Feuille d'entraînement : Cristallographie

Corrigés

1. Exercice 1CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q24

   1. Population de la maille

   • Les ions indium \mathrm{In}^{3+} forment un réseau cubique à faces centrées (cfc) :

     • 8 ions aux sommets du cube, appartenant chacun à 8 mailles : 8 \times \frac{1}{8} = 1 ;
     • 6 ions aux centres des faces, appartenant chacun à 2 mailles : 6 \times \frac{1}{2} = 3.

     Soit :

     N(\mathrm{In}^{3+}) = 1 + 3 = 4

   • Les sites tétraédriques d'un réseau cfc sont situés au centre des 8 sous-cubes d'arête a/2, donc entièrement intérieurs à la maille (chacun compte pour 1). Les ions arséniure \mathrm{As}^{3-} occupant la moitié de ces sites :

     N(\mathrm{As}^{3-}) = \frac{1}{2} \times 8 = 4

   La maille contient donc :

   \boxed{N(\mathrm{In}^{3+}) = 4 \quad \text{et} \quad N(\mathrm{As}^{3-}) = 4}

   soit Z = 4 motifs formulaires \mathrm{InAs} par maille conventionnelle.

   2. Électro-neutralité du cristal

   La charge électrique totale contenue dans une maille s'écrit :

   Q_{\text{maille}} = N(\mathrm{In}^{3+}) \times (+3e) + N(\mathrm{As}^{3-}) \times (-3e) = 4 \times (+3e) + 4 \times (-3e) = 0

   \boxed{Q_{\text{maille}} = 0}

   La présence d'un même nombre de cations tricationiques \mathrm{In}^{3+} et de trianions \mathrm{As}^{3-} assure la neutralité électrique globale du cristal.

   3. Coordinence As-In

   Chaque ion arséniure \mathrm{As}^{3-} occupe le centre d'un site tétraédrique, c'est-à-dire le centre de gravité d'un tétraèdre régulier dont les 4 sommets sont occupés par des ions \mathrm{In}^{3+}.

   Le nombre de plus proches voisins indium autour d'un ion arséniure est donc égal à 4 :

   \boxed{\text{Coordinence}(\text{As-In}) = 4}

   Résultat

   $$N({\mathrm{In}}^{3+})=4\text{et}N({\mathrm{As}}^{3-})=4$$

   $$Q_{\text{maille}}=0$$

   $$\text{Coordinence}(\text{As-In})=4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2026, Q25

   Le centre d'un site tétraédrique est situé sur la diagonale principale d'un des huit petits cubes d'arête a/2, à la distance :

   d_{\text{In-As}} = \sqrt{\left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{4}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}

   À la limite de contact entre l'anion \text{As}^{3-} occupant le site et le cation \text{In}^{3+} situé au sommet le plus proche :

   r_{\text{In}^{3+}} + r_{\text{As}^{3-}} = \frac{a\sqrt{3}}{4}

   On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

   \boxed{a = \frac{4}{\sqrt{3}}\left(r_{\text{In}^{3+}} + r_{\text{As}^{3-}}\right)}

   Application numérique : Avec r_{\text{In}^{3+}} = 80\text{ pm} et r_{\text{As}^{3-}} = 160\text{ pm} :

   a = \frac{4}{\sqrt{3}} \times (80 + 160) \times 10^{-12} \approx 5{,}54 \times 10^{-10}\text{ m}

   \boxed{a = 554\text{ pm}}

   La maille élémentaire contient Z = 4 motifs de formule InAs (établi à la question Q24). Sa masse molaire est :

   M_{\text{InAs}} = M_{\text{In}} + M_{\text{As}} = 114{,}8 + 74{,}9 = 189{,}7\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse volumique s'exprime donc par :

   \boxed{\rho_{\text{InAs}} = \frac{Z\left(M_{\text{In}} + M_{\text{As}}\right)}{\mathcal{N}_A a^3}}

   Application numérique :

   \begin{aligned} \rho_{\text{InAs}} &= \frac{4 \times 189{,}7 \times 10^{-3}}{6{,}02 \times 10^{23} \times \left(5{,}543 \times 10^{-10}\right)^3} \\ &= \frac{0{,}7588}{6{,}02 \times 10^{23} \times 1{,}703 \times 10^{-28}} \approx 7{,}40 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\rho_{\text{InAs}} = 7{,}40 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 7{,}40\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$a=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(r_{{\text{In}}^{3+}}+r_{{\text{As}}^{3-}}\right)$$

   $$a=554\text{ pm}$$

   $${\rho }_{\text{InAs}}=\frac{Z\left(M_{\text{In}}+M_{\text{As}}\right)}{{\mathcal{N}}_A{a}^3}$$

   $${\rho }_{\text{InAs}}=7,40\times 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=7,40\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3E3A Physique-Chimie PSI 2025, Q35

   1. Population de la maille

   La maille représentée (figures 6 et 7) est un prisme droit dont la base est un losange constitué de deux triangles équilatéraux accolés (angles de 60^\circ et de 120^\circ).

