Feuille d'entraînement : Dipôles électrique et magnétique

10 questions · filière PSI · durée estimée environ 52 min

Énoncés

Exercice 1ENS Physique U PSI 2024, Q[58]· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 4 min
On note $r_{i}$ la position de l'électron de cœur $i$ . Montrer que pour $r_{i} ≪ r$ on a
$\frac{1}{∣ r - r _{i} ∣} ≃ \frac{1}{r} + \frac{r _{i} \cdot r}{r ^{3}} + \dots$
Exercice 2ENS Physique U PSI 2020, Q26· Intermédiaire· Incontournable· ≈ 6 min
En négligeant pour un temps le caractère quantique de l'électron, c'est-à-dire son spin, et en considérant un électron de charge $- e$ et de masse $m_{e}$ sur une trajectoire circulaire uniforme autour d'un noyau atomique, montrer que son moment magnétique $μ$ est proportionnel à son moment cinétique orbital, c'est-à-dire $μ = - γ_{L} L$ . Pour cela, on pourra exprimer tour à tour $μ$ et $L$ en termes du rayon $r$ de l'orbite de l'électron et de sa période de révolution $T$ , ainsi que des autres données du problème. Donner l'expression du rapport gyromagnétique $γ_{L} > 0$ . Évaluer numériquement $γ_{L}$ .
Exercice 3ENS Physique U PSI 2020, Q27· Application directe· Incontournable· ≈ 2 min
En partant de l'équation de Larmor, donner sans autre forme de justification l'équation d'évolution de l'aimantation $M (t)$ dans son champ magnétique effectif $B_{eff}$ .
Exercice 4ENS Physique U PSI 2024, Q[11]· Intermédiaire· ≈ 3 min
On note $d = q_{e} r$ le moment dipôlaire électrique de l'atome. Montrer qu'en régime forcé on a
$d (t) = ϵ_{0} α (ω) E (0, t)$
où $α$ désigne la polarisabilité de l'atome.
Exercice 5ENS Physique U PSI 2024, Q[12]· Exigeant· ≈ 6 min
Quelle est la dimension de $α$ ? Exprimer la en fonction de $ω$ , $ω_{0}$ et du volume $V_{0}$ de l'atome de Thomson. Tracer son allure en fonction de $ω$ et interpréter son comportement au voisinage de $ω = ω_{0}$ .
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q6· Intermédiaire· ≈ 5 min
Justifier qualitativement le fait que l'on puisse écrire l'onde électromagnétique issue du rayonnement solaire sous cette forme.
Comment expliquer la création du moment dipolaire $p$ ? On se contentera d'une réponse qualitative.
Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q7· Intermédiaire· ≈ 6 min
On admet que le flux $Φ (t)$ du champ magnétique créé par l'aimant à travers ce même anneau $(A)$ s'écrit $Φ (t) = Φ_{0} \frac{r _{i}^{3}}{( r _{i}^{2} + ( z + v t ) ^{2} ) ^{3/2}}$ où $Φ_{0}$ est une constante dont on admettra qu'elle s'écrit sous la forme $Φ_{0} = μ_{0}^{a} M_{0}^{b} r_{i}^{c}$ où $μ_{0}$ est la perméabilité magnétique du vide. Tracer l'allure de la courbe $Φ (t)$ . Déterminer les exposants $a$ , $b$ et $c$ par analyse dimensionnelle.
Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q30· Exigeant· ≈ 6 min
Au voisinnage du câble et en le supposant uniforme, exprimer $B_{0}$ en projection sur $B_{c}$ . On justifiera la direction et le sens choisis et on exprimera la norme $B_{0}$ de ce champ en fonction de $B_{e}$ (champ magnétique terrestre à l'équateur), du rayon $R_{T}$ de la Terre et de l'altitude $h$ du satellite. Dans ce qui suit, on prendra $B_{0} = 20 μ T$ .
Exercice 9X-ENS Physique PSI 2024, Q34· Exigeant· ≈ 6 min
Établir l'expression complexe de $\underline{r} (t)$ en fonction de $ω$ , $ω_{0}$ , $e$ , $m$ et $τ_{0}$ notamment. En déduire l'expression complexe du moment dipolaire induit $\underline{p}$ .
