Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2023 (page 2/3 : Partie I (questions 10 à 24))

La première équation du système (I.3) s'obtient en appliquant le principe fondamental de la dynamique au flyer de masse m dans le référentiel tournant non galiléen (\mathcal{R}) = (A, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z), puis en effectuant un développement au premier ordre (linéarisation) des forces au voisinage de la position d'équilibre \mathrm{L}_1, et enfin en projetant sur l'axe (\mathrm{L}_1 x) :

Par identification terme à terme, avec les variables adimensionnées u = \alpha / D, v = \beta / D, \epsilon = \varepsilon / D et \tau = \omega t / (2\pi) :

• Le terme \dfrac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\tau^2} : il représente la composante selon l'axe (\mathrm{L}_1 x) de l'accélération relative du flyer dans le référentiel (\mathcal{R}), adimensionnée par le facteur d'échelle spatial D et temporel (2\pi/\omega)^2 :

  \frac{\mathrm{d}^2 u}{\mathrm{d}\tau^2} = \frac{4\pi^2}{\omega^2 D}\,\ddot{\alpha}

• Le terme 4\pi \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}\tau} : il correspond à la composante selon \vec{e}_x de la force d'inertie de Coriolis par unité de masse :

  \frac{\vec{F}_{ic}}{m} = -2\,\vec{\omega}\wedge\vec{v}_r = -2(\omega\,\vec{e}_z)\wedge(\dot{\alpha}\,\vec{e}_x + \dot{\beta}\,\vec{e}_y + \dot{\gamma}\,\vec{e}_z) = 2\omega\dot{\beta}\,\vec{e}_x - 2\omega\dot{\alpha}\,\vec{e}_y

  Ce terme traduit le couplage gyroscopique induit par la rotation globale du référentiel : une vitesse relative transverse (\dot{\beta} \propto \mathrm{d}v/\mathrm{d}\tau) engendre une déviation le long de l'axe longitudinal \vec{e}_x.

• Les termes proportionnels à u : ils proviennent du développement de Taylor au premier ordre autour du point d'équilibre \mathrm{L}_1 des forces conservatives par unité de masse (attractions gravitationnelles et force centrifuge). À l'ordre zéro, ces forces se compensent exactement à l'équilibre. Le terme résiduel linéaire en u regroupe :

  • le terme 4\pi^2 u : variation de la force d'inertie d'entraînement centrifuge (\omega^2 (x_{\mathrm{L}_1}+\alpha)\vec{e}_x \longrightarrow \omega^2\alpha\vec{e}_x) ;
  • le terme 4\pi^2 \dfrac{2a}{\epsilon^3}\,u : gradient (effet différentiel de marée) de la force gravitationnelle terrestre \left(\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{G}_T}{\mathrm{d}x} \propto \dfrac{2GM_T}{\varepsilon^3}\right) ;
  • le terme 4\pi^2 \dfrac{2(1-a)}{(1-\epsilon)^3}\,u : gradient (effet différentiel de marée) de la force gravitationnelle solaire \left(\dfrac{\mathrm{d}\mathcal{G}_S}{\mathrm{d}x} \propto \dfrac{2GM_S}{(D-\varepsilon)^3}\right).

La troisième équation du système (I.3) s'écrit :

Les grandeurs a et \epsilon étant strictement positives avec \epsilon < 1, la constante C est strictement positive :

Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique non amorti.

En revenant au temps physique t via \tau = \dfrac{\omega t}{2\pi}, on a \dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}\tau^2} = \dfrac{4\pi^2}{\omega^2}\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}, ce qui donne :

Le mouvement du flyer suivant la direction (\mathrm{L}_1 z) est donc un mouvement harmonique sinusoïdal autour de la position d'équilibre z = 0, de pulsation \omega_z et d'amplitude fixée par les conditions initiales.

D'après le résultat de la question Q8, \epsilon^3 \approx \dfrac{a}{3} et \epsilon \ll 1, d'où :

On en déduit :

où T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega} = 1\text{ an} est la période orbitale de la Terre.

Commentaires :

• Stabilité : La position d'équilibre au point \mathrm{L}_1 est stable vis-à-vis des perturbations hors du plan de l'écliptique (selon la direction orthogonale au plan orbital z = 0). Un flyer légèrement écarté du plan orbital y reste confiné en oscillant.
• Origine du rappel : Ni la force centrifuge ni la force de Coriolis n'ont de projection selon l'axe (\mathrm{L}_1 z) pour un déplacement orthogonal au plan de rotation. Seule l'attraction gravitationnelle combinée du Soleil et de la Terre intervient, créant une force de rappel toujours dirigée vers le plan orbital z = 0.

