Centrale Physique Chimie 1 MPI 2026Sujet et corrigé

Physique-chimie 1

Modélisation et mesure de l'effet Casimir

Partie A - Étude d'une cavité en électromagnétisme classique

I - Pression de radiation sur un conducteur parfait

Figure 1 - Structure de l'onde incidente.

• Q1.En utilisant la relation de passage sur le champ électrique, rappelée dans le formulaire en fin d'énoncé, justifier qu'il existe nécessairement une onde réfléchie de même pulsation et de même état de polarisation que l'onde incidente. Exprimer son champ électrique E_r^(→−)(M, t) dans le domaine z < 0.
• Q2.En déduire que le champ électrique total en tout point du demi-espace z < 0 est de la forme
  E⃗(M, t) = E_(0t)sin((ωz)/c)sin(ωt)e_x^(→−)
  où E_(0t) est un facteur à expliciter en fonction de E_0.
• Q3.Déterminer le champ magnétique total en tout point du demi-espace z < 0 en fonction de E_0, c, ω, z et t.
• Q4.En déduire la densité volumique d'énergie électromagnétique u_(em) en fonction de ε_0, E_0, c, ω, z et t, puis sa moyenne temporelle que l'on notera ⟨u_(em)⟩.
• Q5.En utilisant la relation de passage sur le champ magnétique, rappelée dans le formulaire en fin d'énoncé, déterminer l'expression du vecteur densité de courant j_s→(t) sur la surface (z = 0) du conducteur parfait en fonction de ε_0, E_0, c, ω et t.

• Q6.Déterminer le champ magnétique B^∗^(→−)(z → 0^±, t) résultant de la superposition de l'onde incidente et du champ créé par la nappe de courants surfaciques du plan z = 0 privée de l'élément de surface d S autour du point P.
• Q7.En déduire la force magnétique élémentaire dF⃗ exercée sur cet élément de surface dS, puis sa moyenne temporelle ⟨dF⃗⟩.
• Q8.Montrer que le résultat précédent peut s'interpréter par l'existence d'une pression, appelée « pression de radiation », donnée par la relation
  P_(rad) = ⟨u_(em)⟩.Un rayonnement électromagnétique peut aussi être décrit d'un point de vue corpusculaire. Dans cette deuxième description, un rayonnement monochromatique incident est assimilé à un flux de photons, de vitesse c, chacun d'énergie ℏω et de quantité de mouvement (ℏω)/ce_z→. La densité volumique de photons du rayonnement incident est notée n_γ. On modélise l'interaction d'un photon incident avec la surface parfaitement réfléchissante par un choc élastique lors duquel l'énergie du photon ainsi que la quantité de mouvement du système {photon, plan réflecteur} sont conservées.
• Q9.En détaillant la démarche suivie, exprimer la quantité de mouvement cédée au plan réflecteur par le flux de photons incidents, par unité de temps et par unité de surface. En déduire l'expression de la pression de radiation en fonction de la densité volumique d'énergie, associée aux photons incidents et réfléchis. Commenter.

II - Champ électromagnétique dans une cavité plane délimitée par deux plans conducteurs

• Q10.Montrer que les conditions aux limites à la surface des deux conducteurs imposent que la pulsation ne peut prendre que des valeurs discrètes indexées par un entier n > 0, à chaque valeur de n correspondant un mode de la cavité.

• Q11.Donner l'expression de la plus grande longueur d'onde λ_(max) pouvant exister dans la cavité satisfaisant aux conditions aux limites, ainsi que le domaine du spectre électromagnétique du mode correspondant.

Partie B - Une approche quantique simplifiée du champ dans la cavité

I - Énergie minimale d'un oscillateur harmonique quantique

• (i)la particule a une énergie strictement positive;
• (ii)une mesure de position de la particule donne en moyenne une valeur nulle;
• (iii)la position n'est pas exactement déterminée.

II - Une première approche quantique de l'effet Casimir

• (i)ce mode a une énergie strictement positive;
• (ii)le champ électrique associé est de valeur moyenne nulle;
• (iii)mais le champ électrique n'est pas exactement déterminé, si bien que sa moyenne quadratique est strictement positive.

III - Étude de la dépendance de l'énergie de Casimir avec la dimension longitudinale de la cavité

• - E(a) l'énergie électromagnétique contenue dans la cavité de dimension longitudinale a dont les modes sont discrets et E_∞ l'énergie qui serait obtenue dans le cas où les modes forment un continuum;
• - E_(Cas)(a) = E(a) − E_∞ l'énergie de Casimir, grandeur finie dont on se propose d'étudier numériquement la dépendance avec a.

• Q21.Proposer un contenu acceptable pour les lignes incomplètes 12, 17 et 19 du script suivant en langage Python qui vise à implémenter cette méthode simplifiée.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
nO = 100 # Rang maximum des modes longitudinaux retenus
N = 20
def g(u, a):
    # Évaluation de l'intégrale par la méthode des rectangles à droite
    s1 = 0
    dk = np.pi / (a * N) # Pas de discrétisation
    for i in range(n0 * N):
        k_droite = (i + 1) * dk
        s1 = s1 + # À compléter
    s1 = a * s1 * dk
    s2 = 0
    # Évaluation de la série en la tronquant
    for j in range(1, n0 + 1):
        s2 = s2 + # À compléter
    # Évaluation de g(u, a)
    return # À compléter
def f(a):
    sum = 0
    for n in range(N * n0):
        u = (n + 1 / 2) * np.pi / N / a
        sum = sum + g(u, a) * u * (np.pi / N / a)
    return sum

Figure 2 - Représentation de f(a) en échelle log-log (de base 10).

