :

   • h_e et h_s sont les enthalpies massiques respectivement en entrée et en sortie (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • c_e et c_s sont les vitesses macroscopiques moyennes d'écoulement du fluide (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) ;
   • z_e et z_s sont les altitudes d'entrée et de sortie dans le champ de pesanteur uniforme g (\mathrm{m}) ;
   • w_u est le travail utile massique échangé avec les parties mobiles (aubes de la turbine, rotor de la pompe), hors forces de transvasement (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • q est le transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • \mathcal{P}_u = D_m\,w_u et \dot{Q} = D_m\,q sont respectivement la puissance utile et le flux thermique échangés (\mathrm{W}).

   3. Expression simplifiée dans le circuit

   En négligeant la variation d'énergie cinétique macroscopique (\Delta e_c \approx 0) et les variations d'énergie potentielle de pesanteur (\Delta e_p \approx 0), l'expression se réduit à :

   \boxed{\Delta h = h_s - h_e = w_u + q}

   Soit, en termes de puissances :

   \boxed{D_m\left(h_s - h_e\right) = \mathcal{P}_u + \dot{Q}}

   Résultat

   $$\Delta h=h_s-h_e=w_u+q$$

   $$D_m\left(h_s-h_e\right)={\mathcal{P}}_u+\dot{Q}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Physique B PT 2026, Q28

   Considérons le volume de contrôle fixe délimité par les sections droites aux abscisses x et x + \mathrm{d}x, traversé par un écoulement permanent de dioxygène liquide avec un débit massique D_m.

   Bilan enthalpique élémentaire : En régime permanent et en l'absence de parties mobiles (\mathcal{P}_u = 0) ainsi qu'en négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle, le premier principe en système ouvert s'écrit :

   \mathrm{d}\dot{H} = \delta \Phi

   où \mathrm{d}\dot{H} est le flux d'enthalpie algébriquement reçu par la tranche de fluide, soit :

   \mathrm{d}\dot{H} = D_m \, \mathrm{d}h = D_m \, c_{\text{dio}} \, \mathrm{d}\theta = D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x

   Flux thermique traversant la paroi : La résistance thermique d'une géométrie cylindrique (conduction radiale et convection externe) est inversement proportionnelle à la longueur du cylindre :

   R_{th}(L) \propto \frac{1}{L}

   Par conséquent, la résistance thermique élémentaire \mathrm{d}R_{th} associée à un tronçon de longueur \mathrm{d}x est reliée à la résistance équivalente totale R_{th-eq} de la conduite de longueur L par :

   \mathrm{d}R_{th} = R_{th-eq} \, \frac{L}{\mathrm{d}x}

   Le flux thermique élémentaire \delta\Phi entrant de l'extérieur (à la température \theta_e) vers le fluide (à la température \theta(x)) s'exprime alors par :

   \delta\Phi = \frac{\theta_e - \theta(x)}{\mathrm{d}R_{th}} = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Équation différentielle : En égalant les deux expressions du flux :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} \, \mathrm{d}x = \frac{\theta_e - \theta(x)}{R_{th-eq} L} \, \mathrm{d}x

   Ce qui donne l'équation différentielle vérifiée par \theta(x) :

   \boxed{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \frac{\theta(x) - \theta_e}{D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L} = 0}

   ou, sous forme équivalente :

   D_m \, c_{\text{dio}} \, R_{th-eq} \, L \, \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x} + \theta(x) = \theta_e

   Résultat

   $$\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}x}+\frac{\theta (x)-{\theta }_e}{D_m{c}_{\text{dio}}{R}_{th-eq}L}=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique B PT 2025, Q1

   D'après le descriptif du cycle frigorifique et les annotations de la figure 1 :

   • Le détendeur est le tube capillaire, car sa très faible section et sa longueur provoquent de fortes pertes de charge régulières par frottement visqueux, assurant ainsi la chute de pression du fluide frigorigène sans pièces mobiles ni travail échangé avec l'extérieur ;
   • L'échangeur 1 est le condenseur, parce qu'il évacue l'énergie thermique du fluide vers l'air qui le traverse, permettant ainsi le refroidissement puis la liquéfaction totale du fluide frigorigène à haute pression (le fluide cède de la chaleur) ;
   • L'échangeur 2 est l'évaporateur, parce qu'il apporte de l'énergie thermique au fluide frigorigène à basse pression afin de provoquer sa vaporisation complète, cette chaleur étant prélevée à l'air humide qui se refroidit et se déshumidifie par condensation de sa vapeur d'eau (le fluide reçoit de la chaleur).

