Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2020 (page 3/3 : Partie III)

Considérons le système fermé \Sigma défini de la façon suivante :

• à l'instant t, \Sigma(t) = \Sigma_0 \cup \delta m_{\text{e}}, où \Sigma_0 est le volume fixe de l'élément et \delta m_{\text{e}} la masse de fluide qui va y pénétrer pendant la durée \mathrm{d}t ;
• à l'instant t + \mathrm{d}t, \Sigma(t + \mathrm{d}t) = \Sigma_0 \cup \delta m_{\text{s}}, où \delta m_{\text{s}} est la masse de fluide sortie pendant \mathrm{d}t.

Le régime étant stationnaire, la masse totale contenue dans \Sigma_0 est constante, d'où la conservation de la masse :

Appliquons le premier principe de la thermodynamique au système fermé \Sigma entre t et t+\mathrm{d}t. En négligeant les variations d'énergies cinétique et potentielle de pesanteur macroscopiques devant les variations d'énergie interne, le bilan s'écrit :

1. Variation d'énergie interne :

En régime stationnaire, l'état thermodynamique de \Sigma_0 ne dépend pas du temps, donc U_{\Sigma_0}(t+\mathrm{d}t) = U_{\Sigma_0}(t). Il reste :

où u_{\text{e}} et u_{\text{s}} désignent respectivement l'énergie interne massique du fluide en entrée et en sortie.

2. Travail et transferts thermiques reçus :

• Le transfert thermique reçu par le fluide pendant \mathrm{d}t est : \delta Q = P_{\text{th}}\,\mathrm{d}t.
• Le travail des forces autres que pressantes (arbres en rotation, parties mobiles) est : \delta W_{\text{u}} = P_{\text{u}}\,\mathrm{d}t.

• Le travail des forces de pression extérieures exercées sur les frontières mobiles du système fermé (travail de transvasement) comprend :

  • à l'entrée, le fluide amont pousse la masse \delta m de volume \delta V_{\text{e}} = v_{\text{e}}\,\delta m : \delta W_{P,\text{e}} = + P_{\text{e}}\,\delta V_{\text{e}} = P_{\text{e}} v_{\text{e}}\,\delta m ;
  • à la sortie, le fluide aval résiste à l'évacuation de la masse \delta m de volume \delta V_{\text{s}} = v_{\text{s}}\,\delta m : \delta W_{P,\text{s}} = - P_{\text{s}}\,\delta V_{\text{s}} = - P_{\text{s}} v_{\text{s}}\,\delta m.

Les parois de l'élément étant indéformables, les forces de pression sur ces parois ne travaillent pas. On a donc :

3. Bilan d'enthalpie : En réinjectant ces expressions dans le premier principe :

En introduisant l'enthalpie massique h = u + Pv et le débit massique R = \frac{\delta m}{\mathrm{d}t}, on obtient :

Les caractéristiques thermodynamiques de chaque état se déduisent des données du sujet :

• État A : sortie du générateur de vapeur, vapeur saturante sèche à P_A = 70\text{ bar} (x_A = 1).
  D'après les données de saturation, T_A = 286\text{ }^\circ\text{C} et s_A = s_{\text{v}}(70\text{ bar}) = 5{,}81\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point A est sur la courbe de rosée (x=1).

• État B : sortie de la turbine haute pression (HP), mélange diphasique à P_B = 11\text{ bar} de titre x_B = 0{,}90.
  La température est la température de saturation T_B = 184\text{ }^\circ\text{C}, et l'entropie vaut :

  s_B = (1 - x_B)s_{\ell}(11\text{ bar}) + x_B s_{\text{v}}(11\text{ bar}) = 0{,}10 \times 2{,}18 + 0{,}90 \times 6{,}55 = 6{,}11\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  Le point B est sous la cloche, sur le palier à 184\text{ }^\circ\text{C} à l'intersection avec la courbe x = 0{,}90.

