Feuille d'entraînement : Dipôles électrique et magnétique

Corrigés

1. Exercice 1CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q52

   Par définition, le moment magnétique \vec{m} associé à une spire plane de surface \mathcal{S} parcourue par un courant d'intensité I_r s'écrit :

   \vec{m} = I_r \, S \, \vec{n}

   où :

   • S = \pi a^2 est l'aire de la spire circulaire de rayon a ;
   • \vec{n} est le vecteur unitaire normal au plan de la spire, orienté selon la règle de la main droite par rapport au sens du courant I_r.

   Sur la vue en coupe de la figure 5 (dans le plan (xOz) vu selon l'axe (Oy) orienté vers le lecteur) :

   • l'axe (Ox) est dirigé vers la droite (vecteur unitaire \vec{e}_x) ;
   • l'axe (Oz) est dirigé vers le bas (vecteur unitaire \vec{e}_z), de sorte que la direction vers le haut est repérée par -\vec{e}_z ;
   • le courant I_r sort du plan au niveau de la demi-spire supérieure et y entre au niveau de la demi-spire inférieure, orientant le vecteur normal \vec{n} vers le demi-espace supérieur en faisant un angle \theta avec l'axe (Ox).

   La projection du vecteur unitaire \vec{n} dans la base cartésienne (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z) s'écrit donc :

   \vec{n} = \cos\theta \, \vec{e}_x - \sin\theta \, \vec{e}_z

   On en déduit l'expression du moment magnétique \vec{m} :

   \boxed{\vec{m} = I_r \pi a^2 \left(\cos\theta\,\vec{e}_x - \sin\theta\,\vec{e}_z\right)}

   Résultat

   $$\vec{m}=I_r\pi a^2\left(\cos \theta {\vec{e}}_x-\sin \theta {\vec{e}}_z\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2CCINP Physique-Chimie TSI 2026, Q54

   D'après la question Q51 et l'approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS), le champ magnétique créé par le stator à l'intérieur du solénoïde s'écrit à chaque instant :

   \vec{B}_s(t) = -\mu_0 n\,i_s(t)\,\vec{e}_x = -\mu_0 n I_s \cos(\omega t)\,\vec{e}_x

   D'après les questions Q52 et Q53, le moment magnétique associé à la spire rotorique s'exprime par :

   \vec{m}(t) = I_r \pi a^2 \left[ \cos\theta(t)\,\vec{e}_x - \sin\theta(t)\,\vec{e}_z \right]

   avec \theta(t) = \omega_s t + \theta_0.

   Le couple des actions de Laplace subi par le rotor est donné par l'équation (8) de l'énoncé :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= \vec{m}(t) \wedge \vec{B}_s(t) \\ &= I_r \pi a^2 \left[ \cos\theta(t)\,\vec{e}_x - \sin\theta(t)\,\vec{e}_z \right] \wedge \left[ -\mu_0 n I_s \cos(\omega t)\,\vec{e}_x \right] \end{aligned}

   Sachant que \vec{e}_x \wedge \vec{e}_x = \vec{0} et que dans la base orthonormée directe (\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), on a \vec{e}_z \wedge \vec{e}_x = \vec{e}_y, il vient :

   \begin{aligned} \vec{\Gamma}(t) &= (-\sin\theta(t)) \cdot (-\mu_0 n I_s I_r \pi a^2 \cos(\omega t)) \,(\vec{e}_z \wedge \vec{e}_x) \\ &= \mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t)\sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y \end{aligned}

   En tenant compte du sens de parcours et de l'orientation de l'axe de rotation du rotor (autour de l'axe (Oy)), le couple exercé par le stator s'écrit :

   \boxed{\vec{\Gamma}(t) = \mu_0 n I_r I_s \pi a^2 \cos(\omega t)\sin(\omega_s t + \theta_0)\,\vec{e}_y}

   Résultat

   $$\vec{\Gamma }(t)={\mu }_{0}n{I}_r{I}_s\pi a^2\cos (\omega t)\sin ({\omega }_{s}t+{\theta }_0){\vec{e}}_y$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q25

   Considérons l'interaction entre l'aimant permanent du train et les différentes paires de spires du stator :

   • Moment magnétique de l'aimant : L'aimant permanent présente son pôle Nord (\mathrm{N}) vers le haut et son pôle Sud (\mathrm{S}) vers le bas. Son moment magnétique \vec{\mathcal{M}} est orienté du pôle Sud vers le pôle Nord, donc vers le haut de la figure.