   \boxed{\text{Le détendeur est le tube capillaire, l'échangeur 1 est le condenseur et l'échangeur 2 est l'évaporateur.}}

   Résultat

   $$\text{Le deˊtendeur est le tube capillaire, l’eˊchangeur 1 est le condenseur et l’eˊchangeur 2 est l’eˊvaporateur.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Banque PT Physique B PT 2025, Q4

   D'après l'énoncé et l'étude des organes de la machine frigorifique :

   • Point A (entrée du compresseur / sortie de l'évaporateur) : Le fluide est sous basse pression P_A = 3\text{ bar} = 0{,}3\text{ MPa}. Il se trouve à l'état de vapeur saturante sèche sans surchauffe, ce qui le place sur la courbe de rosée (titre massique en vapeur x_A = 1).
     Sur le diagramme, on lit :

     P_A = 3\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_A \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

   • Transformation \text{A} \to \text{B} et Point B (sortie du compresseur / entrée du condenseur) : La compression est supposée adiabatique réversible, c'est-à-dire isentropique (s = \text{cte}), et s'effectue jusqu'à la haute pression P_B = 20\text{ bar} = 2\text{ MPa}. On suit donc la courbe isentrope passant par A (s \approx 1{,}73\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) jusqu'à la droite isobare P = 20\text{ bar}. Le point B se situe dans le domaine de vapeur surchauffée.
     Sur le diagramme, on lit :

     P_B = 20\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_B \approx 435\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

   • Transformation \text{B} \to \text{C} et Point C (sortie du condenseur / entrée du détendeur) : Dans le condenseur, la transformation est isobare (P = 20\text{ bar}) : la vapeur surchauffée se désurchauffe puis se condense totalement sans sous-refroidissement. Le point C est donc situé à l'intersection de l'isobare P = 20\text{ bar} et de la courbe d'ébullition (x_C = 0). La transformation est représentée par un segment horizontal orienté vers la gauche.
     Sur le diagramme, on lit :

     P_C = 20\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

   • Transformation \text{C} \to \text{D} et Point D (sortie du détendeur / entrée de l'évaporateur) : Le détendeur capillaire est indéformable (w_u = 0), athermane (q = 0), et les variations d'énergies cinétique et potentielle sont négligeables. D'après le premier principe en écoulement stationnaire, la détente de Joule-Thomson est isenthalpique :

     h_D = h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

     Elle s'accompagne d'une chute de pression jusqu'à P_D = P_A = 3\text{ bar}. Cette détente est représentée par un segment vertical descendant. Le point D se trouve dans le domaine diphasique liquide-vapeur.

   • Transformation \text{D} \to \text{A} (évaporateur) : Le fluide s'évapore totalement de manière isobare à P = 3\text{ bar}. La transformation est représentée par un segment horizontal orienté vers la droite, rejoignant le point A.

   Sens du cycle : Le cycle est parcouru selon la séquence \text{A} \to \text{B} \to \text{C} \to \text{D} \to \text{A}, c'est-à-dire dans le sens anti-horaire (sens trigonométrique) sur le diagramme (h, \log P).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Banque PT Physique B PT 2025, Q7

   On applique le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement stationnaire à travers l'évaporateur (système ouvert délimité par l'entrée D et la sortie A).

