CCINP Physique Chimie MP 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE - CHIMIE

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Notre Terre : attractive, si chaleureuse et... magn(if)(ét)ique

Partie I - Champ gravitationnel et champ de pesanteur

• Q1.Donner les expressions des champs gravitationnel G(M)^(→−) et électrostatique E(M)^(→−), créés en un point M, respectivement par la masse ponctuelle m et par la charge ponctuelle q, chacune étant placée en O. En déduire les analogues gravitationnels de la charge q et de la permittivité diélectrique du vide ε_0. En utilisant l'analogie, écrire l'énoncé du théorème de Gauss intégral relatif au champ gravitationnel G(M)^(→−) créé par une distribution volumique de masse μ(P) contenue dans un volume V délimité par une surface S.

Figure 1 - Présence de pétrole dans le sol terrestre

• Q3.En utilisant le principe de superposition, exprimer G_(Tp)(M)u_z^(→−) et la variation relative du champ gravitationnel ε = (G_T(M) − G_(Tp)(M))/(G_T(M)) en fonction de μ_T, μ_P, r^′, d et de R_T.

Partie II - Forme de la Terre

• Q4.Justifier l'expression du champ de pesanteur g(M)^(→−) donnée ci-dessus en précisant quel est le terme gravitationnel et quel est le terme d'inertie. Donner l'ordre de grandeur de sa norme à la surface de la Terre.
• Q5.
  En général, la force de Coriolis peut être négligée devant le poids. Justifier cette approximation en prenant l'exemple d'un train TGV roulant à 360 km/heure, c'est-à-dire 100 m/s.
  

  Figure 2 - Référentiel géocentrique et référentiel terrestre
• Q6.Montrer que le rapport des normes du terme d'inertie d'entraînement et du terme de gravitation à la surface de la Terre est majoré par une valeur η qu'on exprimera en fonction de Ω, R_T, G et de M_T. Déterminer l'ordre de grandeur de la quantité η et commenter.

• Q7.a) La force gravitationnelle F_G^(→−)(M) dérive de l'énergie potentielle de gravitation E_(pG)(M). Donner l'expression de celle-ci pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle à l'infini.
  • b)La force d'inertie d'entraînement F_e^(→−) dérive de l'énergie potentielle d'inertie d'entraînement E_(pe)(M). Établir que celle-ci s'écrit E_(pe)(M) = − 1/2mΩ^2(HM^(→−))^2 pour une masse m dans le champ de la Terre, en prenant une valeur nulle en r = 0.
  • c)En déduire l'expression de l'énergie potentielle de pesanteur E_(pp)(M) en coordonnées sphériques.

• Q8.Montrer que, dans un plan méridien, la trace de cette surface équipotentielle (Σ) peut être décrite par la forme approchée r(θ) ≈ r_n(1 + εsin^2 θ) et exprimer la constante ε en fonction de R_T, r_n et de η. Dessiner l'allure de r(θ) et exprimer le paramètre d'aplatissement ε^′ = (r_e − r_n)/(r_n) sachant que r vaut r_e dans tout le plan équatorial.

Partie III - Détermination optique du champ de pesanteur

Figure 3 - Mesure du champ de pesanteur terrestre par un interféromètre de Mach-Zehnder

• Q9.Le corps C_1 tombe en chute libre, sans vitesse initiale, parallèlement à lui-même à l'intérieur d'une chambre vide.
  • a)Justifier l'hypothèse de la norme g constante en donnant une estimation de la variation relative (g(h) − g(0))/(g(0)) pour une hauteur de chute égale à h = 1 m.
  • b)Déterminer, alors, l'équation horaire du mouvement de O_1 en fonction du temps : z_1(t), en prenant la position initiale O_(10)(t = 0) comme origine des espaces sur l'axe vertical descendant.