• État C : sortie liquide du séparateur gravitaire, liquide saturant à P_C = 11\text{ bar} (x_C = 0).
  T_C = 184\text{ }^\circ\text{C} et s_C = s_{\ell}(11\text{ bar}) = 2{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point C est sur la courbe d'ébullition (x=0).
• État D : entrée du générateur de vapeur, liquide comprimé sous P_D = 70\text{ bar} à T_D = 76\text{ }^\circ\text{C}.
  L'eau liquide étant très peu compressible, l'état se situe quasiment sur la courbe limite liquide (x=0) à l'ordonnée T = 76\text{ }^\circ\text{C} (s_D \approx 1{,}0\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).
• État E : sortie vapeur du séparateur, vapeur saturante sèche à P_E = 11\text{ bar} (x_E = 1).
  T_E = 184\text{ }^\circ\text{C} et s_E = s_{\text{v}}(11\text{ bar}) = 6{,}55\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point E est sur la courbe de rosée (x=1).
• État F : sortie du surchauffeur, vapeur surchauffée à P_F = 11\text{ bar} et T_F = 250\text{ }^\circ\text{C} (ou 281\text{ }^\circ\text{C} selon le schéma de la figure 7).
  Comme T_F > T_{\text{sat}}(11\text{ bar}) = 184\text{ }^\circ\text{C}, le point F est situé hors de la cloche, à droite, à l'intersection de l'isobare 11\text{ bar} et de l'isotherme T_F.

• État G : sortie de la turbine basse pression (BP), mélange diphasique à P_G = 0{,}05\text{ bar} de titre x_G = 0{,}88.
  La température est T_G = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C}, et l'entropie vaut :

  s_G = (1 - x_G)s_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) + x_G s_{\text{v}}(0{,}05\text{ bar}) = 0{,}12 \times 0{,}476 + 0{,}88 \times 8{,}39 = 7{,}44\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}

  Le point G est sous la cloche, sur le palier à 33\text{ }^\circ\text{C} à l'intersection avec la courbe x = 0{,}88.

• État H : sortie du condenseur, liquide saturant à P_H = 0{,}05\text{ bar} (x_H = 0).
  T_H = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C} et s_H = s_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) = 0{,}476\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point H est sur la courbe d'ébullition (x=0).
• État I : sortie de condensation du surchauffeur, liquide saturant à P_I = 70\text{ bar} (x_I = 0).
  T_I = 286\text{ }^\circ\text{C} et s_I = s_{\ell}(70\text{ bar}) = 3{,}12\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.
  Le point I est sur la courbe d'ébullition (x=0).

L'état (F) est une vapeur surchauffée (vapeur sèche) sous une pression P = 11\text{ bar}.

Cas T_F = 281\ ^\circ\text{C} (texte p. 6 et figure 7) : Sur le diagramme (T, s), on se place à l'ordonnée T_F = 281\ ^\circ\text{C} et sur l'isobare P \approx 11\text{ bar} (légèrement au-dessus de l'isobare 10\text{ bar}). Le point représentatif se situe pratiquement sur la courbe isenthalpique h = 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. On lit :

Cas T_F = 250\ ^\circ\text{C} (données du tableau p. 11) : Si l'on utilise la valeur T_F = 250\ ^\circ\text{C} issue du tableau des caractéristiques du circuit secondaire, l'intersection de l'isotherme 250\ ^\circ\text{C} et de l'isobare 11\text{ bar} se situe entre les isenthalpes 2900\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, aux alentours du tiers supérieur de l'intervalle :

La valeur h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} (correspondant à T_F = 281\ ^\circ\text{C}) est généralement privilégiée car elle tombe directement sur une ligne repère graduée du diagramme.

Les états B et G sont des mélanges diphasiques liquide-vapeur situés sous la courbe de saturation, caractérisés chacun par leur pression et leur titre massique en vapeur x.

L'enthalpie massique d'un mélange liquide-vapeur de titre en vapeur x s'exprime sous la forme :

où h_{\ell} et h_v sont respectivement les enthalpies massiques du liquide saturant et de la vapeur saturante sèche à la pression considérée.

1. Enthalpie massique à l'état B :

L'état B est à la pression P_B = 11\text{ bar} avec un titre x_B = 0{,}90. D'après les données fournies pour l'eau à 11\text{ bar} :

• h_{\ell}(11\text{ bar}) = 781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_v(11\text{ bar}) = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

2. Enthalpie massique à l'état G :

L'état G est à la pression P_G = 0{,}05\text{ bar} avec un titre x_G = 0{,}88. D'après les données fournies pour l'eau à 0{,}05\text{ bar} :

• h_{\ell}(0{,}05\text{ bar}) = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_v(0{,}05\text{ bar}) = 2561\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On en déduit :

À l'état D, l'eau se trouve à l'état liquide sous la pression P_D = 70\text{ bar} et à la température T_D = 76\text{ }^\circ\text{C} = 349\text{ K}.
Or, à cette pression de 70\text{ bar}, la température d'ébullition vaut T_{\text{sat}}(70\text{ bar}) = 286\text{ }^\circ\text{C} (donnée du tableau « Sur l'eau »). L'état D correspond donc à un liquide comprimé (ou sous-refroidi), très éloigné des conditions critiques.

