Feuille d'entraînement : Systèmes ouverts en écoulement

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q40

   Considérons le fluide traversant la vanne de détente V en régime stationnaire. Le premier principe de la thermodynamique appliqué à une unité de masse de fluide s'écrit :

   \Delta h + \Delta e_{\mathrm{c}} + \Delta e_{\mathrm{p}} = w_{\mathrm{u}} + q

   où :

   • w_{\mathrm{u}} est le travail massique utile (autre que celui des forces de pression aux frontières) échangé avec le milieu extérieur. La vanne ne comportant aucune pièce mobile en mouvement, on a :

     w_{\mathrm{u}} = 0

   • q est le transfert thermique massique avec l'extérieur. La vanne étant calorifugée, la détente est adiabatique :

     q = 0

   • d'après les hypothèses de l'énoncé, les variations d'énergie cinétique massique (\Delta e_{\mathrm{c}}) et d'énergie potentielle de pesanteur massique (\Delta e_{\mathrm{p}}) sont négligeables :

     \Delta e_{\mathrm{c}} \approx 0 \quad \text{et} \quad \Delta e_{\mathrm{p}} \approx 0

   Le bilan énergétique se réduit ainsi à :

   \Delta h = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}} = 0

   soit :

   \boxed{h_6 = h_5 \quad \text{ou} \quad h = \text{constante}}

   Le passage du \mathrm{CO}_2 dans la vanne est donc isenthalpe (détente de Joule-Thomson).

   Résultat

   $$h_6=h_5\text{ou}h=\text{constante}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2026, Q42

   D'après l'énoncé et les questions précédentes :

   • État 1 : Intersection de l'isobare P_1 = 6\text{ bar} et de l'isotherme T_1 = 0\,^\circ\text{C}. On lit :

     h_1 \approx 480\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_1 \approx 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
   • Évolution 1 \to 2 (compresseur C_1) : La compression est isentrope (Q41), on suit donc la courbe isentrope s = 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} depuis P_1 = 6\text{ bar} jusqu'à la ligne isobare P_2 = 20\text{ bar}.

   • État 2 : Intersection de l'isentrope s_2 = s_1 \approx 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_2 = 20\text{ bar}. On lit :

     h_2 \approx 545\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • Évolution 2 \to 3 (échangeur E_1) : Le refroidissement est isobare (P_3 = P_2 = 20\text{ bar}), représenté par un segment horizontal orienté vers la gauche.

   • État 3 : Intersection de l'isobare P_3 = 20\text{ bar} et de l'isotherme T_3 = 0\,^\circ\text{C}. On lit :

     h_3 \approx 460\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_3 \approx 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}
   • Évolution 3 \to 4 (compresseur C_2) : La compression est isentrope (Q41), on suit la courbe isentrope s = 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} depuis P_3 = 20\text{ bar} jusqu'à l'isobare P_4 = 80\text{ bar}.

   • État 4 : Intersection de l'isentrope s_4 = s_3 \approx 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_4 = 80\text{ bar}. On lit :

     h_4 \approx 532\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • Évolution 4 \to 5 (échangeur E_2) : Le refroidissement est isobare (P_5 = P_4 = 80\text{ bar}), représenté par un segment horizontal orienté vers la gauche.

   • État 5 : Intersection de l'isobare P_5 = 80\text{ bar} et de l'isotherme T_5 = 35\,^\circ\text{C}. On lit :

     h_5 \approx 348\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
   • Évolution 5 \to 6 (vanne de détente V) : La détente est isenthalpe (Q40) : h_6 = h_5, ce qui se traduit sur le diagramme par un segment vertical orienté vers le bas jusqu'à la pression P_6 = 6\text{ bar}.