Par définition des variables auxiliaires introduites par l'énoncé :

En dérivant ces grandeurs par rapport au temps adimensionné \tau et en injectant le système d'équations du second ordre (I.3) avec les notations condensées A, B et C, on obtient le système différentiel autonome du premier ordre à six équations suivant :

Le principe de la méthode d'Euler explicite repose sur l'approximation de la dérivée première d'une fonction vectorielle \vec{Y}(\tau) par le taux d'accroissement sur un pas constant h (ou développement de Taylor à l'ordre 1) :

Ici, la variable d'évolution est la date sans dimension \tau (notée de manière générique t dans le texte). Le vecteur d'état regroupant les variables est :

En utilisant le système d'équations différentielles du premier ordre établi à la question précédente :

on obtient directement les expressions des paramètres à l'instant \tau + h en fonction de leurs valeurs à l'instant \tau :

Connaissant les conditions initiales à \tau = 0, la réitération de ce schéma à chaque pas permet de calculer de proche en proche la trajectoire complète du flyer.

1. Premier cadre : pas temporel Pour discrétiser l'intervalle [0, \tau_f] en N points, il y a N - 1 sous-intervalles de largeur h :

h = tau_f / (N - 1)

(La convention h = \tau_f / N est également acceptée.)

2. Deuxième cadre : initialisation Le vecteur init contient les six grandeurs initiales (u_0, v_0, w_0, u_{p,0}, v_{p,0}, w_{p,0}). Par déballage de séquence (*unpacking*) :

u[0], v[0], w[0], up[0], vp[0], wp[0] = init

(On peut aussi écrire init[0], init[1], init[2], init[3], init[4], init[5].)

3. Zone quadrillée : boucle d'intégration (méthode d'Euler) D'après le système différentiel du premier ordre établi aux questions Q12 et Q13 :

Le code complet à reporter dans la zone quadrillée s'écrit donc :

for k in range(N - 1):
    u[k + 1] = u[k] + h * up[k]
    v[k + 1] = v[k] + h * vp[k]
    w[k + 1] = w[k] + h * wp[k]
    up[k + 1] = up[k] + h * (4 * np.pi * vp[k] + 4 * np.pi**2 * A * u[k])
    vp[k + 1] = vp[k] + h * (-4 * np.pi * up[k] + 4 * np.pi**2 * B * v[k])
    wp[k + 1] = wp[k] + h * (-4 * np.pi**2 * C * w[k])

Le graphe de la figure 4 représente la projection de la trajectoire du flyer dans le plan orbital (\mathrm{L}_1, \vec{e}_x, \vec{e}_y), repéré par les coordonnées adimensionnées (\alpha/\varepsilon, \beta/\varepsilon) :

• Effet de la force de Coriolis : La trajectoire est courbée au lieu d'être rectiligne. Ce comportement traduit le couplage gyroscopique entre les coordonnées \alpha et \beta induit par les termes d'accélération de Coriolis (\pm 4\pi\,\mathrm{d}v/\mathrm{d}\tau et \mp 4\pi\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}\tau).
• Caractère instable du point \mathrm{L}_1 : Alors que le flyer part du voisinage immédiat de \mathrm{L}_1 (\alpha = 0, \beta = 0), son éloignement augmente rapidement au cours du temps et la trajectoire diverge. Cela confirme que le point d'équilibre \mathrm{L}_1 est un point-col dans le plan orbital (instabilité dynamique établie à la question Q6).
• Conséquence pratique : En l'absence de contrôle actif de trajectoire ou de mécanisme de compensation (comme la pression de radiation envisagée dans les sections suivantes), un flyer ne reste pas confiné autour de \mathrm{L}_1 et est rapidement éjecté du point de Lagrange.

Le temps adimensionné \tau intervenant dans le système (I.3) est défini par :

où T_0 = 1\text{ an} \approx 365\text{ jours} est la période de révolution de la Terre autour du Soleil.