• Q10.a) Exprimer en fonction du temps t la différence de chemins optiques δ(P, t) entre ces deux rayons.
  • b)On donne, en figure 3(b), la représentation graphique l(t) de l'intensité au point P en fonction du temps. On note t_0 l'instant correspondant au premier minimum de l'intensité et t_q les instants des autres minima d'intensité successifs, avec q appartenant à ℕ^∗. Exprimer la quantité Δ_q = δ(P, t_q) − δ(P, t_0). En déduire l'expression de g en fonction de t_0, t_q, λ et de q.
  • c)On veut déterminer la valeur locale de g. Il est commode d'exploiter le graphe d'une fonction linéaire affine y(q) : préciser ce qu'est la fonction y.
    Les mesures expérimentales permettent d'obtenir y(q) = 64598q. Sans effectuer le calcul numérique, indiquer comment on en déduit que g = 9, 7961 m ⋅ s^(− 2).

Partie IV - Le calcaire et l'argile : des richesses du sol bon marché

Partie IV. 1 - Calcination du calcaire

• b)Que vaut l'entropie standard Δ_r S_1^0 de la réaction (1) ? Commenter son signe.
• c)Expliciter l'expression de la constante d'équilibre K_1^0(T) en fonction de la température T. Déterminer la température T_(1, i) à laquelle la constante d'équilibre est égale à 1.
• d)Expliciter le quotient réactionnel en fonction des activités.

• Q12.a) Décrire ce qui se passe lorsqu'on chauffe ce mélange supposé formé des deux carbonates CaCO_(3, (s)) et MgCO_(3, (s)) sous la pression P^∘ = 1 bar. Les deux équilibres peuvent-ils être simultanés ? Justifier la réponse.
  • b)Lors du chauffage de ce mélange de carbonates, on observe une première perte de masse du solide, de 2,2 % et lorsqu'on continue à augmenter la température, on constate une deuxième perte de masse.
    En déduire la composition massique x % en carbonate de magnésium. Commenter.

Partie IV. 2 - Obtention d'un ciment

• (H1): tout l'oxyde Fe_2 O_(3, (s)) se retrouve dans le composé D,
• (H2): tout l'oxyde Al_2 O_(3, (s)) restant sert à fabriquer le composé C,
• (H3): tout l'oxyde SiO_(2, (s)) se retrouve dans les composés A et B,
• (H4): tout l'oxyde CaO_((s)) se retrouve dans l'ensemble des composés A, B, C et D.
• Q13.Écrire les quatre équations de réactions d'obtention des composés A, B, C et D à partir de leurs oxydes.

• Q14.Compléter le script ci-dessous à la ligne 5, qui définit la matrice gob par ses éléments β_(ij) exprimés en fonction des masses molaires M_(1 ≤ i ≤ 8).

• -la ligne 6 détermine bog, la matrice inverse de la matrice gob,
• -la ligne 7 définit le vecteur cim et la ligne 8 affiche le résultat.
  • 1import numpy as np
  • 2M1,M2,M3,M4=56,60,102,159
  • 3M5, M6, M7, M8 = 3^∗ M1 + M2, 2^∗ M1 + M2, 3^∗ M1 + M3, 4^∗ M1 + M3 + M4
  • 4oxy=np.array([62, 24, 9, 5]) #exemple d'un mélange réactionnel des quatre oxydes
  • 5gob=... #définition de la matrice gob
  • 6bog=np.linalg.inv(gob)
  • 7cim=np.dot(bog,oxy)
  • 8print('cim=',cim)
• Q15.Pour obtenir du mortier, on mélange le ciment et l'eau. On suppose qu'une mole de chacun des 4 composés du ciment A, B, C et D réagit, respectivement, avec 3, 2, 6 et 10 moles d'eau.
  Donner l'expression du rapport eau-ciment en masses r = (m_e)/(m_c) en fonction de p_5, p_6, p_7, p_8, les masses molaires M_(5 ≤ i ≤ 8) et la masse molaire de l'eau M_0.
• Q16.Les réactions des composants du ciment avec l'eau conduisent à des produits appelés gels ou hydrates et à l'hydroxyde de calcium Ca(OH)_(2, (s)).
  • a)On assimile le mélange à une solution saturée en Ca(OH)_(2, (s)). Déterminer le pH de la solution sachant que le produit de solubilité de cet hydroxyde est K_s = 10^(− 5, 2).
  • b)Le béton est un mortier renforcé par des barres de fer.
    En milieu basique, écrire la réaction d'oxydation du fer(0) en fer(III), mettant en jeu le couple O_2/H_2 O. Expliquer ce qu'on entend par passivation du fer.
  • c)Préciser ce qu'il se passerait en milieu acide. Commenter.
• Q17.On considère une argile formée de l'oxyde ferrique et d'un minéral K de formule Al_2 O_3 ⋅ xSiO_2 ⋅ yH_2 O où x et y sont des entiers non nuls. Lorsqu'on chauffe K, on constate une perte de masse de 14,0 % vers 550 °C. Une autre analyse de K montre qu'il contient 46,5 % de SiO_2.
  Donner, sans calculs, le système de deux équations permettant de calculer les valeurs des deux inconnues x et y.

