Corrigé détaillé Centrale Physique Chimie 1 MP 2023 (page 3/3 : Partie II)

En régime thermique stationnaire, le premier principe de la thermodynamique appliqué à l'air et à la structure des bâtiments de la résidence impose que la puissance de chauffage P_c compense l'ensemble des pertes thermiques vers l'extérieur :

Les déperditions thermiques se décomposent en pertes surfaciques à travers les parois (murs, toiture, ouvrants, plancher) et en pertes linéiques via les ponts thermiques :

L'écart de température de référence vaut :

Calculons les différentes composantes de la conductance thermique totale G_{\text{th}} = \sum_k U_k S_k + \psi L à l'aide du tableau 1 :

La conductance thermique globale de la résidence s'élève donc à :

La puissance de chauffage requise en conditions de grand froid s'en déduit :

La combustion complète du méthane dans le dioxygène de l'air s'écrit :

Dans une chaudière conventionnelle (hors condensation), l'eau est évacuée sous forme de vapeur dans les fumées, ce qui justifie la donnée de l'enthalpie molaire de vaporisation de l'eau \Delta_v H(\mathrm{H}_2\mathrm{O}). L'enthalpie molaire standard de formation de la vapeur d'eau vaut :

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de cette réaction de combustion (associée au Pouvoir Calorifique Inférieur, PCI) est :

Application numérique :

À pression constante et en supposant un rendement de combustion de 100\,\%, l'énergie thermique libérée par mole de méthane consommé est q_p = |\Delta_r H^\circ|. L'énergie totale consommée par la résidence en 2021 vaut :

La stœchiométrie indique qu'une mole de \mathrm{CH}_4 brûlée produit une mole de \mathrm{CO}_2. La quantité de matière de dioxyde de carbone rejetée est donc :

La masse de dioxyde de carbone rejetée s'exprime alors par :

Application numérique :

Considérons le système fermé constitué :

• de la masse de fluide présente dans le tronçon [x, x+\mathrm{d}x] à l'instant t ;
• de la masse \mathrm{d}m = Q_m\,\mathrm{d}t s'apprêtant à entrer en x à la température T(x) pendant l'intervalle \mathrm{d}t.

À l'instant t + \mathrm{d}t, cette même masse se retrouve dans le tronçon [x, x+\mathrm{d}x], tandis qu'une masse \mathrm{d}m identique en est sortie en x+\mathrm{d}x à la température T(x+\mathrm{d}x).

En régime stationnaire, l'enthalpie du fluide contenu dans le volume de contrôle fixe [x, x+\mathrm{d}x] est constante au cours du temps : H_{t+\mathrm{d}t}[x, x+\mathrm{d}x] = H_t[x, x+\mathrm{d}x]. La variation d'enthalpie du système fermé s'écrit donc :

où c est la capacité thermique massique de l'eau liquide (incompressible et indilatable).

La diffusion axiale étant négligée et aucun travail mécanique utile n'étant fourni, le premier principe pour ce système fermé s'écrit :

Le transfert thermique \delta Q reçu par la tranche de longueur \mathrm{d}x depuis l'atmosphère extérieure à température T_e à travers la paroi latérale s'exprime, par définition de la conductance linéique g = 1/r, par :

L'égalité des deux expressions conduit à :

En simplifiant par \mathrm{d}x\,\mathrm{d}t et en réorganisant les termes :

En posant \xi = Q_m c r, on obtient bien l'équation différentielle demandée :

L'équation différentielle établie à la question Q27 s'écrit :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre constant.

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante T_p(x) = T_e et de la solution générale de l'équation homogène associée :

où C est une constante d'intégration déterminée par la condition aux limites en entrée du réseau :

On en déduit l'expression du profil de température de l'eau le long du réseau :

Considérons le système constitué par l'air et les parois intérieures des logements situés entre les abscisses x et x+\mathrm{d}x. En régime stationnaire, l'énergie interne de ce système est constante.

Les transferts thermiques s'effectuent uniquement selon la direction radiale (les échanges longitudinaux entre logements adjacents étant négligés) :

• un flux thermique élémentaire reçu depuis l'eau de la canalisation à travers la résistance thermique linéique r_1 :

  \delta\Phi_{\mathrm{recu}} = \frac{T(x) - T_i(x)}{r_1}\,\mathrm{d}x

• un flux thermique élémentaire cédé à l'atmosphère extérieure à travers la résistance thermique linéique r_2 :

  \delta\Phi_{\mathrm{perdu}} = \frac{T_i(x) - T_e}{r_2}\,\mathrm{d}x

Le premier principe de la thermodynamique appliqué à ce système en régime stationnaire impose :

En regroupant les termes en T_i(x), on obtient :

ce qui conduit immédiatement à :

D'après les questions Q28 et Q29, le profil de température de l'eau et celui des logements s'écrivent :

où la résistance thermique linéique équivalente vaut r = r_1 + r_2, soit :

En injectant l'expression de T(x), la température au sein des logements en fonction de l'abscisse x est :