Exercice 10X-ENS Physique PSI 2024, Q35· Exigeant· ≈ 8 min
Exprimer la polarisabilité complexe $\underline{α} (ω)$ . Montrer que dans le cadre de l'approximation $∣ δ ∣ ≪ ω_{0}$ , $α^{'}$ et $α^{''}$ peuvent se mettre sous la forme suivante :
$α^{'} = - \frac{α _{0}}{2} \frac{ω _{0} δ}{δ ^{2} + Γ ^{2} /4} et α^{''} = \frac{α _{0}}{2} \frac{ω _{0} Γ/2}{δ ^{2} + Γ ^{2} /4} .$
On exprimera $α_{0}$ en fonction de $e$ , $m$ , $ε_{0}$ et $ω_{0}$ , et $Γ$ en fonction de $τ_{0}$ .

Corrigés

Exercice 1ENS Physique U PSI 2024, Q[58]
Exprimons la norme au carré de la distance |\vec{r} - \vec{r}_i| :
|\vec{r} - \vec{r}_i|^2 = (\vec{r} - \vec{r}_i) \cdot (\vec{r} - \vec{r}_i) = r^2 - 2 \vec{r} \cdot \vec{r}_i + r_i^2 = r^2 \left( 1 - 2 \frac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^2} + \frac{r_i^2}{r^2} \right).
Puisque r_i \ll r, le terme \dfrac{r_i^2}{r^2} est d'ordre 2 en r_i/r. En prenant la racine inverse, il vient :
\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}_i|} = \frac{1}{r} \left( 1 - 2 \frac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^2} + \mathcal{O}\left(\frac{r_i^2}{r^2}\right) \right)^{-1/2}.
En utilisant le développement limité usuel (1 + u)^{-1/2} = 1 - \dfrac{1}{2} u + \mathcal{O}(u^2) au voisinage de u = 0, avec u = - 2 \dfrac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^2} + \mathcal{O}\left(\frac{r_i^2}{r^2}\right) :
\begin{aligned} \frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}_i|} &= \frac{1}{r} \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( - 2 \frac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^2} \right) + \mathcal{O}\left(\frac{r_i^2}{r^2}\right) \right] \\ &= \frac{1}{r} + \frac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^3} + \mathcal{O}\left(\frac{r_i^2}{r^3}\right). \end{aligned}
On obtient bien la relation souhaitée :
\boxed{\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r}_i|} \simeq \frac{1}{r} + \frac{\vec{r}_i \cdot \vec{r}}{r^3} + \dots}
Résultat
$\frac{1}{∣ r - r _{i} ∣} ≃ \frac{1}{r} + \frac{r _{i} \cdot r}{r ^{3}} + \dots$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 2ENS Physique U PSI 2020, Q26
Considérons un électron de masse m_e et de charge -e décrivant à vitesse constante v une trajectoire circulaire de rayon r et de période de révolution T = \frac{2\pi r}{v}.
Expression du moment magnétique orbital Le passage régulier de la charge -e à travers une section quelconque de l'orbite équivaut à un courant électrique stationnaire :
I = \frac{q}{T} = -\frac{e}{T}
où l'orientation positive de la boucle est choisie dans le sens de parcours de l'électron, caractérisé par le vecteur normal unitaire \boldsymbol{n}.
L'aire délimitée par la trajectoire étant \mathcal{S} = \pi r^2, le vecteur surface s'écrit \boldsymbol{S} = \pi r^2 \boldsymbol{n}. Le moment magnétique associé à cette spire élémentaire vaut :
\boldsymbol{\mu} = I \boldsymbol{S} = -\frac{e}{T} \pi r^2 \boldsymbol{n} = -\frac{\pi e r^2}{T}\boldsymbol{n}
Expression du moment cinétique orbital En mécanique du point, le moment cinétique orbital par rapport au centre de l'atome s'écrit, compte tenu de l'orthogonalité de \boldsymbol{r} et \boldsymbol{v} :
\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \wedge (m_e \boldsymbol{v}) = m_e r v \boldsymbol{n} = m_e r \left(\frac{2\pi r}{T}\right)\boldsymbol{n} = \frac{2\pi m_e r^2}{T}\boldsymbol{n}
Relation de proportionnalité et rapport gyromagnétique En comparant les deux expressions vectorielles, on obtient :
\boldsymbol{\mu} = -\frac{\frac{\pi e r^2}{T}}{\frac{2\pi m_e r^2}{T}} \boldsymbol{L} = -\frac{e}{2m_e}\boldsymbol{L}
On a bien la relation demandée \boldsymbol{\mu} = -\gamma_L \boldsymbol{L}, avec :
\boxed{\gamma_L = \frac{e}{2m_e}}
Application numérique Avec les données de l'énoncé :
- e \approx 1,6 \times 10^{-19}\text{ A}\cdot\text{s} ;
- m_e \approx 9,1 \times 10^{-31}\text{ kg}.