Pour une phase condensée (liquide) considérée comme incompressible et indilatable de capacité thermique massique c_{\text{liq}} et de volume massique v_{\text{liq}} \approx 1{,}0 \times 10^{-3}\text{ m}^3\cdot\text{kg}^{-1}, la différentielle de l'enthalpie massique s'écrit :

Plusieurs démarches concordantes permettent d'estimer h_D :

Méthode 1 : Utilisation de la capacité thermique massique usuelle de l'eau liquide Avec la convention usuelle h(0\text{ }^\circ\text{C}, P_{\text{sat}}) \approx 0 et la valeur usuelle c_{\text{liq}} \approx 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

Méthode 2 : Interpolation à partir des tables fournies À l'état liquide saturant sous P_H = 0{,}05\text{ bar}, pour lequel T_{\text{sat}} = 33{,}0\text{ }^\circ\text{C}, les données indiquent h_{\text{liq}} = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}. En intégrant entre cet état de référence liquide et l'état D :

Méthode 3 : Lecture sur le diagramme (T,s) Sur le diagramme (T,s) fourni (page 9), en suivant la courbe d'ébullition (x = 0) jusqu'à l'ordonnée T = 76\text{ }^\circ\text{C}, on relève une valeur d'enthalpie située nettement entre 200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et 400\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, voisine de 320\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

On retient donc :

1. Relation entre R_0, R_1 et R_3 :

   En régime stationnaire, la conservation du débit massique au nœud de dérivation situé à la sortie du générateur de vapeur (état A) impose que le débit incident R_0 se sépare entre le débit R_1 alimentant la turbine haute pression (HP) et le débit R_3 alimentant le surchauffeur :

   \boxed{R_0 = R_1 + R_3}

2. Relation entre R_2, R_1 et x_B :

   Le mélange diphasique issu de la turbine HP entre dans le séparateur avec un débit total R_1 et un titre massique en vapeur x_B. Ce séparateur sépare physiquement la phase gazeuse (débit R_2 de vapeur saturante en haut, état E) de la phase liquide (débit R_4 de liquide saturant en bas, état C).

   Par définition du titre en vapeur comme rapport du débit massique de vapeur au débit massique total :

   x_B = \frac{R_{\text{vap}}}{R_{\text{tot}}} = \frac{R_2}{R_1}

   On en déduit immédiatement :

   \boxed{R_2 = x_B R_1}

3. Relation entre R_4, R_1 et x_B :

   Le débit de liquide R_4 correspond à la fraction liquide du fluide entrant :

   1 - x_B = \frac{R_{\text{liq}}}{R_{\text{tot}}} = \frac{R_4}{R_1}

   Ce qui donne directement :

   \boxed{R_4 = (1 - x_B) R_1}

   On vérifie bien la conservation globale de la masse dans le séparateur : R_2 + R_4 = x_B R_1 + (1 - x_B) R_1 = R_1.

Considérons le surchauffeur comme un système ouvert fonctionnant en régime stationnaire. Il comporte deux courants de fluide indépendants qui n'entrent pas en contact direct :

• le fluide chaud (débit R_3) qui entre à l'état A (vapeur saturante à 70\text{ bar}) et ressort entièrement liquéfié à l'état I (liquide saturant à 70\text{ bar}) ;
• le fluide froid (débit R_2) qui entre à l'état E (vapeur saturante à 11\text{ bar}) et ressort à l'état surchauffé F (vapeur à 11\text{ bar} et T_F).

D'après le premier principe généralisé pour un système ouvert à plusieurs entrées et sorties donné dans le préambule de la partie III.A :

Puisque le surchauffeur est dépourvu de pièces mobiles, il ne fournit ni ne reçoit de puissance utile : P_{\mathrm{u}} = 0. De plus, l'échangeur étant supposé parfaitement calorifugé vis-à-vis du milieu extérieur, la puissance thermique échangée avec l'extérieur est nulle : P_{\mathrm{th}} = 0.