   L'évaporateur ne comporte aucune pièce mobile, le travail massique indiqué est donc nul (w_i = 0). De plus, les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur entre l'entrée et la sortie sont négligeables par rapport aux variations d'enthalpie. Le bilan enthalpique s'écrit alors :

   \Delta h_{\text{évap}} = h_A - h_D = q_F + w_i = q_F

   Le transfert thermique massique reçu par le fluide s'exprime ainsi :

   q_F = h_A - h_D

   D'après les lectures effectuées sur le diagramme (h, \log P) à la question Q4 :

   • h_A \approx 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (vapeur saturante à 3\text{ bars}) ;
   • h_D = h_C \approx 300\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (sortie du détendeur à 3\text{ bars}).

   On en déduit la valeur numérique :

   q_F = 400 - 300 = 100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

   \boxed{q_F = h_A - h_D \approx 100\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}}

   Résultat

   $$q_F=h_A-h_D\approx 100\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7Banque PT Physique B PT 2024, Q10

   Le premier principe pour un fluide en écoulement permanent à une entrée (état 5) et une sortie (état 6) s'écrit :

   \Delta_{(5,6)} (h + e_c + e_p) = h_6 - h_5 + \Delta e_c + \Delta e_p = w_i + q

   Selon les hypothèses et les données du document 2 :

   • les variations d'énergies cinétique et potentielle massiques sont négligées : \Delta e_c \approx 0 et \Delta e_p \approx 0 ;
   • le détendeur ne comporte aucune pièce mécanique mobile, il n'échange donc aucun travail utile (ou indiqué) avec le fluide : w_i = 0 ;
   • la traversée est adiabatique : q = 0.

   Le bilan d'énergie se réduit ainsi à :

   h_6 - h_5 = 0 \iff h_6 = h_5

   \boxed{\text{La détente subie par le fluide à travers le détendeur est isenthalpique.}}

   Résultat

   $$\text{La deˊtente subie par le fluide aˋ travers le deˊtendeur est isenthalpique.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Banque PT Physique B PT 2024, Q12

   Le diagramme enthalpique présente la pression P (échelle logarithmique) en ordonnée et l'enthalpie massique h en abscisse.

   Caractérisation et positionnement des points 1 à 7 :

   • Point 1 : à l'intersection de l'isobare P_b = 4{,}2\text{ bar} et de l'isotherme T_1 = -12\,^\circ\mathrm{C}, dans le domaine de vapeur surchauffée (à droite de la courbe de rosée). On lit h_1 \approx 430\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
   • Transformation 1 \to 2 : compression adiabatique réversible (isentropique). On suit la ligne isentrope partant du point 1 jusqu'à l'isobare haute pression P_h = 22\text{ bars}.
   • Point 2 : sortie du compresseur, situé à P_h = 22\text{ bars} sur l'isentrope issue de 1 (s_2 = s_1 \approx 1{,}84\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}). On lit h_2 \approx 475\text{ à } 480\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_2 \approx 70\,^\circ\mathrm{C}.
   • Transformation 2 \to 3 : désurchauffe isobare à P_h = 22\text{ bars} (déplacement horizontal vers la gauche).
   • Point 3 : vapeur juste saturante (titre x_3 = 1), situé à l'intersection de l'isobare P_h = 22\text{ bars} et de la courbe de rosée. On lit h_3 \approx 427\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_3 \approx 36\,^\circ\mathrm{C}.
   • Transformation 3 \to 4 : condensation totale isobare et isotherme à P_h = 22\text{ bars} (déplacement horizontal vers la gauche à travers la zone diphasique).
   • Point 4 : liquide juste saturé (titre x_4 = 0), situé à l'intersection de l'isobare P_h = 22\text{ bars} et de la courbe d'ébullition. On lit h_4 \approx 260\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
   • Transformation 4 \to 5 : sous-refroidissement isobare à P_h = 22\text{ bars} dans le domaine du liquide.
   • Point 5 : liquide sous-refroidi, à l'intersection de P_h = 22\text{ bars} et de l'isotherme T_5 = 30\,^\circ\mathrm{C}. On lit h_5 \approx 248\text{ à } 250\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.
   • Transformation 5 \to 6 : détente isenthalpique dans le détendeur (établie à la question Q10, h_6 = h_5). Elle est représentée par un segment de droite vertical descendant de P_h = 22\text{ bars} à P_b = 4{,}2\text{ bar}.
   • Point 6 : mélange diphasique liquide-vapeur à P_b = 4{,}2\text{ bar} et h_6 = h_5 \approx 250\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (à l'intérieur de la courbe de saturation).
   • Transformation 6 \to 7 : vaporisation totale isobare et isotherme à P_b = 4{,}2\text{ bar} (segment horizontal vers la droite).
   • Point 7 : vapeur juste saturante (titre x_7 = 1), à l'intersection de l'isobare P_b = 4{,}2\text{ bar} et de la courbe de rosée. On lit h_7 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et T_7 \approx -24\,^\circ\mathrm{C}.
   • Transformation 7 \to 1 : surchauffe isobare à P_b = 4{,}2\text{ bar} de -24\,^\circ\mathrm{C} jusqu'à T_1 = -12\,^\circ\mathrm{C} (segment horizontal vers la droite).