\gamma_L = \frac{1,6 \times 10^{-19}}{2 \times 9,1 \times 10^{-31}} \approx \frac{1,6}{18,2}\times 10^{12} \approx 0,088 \times 10^{12}\text{ A}\cdot\text{s}\cdot\text{kg}^{-1}
Avec un chiffre significatif :
\boxed{\gamma_L \approx 9 \times 10^{10}\text{ A}\cdot\text{s}\cdot\text{kg}^{-1}} \quad (\text{ou }\text{rad}\cdot\text{s}^{-1}\cdot\text{T}^{-1})
Résultat
$γ_{L} = \frac{e}{2 m _{e}}$ $γ_{L} \approx 9 \times 1 0^{10} A \cdot s \cdot kg^{- 1}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 3ENS Physique U PSI 2020, Q27
L'aimantation uniforme du milieu macroscopique est reliée au moment magnétique microscopique par \boldsymbol{M}(t) = \rho \boldsymbol{\mu}(t), où \rho est la densité volumique de moments magnétiques, constante et uniforme. En multipliant l'équation de Larmor (22) par \rho et en remplaçant le champ magnétique \boldsymbol{B} par le champ magnétique effectif \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}, on obtient directement l'équation d'évolution :
\boxed{\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{M}}{\mathrm{d}t} = -\gamma \boldsymbol{M} \wedge \boldsymbol{B}_{\mathrm{eff}}}
Résultat
$\frac{d M}{d t} = - γ M \land B_{eff}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 4ENS Physique U PSI 2024, Q[11]
D'après la question Q[10], la réponse en régime sinusoïdal forcé s'écrit en représentation complexe :
\underline{\vec{r}}(t) = \underline{\vec{r}}_0 \, e^{i\omega t} = \frac{q_e}{m_e(\omega_0^2 - \omega^2)}\,\underline{\vec{E}}(0,t),
où \underline{\vec{E}}(0,t) = \vec{E}_0(\vec{0})\,e^{i\omega t}.
Le moment dipolaire électrique de l'atome est défini par \vec{d}(t) = q_e \vec{r}(t), soit en notation complexe :
\underline{\vec{d}}(t) = q_e \underline{\vec{r}}(t) = \frac{q_e^2}{m_e(\omega_0^2 - \omega^2)}\,\underline{\vec{E}}(0,t).
En l'absence de terme dissipatif, le coefficient reliant \underline{\vec{d}}(t) à \underline{\vec{E}}(0,t) est réel. En prenant la partie réelle de cette relation, on obtient directement l'égalité instantanée :
\vec{d}(t) = \frac{q_e^2}{m_e(\omega_0^2 - \omega^2)}\,\vec{E}(0,t).
En identifiant terme à terme avec la relation phénoménologique proposée \vec{d}(t) = \varepsilon_0 \alpha(\omega) \vec{E}(0,t), il vient :
\boxed{\vec{d}(t) = \varepsilon_0 \alpha(\omega) \vec{E}(0,t) \quad \text{avec} \quad \alpha(\omega) = \frac{q_e^2}{\varepsilon_0 m_e (\omega_0^2 - \omega^2)}}
Résultat
$d (t) = ε_{0} α (ω) E (0, t) avec α (ω) = \frac{q _{e}^{2}}{ε _{0} m _{e} ( ω _{0}^{2} - ω ^{2} )}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 5ENS Physique U PSI 2024, Q[12]
D'après la relation établie à la question Q[11], on a \vec{d}(t) = \varepsilon_0 \alpha(\omega) \vec{E}(0,t). En termes de dimensions :
[\vec{d}] = \mathrm{I}\cdot\mathrm{T}\cdot\mathrm{L} = \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}, \quad [\vec{E}] = \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}, \quad [\varepsilon_0] = \mathrm{F}\cdot\mathrm{m}^{-1} = \mathrm{C}\cdot\mathrm{V}^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1}
Il vient [\varepsilon_0 \vec{E}] = \mathrm{C}\cdot\mathrm{m}^{-2}, d'où :
\boxed{[\alpha] = \mathrm{L}^3}
La polarisabilité \alpha a donc la dimension d'un volume (on parle d'ailleurs souvent de volume de polarisabilité).