Le bilan d'enthalpie s'écrit donc :

ce qui conduit immédiatement à la relation :

ou de manière équivalente :

Les enthalpies massiques mises en jeu sont :

• h_A : enthalpie massique de la vapeur saturante sous 70\text{ bar} (h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• h_I : enthalpie massique du liquide saturant sous 70\text{ bar} (h_I = 1268\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), de sorte que h_A - h_I = \Delta h_{\mathrm{vap}}(70\text{ bar}) = 1504\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} représente la chaleur latente de condensation de la vapeur HP ;
• h_E : enthalpie massique de la vapeur saturante sous 11\text{ bar} (h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
• h_F : enthalpie massique de la vapeur surchauffée sous 11\text{ bar} déterminée à la question Q27.

D'après les questions Q30 et Q31, le système régissant les débits massiques s'écrit :

En injectant la relation (2) dans le bilan thermique (4), on obtient :

En reportant cette expression dans le bilan global (1), il vient :

d'où l'expression littérale de R_1 :

Les débits restants s'en déduisent immédiatement par :

Application numérique : D'après les tableaux de données :

• R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} ;
• x_B = 0{,}90 ;
• À P = 70\text{ bar} : h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_I = 1268\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, d'où h_A - h_I = 1504\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
• À P = 11\text{ bar} : h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

En adoptant la valeur h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} déterminée à la question Q27 (température T_F = 281\text{ }^\circ\text{C} indiquée sur le schéma et le texte) :

On calcule alors :

Remarque : si l'on prend la température T_F = 250\text{ }^\circ\text{C} du tableau (h_F \approx 2930\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}), on trouve x_B\frac{h_F - h_E}{h_A - h_I} \approx 0{,}089, ce qui conduit à : R_1 \approx 588\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_2 \approx 529\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_3 \approx 52\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} et R_4 \approx 59\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}.

Le second principe de la thermodynamique appliqué à un fluide en écoulement stationnaire à travers un système ouvert à une entrée et une sortie s'écrit :

En raison de la compacité de la machine et des vitesses d'écoulement très élevées (temps de transit très court), les échanges thermiques avec l'extérieur sont négligeables : les détentes dans les turbines sont considérées comme adiabatiques (P_{\mathrm{th}} \approx 0).

Une transformation adiabatique réversible se ferait donc à entropie massique constante (s_{\mathrm{s}} = s_{\mathrm{e}}). Or, d'après les valeurs obtenues à la question Q26 :

• Pour la turbine haute pression (HP) :

  \begin{aligned} s_A &= 5{,}81\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \\ s_B &= 6{,}11\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > s_A \implies s_{\mathrm{cr},\mathrm{HP}} = s_B - s_A = +0{,}30\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > 0 \end{aligned}

• Pour la turbine basse pression (BP) :

  \begin{aligned} s_F &\approx 6{,}95 \text{ à } 7{,}02\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \\ s_G &= 7{,}44\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} > s_F \implies s_{\mathrm{cr},\mathrm{BP}} = s_G - s_F > 0 \end{aligned}

Les causes de cette irréversibilité sont :

1. La dissipation visqueuse et les turbulences : les vitesses d'écoulement de la vapeur et les vitesses de rotation des aubages (plusieurs milliers de tours par minute) sont très élevées, engendrant de forts gradients de vitesse, des décollements de couche limite, des tourbillons et des frottements fluides importants.
2. Le caractère diphasique de la vapeur : en fin de détente, le fluide devient une vapeur humide (x_B = 0{,}90 et x_G = 0{,}88). L'apparition de gouttelettes liquides en suspension entraîne des frottements interphasiques supplémentaires et des chocs inélastiques avec les aubes en rotation.

1. Expression du débit du circuit tertiaire

Le condenseur est un échangeur de chaleur diphasique/monophasique parfaitement calorifugé vis-à-vis de l'extérieur, sans parties mobiles (P_{\mathrm{u}} = 0 et P_{\text{th, ext}} = 0).