   • Sommets d'angle 60^\circ : il y en a 4 (2 sur la base inférieure, 2 sur la base supérieure). Dans le plan de la base, chaque sommet est partagé entre \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6 prismes adjacents. Comme chaque sommet se trouve également à la frontière entre deux mailles superposées le long de l'axe vertical, il est partagé par 6 \times 2 = 12 mailles, soit une multiplicité de \frac{1}{12}.
   • Sommets d'angle 120^\circ : il y en a 4 (2 sur la base inférieure, 2 sur la base supérieure). Dans le plan de la base, chaque sommet est partagé entre \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3 prismes adjacents. Avec la superposition verticale, il est partagé par 3 \times 2 = 6 mailles, soit une multiplicité de \frac{1}{6}.
   • Atome intérieur : 1 atome est entièrement situé au sein du prisme (à la hauteur c/2).

   La population N (nombre d'atomes en propre) de la maille vaut donc :

   N = 4 \times \frac{1}{12} + 4 \times \frac{1}{6} + 1 \times 1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1 = 2

   \boxed{N = 2}

   2. Masse volumique du titane

   D'après le texte, les quatre atomes situés à la base du losange sont tangents deux à deux le long des arêtes de longueur a. La condition de contact s'écrit donc :

   a = 2R

   La base étant un losange de côté a et d'angle au sommet 60^\circ, sa surface S_{\text{base}} est la somme des aires de deux triangles équilatéraux de côté a :

   S_{\text{base}} = 2 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2

   Le volume V du prisme droit de hauteur c = 2\sqrt{\frac{2}{3}}a est :

   V = S_{\text{base}} \times c = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\right) \left(2\sqrt{\frac{2}{3}}a\right) = a^3 \sqrt{2}

   La masse volumique \rho du titane s'exprime par le rapport de la masse des atomes de la maille sur le volume de celle-ci :

   \rho = \frac{N\,M}{N_A\,V} = \frac{2\,M}{N_A\,a^3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\,M}{N_A\,a^3} = \frac{\sqrt{2}\,M}{8\,N_A\,R^3}

   Application numérique :

   • M = 47{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 47{,}9 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • R = 150\text{ pm} = 1{,}50 \cdot 10^{-10}\text{ m} \implies a = 2R = 3{,}00 \cdot 10^{-10}\text{ m}
   • a^3 = 2{,}70 \cdot 10^{-29}\text{ m}^3
   • V = a^3 \sqrt{2} \approx 2{,}70 \cdot 10^{-29} \times 1{,}414 \approx 3{,}82 \cdot 10^{-29}\text{ m}^3
   • N_A = 6{,}0 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}

   \rho = \frac{2 \times 47{,}9 \cdot 10^{-3}}{6{,}0 \cdot 10^{23} \times 3{,}82 \cdot 10^{-29}} \approx \frac{95{,}8 \cdot 10^{-3}}{2{,}29 \cdot 10^{-5}} \approx 4{,}18 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

   \boxed{\rho \approx 4{,}2 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 4{,}2\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3}}

   Résultat

   $$N=2$$

   $$\rho \approx 4,2\cdot 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}=4,2\text{ g}\cdot {\text{cm}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie PSI 2024, Q14

   D'après l'énoncé, les cations \mathrm{Na^+} forment un réseau cubique à faces centrées (cfc). Dans une maille conventionnelle, ils occupent :

   • les 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles adjacentes, soit une contribution de 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ion ;
   • les centres des 6 faces du cube, chacun étant partagé par 2 mailles adjacentes, soit une contribution de 6 \times \dfrac{1}{2} = 3 ions.

   Le nombre d'ions sodium propres à chaque maille (ou multiplicité de la maille pour le sous-réseau des cations) vaut donc :

   N(\mathrm{Na^+}) = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

   \boxed{N(\mathrm{Na^+}) = 4}

   Résultat

   $$N(\mathrm{N}{\mathrm{a}}^{+})=4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie PSI 2024, Q15

   Dans un réseau cubique à faces centrées (cfc) formé par les cations \mathrm{Na}^+, les centres des sites octaédriques sont situés :

   • au centre du cube ;
   • au milieu de chacune des 12 arêtes du cube.

   Calculons le nombre de sites octaédriques appartenant en propre à la maille (multiplicité) :

   • le site situé au centre du cube est entièrement interne à la maille, sa contribution est de 1 ;
   • les sites situés au milieu des arêtes sont partagés entre 4 mailles adjacentes, leur contribution est de 12 \times \frac{1}{4} = 3.