   Sens d'évolution du cycle : Le cycle est parcouru dans le sens horaire (sens des aiguilles d'une montre) sur le diagramme (h, \ln P).

   \boxed{\text{Le cycle $1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 6\to 7\to 1$ est parcouru dans le sens horaire.}}

   Résultat

   $$\text{Le cycle 1→2→3→4→5→6→7→1 est parcouru dans le sens horaire.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Physique A PT 2023, Q16

   Considérons une conduite parcourue par un fluide en écoulement stationnaire unidimensionnel, présentant une section d'entrée e et une section de sortie s. On note \mathcal{V}_c le volume de contrôle fixe délimité par les parois internes de la conduite entre e et s.

   Définissons le système fermé \Sigma^* à deux dates t et t+\mathrm{d}t :

   • À l'instant t, \Sigma^*(t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche infinitésimale de masse \mathrm{d}m_e qui va pénétrer par e pendant \mathrm{d}t.
   • À l'instant t+\mathrm{d}t, \Sigma^*(t+\mathrm{d}t) est constitué de la matière contenue dans \mathcal{V}_c à laquelle on ajoute la tranche de masse \mathrm{d}m_s qui est sortie par s pendant \mathrm{d}t.

   En régime permanent (stationnaire), la conservation de la masse impose :

   \mathrm{d}m_e = \mathrm{d}m_s = \mathrm{d}m

   L'énergie totale d'une masse de fluide est la somme de son énergie interne U et de son énergie mécanique macroscopique E_{\text{mec}} = E_c + E_{p,\text{pes}} :

   E_{\text{tot}} = U + E_{\text{mec}}

   Pour le système fermé \Sigma^*, la variation d'énergie totale entre t et t+\mathrm{d}t s'écrit :

   \begin{aligned} \mathrm{d}E_{\text{tot}} &= E_{\text{tot}}(t+\mathrm{d}t) - E_{\text{tot}}(t) \\ &= \left[E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t+\mathrm{d}t) + \mathrm{d}m\,(u_s + e_{\text{mec},s})\right] - \left[E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t) + \mathrm{d}m\,(u_e + e_{\text{mec},e})\right] \end{aligned}

   Comme le régime est stationnaire, l'état du fluide dans le volume fixe \mathcal{V}_c est indépendant du temps : E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t+\mathrm{d}t) = E_{\text{tot}}(\mathcal{V}_c, t). Il vient :

   \mathrm{d}E_{\text{tot}} = \mathrm{d}m \left[(u_s - u_e) + (e_{\text{mec},s} - e_{\text{mec},e})\right] = \mathrm{d}m\,(\Delta u + \Delta e_{\text{mec}})

   où \Delta X = X_s - X_e désigne la variation d'une grandeur massique entre la sortie et l'entrée.