L'étude des équations différentielles linéarisées (I.3) dans le plan (\vec{e}_x, \vec{e}_y) fait apparaître deux comportements couplés :

• un mode oscillant de pulsation propre \Omega_\tau \approx 4\pi, soit une période adimensionnée T_\tau = \frac{2\pi}{\Omega_\tau} \approx 0{,}5, correspondant à une période réelle T_{\text{osc}} \approx \frac{T_0}{2} \approx 6\text{ mois} (analogue à la période selon z obtenue à la question Q11) ;

• un mode instable exponentiel e^{\lambda \tau} associé à la valeur propre réelle positive \lambda \approx 5\pi \approx 15{,}7, d'où un temps caractéristique de divergence :

  t_d = \frac{T_0}{\lambda} \approx \frac{365}{15{,}7} \approx 23\text{ jours}.

Sur la figure 4, on observe que le flyer décrit une arche correspondant à environ une demi-oscillation (ou un demi-tour d'orbite avortée) : il part du voisinage de \mathrm{L}_1 (\alpha \approx 0), atteint une élongation maximale selon \beta, puis est défléchi et s'éloigne rapidement sous l'effet du mode exponentiel divergent.

La durée pendant laquelle le flyer reste au voisinage immédiat de \mathrm{L}_1 correspond à cette demi-boucle, soit environ une demi-période d'oscillation (ou typiquement 2 à 4 fois le temps caractéristique de divergence t_d) :

En tenant compte de la divergence rapide observée dès la fin de l'arche, on peut estimer cette durée entre 2 et 3 mois :

D'après l'expression (I.4) fournie par l'énoncé :

avec R > 0, \mathcal{L}_S > 0 et A > 0. Le vecteur unitaire \vec{e}_x étant dirigé du Soleil vers la Terre, la force de pression de radiation est dirigée selon +\vec{e}_x, c'est-à-dire qu'elle s'exerce du Soleil vers la Terre.

Au point de Lagrange \mathrm{L}_1 classique, la résultante des forces de gravitation (Soleil et Terre) et de la force d'inertie d'entraînement est nulle :

En présence de la pression de radiation, la nouvelle position d'équilibre x_{\text{éq}} doit vérifier :

La résultante effective \vec{F}_{\text{eff}} doit donc être dirigée vers le Soleil (-\vec{e}_x) pour compenser la pression de radiation.

Or, par rapport à \mathrm{L}_1 :

• si l'on se rapproche du Soleil (déplacement vers les x décroissants), l'attraction gravitationnelle du Soleil augmente tandis que l'attraction terrestre et la force centrifuge diminuent : \vec{F}_{\text{eff}} est alors orientée vers le Soleil (-\vec{e}_x) ;
• la condition d'équilibre ne peut donc être satisfaite qu'en amont de \mathrm{L}_1.

Influence du coefficient de réflexion R :

• L'intensité de la force de pression de radiation \vec{F}_p est directement proportionnelle au coefficient de réflexion R.
• Par conséquent, plus R est grand, plus la force radiative à compenser est importante, et plus la position d'équilibre est repoussée loin de la Terre et rapprochée du Soleil (la distance à la Terre augmente).
• À l'inverse, lorsque R \to 0 (dans la modélisation de l'énoncé), \vec{F}_p \to \vec{0} et la position d'équilibre tend vers le point de Lagrange \mathrm{L}_1 gravitationnel usuel.

D'après la figure 5 et les données du texte, la maille conventionnelle du rutile est un prisme droit à base carrée (réseau quadratique de paramètres de maille a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}).

• Population en atomes de titane \text{Ti} (sphères claires) :

  • 8 atomes situés aux sommets de la maille, partagés chacun entre 8 mailles : 8 \times \dfrac{1}{8} = 1 ;
  • 1 atome situé au centre de la maille, n'appartenant qu'à cette maille : 1 \times 1 = 1.

  Le nombre d'atomes de titane par maille est donc :

  N(\text{Ti}) = 8 \times \frac{1}{8} + 1 = 2

• Population en atomes d'oxygène \text{O} (sphères foncées) :

  • 2 atomes situés entièrement à l'intérieur de la maille (dans le plan z = c/2) : 2 \times 1 = 2 ;
  • 4 atomes situés sur les faces de la maille, partagés chacun entre 2 mailles : 4 \times \dfrac{1}{2} = 2.

  Le nombre d'atomes d'oxygène par maille est donc :

  N(\text{O}) = 2 \times 1 + 4 \times \frac{1}{2} = 4

La population globale de la maille est donc de :

Cohérence avec la formule statistique : Le rapport des populations vérifie :

La maille contient donc Z = 2 groupements formulaires \text{TiO}_2, ce qui est parfaitement cohérent avec la stœchiométrie du dioxyde de titane.

