E3A Physique Chimie MPI 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE MPI

PHYSIQUE-CHIMIE

• -Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
• -Ne pas utiliser de correcteur.
• -Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

• -Les données utiles à la résolution du sujet figurent en fin de chaque partie.
• -Tout résultat donné dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par le ou la candidat(e).
• -Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans l'évaluation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques.
• -Les résultats numériques exprimés sans unité ou avec une unité fausse ne sont pas comptabilisés.

Autour de l'hélium

Partie I - L'hélium, un gaz « rare » dans notre atmosphère

• Q2.Exprimer la force F⃗, ainsi que l'énergie potentielle E_p dont elle dérive. On prendra l'énergie potentielle nulle à l'infini.
• Q3.Exprimer l'énergie mécanique E_m du point matériel P. Justifier que celle-ci se conserve.
• Q4.Montrer que le mouvement de P est plan. Le point P étant alors repéré par ses coordonnées polaires (r, θ), démontrer que le produit r^2 θ˙ est une constante du mouvement. Cette constante sera notée C dans la suite.
• Q5.Montrer que l'énergie mécanique peut se mettre sous la forme :
  E_m = 1/2mr˙^2 + E_(p, eff)(r).
  On précisera l'expression de la fonction E_(p, eff)(r) en fonction de m, M_⊤, r, C et de G.
• Q6.Tracer, en la justifiant, la courbe représentative de E_(p, eff)(r). À l'aide d'un raisonnement graphique, déterminer pour quelles valeurs de E_m le point P peut « échapper » à l'attraction de la Terre, c'està-dire se trouver en état de diffusion.
• Q7.La vitesse de libération v_ℓ est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un corps depuis la surface d'un astre pour qu'il échappe définitivement à son attraction gravitationnelle. En déduire l'expression de v_ℓ en fonction de G, M_⊤ et de R_⊤. Calculer numériquement v_ℓ (aide numérique : √(1, 4) ≈ 1, 2 ).

• Q8.Énoncer les hypothèses du modèle du gaz parfait.

• Q9.En prenant T = 300 K, calculer numériquement u et conclure quant à la faible quantité d'hélium présente dans l'atmosphère terrestre (aide numérique : √(1, 8) ≈ 1, 3 ).

Partie II - Le laser hélium-néon

• Q10.Citer trois applications des lasers dans les domaines de votre choix : vie quotidienne, industrie, médecine, recherche...

Figure 1 - Photographie du laser He-Ne 1107/P (JDS Uniphase)

• Q11.Par des considérations énergétiques, justifier que le champ électrique au sein d'un conducteur parfait est nul.
• Q12.Redémontrer l'équation de d'Alembert satisfaite par le champ électrique dans une région vide de charges et de courants ; on fera apparaître la célérité de la lumière dans le vide c. En déduire l'équation différentielle satisfaite par la fonction f.
• Q13.On admet la continuité de E(x, t) en x = 0 et en x = L. Résoudre cette équation différentielle, puis exprimer les fréquences propres v_n des modes pouvant exister dans la cavité, quantifiées par un entier n, en fonction de la longueur L de la cavité et de c. Déterminer ensuite l'Intervalle Spectral Libre, défini comme l'écart en fréquence entre deux modes voisins :
  ISL = v_(n + 1) − v_n.
• Q14.Calculer l'ordre de grandeur de I'ISL du laser 1107/P JDS Uniphase (voir figure 1). La valeur obtenue est-elle cohérente avec la spécification du fabricant, à savoir 1090 MHz ?

Figure 2 - Tache d'Airy

import numpy as np

def airy(x,t):
    return (np.sqrt(1-t**2)*np.cos(np.pi*x*t))
def g(x):
    S = ... # À COMPLÉTER
    T = np.linspace(-1,1,201)
    # tableau de 201 valeurs régulièrement réparties dans l'intervalle [-1,1]
    for k in T:
        S = S + ... # À COMPLÉTER
    return ... # À COMPLÉTER

Figure 3 - Allure de la fonction g(x)

def h(a,b,eps):
    while abs(b-a) > 2*eps:
        milieu = (a+b)/2
        if g(a)*g(milieu) > 0:
            ... = ... # À COMPLÉTER
        else:
            ... = ... # À COMPLÉTER
    return ((a+b)/2)
print(h(... , ... , ...)) # À COMPLÉTER

Partie III - De l'hélium pour détecter les fuites

Figure 4 - Schéma de principe du spectromètre de masse

Partie IV - Des bulles de savon remplies d'hélium

Figure 5 - Photographie de l'expérience

Figure 6 - Mesure de l'épaisseur du film liquide : schéma et notations

• Q31.On admet qu'à la réflexion air/liquide, le rayon (1) subit un déphasage de π. En exploitant le théorème de Malus (et le principe de retour inverse de la lumière), montrer que le déphasage à l'infini entre les rayons (2) et (1) s'exprime selon :
  φ = α/λcosi_2 − π.
  Expliciter le coefficient α en fonction de n_ℓ et de e.
  En pratique, on utilise une source polychromatique couvrant le domaine visible. Un spectromètre placé au bout d'une fibre optique dans la direction commune des rayons (1) et (2) permet de relever des longueurs d'onde «éteintes», correspondant à des interférences destructives entre les deux rayons.
• Q32.Exprimer les longueurs d'onde éteintes λ_k en fonction de α, i_2 et d'un entier k.

• Q33.
  Déduire du spectre une valeur de e et la comparer à celle de la question Q30.
  

  Figure 7 - Spectre mesuré

Figure 8 - Fibre optique courbée

• Q34.Calculer, littéralement puis numériquement, le rayon de courbure R minimal à partir duquel toute la lumière incidente reste confinée dans le cœur et traverse la fibre sans atténuation.

Partie V - Gonfler un ballon volant sans hélium

FIN