   • État 6 : Intersection de la droite isenthalpe h_6 \approx 348\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et de l'isobare P_6 = 6\text{ bar}. Le point se situe sous la courbe de saturation (mélange diphasique liquide-vapeur), avec un titre massique en vapeur :

     x_6 \approx 0{,}76

   État	P\text{ (bar)}	T\text{ (}^\circ\text{C)}	h\text{ (kJ}\cdot\text{kg}^{-1}\text{)}	Propriété / Construction
   1	6	0	480	Intersection isobare 6 bar et isotherme 0\,^\circ\text{C}
   2	20	–	545	Compression isentrope (s_2 = s_1 \approx 2{,}20\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1})
   3	20	0	460	Refroidissement isobare jusqu'à 0\,^\circ\text{C}
   4	80	–	532	Compression isentrope (s_4 = s_3 \approx 1{,}87\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1})
   5	80	35	348	Refroidissement isobare jusqu'à 35\,^\circ\text{C}
   6	6	–	348	Détente isenthalpe (h_6 = h_5, x_6 \approx 0{,}76)

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q32

   Le diagramme fourni est un diagramme enthalpique de Mollier (\ln p, h), où l'abscisse représente l'enthalpie massique h (en \text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) et l'ordonnée la pression p (en \text{MPa}, échelle logarithmique). On rappelle que 1\text{ bar} = 0{,}1\text{ MPa}.

   1. Caractérisation et positionnement des quatre points :

   • Point A : état de vapeur saturante sèche à p_A = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} et \theta_A \approx 0\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 0{,}5\text{ MPa} et de la courbe de rosée (courbe de saturation de droite, titre en vapeur x = 1) :

     h_A \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_A = 0{,}5\text{ MPa}.

   • Point B : vapeur surchauffée en sortie de compresseur, défini par p_B = 15\text{ bar} = 1{,}5\text{ MPa} et \theta_B = 80\,^\circ\text{C}. Il se situe à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de l'isotherme \theta = 80\,^\circ\text{C} dans le domaine vapeur :

     h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_B = 1{,}5\text{ MPa}.

   • Point C : liquide saturant en sortie de condenseur, à la pression p_C = p_B = 1{,}5\text{ MPa}. Il se trouve à l'intersection de l'isobare p = 1{,}5\text{ MPa} et de la courbe d'ébullition (courbe de saturation de gauche, x = 0) :

     h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_C = 1{,}5\text{ MPa}.

   • Point D : mélange diphasique liquide-vapeur issu de la détente isenthalpique (h_D = h_C). Il se situe sur l'isobare p_D = 5\text{ bar} = 0{,}5\text{ MPa} à la même abscisse que C :

     h_D = h_C \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad p_D = 0{,}5\text{ MPa}.

   2. Tracé des transformations et sens de parcours :

   • A \to B : compression adiabatique irréversible, reliant A à B (courbe orientée vers le haut et la droite) ;
   • B \to C : désurchauffe, condensation totale isobare au condenseur (segment horizontal vers la gauche à p = 1{,}5\text{ MPa}) ;
   • C \to D : détente isenthalpique dans le détendeur (segment vertical descendant à h \approx 310\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
   • D \to A : vaporisation complète isobare à l'évaporateur (segment horizontal vers la droite à p = 0{,}5\text{ MPa}).

   \boxed{\text{Le cycle } A \to B \to C \to D \to A \text{ est parcouru dans le sens trigonométrique (anti-horaire).}}

   Résultat

   $$\text{Le cycle }A\to B\to C\to D\to A\text{ est parcouru dans le sens trigonomeˊtrique (anti-horaire).}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie TSI 2025, Q34

   Considérons le fluide frigorigène traversant le compresseur entre l'état initial A et l'état final B en régime stationnaire.

   Le premier principe de la thermodynamique en écoulement permanent pour une unité de masse de fluide s'écrit :

   \Delta \left( h + \frac{1}{2}c^2 + gz \right) = w_u + q

   où w_u = w_{AB} est le travail massique utile échangé avec les parties mobiles du compresseur, et q le transfert thermique massique avec le milieu extérieur.

   Formulons les hypothèses simplificatrices usuelles :

   • la variation d'énergie cinétique macroscopique est négligeable devant la variation d'enthalpie : \Delta e_c = \frac{1}{2}\left(c_B^2 - c_A^2\right) \approx 0 ;
   • la variation d'énergie potentielle de pesanteur est négligeable (dénivelé faible) : \Delta e_p = g(z_B - z_A) \approx 0 ;
   • la compression est adiabatique, comme spécifié dans l'énoncé : q = 0.

