Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2020

D'après l'énoncé, la constante radioactive \lambda représente la probabilité de désintégration d'un noyau par unité de temps.

Une probabilité étant une grandeur sans dimension, le rapport d'une probabilité par une durée a pour dimension l'inverse d'un temps :

Dans le Système international d'unités (SI), \lambda s'exprime ainsi en \mathrm{s}^{-1}.

D'après le préambule, la probabilité pour qu'un noyau donné se désintègre entre les instants t et t+\mathrm{d}t vaut :

Les désintégrations des différents noyaux étant des processus mutuellement indépendants, le nombre moyen de noyaux qui disparaissent pendant la durée \mathrm{d}t au sein d'une population de N(t) noyaux est :

Le nombre de noyaux présents à l'instant t + \mathrm{d}t est donc relié à N(t) par :

La variation élémentaire de la population s'écrit \mathrm{d}N = N(t+\mathrm{d}t) - N(t) = -\lambda N(t)\,\mathrm{d}t. Pour une population macroscopique (N \gg 1), on peut assimiler N(t) à une fonction continue et dérivable du temps :

On obtient bien l'équation différentielle régissant l'évolution de la population :

L'intégration de la loi de décroissance radioactive établie à la question Q2 donne :

Par définition de la demi-vie (ou période radioactive) T_{1/2}, le nombre de noyaux restants à l'instant t = T_{1/2} est égal à la moitié du nombre initial de noyaux :

En substituant dans la loi horaire :

On obtient ainsi la relation entre \lambda et T_{1/2} :

D'après la question Q3, la constante radioactive est reliée à la période radioactive par :

En prenant pour durée d'une année julienne 1\text{ an} = 365{,}25\text{ jours} = 365{,}25 \times 86\,400\text{ s} \approx 3{,}156 \times 10^7\text{ s} :

• Pour l'uranium 238 (T_{1/2} = 4{,}468 \times 10^9\text{ années}) :

  \begin{aligned} T_{1/2}(^{238}\mathrm{U}) &= 4{,}468 \times 10^9 \times 3{,}156 \times 10^7 \approx 1{,}410 \times 10^{17}\text{ s} \\ \lambda_{238} &= \frac{\ln 2}{1{,}410 \times 10^{17}} \approx 4{,}92 \times 10^{-18}\text{ s}^{-1} \end{aligned}

• Pour l'uranium 235 (T_{1/2} = 703{,}8 \times 10^6\text{ années}) :

  \begin{aligned} T_{1/2}(^{235}\mathrm{U}) &= 703{,}8 \times 10^6 \times 3{,}156 \times 10^7 \approx 2{,}221 \times 10^{16}\text{ s} \\ \lambda_{235} &= \frac{\ln 2}{2{,}221 \times 10^{16}} \approx 3{,}12 \times 10^{-17}\text{ s}^{-1} \end{aligned}

Commentaires :

• Comparaison avec le thorium : On constate que :

  \frac{\lambda_{238}}{\lambda_{\mathrm{Th}}} = \frac{4{,}92 \times 10^{-18}}{1{,}6 \times 10^{-18}} \approx 3{,}1

  Le thorium est bien environ trois fois moins radioactif que l'uranium 238, ce qui concorde parfaitement avec les indications du texte de la partie I.A.

• Comparaison entre isotopes de l'uranium :

  \frac{\lambda_{235}}{\lambda_{238}} = \frac{T_{1/2}(^{238}\mathrm{U})}{T_{1/2}(^{235}\mathrm{U})} \approx 6{,}35

  L'uranium 235 se désintègre plus de six fois plus vite que l'uranium 238.

• Ordre de grandeur : Ces constantes sont extrêmement faibles, ce qui correspond à des durées de demi-vie du même ordre de grandeur que l'âge de la Terre (\approx 4{,}5\text{ Ga}). C'est ce qui explique que ces éléments soient encore naturellement présents dans la croûte terrestre aujourd'hui.

D'après les précisions de l'énoncé, en négligeant l'uranium 234, la proportion d'uranium 235 au sein de l'uranium naturel à l'instant t s'écrit :

La loi de décroissance radioactive établie à la question Q2 donne pour chaque isotope :

Le rapport des populations s'exprime donc sous la forme :

Or, d'après les résultats de la question Q4 :

Comme \lambda_{235} - \lambda_{238} > 0, le rapport \dfrac{N_{238}(t)}{N_{235}(t)} est une fonction strictement croissante du temps.