   • Situation en x = 0 :

     • La spire supérieure présente un pôle \mathrm{N} face à l'entrefer (vers le bas), en regard du pôle \mathrm{N} de l'aimant.
     • La spire inférieure présente un pôle \mathrm{S} face à l'entrefer (vers le haut), en regard du pôle \mathrm{S} de l'aimant.

     Des pôles magnétiques de même nom se repoussent : l'aimant subit une répulsion de la part des deux spires situées en x = 0. Cette configuration de répulsion mutuelle correspond à un état de haute énergie, donc à un maximum d'énergie potentielle.

     Remarque énergétique équivalente : Les lignes de champ créées par la paire de spires à x=0 vont du pôle Nord au pôle Sud, soit du haut vers le bas. Le champ extérieur \vec{B} est donc dirigé vers le bas, antiparallèle au moment magnétique \vec{\mathcal{M}} de l'aimant. L'énergie potentielle dipolaire :

     E_p = -\vec{\mathcal{M}}\cdot\vec{B} = + \mathcal{M} B > 0

     est maximale en x = 0.

   • Situation au niveau des spires adjacentes (à gauche et à droite) : Les polarités sont inversées : la spire supérieure présente un pôle \mathrm{S} face à l'entrefer et la spire inférieure un pôle \mathrm{N}. Les pôles en vis-à-vis étant de noms opposés, l'interaction est attractive (\vec{\mathcal{M}} et \vec{B} parallèles), ce qui correspond à un minimum d'énergie potentielle (E_p = -\mathcal{M}B < 0).

   Par conséquent, la courbe d'énergie potentielle E_p(x) présente un maximum en x = 0 et des minima au niveau des spires voisines : il s'agit du profil B.

   \boxed{\text{Le profil B décrit le mieux l'interaction entre les spires et l'aimant.}}

   Résultat

   $$\text{Le profil B deˊcrit le mieux l’interaction entre les spires et l’aimant.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CentraleSupélec Physique-Chimie 1 TSI 2025, Q26

   Le mouvement de l'aimant étant unidimensionnel le long de l'axe (Ox), la force conservative associée à l'énergie potentielle E_p(x) s'écrit :

   \vec{F} = -\vec{\mathrm{grad}}(E_p) = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x}\,\vec{e}_x = F_x\,\vec{e}_x

   Pour que la force soit orientée vers la droite (\vec{e}_x), il faut que sa composante soit strictement positive :

   F_x = -\frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x} > 0 \iff \frac{\mathrm{d}E_p}{\mathrm{d}x} < 0

   L'aimant doit donc être situé sur une portion de courbe où l'énergie potentielle est décroissante, c'est-à-dire immédiatement à droite du pic en x = 0 (x > 0).

   Pour obtenir une force maximale, l'intensité F_x doit atteindre son maximum, ce qui correspond à la pente descendante la plus raide, soit au point d'inflexion de la courbe E_p(x) situé entre le sommet (en x=0) et le creux (minimum d'énergie potentielle) :

   \frac{\mathrm{d}F_x}{\mathrm{d}x} = -\frac{\mathrm{d}^2E_p}{\mathrm{d}x^2} = 0

   L'aimant doit par conséquent être positionné entre la paire de spires en x=0 et la paire de spires suivante, au voisinage du point d'inflexion (sensiblement à mi-distance entre les deux paires de spires).