D'après les questions Q[7] et Q[11], on a :
\omega_0^2 = \frac{q_e^2}{4\pi\varepsilon_0 m_e \mathcal{R}_0^3} \quad \text{et} \quad \alpha(\omega) = \frac{q_e^2}{\varepsilon_0 m_e (\omega_0^2 - \omega^2)}
Le volume d'une boule de rayon \mathcal{R}_0 est \mathcal{V}_0 = \frac{4}{3}\pi \mathcal{R}_0^3, ce qui donne 4\pi\mathcal{R}_0^3 = 3\mathcal{V}_0. On peut alors écrire :
\frac{q_e^2}{\varepsilon_0 m_e} = 3\mathcal{V}_0 \omega_0^2
En injectant cette relation dans l'expression de \alpha(\omega), on obtient :
\boxed{\alpha(\omega) = \frac{3\mathcal{V}_0}{1 - \left(\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2} = 3\mathcal{V}_0 \frac{\omega_0^2}{\omega_0^2 - \omega^2}}
Interprétation physique au voisinage de \omega = \omega_0 :
- Phénomène de résonance : lorsque la pulsation de l'onde excitatrice \omega est proche de la pulsation propre \omega_0 de l'électron élastiquement lié, l'amplitude de la réponse dipolaire devient très grande. La divergence observée en \omega = \omega_0 est un artefact dû à l'absence de terme dissipatif (frottement fluide ou amortissement radiatif) dans le modèle.
- Déphasage de la réponse :
  - En deçà de la résonance (\omega < \omega_0), on a \alpha > 0 : le dipôle induit oscille en phase avec le champ électrique excitateur.
  - Au-delà de la résonance (\omega > \omega_0), on a \alpha < 0 : l'inertie de l'électron domine la force de rappel élastique, et le dipôle induit oscille en opposition de phase avec le champ excitateur.
Résultat
$[α] = L^{3}$ $α (ω) = \frac{3 V _{0}}{1 - ( \frac{ω}{ω _{0}} ) ^{2}} = 3 V_{0} \frac{ω _{0}^{2}}{ω _{0}^{2} - ω ^{2}}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 6Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q6
1. Justification de la forme de l'onde électromagnétique
L'expression \vec{E} = E_0 \cos [\omega (t - x/c)] \widehat{e}_z correspond à une onde plane progressive monochromatique (OPPM) se propageant selon l'axe (Ox) à la vitesse c, polarisée rectilignement selon (Oz) :
- Caractère plan : la distance Soleil-Terre (d \approx 1{,}5 \times 10^8\text{ km}) est immense devant l'échelle locale d'étude dans l'atmosphère ; le front d'onde sphérique issu du Soleil est donc localement rigoureusement plan. De plus, l'air étant très peu dense, la vitesse de phase est assimilable à la célérité c dans le vide.
- Caractère monochromatique : le rayonnement solaire est polychromatique, mais en vertu de la linéarité des équations de propagation et des interactions considérées, l'analyse de Fourier permet d'étudier indépendamment chaque composante spectrale de pulsation \omega.
- Transversalité et polarisation : la structure d'onde plane dans l'air (\mathrm{div}\,\vec{E} = 0) impose un champ électrique orthogonal à la direction de propagation \widehat{e}_x. La lumière naturelle solaire n'étant pas polarisée, on peut la décomposer sur deux polarisations rectilignes indépendantes orthogonales (par exemple selon \widehat{e}_y et \widehat{e}_z) et restreindre l'étude à l'une d'entre elles.
2. Création du moment dipolaire induit \vec{p}
Les molécules de diazote \mathrm{N}_2 et de dioxygène \mathrm{O}_2 sont centrosymétriques : au repos, les barycentres des charges positives (noyaux) et des charges négatives (cortège électronique) coïncident, le moment dipolaire permanent est nul.