La masse volumique \rho du dioxyde de titane s'exprime par le rapport de la masse contenue dans la maille conventionnelle sur le volume de celle-ci :

1. Volume de la maille : D'après la figure 5, la maille est un pavé droit à base carrée d'arêtes a = b = 459{,}4\text{ pm} et c = 295{,}9\text{ pm}, son volume vaut donc :

   V = a^2 c

2. Masse de la maille : D'après la question Q18, la maille contient Z = 2 motifs formulaires \mathrm{TiO}_2. La masse molaire du dioxyde de titane est :

   M(\mathrm{TiO}_2) = M(\mathrm{Ti}) + 2 M(\mathrm{O}) = 47{,}9 + 2 \times 16{,}0 = 79{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}

   La masse contenue dans la maille s'écrit alors :

   m_{\text{maille}} = \frac{Z \, M(\mathrm{TiO}_2)}{\mathcal{N}_A}

On en déduit l'expression littérale de la masse volumique :

Application numérique :

• Z = 2
• M(\mathrm{TiO}_2) = 79{,}9 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}
• \mathcal{N}_A = 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}
• a = 459{,}4 \times 10^{-12}\text{ m}
• c = 295{,}9 \times 10^{-12}\text{ m}

Le volume de la maille est :

d'où :

Dans un électrolyseur (récepteur électrique) :

• L'anode est le siège de l'oxydation. Les électrons quittent l'anode vers la borne positive du générateur : l'électrode de titane (\mathrm{Ti}), reliée à la borne (+), constitue donc l'anode.
• La cathode est le siège de la réduction. Les électrons arrivent du générateur par la borne négative : la contre-électrode en platine (\mathrm{Pt}), reliée à la borne (-), constitue donc la cathode.

Écrivons les demi-équations électroniques associées aux couples mentionnés :

• À l'anode (oxydation du titane au degré d'oxydation 0 en titane au degré +\text{IV}) :

  \mathrm{Ti}_{(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} = \mathrm{TiO}_{2(\mathrm{s})} + 4\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 4\,\mathrm{e}^-

• À la cathode (réduction de l'eau en dihydrogène) :

  2\,\mathrm{H}^+_{(\mathrm{aq})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} \quad\text{ou}\quad 2\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{e}^- = \mathrm{H}_{2(\mathrm{g})} + 2\,\mathrm{HO}^-_{(\mathrm{aq})}

En multipliant la demi-équation cathodique par 2 pour égaliser le nombre d'électrons échangés (n_{\mathrm{e}^-} = 4), on obtient l'équation-bilan globale de l'anodisation :

Pour estimer la masse volumique \rho_{\text{nano}} de la couche poreuse de nanotubes de \mathrm{TiO}_2, formulons les hypothèses suivantes :

• Les nanotubes sont assimilés à des cylindres creux verticaux identiques de hauteur H, de diamètre extérieur D_{\text{ext}}, de diamètre intérieur D_{\text{int}} et d'épaisseur de paroi e = \frac{D_{\text{ext}} - D_{\text{int}}}{2}.
• La matière constituant les parois est du dioxyde de titane de structure rutile, de masse volumique \rho \approx 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} (déterminée à la question Q19).
• Les nanotubes sont disposés selon un arrangement compact (hexagonal ou quasi-compact) sur le substrat.

1. Lecture des dimensions sur la figure 7 :

• L'épaisseur de paroi e varie légèrement le long du tube : 36\text{ nm} au sommet, 30\text{ nm} à mi-hauteur et 26\text{ nm} à la base. On adopte une épaisseur moyenne :

  e \approx 30\text{ nm}

• En comparant la largeur d'un nanotube à la barre d'échelle de 100\text{ nm} sur les vues agrandies, on estime le diamètre extérieur moyen à :

  D_{\text{ext}} \approx 100\text{ nm} \quad (R_{\text{ext}} \approx 50\text{ nm})

  Le diamètre intérieur (diamètre du pore central) vaut alors :

  D_{\text{int}} = D_{\text{ext}} - 2e \approx 100 - 60 = 40\text{ nm} \quad (R_{\text{int}} \approx 20\text{ nm})

2. Calcul de la fraction volumique de matière f_v :

• La fraction surfacique de matière à l'intérieur d'un cylindre de rayon R_{\text{ext}} vaut :

  f_{\text{cyl}} = \frac{\pi (R_{\text{ext}}^2 - R_{\text{int}}^2)}{\pi R_{\text{ext}}^2} = 1 - \left(\frac{R_{\text{int}}}{R_{\text{ext}}}\right)^2 = 1 - (0{,}40)^2 = 0{,}84
• La compacité 2D d'empilement de disques tangents vaut \eta = \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \approx 0{,}91 pour un réseau hexagonal compact (et \eta = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}79 pour un réseau carré). En tenant compte d'un réseau quasi-hexagonal présentant d'éventuels interstices ou désordres, on peut estimer \eta \approx 0{,}80\text{ à }0{,}85.