Puisque T_0 > T_e et \xi > 0, la fonction x \mapsto T_i(x) est strictement décroissante sur [0, L]. La température minimale dans la résidence est donc atteinte pour le logement situé à l'extrémité du réseau (x = L) :

Pour que chaque logement ait une température au moins égale à T_{\min} = 19\,^\circ\text{C}, il suffit que T_i(L) \geqslant T_{\min}. À la limite d'égalité, on obtient la température de consigne minimale T_0 :

ce qui donne en isolant T_0 :

Application numérique :

• r_1 + r_2 = 1{,}05 + 0{,}32 = 1{,}37\text{ K}\cdot\text{W}^{-1}\cdot\text{m} ;
• 1 + \dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{1{,}37}{0{,}32} \approx 4{,}281 ;
• \xi = 1{,}0 \times 4{,}18 \times 10^3 \times 1{,}37 \approx 5{,}727 \times 10^3\text{ m} = 5{,}73\text{ km} ;
• \dfrac{L}{\xi} = \dfrac{2{,}0 \times 10^3}{5{,}727 \times 10^3} \approx 0{,}3492 \implies \exp\left(\dfrac{L}{\xi}\right) \approx 1{,}418 ;
• T_{\min} - T_e = 19 - 7 = 12\,^\circ\text{C}.

On en déduit l'élévation de température requise :

La puissance thermique perdue vers l'extérieur par un tronçon de logement de longueur \mathrm{d}x est donnée par :

1. Cas d'un réseau parfaitement équilibré Tous les logements sont maintenus à la température de consigne T_{\min} = 19\,^\circ\text{C}. La puissance de chauffage nécessaire correspond exactement aux déperditions :

2. Cas du réseau non équilibré D'après les questions Q28 et Q29, le profil de température au sein des logements s'écrit :

La condition d'obtention de T_{\min} en bout de chaîne (x = L) impose :

On en déduit l'expression du profil de température intérieur :

La puissance totale dissipée (et donc fournie par la chaudière à l'eau) vaut alors :

3. Surcoût énergétique relatif Le surcoût relatif \delta = \frac{P - P_{\text{eq}}}{P_{\text{eq}}} s'exprime simplement par :

Avec \xi = Q_m c (r_1 + r_2) = 1{,}0 \times 4180 \times (1{,}05 + 0{,}32) \approx 5{,}73 \times 10^3\text{ m} et L = 2{,}0 \times 10^3\text{ m} :

La conservation du débit massique au point de séparation en x = 0 s'écrit :

Sur le tronçon x \in [0, x_J], l'eau s'écoule avec ce débit massique Q_{m,1}. D'après l'équation différentielle établie à la question Q27, la longueur caractéristique associée est :

avec r = r_1 + r_2. La température de l'eau juste en amont de la jonction J (en x = x_J^-) vaut ainsi, d'après la question Q28 :

La dérivation étant calorifugée, l'eau y circule sans échange thermique avec l'extérieur ; elle atteint donc le point de jonction J à la température d'entrée T_0.

Au point de jonction J, les deux écoulements se mélangent pour reformer un débit total Q_m. En régime stationnaire, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle ainsi que les pertes thermiques locales au niveau du raccord, le premier principe pour un système ouvert s'exprime par la conservation du débit d'enthalpie :

Pour un fluide incompressible et indilatable de capacité thermique massique c constante, l'enthalpie massique vérifie \mathrm{d}h = c\,\mathrm{d}T, soit h(T) = c\,(T - T_{\text{ref}}). Le bilan enthalpique se simplifie alors en :

soit :

En substituant l'expression de T(x_J^-), on obtient la température de l'eau juste après la jonction :

Sur la figure 14, la température minimale de chaque configuration s'observe soit juste avant la jonction (x \to x_J^- avec x_J = 1\,000\text{ m}), soit en fin de réseau (x = L = 2\,000\text{ m}) :

• Pour Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6, la température atteint son minimum en x = x_J^- avec T_i(x_J^-) \approx 19{,}1\,^\circ\text{C}, et vaut environ 19{,}4\,^\circ\text{C} en x = L. La condition de confort T_i(x) \ge 19\,^\circ\text{C} est donc satisfaite sur tout le réseau.
• Cette courbe est celle qui se situe le plus bas sur l'ensemble du domaine [0, L] : la surchauffe inutile des logements proches de la chaudière est fortement atténuée (la température moyenne dans la résidence passe d'environ 21{,}6\,^\circ\text{C} pour Q_{m,2} = 0 à environ 21{,}0\,^\circ\text{C} pour Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6). Les déperditions thermiques vers l'extérieur étant proportionnelles à l'écart (T_i - T_e), c'est ce réglage qui procure le gain énergétique maximal.