- Sous l'action du champ électrique \vec{E}(t) de l'onde, les électrons subissent une force de rappel liée aux noyaux ainsi que la force électrique oscillante \vec{F} = -e\,\vec{E}(t).
- Les noyaux, beaucoup plus lourds que les électrons, restent quasi immobiles sur l'échelle de temps optique, tandis que le nuage électronique subit un déplacement oscillant \vec{r}(t) par rapport aux noyaux.
- Cette séparation des barycentres de charges positives et négatives induit un moment dipolaire oscillant \vec{p}(t) = -e\,\vec{r}(t), aligné sur le champ électrique excitateur \widehat{e}_z et oscillant à la pulsation \omega.
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 7Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q7
1. Allure de la courbe \Phi(t)
Le terme \dfrac{r_i^3}{\left(r_i^2 + (z + vt)^2\right)^{3/2}} est sans dimension. La fonction \Phi(t) présente les caractéristiques suivantes :
- Elle est strictement positive et atteint son maximum en t_0 = -\dfrac{z}{v}, instant où le centre de l'aimant franchit la hauteur de l'anneau (\mathcal{A}) (z_C = -vt = z) :
  \Phi(t_0) = \Phi_0
- Elle est paire par rapport à la variable (t - t_0).
- Elle tend vers 0 lorsque t \to \pm \infty selon une loi en |t|^{-3}.
2. Analyse dimensionnelle pour déterminer a, b et c
Exprimons les dimensions des grandeurs intervenant dans \Phi_0 = \mu_0^a M_0^b r_i^c en fonction des dimensions fondamentales L, M, T, I :
- Le rayon r_i est une longueur :
  [r_i] = L
- Le moment magnétique dipolaire M_0 a pour unité l'\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^2 (courant \times surface) :
  [M_0] = I \cdot L^2
- D'après le formulaire, le champ créé sur l'axe par un dipôle s'écrit B \sim \dfrac{\mu_0 M_0}{r^3}. La force de Laplace sur un élément de courant s'écrit \mathrm{d}\vec{F} = I\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}, d'où [B] = \dfrac{[F]}{I \cdot L} = \dfrac{M \cdot L \cdot T^{-2}}{I \cdot L} = M \cdot T^{-2} \cdot I^{-1}. On en déduit :
  [\mu_0] = \frac{[B] \cdot L^3}{[M_0]} = \frac{(M \cdot T^{-2} \cdot I^{-1})\cdot L^3}{I \cdot L^2} = M \cdot L \cdot T^{-2} \cdot I^{-2}
- Le flux magnétique \Phi est le flux d'un champ magnétique à travers une surface :
  [\Phi] = [B] \cdot L^2 = M \cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot I^{-1}
Comme le terme dépendant du temps dans \Phi(t) est adimensionné, la constante \Phi_0 a la dimension d'un flux : [\Phi_0] = [\Phi]. L'équation aux dimensions s'écrit :
\begin{aligned} [\Phi_0] &= [\mu_0]^a [M_0]^b [r_i]^c \\ M \cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot I^{-1} &= (M \cdot L \cdot T^{-2} \cdot I^{-2})^a \, (I \cdot L^2)^b \, L^c \\ M^1 \cdot L^2 \cdot T^{-2} \cdot I^{-1} &= M^a \cdot L^{a + 2b + c} \cdot T^{-2a} \cdot I^{-2a + b} \end{aligned}
Par identification des exposants de chaque grandeur fondamentale :
\begin{aligned} \text{sur } M &: a = 1 \\ \text{sur } T &: -2a = -2 \implies a = 1 \\ \text{sur } I &: -2a + b = -1 \implies -2(1) + b = -1 \implies b = 1 \\ \text{sur } L &: a + 2b + c = 2 \implies 1 + 2(1) + c = 2 \implies c = -1 \end{aligned}
On trouve ainsi :
\boxed{a = 1, \quad b = 1, \quad c = -1}
ce qui correspond à \Phi_0 \propto \dfrac{\mu_0 M_0}{r_i}.
