E3A Physique Chimie MP 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MP

PHYSIQUE-CHIMIE

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

• -Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.
• -Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e).
• -Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques.
• -Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptabilisés.

Autour de l'hélium

Partie I - L'hélium, un gaz « rare » dans notre atmosphère

• Q2.Exprimer la force F⃗, ainsi que l'énergie potentielle E_p dont elle dérive. On prendra l'énergie potentielle nulle à l'infini.
• Q3.Exprimer l'énergie mécanique E_m du point matériel P. Justifier que celle-ci se conserve.
• Q4.Montrer que le mouvement de P est plan. Le point P étant alors repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), démontrer que le produit r^2 θ˙ est une constante du mouvement. Cette constante sera notée C dans la suite.
• Q5.Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme :
  E_m = 1/2mr˙^2 + E_(p, eff)(r).
  On précisera l'expression de la fonction E_(p, eff)(r) en fonction de m, M_⊤, r, C et de G.
• Q6.Tracer, en la justifiant, la courbe représentative de E_(p, eff)(r). À l'aide d'un raisonnement graphique, déterminer pour quelles valeurs de E_m le point P peut « échapper » à l'attraction de la Terre, c'està-dire se trouver en état de diffusion.
• Q7.La vitesse de libération v_ℓ est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps depuis la surface d'un astre pour qu'il échappe définitivement à son attraction gravitationnelle. En déduire l'expression de v_ℓ en fonction de G, M_⊤ et de R_⊤. Calculer numériquement v_ℓ (aide numérique : √(1, 4) ≈ 1, 2 ).

• Q8.Énoncer les hypothèses du modèle du gaz parfait.
• Q9.Définir la vitesse quadratique moyenne u d'un gaz parfait d'hélium, puis l'exprimer en fonction de sa masse molaire M_(He), de sa température T et de R.

• Q10.En prenant T = 300 K, calculer numériquement u et conclure quant à la faible quantité d'hélium présente dans l'atmosphère terrestre (aide numérique : √(1, 8) ≈ 1, 3 ).

Partie II - Le laser hélium-néon

• Q11.Citer trois applications des lasers dans les domaines de votre choix : vie quotidienne, industrie, médecine, recherche...

Figure 1 - Photographie du laser He-Ne 1107/P (JDS Uniphase)

• Q12.Par des considérations énergétiques, justifier que le champ électrique au sein d'un conducteur parfait est nul.
• Q13.Redémontrer l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans une région vide de charges et de courants ; on fera apparaître la célérité de la lumière dans le vide c. En déduire l'équation différentielle satisfaite par la fonction f.
• Q14.On admet la continuité de E(x, t) en x = 0 et en x = L. Résoudre cette équation différentielle, puis exprimer les fréquences propres v_n des modes pouvant exister dans la cavité, quantifiées par un entier n, en fonction de la longueur L de la cavité et de c. Déterminer ensuite l'Intervalle Spectral Libre, défini comme l'écart en fréquence entre deux modes voisins :
  ISL = v_(n + 1) − v_n.
• Q15.Calculer l'ordre de grandeur de I'ISL du laser 1107/P JDS Uniphase (voir figure 1). La valeur obtenue est-elle cohérente avec la spécification du fabricant, à savoir 1090 MHz ?

• Q17.Exprimer littéralement l'incertitude-type u(λ) en fonction de λ, k, V_0, τ¯, u(k), u(V_0) et de u(τ¯). Sachant que u(λ) = 7, 6 nm, comparer la valeur expérimentale à la valeur attendue (632,8 nm) via le calcul d'un écart normalisé ( z-score) et conclure.

• Q18.Déterminer la différence de marche δ_b, à partir du contact optique, pour laquelle on observe le premier brouillage des anneaux d'interférences au centre de l'écran.
• Q19.Calculer numériquement δ_b en prenant ISL = 1, 1GHz. Comparer la valeur de δ_b obtenue à la gamme de différences de marche accessible avec un interféromètre de Michelson usuel et conclure.