D'après le schéma de la figure 7, le fluide secondaire traversant le condenseur provient de la turbine basse pression (état G) et en ressort à l'état de liquide saturant (état H). Le débit massique correspondant est donc celui qui traverse la turbine BP, soit :

Le bilan enthalpique global pour les deux fluides traversant le condenseur en régime stationnaire (question Q25) s'écrit :

L'eau du circuit tertiaire (eau de fleuve ou de mer) reste entièrement liquide à une pression voisine de 1\text{ bar} ; la variation d'enthalpie massique s'exprime au moyen de la capacité thermique massique de l'eau liquide c \approx 4{,}18\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

La puissance thermique cédée par la vapeur en condensation est :

Pour que l'élévation de température ne dépasse pas la valeur limite \Delta T_{\max} = 5\,^\circ\text{C} = 5\text{ K}, le débit massique de liquide de refroidissement doit satisfaire à :

2. Estimation numérique et commentaire

À la pression P = 0{,}05\text{ bar}, l'état H est du liquide saturant (h_H = h_{l}(0{,}05\text{ bar}) = 137{,}8\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) et l'état G possède un titre en vapeur x_G = 0{,}88 (d'après Q28) :

Avec le débit R_2 \approx 509\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1} calculé à la question Q32, la puissance thermique évacuée par un condenseur vaut :

Le débit minimal d'eau tertiaire pour cette boucle s'élève à :

Puisque la masse volumique de l'eau liquide est \rho \approx 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, cela correspond à un débit volumique d'environ 52\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1} pour une boucle.

Pour la tranche nucléaire complète (comportant 4 circuits secondaires identiques, soit une puissance thermique totale évacuée au condenseur d'environ 4{,}3\text{ GW}) :

Commentaire sur l'ordre de grandeur : Un tel débit (> 200\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) est gigantesque : il est du même ordre de grandeur que le débit moyen de la Seine à Paris (\sim 300\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}) ou représente une fraction notable de celui du Rhône (\sim 1700\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}). Cela explique impérativement l'implantation des centrales nucléaires en bord de mer ou le long de fleuves à très grand débit. Pour les centrales installées sur des cours d'eau plus modestes, un circuit ouvert direct est impossible : l'évacuation de la chaleur s'effectue alors vers l'atmosphère au moyen de tours aéroréfrigérantes par évaporation partielle d'eau.

3. Justification d'une limite supérieure d'échauffement

L'élévation de température de l'eau rejetée est strictement encadrée par la réglementation environnementale pour plusieurs raisons écologiques majeures :

• Solubilité du dioxygène : la solubilité des gaz dans l'eau diminue lorsque la température augmente. Un échauffement excessif abaisse la teneur en O_2 dissous, menaçant d'asphyxie la faune piscicole.
• Perturbation de la faune et de la flore : de nombreuses espèces aquatiques (poissons, invertébrés) sont sténothermes ; un choc thermique perturbe leur métabolisme, leur reproduction et leurs routes migratoires.
• Prolifération microbienne et algale : le réchauffement des eaux favorise l'eutrophisation et la prolifération de micro-algues ou de bactéries pathogènes (amibes, légionelles).

1. Définition du rendement

Le fluide du circuit secondaire reçoit de la chaleur au niveau du générateur de vapeur (GV) et fournit du travail mécanique utile au niveau des deux turbines (HP et BP). Le travail nécessaire à la recompression du liquide dans le récupérateur-compresseur étant très faible devant le travail fourni par la vapeur lors des détentes, le rendement thermique du cycle s'écrit :

2. Puissances mises en jeu pour un circuit secondaire

D'après le premier principe pour un écoulement stationnaire sans pertes thermiques au niveau des turbines :

• Puissance thermique reçue par l'eau dans le générateur de vapeur (D \to A) :

  P_{\mathrm{th, GV}} = R_0 \left( h_A - h_D \right)

• Puissance mécanique fournie par la turbine HP (A \to B) :

  P_{\mathrm{HP}} = R_1 \left( h_A - h_B \right)

• Puissance mécanique fournie par la turbine BP (F \to G) :

  P_{\mathrm{BP}} = R_2 \left( h_F - h_G \right)

3. Application numérique

En utilisant les valeurs établies précédemment (R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_1 \approx 566\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, R_2 \approx 509\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}, h_A = 2772\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_B = 2581\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_D \approx 325\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_F \approx 3000\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, h_G \approx 2270\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

La puissance mécanique totale produite par un circuit vaut donc :

On en déduit le rendement :

(Une valeur de h_F \approx 2930\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} conduirait de même à P_{\mathrm{BP}} \approx 336\text{ MW} et \eta \approx 28\text{ à } 29\%.)