Par conséquent :

Soit \tau le temps compté positivement vers le passé depuis notre époque (\tau = 0). Les populations de noyaux étaient alors :

Le rapport isotopique r(\tau) = \frac{N_{235}(\tau)}{N_{238}(\tau)} s'écrit :

Une proportion minimale p_c = 3{,}0\,\% correspond à un rapport isotopique seuil :

La proportion d'uranium 235 était supérieure ou égale à 3\,\% pour toutes les dates \tau \ge \tau_c telles que r(\tau_c) = r_c, soit :

Effectuons l'application numérique avec les demi-vies fournies :

• \frac{1}{T_{1/2,235}} - \frac{1}{T_{1/2,238}} = \frac{1}{703{,}8 \times 10^6} - \frac{1}{4{,}468 \times 10^9} \approx 1{,}197 \times 10^{-9}\text{ an}^{-1}
• \lambda_{235} - \lambda_{238} = \ln 2 \times 1{,}197 \times 10^{-9} \approx 8{,}30 \times 10^{-10}\text{ an}^{-1}
• \frac{r_c}{r(0)} = \frac{0{,}030 \times 0{,}9928}{0{,}97 \times 0{,}0072} \approx 4{,}265 \implies \ln(4{,}265) \approx 1{,}450

On trouve ainsi :

La Terre s'étant formée il y a environ T_{\text{Terre}} \approx 4{,}5\text{ milliards d'années} (valeur cohérente avec la demi-vie de ^{238}\mathrm{U} donnée à \approx 4{,}47\text{ Ga}), les minerais naturels contenaient plus de 3\,\% d'uranium 235 entre la formation de la Terre et il y a 1{,}75\text{ milliard d'années}.

Oui, une telle période a existé ; elle a duré depuis la formation de la Terre jusqu'à \tau_c, soit une durée :

La masse totale d'uranium naturel présente sur la parcelle est m = 24\text{ kg}.

D'après les données, les proportions isotopiques en masse sont p_{238} = 99{,}28\,\% et p_{235} = 0{,}72\,\%. Le nombre de noyaux de chaque isotope s'écrit :

Les activités associées valent, avec les constantes radioactives issues de la question Q4 (\lambda_{238} \approx 4{,}92 \times 10^{-18}\text{ s}^{-1} et \lambda_{235} \approx 3{,}12 \times 10^{-17}\text{ s}^{-1}) :

Chaque désintégration libère une énergie E_{\alpha} :

La puissance dégagée par les désintégrations directes de l'uranium est donc :

Rapportée à la masse d'uranium, cette puissance correspond à une puissance massique :

Si l'on utilise directement la valeur fournie par l'extrait (0{,}082\text{ W}\cdot\text{t}^{-1}), la puissance totale dégagée sur la parcelle est :

Comparaison et commentaire : La puissance issue de la désintégration de l'uranium seul est environ 9{,}2 fois plus faible que la valeur globale indiquée dans le texte :

Cet écart s'explique parfaitement par la précision apportée dans le texte : la valeur de 0{,}082\text{ W}\cdot\text{t}^{-1} inclut l'uranium ainsi que ses descendants à l'équilibre séculaire. Par exemple, la chaîne radioactive complète de l'uranium 238 jusqu'au plomb 206 stable comporte 8 désintégrations \alpha et 6 désintégrations \beta^-, libérant une énergie totale cumulée de l'ordre de 48\text{ à }50\text{ MeV}, soit environ 8 à 10 fois l'énergie de la seule désintégration initiale de ^{238}\mathrm{U}.

D'après l'énoncé et la structure type fluorine (\mathrm{CaF}_2) représentée sur la figure A du document réponse :

• Ions uranium \mathrm{U}^{4+} : ils forment un réseau cubique à faces centrées (cfc). Ils occupent donc les 8 sommets et les 6 centres des faces de la maille conventionnelle cubique (sphères grises sur la figure A).
• Ions oxygène \mathrm{O}^{2-} : ils sont situés au centre de chacun des 8 sous-cubes d'arête a/2 (les 8 octants) formant un réseau cubique simple d'arête a/2 entièrement inclus dans la maille (sphères vertes au cœur de la maille).

Chaque ion \mathrm{O}^{2-} est équidistant d'un sommet et des trois centres de faces adjacents à ce sommet, formant ainsi un tétraèdre régulier de cations \mathrm{U}^{4+}. Les sites du réseau cfc occupés par les ions oxygène sont donc les :

Dénombrons les ions appartenant en propre à la maille élémentaire conventionnelle :

• Ions uranium \mathrm{U}^{4+} (réseau cubique à faces centrées) :

  • 8 ions situés aux sommets du cube, partagés chacun entre 8 mailles adjacentes : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ;
  • 6 ions situés aux centres des faces, partagés chacun entre 2 mailles : 6 \times \dfrac{1}{2} = 3.

  Le nombre d'ions \mathrm{U}^{4+} par maille est donc :

  N(\mathrm{U}^{4+}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

• Ions oxygène \mathrm{O}^{2-} (sites tétraédriques) :

  • 8 ions situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, donc entièrement intérieurs à la maille :
  N(\mathrm{O}^{2-}) = 8 \times 1 = 8

Le rapport du nombre d'ions par maille vaut :

Ce résultat est parfaitement cohérent avec la formule stœchiométrique \mathrm{UO}_2.