• La fraction volumique globale occupée par le dioxyde de titane est donc :

  f_v = \eta \times f_{\text{cyl}} \approx 0{,}80 \times 0{,}84 \approx 0{,}67

  Soit un ordre de grandeur compris entre 60\,\% et 70\,\%.

3. Masse volumique équivalente de la couche :

Avec \rho = 4{,}25 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et f_v \approx 0{,}65 :

Compte tenu des incertitudes sur les lectures graphiques et l'arrangement réel des tubes, on retient :

La charge électrique totale débitée par le générateur à courant constant I pendant la durée \Delta t est donnée par :

Pour I = 25\text{ mA} = 25 \times 10^{-3}\text{ A} et \Delta t = 900\text{ s} :

D'après la demi-équation anodique établie à la question Q20 :

la formation d'une mole de \mathrm{TiO}_2 nécessite l'échange de z = 4 moles d'électrons. La charge électrique utile associée à la masse m de \mathrm{TiO}_2 présente dans la couche vaut donc :

où M(\mathrm{TiO}_2) = 47{,}9 + 2 \times 16{,}0 = 79{,}9\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}.

La masse de dioxyde de titane formant le réseau de nanotubes s'exprime à l'aide du volume total de la couche V = S \times H (avec S = 3{,}14\text{ cm}^2 = 3{,}14 \times 10^{-4}\text{ m}^2, en corrigeant l'évidente coquille d'unité de l'énoncé) et de la masse volumique apparente \rho_{\text{nano}} \approx 2{,}5 \times 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} déterminée à la question Q21 :

Avec l'épaisseur H \approx 3{,}5\,\mu\text{m} = 3{,}5 \times 10^{-6}\text{ m} mesurée sur la figure 7 :

La charge utile est ainsi :

L'efficacité de croissance \theta vaut alors :

Sur la figure 8, les courbes paramétrées par le coefficient de réflexion R présentent toutes une asymptote verticale commune située en :

Cette valeur correspond exactement à la distance \varepsilon entre la Terre et le point de Lagrange \mathrm{L}_1 calculée aux questions Q8 et Q9 en ne tenant compte que de la gravitation et des forces d'inertie d'entraînement.

Physiquement :

• L'accélération communiquée au nuage par la force de pression de radiation vaut :

  \vec{a}_p = \frac{\vec{F}_p}{m} = \frac{2\mathcal{L}_S R A}{4\pi r^2 c\, m}\,\vec{e}_x

• Pour une valeur fixée et non nulle de R, cette accélération de radiation ne devient négligeable devant les accélérations gravitationnelles et d'entraînement que si la masse totale m du nuage devient infiniment grande :

  \lim_{m \to +\infty} \vec{a}_p = \vec{0}

  Le nuage se comporte alors comme une masse d'épreuve purement gravitationnelle et sa position d'équilibre se confond avec le point de Lagrange \mathrm{L}_1 « naturel ».

• Pour une masse finie m, la pression de radiation repousse le point d'équilibre vers le Soleil (d'après Q17), c'est-à-dire à une distance à la Terre d > 1{,}5 \times 10^6\text{ km}.

D'après l'énoncé, les flyers ont une densité surfacique de masse \rho_s = 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-2} et un coefficient de réflexion R = 3{,}2\,\%.

Sur la figure 8, le point d'intersection entre la courbe de condition d'équilibre paramétrée par R = 3{,}2\,\% et la courbe d'atténuation de puissance paramétrée par \rho_s = 5\text{ g}\cdot\text{m}^{-2} donne :

• une distance à la Terre : d \approx 1{,}7 \times 10^6\text{ km} ;

• une masse totale de flyers à envoyer :

  M_{\text{nuage}} \approx 2{,}0 \times 10^{10}\text{ kg} \quad (\text{soit } 20 \times 10^9\text{ kg}).

Le coût unitaire de transport en orbite selon le scénario proposé est c_m = 100\text{ \$}\cdot\text{kg}^{-1}. Le coût de déploiement (transport) s'évalue ainsi :