   Le bilan se simplifie alors sous la forme :

   w_{AB} = h_B - h_A

   D'après les lectures effectuées sur le diagramme enthalpique à la question Q32 :

   • h_A \approx 575\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} ;
   • h_B \approx 645\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

   On en déduit :

   \begin{aligned} w_{AB} &\approx 645 - 575 \\ w_{AB} &\approx 70\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{w_{AB} = h_B - h_A \approx 70\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}}

   Résultat

   $$w_{AB}=h_B-h_A\approx 70\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q39

   Pour un fluide en écoulement stationnaire et unidimensionnel à travers un système ouvert délimité par une section d'entrée notée e et une section de sortie notée s, le premier principe de la thermodynamique par unité de masse de fluide traversant le système s'écrit :

   \boxed{\Delta\left(h + \frac{1}{2}v^2 + gz\right) = \left(h_s - h_e\right) + \frac{1}{2}\left(v_s^2 - v_e^2\right) + g\left(z_s - z_e\right) = w_u + q}

   Les grandeurs intervenant dans ce bilan sont :

   • h_e et h_s : enthalpies massiques du fluide respectivement en entrée et en sortie (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
   • v_e et v_s : vitesses d'écoulement macroscopiques moyennes du fluide en entrée et en sortie (\text{m}\cdot\text{s}^{-1}) ;
   • z_e et z_s : altitudes de l'entrée et de la sortie repérées sur un axe vertical ascendant (\text{m}) ;
   • g : accélération de la pesanteur (\text{m}\cdot\text{s}^{-2}) ;
   • w_u (souvent noté w ou w_i) : travail utile (ou indiqué) massique échangé par le fluide avec les parties mobiles des machines (compresseur, turbine) (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}) ;
   • q : transfert thermique massique reçu par le fluide à travers les parois du dispositif (\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}).

   Ce bilan s'exprime également en termes de puissances en introduisant le débit massique D_m (\text{kg}\cdot\text{s}^{-1}) :

   D_m\,\Delta\left(h + \frac{1}{2}v^2 + gz\right) = \mathcal{P}_u + \mathcal{P}_{\text{th}}

   où \mathcal{P}_u = D_m\,w_u est la puissance utile mécanique reçue et \mathcal{P}_{\text{th}} = D_m\,q le flux thermique reçu.

   Résultat

   $$\Delta \left(h+\frac{1}{2}{v}^2+gz\right)=\left(h_s-h_e\right)+\frac{1}{2}\left(v_s^2-v_e^2\right)+g\left(z_s-z_e\right)=w_u+q$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CCINP Physique-Chimie TSI 2024, Q40

   D'après l'expression du premier principe pour un écoulement stationnaire unidimensionnel (question Q39), en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle macroscopiques, le bilan enthalpique massique entre l'entrée et la sortie d'un organe s'écrit :

   \Delta h = w_u + q

   Appliquons cette relation aux différentes étapes du cycle frigorifique :

   • Compresseur (1 \to 2) : la compression est adiabatique (q_{12} = 0), le travail indiqué massique reçu sur le cycle s'effectue uniquement dans le compresseur :

     w = w_u = h_2 - h_1

   • Condenseur (2 \to 3) : l'échangeur ne comporte aucune pièce mobile (w_{u,23} = 0), le transfert thermique massique reçu de la part de la source chaude s'écrit :

     q_C = h_3 - h_2

   • Détendeur (3 \to 4) : la détente est adiabatique et sans travail utile, elle est donc isenthalpique :

     h_4 = h_3

   • Évaporateur (4 \to 1) : sans parties mobiles (w_{u,41} = 0), le transfert thermique massique reçu de la part de la source froide est :

     q_F = h_1 - h_4 = h_1 - h_3

   Par lecture sur le diagramme enthalpique (P, h) de la figure 7, on relève les enthalpies massiques suivantes :

   \begin{aligned} h_1 &\approx 390\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \\ h_2 &\approx 440\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \\ h_3 = h_4 &\approx 240\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \end{aligned}