Résultat
$a = 1, b = 1, c = - 1$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 8Mines-Ponts Physique 2 PSI 2024, Q30
Le champ magnétique créé par un dipôle magnétique \vec{\mu}_T situé au centre de la Terre s'écrit en coordonnées sphériques d'axe (Oz) :
\vec{B} = \frac{\mu_0 \mu_T}{4\pi r^3}\left(2\cos\theta\,\vec{e}_r + \sin\theta\,\vec{e}_\theta\right)
Dans le plan équatorial, la colatitude vaut \theta = \frac{\pi}{2}, de sorte que le terme radial s'annule (\cos\theta = 0) et \sin\theta = 1. Le champ magnétique est donc purement orthoradial, parallèle à l'axe des pôles (Oz).
À l'extérieur du globe terrestre, les lignes de champ magnétique émergent au voisinage du pôle Sud géographique et convergent vers le pôle Nord géographique (le pôle Nord géographique se comportant magnétiquement comme un pôle Sud). À l'équateur, le champ magnétique pointe donc du Sud vers le Nord, c'est-à-dire dans le sens du vecteur unitaire \vec{e}_z :
\boxed{ \vec{B}_0 = B_0\,\vec{e}_z }
La norme du champ dipolaire décroît en 1/r^3, où r est la distance au centre de la Terre. À l'équateur à la surface du sol (r = R_T), le champ a pour norme B_e. À l'altitude h, la distance au centre vaut r = R_T + h, ce qui conduit directement à :
\boxed{ B_0 = B_e \left(\frac{R_T}{R_T + h}\right)^3 }
Résultat
$B_{0} = B_{0} e_{z}$ $B_{0} = B_{e} (\frac{R _{T}}{R _{T} + h})^{3}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 9X-ENS Physique PSI 2024, Q34
On applique le principe fondamental de la dynamique à l'électron (masse m, charge -e) dans le référentiel galiléen du laboratoire. Le noyau (barycentre O des charges positives) est supposé fixe à l'origine en raison de son inertie (M \gg m).
D'après les questions précédentes et l'énoncé, les forces exercées sur l'électron sont :
- la force électrique du laser (la composante magnétique étant négligée et l'approximation dipolaire étant vérifiée d'après la question Q33) :
  \vec{F}_e = -e \vec{E}(\vec{0}, t) \,;
- la force de rappel élastique :
  \vec{F}_{\mathrm{rap}} = -k \vec{r} = -m\omega_0^2 \vec{r} \,;
- la force d'amortissement radiatif :
  \vec{f} = -\frac{m}{\tau_0} \dot{\vec{r}} \,.
L'équation du mouvement s'écrit donc :
m \ddot{\vec{r}} = -m\omega_0^2 \vec{r} - \frac{m}{\tau_0} \dot{\vec{r}} - e \vec{E}(\vec{0}, t) \,,
soit :
\ddot{\vec{r}} + \frac{1}{\tau_0} \dot{\vec{r}} + \omega_0^2 \vec{r} = -\frac{e}{m} \vec{E}(\vec{0}, t) \,.
En projetant sur la direction du champ électrique, notée selon le vecteur unitaire \vec{u} tel que \vec{E}_0 = E_0 \vec{u} et \vec{r}(t) = r(t)\vec{u}, on obtient l'équation différentielle scalaire :
\ddot{r}(t) + \frac{1}{\tau_0} \dot{r}(t) + \omega_0^2 r(t) = -\frac{e}{m} E_0 \cos(\omega t) \,.
En régime sinusoïdal permanent, en adoptant la représentation complexe \underline{E}(t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} et \underline{r}(t) = r_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}, les dérivées temporelles se traduisent par la multiplication par \mathrm{i}\omega :
\begin{aligned} \left(-\omega^2 + \mathrm{i}\frac{\omega}{\tau_0} + \omega_0^2\right) \underline{r}(t) &= -\frac{e}{m} \underline{E}(t) \,. \end{aligned}
On en déduit l'expression complexe de la position :
\boxed{\underline{r}(t) = -\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}} \underline{E}(t)}
avec \underline{E}(t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}.
Le moment dipolaire induit s'écrit \vec{p} = -e\vec{r}, soit en grandeur complexe vectorielle :
\vec{\underline{p}} = -e \underline{\vec{r}} = -e \underline{r}(t)\vec{u} = \frac{e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}} \underline{E}(t) \vec{u} \,.