   Le nombre total de sites octaédriques par maille est donc :

   \boxed{N_{\mathrm{octa}} = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 4}

   D'après la question Q14, la maille contient N(\mathrm{Na^+}) = 4 cations sodium. La formule chimique du cristal étant \mathrm{NaCl} (stœchiométrie 1:1), la neutralité et la composition macroscopique imposent la présence de 4 ions chlorure \mathrm{Cl}^- par maille.

   Puisque le nombre d'ions chlorure par maille est égal au nombre de sites octaédriques disponibles (4 pour 4), tous les sites octaédriques sont occupés.

   Résultat

   $$N_{\mathrm{octa}}=1\times 1+12\times \frac{1}{4}=4$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 PSI 2024, Q24

   1. Représentation de la maille cubique à faces centrées

   Dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes sont situés aux 8 sommets du cube et aux centres des 6 faces.

   2. Population de la maille

   Les atomes sont partagés entre plusieurs mailles adjacentes :

   • 8 atomes aux sommets, partagés chacun par 8 mailles (multiplicité 1/8) ;
   • 6 atomes aux centres des faces, partagés chacun par 2 mailles (multiplicité 1/2).

   Le nombre N d'atomes appartenant en propre à la maille vaut donc :

   N = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

   3. Condition de contact et compacité

   Dans le modèle des sphères dures indéformables de rayon R, la tangence a lieu le long de la diagonale d'une face de côté a :

   d_{\text{diag}} = a\sqrt{2} = 4R \implies a = 2\sqrt{2}\,R

   Le volume propre occupé par les 4 atomes dans la maille s'écrit :

   V_{\text{atomes}} = N \times \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{16}{3}\pi R^3

   Le volume total de la maille cubique vaut :

   V_{\text{maille}} = a^3 = \left(2\sqrt{2}\,R\right)^3 = 16\sqrt{2}\,R^3

   La compacité c est le rapport du volume occupé au volume disponible :

   c = \frac{V_{\text{atomes}}}{V_{\text{maille}}} = \frac{\frac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt{2}\,R^3} = \frac{\pi}{3\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{6}

   Numériquement :

   \boxed{c = \frac{\pi\sqrt{2}}{6} \approx 0{,}74 = 74\,\%}

   Résultat

   $$c=\frac{\pi \sqrt{2}}{6}\approx 0,74=74\%$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q34

   1. Représentation de la maille conventionnelle

   Le cuivre cristallise dans le réseau cubique à faces centrées (CFC). Les atomes de cuivre occupent les 8 sommets du cube ainsi que les centres des 6 faces.

   2. Nombre d'atomes de cuivre par maille

   Chaque atome situé sur un sommet est partagé entre 8 mailles adjacentes, et chaque atome situé au centre d'une face est partagé entre 2 mailles :

   \begin{aligned} N_{\mathrm{Cu}} &= 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4 \end{aligned}

   \boxed{N_{\mathrm{Cu}} = 4 \text{ atomes par maille}}

   3. Relation entre le paramètre de maille a et le rayon métallique R_{\mathrm{Cu}}

   Dans le modèle des sphères dures, la direction de plus grand contact (tangence) est la diagonale de chaque face carrée de côté a.

   Sur une diagonale de face de longueur d = a\sqrt{2}, les atomes de sommet sont en contact avec l'atome situé au centre de la face :

   \begin{aligned} a\sqrt{2} &= R_{\mathrm{Cu}} + 2R_{\mathrm{Cu}} + R_{\mathrm{Cu}} = 4 R_{\mathrm{Cu}} \end{aligned}

   On en déduit l'expression du paramètre de maille a :

   \boxed{a = \frac{4 R_{\mathrm{Cu}}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}}}

   Résultat

   $$N_{\mathrm{Cu}}=4\text{ atomes par maille}$$

   $$a=\frac{4R_{\mathrm{Cu}}}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}{R}_{\mathrm{Cu}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q35

   La masse volumique \rho du cuivre s'exprime comme le rapport de la masse contenue dans une maille conventionnelle sur le volume de celle-ci :

   \rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V_{\text{maille}}}

   La maille contient N = 4 atomes de cuivre (question Q34), soit une masse :

   m_{\text{maille}} = \frac{N M_{\mathrm{Cu}}}{\mathcal{N}_{\mathrm{A}}}

   Le volume de la maille cubique de paramètre a = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}} vaut :

   V_{\text{maille}} = a^3 = \left(2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}}\right)^3 = 16\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}}^3

   On en déduit l'expression littérale de la masse volumique du cuivre :

   \boxed{\rho = \frac{M_{\mathrm{Cu}}}{4\sqrt{2}\,\mathcal{N}_{\mathrm{A}}\,R_{\mathrm{Cu}}^3}}

   Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

   • M_{\mathrm{Cu}} = 63{,}5\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 63{,}5 \cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
   • \mathcal{N}_{\mathrm{A}} = 6{,}02 \cdot 10^{23}\text{ mol}^{-1}
   • R_{\mathrm{Cu}} = 128\text{ pm} = 128 \cdot 10^{-12}\text{ m}

   \begin{aligned} \rho &= \frac{63{,}5 \cdot 10^{-3}}{4\sqrt{2} \times 6{,}02 \cdot 10^{23} \times (128 \cdot 10^{-12})^3} \\ \rho &\approx 8{,}89 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} = 8{,}89\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} \end{aligned}

   \boxed{\rho = 8{,}89 \cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}}

   Résultat

   $$\rho =\frac{M_{\mathrm{Cu}}}{4\sqrt{2}{\mathcal{N}}_{\mathrm{A}}{R}_{\mathrm{Cu}}^3}$$

   $$\rho =8,89\cdot 10^3\text{ kg}\cdot {\text{m}}^{-3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9E3A Physique-Chimie PSI 2024, Q36

   Dans une structure cubique à faces centrées (CFC), les sites octaédriques sont entourés de 6 atomes formant un octaèdre régulier. Ils sont situés :

   • au centre du cube (coordonnées réduites \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)), entouré par les 6 atomes situés au centre des faces ;
   • au milieu de chacune des 12 arêtes (coordonnées de type \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)), entouré par 2 atomes aux sommets de l'arête et 4 atomes aux centres des faces partageant cette arête.

   Le dénombrement en propre pour une maille donne :

   N_{\mathrm{o}} = 1 \times 1 + 12 \times \frac{1}{4} = 4 \text{ sites octaédriques par maille}

   Un atome sphérique de rayon R_{\mathrm{o}} inséré dans un site octaédrique sans déformer le réseau hôte est au contact des atomes de cuivre voisins situés à une distance a/2. Le long d'une arête (ou d'une médiane joignant deux centres de faces opposées passant par le centre de la maille), la condition de tangence s'écrit :

   2\left(R_{\mathrm{Cu}} + R_{\mathrm{o}}\right) = a

   D'après la relation de contact établie à la question Q34, a = 2\sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}}, d'où :

   R_{\mathrm{Cu}} + R_{\mathrm{o}} = \sqrt{2}\,R_{\mathrm{Cu}} \iff R_{\mathrm{o}} = \left(\sqrt{2}-1\right)R_{\mathrm{Cu}}

   Application numérique : avec R_{\mathrm{Cu}} = 128\text{ pm},

   R_{\mathrm{o}} = \left(\sqrt{2}-1\right) \times 128 \approx 53{,}0\text{ pm}

   \boxed{R_{\mathrm{o}} = \left(\sqrt{2}-1\right)R_{\mathrm{Cu}} \approx 53{,}0\text{ pm}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{o}}=\left(\sqrt{2}-1\right)R_{\mathrm{Cu}}\approx 53,0\text{ pm}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 1 PSI 2021, Q23

    Dans un réseau cubique à faces centrées (CFC), les atomes de plomb sont situés :

    • aux 8 sommets du cube, chacun étant partagé par 8 mailles élémentaires ;
    • aux centres des 6 faces, chacun étant partagé par 2 mailles.

    Le nombre d'atomes de plomb par maille s'élève donc à :

    Z = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 4

    La masse d'une maille élémentaire est m_{\text{maille}} = \dfrac{Z M}{N_A}, et son volume vaut V = a^3. La masse volumique du plomb s'exprime ainsi :

    \rho = \frac{m_{\text{maille}}}{V} = \frac{Z M}{N_A \, a^3}

    On en déduit l'expression littérale du paramètre de maille a :

    a = \left(\frac{Z M}{\rho N_A}\right)^{1/3}

    Application numérique :

    • Z = 4 ;
    • M = 207{,}2\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 207{,}2 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1} ;
    • \rho = 11{,}35\text{ g}\cdot\text{cm}^{-3} = 11{,}35 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} ;
    • N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}.

    \begin{aligned} a &= \left(\frac{4 \times 207{,}2 \times 10^{-3}}{11{,}35 \times 10^3 \times 6{,}02 \times 10^{23}}\right)^{1/3} \\ &= \left(1{,}213 \times 10^{-28}\text{ m}^3\right)^{1/3} \\ &\approx 4{,}95 \times 10^{-10}\text{ m} \end{aligned}

    \boxed{a = 495\text{ pm} = 4{,}95 \times 10^{-10}\text{ m}}

    Résultat

    $$a=495\text{ pm}=4,95\times 10^{-10}\text{ m}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question