   On en déduit les grandeurs énergétiques massiques :

   \begin{aligned} q_F &= h_1 - h_4 \approx 390 - 240 = 150\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \\ q_C &= h_3 - h_2 \approx 240 - 440 = -200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \\ w &= h_2 - h_1 \approx 440 - 390 = 50\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \end{aligned}

   \boxed{q_F \approx 150\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, \quad q_C \approx -200\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, \quad w \approx 50\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}}

   Résultat

   $$q_F\approx 150\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1},q_C\approx -200\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1},w\approx 50\text{ kJ}\cdot {\text{kg}}^{-1}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q38

   À l'aide des données du tableau 2, on repère les points 1 à 7 sur le diagramme (\ln P, h) :

   Point	P (bar)	h (\text{kJ}\cdot\text{kg}^{-1})	État physique / Localisation
   1	2{,}7	402	Vapeur surchauffée (T_1 = 3{,}0\,^\circ\text{C} > T_{\text{sat}})
   2	11{,}6	442	Vapeur surchauffée haute pression
   3	11{,}6	421	Vapeur saturante sèche (sur la courbe de rosée x = 1)
   4	11{,}6	264	Liquide saturé (sur la courbe d'ébullition x = 0)
   5	11{,}6	256	Liquide sous-refroidi (à gauche de la cloche)
   6	2{,}7	256	Mélange diphasique liquide-vapeur (sous la cloche)
   7	2{,}7	397	Vapeur saturante sèche (sur la courbe de rosée x = 1)

   Le tracé du cycle sur le document-réponse comporte les étapes suivantes :

   • 1 \to 2 (compression adiabatique réversible) : transformation isentropique (s = \text{cte}), modélisée par une courbe ascendante orientée vers la droite, de (h_1, P_1) = (402, 2{,}7) à (h_2, P_2) = (442, 11{,}6) ;
   • 2 \to 3 \to 4 \to 5 (refroidissement, condensation puis sous-refroidissement isobares) : segment horizontal à P = 11{,}6\text{ bar}, parcouru de droite à gauche, de h = 442\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, traversant la cloche entre 3 (x=1) et 4 (x=0) ;
   • 5 \to 6 (détente isenthalpique dans le détendeur) : segment vertical descendant à enthalpie constante h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, de P = 11{,}6\text{ bar} à P = 2{,}7\text{ bar} ;
   • 6 \to 7 \to 1 (vaporisation puis surchauffe isobares) : segment horizontal à P = 2{,}7\text{ bar}, parcouru de gauche à droite, de h = 256\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} à h = 402\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, franchissant la courbe de rosée au point 7.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2023, Q42

   Pour un fluide en écoulement stationnaire à travers un organe délimité par une section d'entrée et une section de sortie, le premier principe de la thermodynamique appliqué à une unité de masse s'écrit généralement :

   \Delta h + \Delta e_c + \Delta e_p = w_i + q

   où :

   • \Delta h = h_{\text{sortie}} - h_{\text{entrée}} est la variation d'enthalpie massique du fluide ;
   • \Delta e_c et \Delta e_p sont respectivement les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle de pesanteur massiques ;
   • w_i est le travail utile (ou travail indiqué) massique reçu par le fluide de la part des pièces mobiles (machines) ;
   • q est le transfert thermique massique reçu par le fluide au contact des parois.