• Q22.En déduire que E_(Cas)(a) = − B/(a^ξ) où ξ est un exposant, supposé entier, de valeur à préciser et B une constante strictement positive qui n'est pas à déterminer.
• Q23.Sachant que la force « ressentie » par la paroi en z = − a dérive de l'énergie de Casimir selon une expression analogue à celle d'une force conservative, établir l'expression de cette force en fonction de B et a. Commenter.

Partie C - Mesures expérimentales et corrections des écarts à la force théorique de Casimir

I - Une mesure dans une configuration sphère-plan

Figure 3 - Principe de l'expérience (le dessin à gauche n'est pas à l'échelle) [2].

Figure 4 - Force de Casimir en fonction de la distance de la sphère au plan [3].

Figure 5 - Configuration sphère-plan [4].

Figure 6 - Variation du facteur de correction en énergie η_E avec d [5].

II - Prise en compte de la température non nulle

III - Prise en compte du caractère imparfait des plans réflecteurs

Figure 7 - Facteur correctif η_F en fonction de la distance a entre les miroirs [5]. Les trois courbes correspondent au cas de miroirs en aluminium (Al, courbe pleine), en or (Au, courbe pointillée) et en cuivre (Cu, courbe en tirets).

Figure 8 - Facteur correctif η_F en fonction de la longueur de la cavité rapportée à la longueur d'onde plasma [5]. La droite en tirets correspond au comportement asymptotique aux courtes distances.

IV - Mesure de déflexion par interférométrie en quadrature de phase

• -un faisceau LASER entrant : ce faisceau est monochromatique, de longueur d'onde λ_0 = 633 nm, et polarisé rectilignement selon la direction du vecteur e_y→ + e_z→;

• -des cubes séparateurs non polarisants inférieur (CS_i) et supérieur (CS_s) : ces cubes permettent de diviser les ondes lumineuses de manière équilibrée en intensité, sans modifier leur état de polarisation. Notamment, le faisceau LASER entrant est, pour moitié en intensité, réfléchi par CS_i et donne un faisceau qui se propage vers BD_0 d'état de polarisation rectiligne selon la direction du vecteur e_x^(→−) + e_y→;
• -des lentilles L_0, L_1 et L_2 d'ajustement optique supposées parfaites : elles ne modifient ni l'état de polarisation des ondes qui les traversent ni leur amplitude;
• -une lame quart d'onde λ/4 : cette lame introduit sur le champ électrique de l'onde qui la traverse une avance de phase de π/2 pour la composante selon l'axe des y par rapport à celle selon l'axe des z (on néglige tout effet d'absorption) ;
• -des déplaceurs polarisants BD_0, BD_1 et BD_2 (initiales BD pour « beam displacer ») : il s'agit de cristaux biréfringents qui réalisent des opérations particulières expliquées dans la suite ;
• -des photodiodes à deux cadrans PD_1 et PD_2 : elles permettent de déterminer le contraste complexe C_– défini par
  C_– = C_1 + iC_2 avec, pour n = 1 ou 2, C_n = (I_(A_n) − I_(B_n))/(I_(A_n) + I_(B_n))
  où I_(A_n) et I_(B_n) sont les intensités relevées respectivement par les cadrans A_n et B_n du détecteur PD_n (les termes C_1 et C_2 peuvent être positifs ou négatifs).

Figure 9 - Dispositif de mesure de déflexion d'un micro-levier [6]. Un système d'axes (x, y, z) est précisé, de vecteurs unitaires associés (e_x^(→−), e_y→, e_z→). À gauche : montage avec divers éléments schématisés en surimpression et un encart spécifique pour le micro-levier. À droite : schéma optique relatif à la partie analyse du dispositif.

• -opération en sens direct de séparation (lecture de la figure 10 avec propagation de gauche à droite) : BD décompose un rayon d'état de polarisation quelconque en deux rayons parallèles entre eux, l'un non dévié polarisé rectilignement selon e_u^(→−) et l'autre décalé polarisé rectilignement selon e_v→. BD permet de séparer les deux composantes de polarisation de l'onde incidente;
• -opération en sens inverse de superposition (lecture de la figure 10 avec propagation de droite à gauche) : BD permet aussi de réaliser l'opération inverse de la précédente, c'est-à-dire combiner les deux rayons polarisés représentés à droite pour constituer le rayon à gauche avec les états de polarisation superposés.

Figure 10 - Schéma de principe d'un déplaceur polarisant (BD). Le trièdre de vecteurs unitaires (e_u^(→−), e_v→, e_w^(→−)) est direct et droit : e_w^(→−) est orthogonal à la face d'entrée de BD et e_u^(→−) est orthogonal à e_(ao)^(→−) caractéristique de BD ( e⃗_(ao) est dans le plan vectoriel (e_v→, e_w^(→−)) ). Tous les champs électriques représentés sont associés à des ondes transverses.

Figure 11 - Réflexion de deux rayons sur le micro-levier. Les amplitudes complexes des rayons incidents sont indiquées.

Données et formulaire

Notations et données numériques

Relations de passage

Figure 12 - Schématisation associée aux relations de passage.

Équation de Schrödinger

Loi de Planck