Partie III - De l'hélium pour détecter les fuites

Figure 2 - Schéma de principe du spectromètre de masse

• Q21.Justifier que le mouvement de l'ion est uniforme. Préciser le sens du champ B⃗ permettant d'obtenir l'une des trajectoires illustrées sur la figure 2.
• Q22.Déterminer deux équations différentielles reliant les composantes de la vitesse v_x(t) et v_y(t) de l'ion à leurs dérivées par rapport au temps. On posera ω = eB/m.
• Q23.On introduit la variable complexe u_– = v_y + jv_x, avec j^2 = − 1. Démontrer que la variable u_– vérifie l'équation différentielle :
  (du_–)/(dt) − jωu_– = 0.
• Q24.Résoudre cette équation différentielle en tenant compte des conditions initiales. En déduire l'expression des composantes v_y(t) et v_x(t) de la vitesse de l'ion.
• Q25.Établir les équations horaires x(t) et y(t).
• Q26.Montrer que la trajectoire de l'ion est circulaire ; expliciter le rayon R de sa trajectoire en fonction de B, e, m et de v_0.

• Q27.On suppose que les ions présents dans le gaz traceur ont la même charge et la même énergie cinétique initiale. Associer les trajectoires respectives (1), (2) et (3) du schéma de la figure 2 aux différents ions présents : ions hélium / ions légers (dihydrogène, hélium 3) / ions lourds (diazote, dioxygène, dioxyde de carbone, argon).
• Q28.Calculer numériquement la durée de passage τ des ions hélium dans la zone de champ B⃗, assimilable à un quart de cercle.
• Q29.Le rayon R est généralement de l'ordre de quelques centimètres. Était-il pertinent de ne pas tenir compte d'effets relativistes ? Justifier.

Partie IV - Des bulles de savon remplies d'hélium

Figure 3 - Photographie de l'expérience

• Q30.Considérons deux bulles de même volume V_0, l'une sphérique de rayon r et de surface S_s, l'autre cubique de côté a et de surface S_c. Montrer que S_s/S_c = (π/6)^(1/3) < 1. Commenter ce résultat.

• Q31.Faire le bilan des forces appliquées à une bulle de rayon critique r_C. En déduire l'expression de e en fonction de r_c et des masses volumiques utiles, puis la calculer numériquement.

Figure 4 - Mesure de l'épaisseur du film liquide : schéma et notations

Figure 5 - Spectre mesuré

Figure 6 - Fibre optique courbée

Partie V - Gonfler un ballon volant sans hélium

Figure 7 - Diagramme potentiel-pH de l'aluminium

• Q38.Calculer le nombre d'oxydation de l'élément A ℓ dans les différentes espèces, puis attribuer à chacune d'elles son domaine d'existence ou de prédominance dans le diagramme. Déterminer sur ce diagramme les domaines de passivation, d'immunité et de corrosion.
• Q39.En exploitant le diagramme, estimer les valeurs du pK_s du précipité Aℓ(OH)_(3(s)) et du potentiel standard du couple Aℓ_((aq))^(3 +)/Aℓ_((s)). Comparer aux valeurs données en fin de partie.
• Q40.Prédire la pente théorique de la frontière du couple Aℓ(OH)_(4(aq))^−/Aℓ_((s)), puis la comparer à celle lue sur le diagramme.

• Q41.Écrire les demi-équations électroniques mises en jeu en milieu basique, puis en déduire l'équation-bilan de la réaction.
• Q42.On indique que la loi de Hess s'applique à l'enthalpie libre de la même manière qu'à l'enthalpie. Calculer numériquement l'enthalpie libre standard de réaction Δ_r G^∘, puis exprimer littéralement la constante d'équilibre K^∘ de cette réaction en fonction de Δ_r G^∘, R et de T. L'application numérique (non demandée) donne K^∘ = 7 ⋅ 10^(134) à T = 298 K; commenter cette valeur.
• Q43.On suppose que le dihydrogène formé est à la pression P = 1, 013 bar et à la température T = 298 K. En considérant l'hydroxyde de sodium en excès, calculer la masse d'aluminium m nécessaire à la formation d'un volume V = 5, 0 L de dihydrogène.