   En négligeant \Delta e_c et \Delta e_p devant \Delta h comme le précise l'énoncé, la relation se simplifie en :

   \boxed{\Delta h = w_i + q}

   De façon équivalente, en multipliant par le débit massique D_m, cette relation peut s'écrire sous forme de bilan de puissances :

   D_m \Delta h = \mathcal{P}_i + \mathcal{P}_{\text{th}}

   Résultat

   $$\Delta h=w_i+q$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2020, Q11

   Le coefficient de performance (\mathrm{COP}) d'une machine frigorifique est défini par le rapport entre l'effet thermique utile obtenu (transfert thermique Q_f prélevé à la source froide) et le coût énergétique nécessaire pour faire fonctionner la machine (travail mécanique W fourni par le compresseur au fluide) :

   \boxed{\mathrm{COP} = \frac{Q_f}{W}}

   Pour la machine de Carnot fonctionnant de manière réversible entre les deux thermostats aux températures T_f (source froide) et T_c (source chaude) avec T_c > T_f, les deux principes de la thermodynamique s'écrivent sur un cycle :

   \begin{aligned} \Delta U &= W + Q_f + Q_c = 0 \implies W = - (Q_f + Q_c) \\ \Delta S &= \frac{Q_f}{T_f} + \frac{Q_c}{T_c} = 0 \implies Q_c = -\frac{T_c}{T_f} Q_f \end{aligned}

   En injectant l'expression de Q_c dans le premier principe :

   W = - Q_f \left(1 - \frac{T_c}{T_f}\right) = Q_f \left(\frac{T_c - T_f}{T_f}\right)

   On en déduit l'expression du coefficient de performance de Carnot :

   \boxed{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}} = \frac{T_f}{T_c - T_f}}

   Résultat

   $$\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W}$$

   $${\mathrm{COP}}_{\text{Carnot}}=\frac{T_f}{T_c-T_f}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2020, Q12

    Considérons le système fermé \Sigma^* constitué :

    • du fluide contenu dans le volume de contrôle (l'organe traversé) à l'instant t ;
    • de la masse élémentaire \delta m de fluide qui s'apprête à entrer par la section d'entrée e pendant la durée \mathrm{d}t.

    À l'instant t+\mathrm{d}t, par conservation de la masse en écoulement stationnaire, cette même masse \delta m est sortie par la section de sortie s, et le volume de contrôle est occupé par une masse identique de fluide.

    Puisque les variations d'énergie cinétique et potentielle sont négligées, l'énergie totale du système se réduit à son énergie interne U. La variation d'énergie interne du système fermé \Sigma^* s'écrit :

    \mathrm{d}U = U(t+\mathrm{d}t) - U(t) = \left[ U_{\text{vc}}(t+\mathrm{d}t) + u_s\,\delta m \right] - \left[ U_{\text{vc}}(t) + u_e\,\delta m \right]

    où u_e et u_s sont les énergies internes massiques respectives à l'entrée et à la sortie. Le régime étant stationnaire, l'état du fluide dans le volume de contrôle ne dépend pas du temps : U_{\text{vc}}(t+\mathrm{d}t) = U_{\text{vc}}(t). Ainsi :

    \mathrm{d}U = (u_s - u_e)\,\delta m

    D'après le premier principe appliqué à ce système fermé entre t et t+\mathrm{d}t :

    \mathrm{d}U = \delta W + \delta Q

    Le travail mécanique \delta W reçu par le fluide se décompose en :

    • le travail indiqué \delta W_i = w_i\,\delta m échangé avec les parties mobiles ;
    • le travail des forces de pression extérieures à l'entrée (force motrice) : \delta W_{p,e} = + P_e\,v_e\,\delta m ;
    • le travail des forces de pression extérieures à la sortie (force résistante) : \delta W_{p,s} = - P_s\,v_s\,\delta m ;

    où v_e et v_s sont les volumes massiques respectifs du fluide. Le transfert thermique reçu s'écrit \delta Q = q\,\delta m.

    On en déduit :

    \begin{aligned} (u_s - u_e)\,\delta m &= w_i\,\delta m + (P_e\,v_e - P_s\,v_s)\,\delta m + q\,\delta m \\ (u_s + P_s\,v_s) - (u_e + P_e\,v_e) &= w_i + q \end{aligned}

    En introduisant l'enthalpie massique h = u + P v, on obtient, pour un kilogramme de fluide frigorifique (\delta m = 1\text{ kg}) :

    \boxed{\Delta h = h_s - h_e = w_i + q}

    Résultat

    $$\Delta h=h_s-h_e=w_i+q$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question