Partie IV. 3 - Les pluies acides

• Q18.a) Écrire les deux équilibres acido-basiques de ce diacide et expliciter l'expression de leurs quotients réactionnels. On supposera les solutions aqueuses suffisamment diluées pour confondre les activités des solutés avec la valeur de leur concentration en quantité de matière volumique exprimée en mol ⋅ L^(− 1).
  • b)La figure 4 donne, en fonction du pH, les proportions, ou pourcentages, des différentes espèces acido-basiques issues de la dissolution du dioxyde de carbone dans l'eau : ces

• courbes sont notées (1), (2) et (3). Attribuer chacune de ces courbes aux trois espèces acido-basiques du diacide.
• c)Déterminer les valeurs des constantes d'acidités K_(a1) et K_(a2) pour le diacide étudié.

Figure 4 - Distribution des espèces acido-basiques issues de la dissolution de CO_(2, (g)) dans l'eau, en fonction du pH

Partie V - Quelques propriétés thermodynamiques de la Terre

Partie V. 1 - Mesure de la conductivité thermique d'une roche terrestre

Figure 5 - Dispositif de mesure de la conductivité thermique d'une roche

• Q20.Donner la définition et l'expression de la résistance thermique R_(th) d'un conducteur thermique de conductivité λ, de section s et de longueur I traversé par un flux thermique uniforme perpendiculaire à la section.
• Q21.Établir alors, la relation (T_1 − T_2)/(T_c − T_1) = (λ_1)/I(d/λ + (e_1)/(λ_1) + (e_2)/(λ_2)). Expliquer comment on peut déterminer λ expérimentalement, en s'affranchissant des indéterminations dues aux contacts.

Partie V. 2 - Évolution de la température à l'intérieur de la Terre

• Q22.a) Exprimer l'énergie gravitationnelle finale dE_(pG)(r) des masse m et dm . On considère l'énergie gravitationnelle nulle quand dm est infiniment éloignée de m.
  • b)On modélise la formation d'une sphère de centre O, de rayon R et de masse volumique uniforme μ par l'apport de coquilles sphériques, d'épaisseur dr et de volume dτ = 4πr^2 dr, depuis l'infini jusqu'à la position occupée dans la sphère.
    Établir que l'expression de l'énergie gravitationnelle E_(pG)(R) de cette distribution de masse totale M est : E_(pG)(R) = − (3G)/5(M^2)/R. Commenter le signe.
• Q23.La sphère précédente modélise la Terre. En supposant que l'énergie gravitationnelle est convertie totalement en énergie thermique, exprimer la température T_(eq) atteinte par la Terre à partir d'une température initiale voisine de 0 K, en fonction de M_T, R_T, G et de C (capacité thermique massique de la Terre). Estimer T_(eq) et commenter.

Figure 6 - Évolution de la puissance volumique, d'origine radioactive, avec le temps

• b)Déterminer la loi de variation spatiale de la température T(r) dans la Terre en supposant que la température est finie au centre de celle-ci et que la puissance volumique p_v^′ est uniforme dans tout le volume de la Terre. La température du sol vaut T_s = 298 K.
• c)Déterminer l'expression de la puissance surfacique j(r).
• d)On donne la puissance surfacique à la surface de la Terre j(R_T) = 70 mW ⋅ m^(− 2). En déduire la valeur de p_v^′. Commenter compte tenu de Q26.

Partie VI - Le champ magnétique terrestre