   \boxed{\text{L'aimant doit être placé à droite de la paire centrale, au point d'inflexion situé entre $x=0$ et la paire suivante.}}

   Résultat

   $$\text{L’aimant doit eˆtre placeˊ aˋ droite de la paire centrale, au point d’inflexion situeˊ entre x=0 et la paire suivante.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CCINP Physique-Chimie TSI 2022, Q70

   Un compas magnétique marin est constitué d'un élément aimanté (équipage mobile) libre de s'orienter suivant la composante horizontale du champ magnétique terrestre local \vec{B}_T, indiquant ainsi la direction du nord magnétique.

   D'après les lois de l'électromagnétisme (loi de Biot et Savart, théorème d'Ampère), tout câble électrique parcouru par un courant génère dans son voisinage un champ magnétique parasite \vec{B}_{\text{câble}}.

   Ce champ s'ajoute vectoriellement au champ magnétique terrestre :

   \vec{B}_{\text{tot}} = \vec{B}_T + \vec{B}_{\text{câble}}

   L'équipage mobile s'aligne alors sur le champ résultant \vec{B}_{\text{tot}}, ce qui dévie l'aiguille de la direction du nord magnétique d'un angle appelé déviation magnétique. Il s'agit donc d'une perturbation magnétique qui fausse l'indication du cap du navire.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q35

   Le champ électrostatique dérive du potentiel scalaire selon :

   \vec{E} = -\vec{\mathrm{grad}}\,V

   D'après le formulaire, le gradient en coordonnées sphériques s'écrit :

   \vec{\mathrm{grad}}\,V = \frac{\partial V}{\partial r}\vec{u}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\vec{u}_\theta + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \varphi}\vec{u}_\varphi

   Le potentiel dipolaire étant indépendant de l'angle azimutal \varphi, la composante E_\varphi est nulle, et les composantes radiale E_r et orthoradiale E_\theta s'écrivent :

   \begin{aligned} E_r &= -\frac{\partial V}{\partial r} \\ E_\theta &= -\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta} \end{aligned}

   Avec V(r,\theta) = \dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, calculons les dérivées partielles :

   \begin{aligned} \frac{\partial V}{\partial r} &= -\frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3} \\ \frac{\partial V}{\partial \theta} &= -\frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{aligned}

   On en déduit immédiatement les composantes du champ électrostatique :

   \boxed{E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}}

   \boxed{E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}}

   Résultat

   $$E_r=\frac{2p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$$

   $$E_{\theta }=\frac{p\sin \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q36

   Dans le repère polaire associé au point M, l'axe (OM) est dirigé par le vecteur unitaire radial \vec{u}_r. Le vecteur champ électrostatique s'exprime sous la forme :

   \vec{E} = E_r\,\vec{u}_r + E_\theta\,\vec{u}_\theta.

   D'après la figure 4 de l'énoncé, l'angle \alpha que fait le vecteur \vec{E} avec la direction (OM) (soit avec \vec{u}_r) vérifie :

   \tan\alpha = \frac{E_\theta}{E_r}.

   En utilisant les expressions de E_r et E_\theta établies à la question précédente Q35 :

   \begin{aligned} \tan\alpha &= \frac{\dfrac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}}{\dfrac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^3}} \\ &= \frac{1}{2}\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ &= \frac{1}{2}\tan\theta. \end{aligned}

   La relation liant les angles \alpha et \theta est donc :

   \boxed{\tan\alpha = \frac{1}{2}\tan\theta}

   Résultat

   $$\tan \alpha =\frac{1}{2}\tan \theta$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q37

   D'après les composantes établies à la question Q35 :

   \vec{E}(r,\theta) = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\left(2\cos\theta\,\vec{u}_r + \sin\theta\,\vec{u}_\theta\right)

   • Cas \theta = 0 (sur l'axe du dipôle, côté des x > 0) :

     Pour \theta = 0, \cos\theta = 1, \sin\theta = 0 et \vec{u}_r = \vec{u}_x. Le champ est purement radial :

     \boxed{\vec{E}(\theta=0) = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_r = \frac{2p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_x}

     Le champ électrostatique est colinéaire et de même sens que le moment dipolaire \vec{p}.