La maille élémentaire contient Z = 4 motifs \mathrm{UO}_2 (question Q9). La masse volumique du cristal s'exprime selon :

D'où l'expression du paramètre de maille a :

Pour le dioxyde d'uranium enrichi à 5\,\% en {}^{235}\mathrm{U} et 95\,\% en {}^{238}\mathrm{U}, la masse molaire de l'uranium vaut :

La masse molaire du dioxyde d'uranium est donc :

Avec \rho = 11{,}0\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 11{,}0 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} :

Commentaire : Cette valeur est tout à fait typique des paramètres de maille de cristaux ioniques, qui sont de l'ordre de quelques centaines de picomètres (quelques angströms).

Comparaison avec les rayons ioniques : Dans la structure fluorine, chaque ion oxygène \mathrm{O}^{2-} occupe le centre d'un sous-cube d'arête a/2. La plus courte distance entre un ion uranium \mathrm{U}^{4+} (situé à un sommet d'un sous-cube) et un ion oxygène \mathrm{O}^{2-} (au centre de ce sous-cube) correspond à la demi-diagonale du sous-cube :

Numériquement, avec a = 546\text{ pm} :

Or, la somme des rayons ioniques vaut :

La condition de contact cation-anion a\frac{\sqrt{3}}{4} = r(\mathrm{U}^{4+}) + r(\mathrm{O}^{2-}) conduirait à :

L'accord entre la valeur déduite de la masse volumique macroscopique (546\text{ pm}) et celle prédite par le modèle des sphères dures tangentes (547\text{ pm}) est remarquable (écart relatif inférieur à 0{,}2\,\%).

La pastille est constituée de dioxyde d'uranium \mathrm{UO}_2 enrichi à 5{,}0\,\% en uranium 235 (en proportion isotopique au sein de l'uranium). La masse molaire de l'uranium enrichi est :

La masse molaire du dioxyde d'uranium vaut ainsi :

Une pastille de masse m = 7{,}5\text{ g} contient une quantité de matière de \mathrm{UO}_2 :

Chaque formule unité \mathrm{UO}_2 apportant un atome d'uranium, le nombre total d'atomes d'uranium est N_{\mathrm{U}} = n(\mathrm{UO}_2)\,\mathcal{N}_A. Le nombre de noyaux d'uranium 235 dans la pastille s'écrit donc :

D'après les données, chaque désintégration \alpha d'un noyau d'uranium 235 libère une énergie :

Si la totalité des noyaux de ^{235}\mathrm{U} venait à se désintégrer par radioactivité \alpha, l'énergie totale dégagée serait :

1. Énergie électrique consommée et énergie thermique nécessaire

L'énergie électrique consommée en un an s'élève à :

Les centrales thermiques à flamme et les centrales nucléaires de type REP fonctionnent selon des cycles à vapeur dont le rendement global de conversion de l'énergie thermique en énergie électrique est de l'ordre de \eta \approx 33\,\% (environ un tiers). L'énergie thermique primaire à fournir est donc :

2. Cas de la centrale au charbon

D'après le tableau des données, une tonne équivalent charbon (tec) libère :

La masse de charbon nécessaire pour produire l'énergie thermique requise est :

(Sans tenir compte du rendement de la centrale, c'est-à-dire en supposant \eta = 1, il faudrait 2{,}5\text{ t}).

3. Cas de la centrale nucléaire de type REP

La fission d'un noyau d'uranium 235 libère une énergie E_{\text{fiss}} = 2{,}0 \times 10^2\text{ MeV} = 200 \times 1{,}60 \times 10^{-13}\text{ J} = 3{,}2 \times 10^{-11}\text{ J}.

L'énergie libérée par unité de masse d'uranium 235 fissionné vaut :

La masse d'^{235}\mathrm{U} qui doit effectivement fissionner est :

Le combustible utilisé est du dioxyde d'uranium enrichi à 5{,}0\,\% en ^{235}\mathrm{U}. La masse molaire de \mathrm{UO}_2 est :

La fraction massique en ^{235}\mathrm{U} dans ce combustible est w_{235} \approx 0{,}05 \times \frac{235}{270} \approx 4{,}35\,\%. En supposant une consommation complète du ^{235}\mathrm{U}, la masse correspondante de combustible \mathrm{UO}_2 enrichi est :

ce qui représente environ 8 pastilles de combustible de 7{,}5\text{ g}. Même en tenant compte d'un taux de combustion réaliste (le combustible n'est consommé qu'à hauteur de quelques dizaines de pourcents avant retraitement), la masse de combustible engagée reste de l'ordre de 100 à 200\text{ g}.

Commentaire :

• L'écart est d'environ six ordres de grandeur : il faut près de 7{,}4\text{ tonnes} de charbon contre seulement quelques dizaines de grammes de combustible nucléaire (2{,}7\text{ g} d'uranium 235 fissionné). Cela illustre directement le propos du texte introductif : « l'énergie récupérable est plus d'un million de fois supérieure à celle des combustibles fossiles pour une masse équivalente ».
• Cette immense densité énergétique confère au nucléaire un avantage logistique majeur en termes de transport et de stockage du combustible par rapport au charbon, tout en évitant l'émission de dizaines de tonnes de \mathrm{CO}_2 associées à la combustion fossile. En contrepartie, la gestion des produits de fission et actinides mineurs formés au sein du réacteur requiert des protocoles de confinement stricts.