4. Comparaison et cohérence

• Puissance totale du réacteur : avec 4 circuits secondaires identiques, la puissance mécanique totale développée vaut 4 \times 480\text{ MW} \approx 1920\text{ MW}. En tenant compte du rendement des alternateurs (\eta_{\mathrm{alt}} \approx 97\%) et de la consommation des auxiliaires, on retrouve bien une puissance électrique nette délivrée de l'ordre de 1600\text{ MWe}, valeur annoncée pour l'EPR.

• Rendement de Carnot : la source chaude se trouve à la température de changement d'état à 70 bar (T_{\mathrm{c}} = 286\,^\circ\text{C} = 559\text{ K}) et la source froide au condenseur à 0,05 bar (T_{\mathrm{f}} = 33\,^\circ\text{C} = 306\text{ K}). Le rendement maximal théorique associé vaut :

  \eta_{\mathrm{Carnot}} = 1 - \frac{T_{\mathrm{f}}}{T_{\mathrm{c}}} = 1 - \frac{306}{559} \approx 45\%

  Le rendement réel représente environ 70\% de cette borne théorique, ce qui est caractéristique d'une installation industrielle affectée par les irréversibilités de détente et d'échange thermique.

• Comparaison avec d'autres filières :

  • Centrales thermiques au charbon ou fioul supercritiques : \eta \approx 38\text{ à } 42\%, car la vapeur peut y être surchauffée à plus de 550\,^\circ\text{C}.
  • Centrales à cycle combiné gaz (turbine à combustion + cycle à vapeur) : \eta \approx 55\text{ à } 62\%.
  • En centrale nucléaire REP, la température de la vapeur est bornée par la tenue mécanique et la pression admissible de la cuve et des gaines, ce qui limite structurellement le rendement autour de 30\text{ à } 35\%.

1. Démarche et modification des débits

En l'absence de surchauffeur :

• aucun débit de vapeur n'est dérivé à la sortie du générateur de vapeur, d'où R_3 = 0 et le débit traversant la turbine HP devient le débit total :

  R_1' = R_0 = 640\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

• la turbine HP détend ce débit de l'état A à l'état B, fournissant un travail massique inchangé :

  w_{\mathrm{HP}} = h_A - h_B = 2772 - 2581 = 191\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

• le séparateur extrait la phase vapeur avec le titre x_B = 0{,}90, soit un débit envoyé à la turbine BP de :

  R_2' = x_B R_0 = 0{,}90 \times 640 = 576\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}
• la vapeur entre alors directement dans la turbine BP à l'état E (vapeur saturante sèche à 11\text{ bar}, T_E = 184^\circ\text{C}, h_E = 2781\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, s_E = 6{,}55\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}).

2. Estimation du travail de la turbine BP

Considérons une détente isentropique depuis l'état E jusqu'à la pression du condenseur P = 0{,}05\text{ bar} :

Le titre isentropique en fin de détente vaut :

L'enthalpie isentropique correspondante est :

Dans le cycle réel étudié en Q28, la turbine BP possède un rendement isentropique de détente :

En retenant un rendement isentropique similaire (\eta_{\mathrm{is, BP}} \approx 0{,}84) pour la détente depuis E, la variation d'enthalpie réelle est :

3. Bilan de puissance et estimation du rendement

La puissance totale fournie par les turbines sans surchauffeur s'écrit :

La puissance thermique fournie au niveau du générateur de vapeur reste :

Le rendement thermique obtenu sans surchauffeur est donc :

4. Commentaires

• Sur le rendement énergétique : le rendement thermodynamique n'est que très peu affecté (il reste voisin de 31\%). La surchauffe intermédiaire n'a pas pour objectif premier d'augmenter le rendement global de l'installation.

• Sur l'intérêt réel du surchauffeur : en l'absence de surchauffeur, le titre de vapeur en sortie de BP s'effondre :

  h_{G'} = 2781 - 659 = 2122\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \implies x_{G'} = \frac{2122 - 137{,}8}{2561 - 137{,}8} \approx 0{,}82

  Un titre de 82\% correspond à 18\% de liquide sous forme de microgouttelettes. Projetées à des vitesses de plusieurs centaines de mètres par seconde sur les ailettes des derniers étages de la turbine BP, ces gouttelettes provoqueraient une érosion mécanique et une corrosion destructrices. Le rôle indispensable du surchauffeur est d'assécher la vapeur lors de la détente pour maintenir x_G \gtrsim 0{,}88, garantissant ainsi la longévité de la turbine.