En réinjectant \vec{\underline{E}} = \underline{E}(t) \vec{u}, on obtient :
\boxed{\vec{\underline{p}} = \frac{e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}} \vec{\underline{E}}}
Résultat
$\underline{r} (t) = - \frac{e}{m} \frac{1}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} + i \frac{ω}{τ _{0}}} \underline{E} (t)$ $\underline{p} = \frac{e ^{2}}{m} \frac{1}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} + i \frac{ω}{τ _{0}}} \underline{E}$
Indice, stratégie et pièges de cette question
Exercice 10X-ENS Physique PSI 2024, Q35
D'après la question Q34, le moment dipolaire induit complexe s'écrit :
\vec{\underline{p}} = \frac{e^2}{m}\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}} \vec{\underline{E}}
Par identification avec la relation de définition (10), \vec{\underline{p}} = \varepsilon_0 \underline{\alpha}(\omega) \vec{\underline{E}}, on en déduit immédiatement l'expression de la polarisabilité complexe :
\boxed{\underline{\alpha}(\omega) = \frac{e^2}{\varepsilon_0 m} \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}}}
Plaçons-nous au voisinage de la résonance, où le désaccord \delta = \omega - \omega_0 vérifie |\delta| \ll \omega_0. On a :
\begin{aligned} \omega_0^2 - \omega^2 &= (\omega_0 - \omega)(\omega_0 + \omega) = -\delta(2\omega_0 + \delta) \simeq -2\omega_0\delta \\ \frac{\omega}{\tau_0} &\simeq \frac{\omega_0}{\tau_0} \end{aligned}
Le dénominateur de \underline{\alpha}(\omega) se réécrit donc :
\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\frac{\omega}{\tau_0} \simeq -2\omega_0\delta + \mathrm{i}\frac{\omega_0}{\tau_0} = -2\omega_0\left( \delta - \mathrm{i}\frac{1}{2\tau_0} \right)
En posant \Gamma = \dfrac{1}{\tau_0}, il vient :
\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 + \mathrm{i}\dfrac{\omega}{\tau_0}} \simeq -\frac{1}{2\omega_0} \frac{1}{\delta - \mathrm{i}\dfrac{\Gamma}{2}} = -\frac{1}{2\omega_0} \frac{\delta + \mathrm{i}\dfrac{\Gamma}{2}}{\delta^2 + \dfrac{\Gamma^2}{4}}
En réinjectant cette forme dans l'expression de la polarisabilité :
\underline{\alpha}(\omega) \simeq -\frac{e^2}{2\varepsilon_0 m \omega_0} \frac{\delta + \mathrm{i}\dfrac{\Gamma}{2}}{\delta^2 + \dfrac{\Gamma^2}{4}}
En introduisant la grandeur \alpha_0 définie par :
\boxed{\alpha_0 = \frac{e^2}{\varepsilon_0 m \omega_0^2}} \quad \text{et} \quad \boxed{\Gamma = \frac{1}{\tau_0}}
on obtient :
\underline{\alpha}(\omega) = -\frac{\alpha_0}{2} \frac{\omega_0 \left(\delta + \mathrm{i}\dfrac{\Gamma}{2}\right)}{\delta^2 + \dfrac{\Gamma^2}{4}}
Puisque l'énoncé pose \underline{\alpha}(\omega) = \alpha'(\omega) - \mathrm{i}\alpha''(\omega), l'identification des parties réelle et imaginaire donne directement :
\boxed{\alpha' = -\frac{\alpha_0}{2} \frac{\omega_0 \delta}{\delta^2 + \Gamma^2/4}} \quad \text{et} \quad \boxed{\alpha'' = \frac{\alpha_0}{2} \frac{\omega_0 \Gamma/2}{\delta^2 + \Gamma^2/4}}
Résultat
$\underline{α} (ω) = \frac{e ^{2}}{ε _{0} m} \frac{1}{ω _{0}^{2} - ω ^{2} + i \frac{ω}{τ _{0}}}$ $α_{0} = \frac{e ^{2}}{ε _{0} m ω _{0}^{2}}$ $Γ = \frac{1}{τ _{0}}$ $α^{'} = - \frac{α _{0}}{2} \frac{ω _{0} δ}{δ ^{2} + Γ ^{2} /4}$ $α^{''} = \frac{α _{0}}{2} \frac{ω _{0} Γ/2}{δ ^{2} + Γ ^{2} /4}$
Indice, stratégie et pièges de cette question

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