   D'après le premier principe de la thermodynamique appliqué au système fermé \Sigma^* :

   \mathrm{d}E_{\text{tot}} = \delta W + \delta Q

   Le travail \delta W reçu par \Sigma^* se décompose en :

   • le travail des forces de pression extérieures appliquées en entrée et en sortie (forces de transvasement) :

     \delta W_{\text{press}} = \vec{F}_{p,e} \cdot \vec{v}_e\,\mathrm{d}t + \vec{F}_{p,s} \cdot \vec{v}_s\,\mathrm{d}t = P_e S_e v_e\,\mathrm{d}t - P_s S_s v_s\,\mathrm{d}t

     En introduisant les volumes massiques v_{m,e} = 1/\rho_e et v_{m,s} = 1/\rho_s, le volume balayé vaut S v\,\mathrm{d}t = \mathrm{d}m/\rho, d'où :

     \delta W_{\text{press}} = \mathrm{d}m \left( \frac{P_e}{\rho_e} - \frac{P_s}{\rho_s} \right) = -\,\mathrm{d}m\,\Delta\left(\frac{P}{\rho}\right)
   • le travail utile \delta W_u = \mathrm{d}m\,w_u échangé avec des parties mobiles (pales de turbine, pompe, etc.) ;
   • les parois indéformables de la conduite ne fournissent aucun travail.

   Le transfert thermique reçu s'écrit \delta Q = \mathrm{d}m\,q.

   En rassemblant les termes dans le premier principe :

   \mathrm{d}m\,(\Delta u + \Delta e_{\text{mec}}) = \mathrm{d}m \left( \frac{P_e}{\rho_e} - \frac{P_s}{\rho_s} \right) + \mathrm{d}m\,w_u + \mathrm{d}m\,q

   En divisant par \mathrm{d}m et en regroupant les grandeurs à l'entrée et à la sortie :

   \Delta u + \Delta\left(\frac{P}{\rho}\right) + \Delta e_{\text{mec}} = q + w_u

   L'enthalpie massique étant définie par h = u + \dfrac{P}{\rho}, on obtient le « principe industriel » :

   \boxed{\Delta h + \Delta e_{\text{mec}} = q + w_u}

   Signification physique des grandeurs écrites :

   • \Delta h = h_s - h_e : variation d'enthalpie massique du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • \Delta e_{\text{mec}} = \Delta\left(\frac{1}{2}v^2 + g z\right) : variation de l'énergie mécanique massique (cinétique et potentielle de pesanteur) du fluide entre la sortie et l'entrée (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • q = \dfrac{\delta Q}{\mathrm{d}m} : transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois de la conduite (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
   • w_u = \dfrac{\delta W_u}{\mathrm{d}m} : travail mécanique utile massique échangé avec l'extérieur, hors travail des forces de pression aux frontières fluides (associé à des organes mobiles tels qu'une turbine ou une pompe) (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}).

   Résultat

   $$\Delta h+\Delta e_{\text{mec}}=q+w_u$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Physique B PT 2022, Q1

    Pour un écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide entre une section d'entrée e et une section de sortie s, le premier principe de la thermodynamique en grandeurs massiques s'écrit :

    \boxed{\Delta\left(h + \frac{1}{2}c^2 + gz\right) = \left(h_s - h_e\right) + \frac{1}{2}\left(c_s^2 - c_e^2\right) + g\left(z_s - z_e\right) = w_u + q}

    où :

    • h_e et h_s sont les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
    • c_e et c_s sont les vitesses moyennes d'écoulement en entrée et en sortie (\mathrm{m\cdot s^{-1}}) ;
    • z_e et z_s sont les altitudes de l'entrée et de la sortie (\mathrm{m}), et g l'accélération de la pesanteur (\mathrm{m\cdot s^{-2}}) ;
    • w_u (parfois noté w_i, travail indiqué) est le travail mécanique massique utile échangé par le fluide avec les parties mobiles des machines traversées (arbres de compresseurs ou de turbines) (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}) ;
    • q est le transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois du système ouvert (\mathrm{J\cdot kg^{-1}}).

    Lorsque les variations d'énergie cinétique macroscopique et d'énergie potentielle de pesanteur sont négligeables devant les variations d'enthalpie (hypothèse standard dans les compresseurs, turbines et échangeurs thermiques), ce bilan se réduit à :

    \Delta h = h_s - h_e = w_u + q

    Résultat

    $$\Delta \left(h+\frac{1}{2}{c}^2+gz\right)=\left(h_s-h_e\right)+\frac{1}{2}\left(c_s^2-c_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)=w_u+q$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question