   • Cas \theta = \pi/2 (dans le plan équatorial) :

     Pour \theta = \pi/2, \cos\theta = 0, \sin\theta = 1. D'après l'orientation de la base sphérique dans le demi-plan considéré, on a \vec{u}_r = \vec{u}_y et \vec{u}_\theta = -\vec{u}_x. Le champ est purement orthoradial :

     \boxed{\vec{E}\left(\theta=\frac{\pi}{2}\right) = \frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_\theta = -\frac{p}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\,\vec{u}_x}

     Le champ électrostatique est colinéaire à \vec{p} mais dirigé en sens opposé (antiparallèle).

   On représente ci-dessous le vecteur champ électrique en ces deux positions (à une même distance r de l'origine O) :

   Résultat

   $$\vec{E}(\theta =0)=\frac{2p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\vec{u}}_r=\frac{2p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\vec{u}}_x$$

   $$\vec{E}\left(\theta =\frac{\pi }{2}\right)=\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\vec{u}}_{\theta }=-\frac{p}{4\pi {\epsilon }_0{r}^3}{\vec{u}}_x$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q38

   D'après le texte, il y a trois électrodes exploratrices placées aux points R, L et F, de potentiels respectifs V_R, V_L et V_F, ainsi qu'une électrode de référence de potentiel V_W.

   • Dérivations unipolaires : une dérivation unipolaire mesure la différence de potentiel entre une électrode exploratrice et l'électrode de référence. Ayant trois électrodes exploratrices (R, L, F), on peut en former exactement trois :

     \begin{aligned} U_R &= V_R - V_W, \\ U_L &= V_L - V_W, \\ U_F &= V_F - V_W. \end{aligned}
     \boxed{\text{Nombre de dérivations unipolaires} = 3}

   • Dérivations bipolaires : une dérivation bipolaire mesure la différence de potentiel entre deux électrodes exploratrices distinctes. Le nombre de paires d'électrodes exploratrices que l'on peut constituer parmi les trois est donné par le coefficient binomial :

     \binom{3}{2} = \frac{3 \times 2}{2} = 3

     Ces trois dérivations correspondent historiquement aux trois dérivations standard d'Einthoven :

     \begin{aligned} D_{\mathrm{I}} &= V_L - V_R, \\ D_{\mathrm{II}} &= V_F - V_R, \\ D_{\mathrm{III}} &= V_F - V_L. \end{aligned}
     \boxed{\text{Nombre de dérivations bipolaires} = 3}

   Résultat

   $$\text{Nombre de deˊrivations unipolaires}=3$$

   $$\text{Nombre de deˊrivations bipolaires}=3$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10CentraleSupélec Physique-Chimie 2 TSI 2022, Q39

    L'association des dérivations unipolaires et bipolaires présente un double intérêt clinique et physique :

    1. Multiplier les angles de vue dans le plan frontal : Chaque dérivation mesure la projection du vecteur moment dipolaire cardiaque \vec{p}(t) le long d'un axe privilégié.

       • Les dérivations bipolaires mesurent la projection de \vec{p}(t) selon les côtés du triangle d'Einthoven (RL, RF et LF, orientés à 0^\circ, 60^\circ et 120^\circ).
       • Les dérivations unipolaires mesurent la projection selon les médianes reliant le centre électrique O aux sommets R, L et F (orientées vers -150^\circ, -30^\circ et 90^\circ).

       En combinant ces deux types de dérivations, on obtient ainsi six directions de projection réparties tous les 30^\circ dans le plan frontal (système hexaxial de Cabrera).

    2. Caractériser précisément l'activité électrique cardiaque : Ce maillage directionnel permet de reconstruire en amplitude, direction et sens l'évolution temporelle du vecteur cardiaque \vec{p}(t) (axe électrique du cœur), et de localiser précisément d'éventuelles anomalies (ischémies, infarctus de myocarde, blocs de conduction ou hypertrophies) qui pourraient être invisibles ou atténuées sous une seule direction de projection.

    Indice, stratégie et pièges de cette question