La valeur qui semble la plus intéressante du point de vue de l'efficacité énergétique est donc :

Remarque : La valeur \dfrac{Q_{m,2}}{Q_m} = 0{,}5 est également un choix défendable : elle assure une séparation équitable des débits (Q_{m,1} = Q_{m,2}), conserve une marge de sécurité plus grande vis-à-vis du seuil des 19\,^\circ\text{C} (T_{\min} \approx 19{,}3\,^\circ\text{C}) et limite le saut thermique ressenti de part et d'autre de la jonction J (\Delta T_J \approx 1{,}8\,^\circ\text{C} contre 2{,}5\,^\circ\text{C} pour le cas 0{,}6).

En régime stationnaire, la puissance thermique totale dissipée par l'ensemble des logements vers l'extérieur s'obtient en intégrant les pertes à travers les parois de conductance linéique g_2 = 1/r_2 :

où \overline{T_i} = \frac{1}{L}\int_0^L T_i(x)\,\mathrm{d}x est la température intérieure moyenne des logements.

L'énergie thermique consommée sur une période donnée étant directement proportionnelle à cette puissance, l'économie relative d'énergie \eta s'écrit :

Estimons les températures moyennes par la méthode des trapèzes à partir des profils de la figure 14 :

• Réseau non équilibré (Q_{m,2}/Q_m = 0) :
  En relevant T_i(0) \approx 24{,}0\,^\circ\text{C}, T_i(L/2) \approx 21{,}4\,^\circ\text{C} et T_i(L) \approx 19{,}3\,^\circ\text{C} :

  \overline{T_i}_{\text{non-éq}} \approx \frac{1}{2}\left(\frac{24{,}0 + 21{,}4}{2} + \frac{21{,}4 + 19{,}3}{2}\right) \approx 21{,}5\,^\circ\text{C}

  L'écart moyen à l'extérieur vaut donc :

  \overline{T_i}_{\text{non-éq}} - T_e \approx 21{,}5 - 7{,}0 = 14{,}5\,^\circ\text{C}

• Réseau équilibré (Q_{m,2}/Q_m = 0{,}6) :
  Sur le premier tronçon amont (x \in [0, L/2]), la température décroît de 24{,}0\,^\circ\text{C} à environ 19{,}1\,^\circ\text{C} :

  \overline{T}_{i,1} \approx \frac{24{,}0 + 19{,}1}{2} \approx 21{,}55\,^\circ\text{C}

  Sur le second tronçon aval (x \in [L/2, L]), après la jonction, la température passe de 21{,}5\,^\circ\text{C} à environ 19{,}3\,^\circ\text{C} :

  \overline{T}_{i,2} \approx \frac{21{,}5 + 19{,}3}{2} \approx 20{,}40\,^\circ\text{C}

  La température moyenne globale est alors :

  \overline{T_i}_{\text{éq}} = \frac{\overline{T}_{i,1} + \overline{T}_{i,2}}{2} \approx 21{,}0\,^\circ\text{C}

L'abaissement moyen de la température intérieure est donc :

On en déduit l'économie relative d'énergie :

Compte tenu de la précision des lectures graphiques (une valeur comprise entre 3\,\% et 5\,\% est recevable) :

1. Expression littérale de l'épaisseur d'isolant

La puissance thermique dissipée s'écrit P_c = G_{\text{tot}}\,(T_i - T_e), où la conductance thermique globale initiale de la résidence vaut la somme des conductances des différents éléments :

D'après les données du tableau 1 :

Toutes choses égales par ailleurs (T_i - T_e = \text{cte}), réduire les déperditions d'une fraction \mu impose que la nouvelle conductance totale vaille G'_{\text{tot}} = (1 - \mu)\,G_{\text{tot}}, soit :

L'isolation thermique par l'extérieur ajoute une résistance thermique surfacique de conduction R_{\text{iso}} = \frac{e_{\text{iso}}}{\lambda} en série avec la résistance surfacique initiale du mur nu R_{\text{murs}} = \frac{1}{U_{\text{murs}}}. La nouvelle résistance surfacique s'écrit donc :

En remplaçant G'_{\text{murs}} par son expression, on en déduit :

Comme G_{\text{murs}} = U_{\text{murs}}\,S_{\text{murs}}, il vient :

2. Application numérique et nombre de couches

Pour \mu = 0{,}45 et \lambda = 0{,}037\text{ W}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{m}^{-1} :

Chaque panneau de laine de roche ayant une épaisseur normalisée e_0 = 12\text{ cm} > 7{,}0\text{ cm}, il suffit d'installer :

Avec cette unique couche de 12\text{ cm}, la nouvelle conductance des murs devient :

La réduction relative réelle des déperditions atteint alors :

3. Intérêt d'une couche supplémentaire

Si l'on ajoute une seconde couche de laine de roche (e = 24\text{ cm}), la conductance des murs devient :

Le gain supplémentaire sur les déperditions totales n'est que de :

L'ajout d'une couche supplémentaire n'est pas intéressant, pour trois raisons majeures :

• Rendements fortement décroissants : la première couche permet d'économiser 47{,}9\,\% de la facture globale, contre seulement 2{,}2\,\% pour la deuxième.
• Coût prohibitif : une couche supplémentaire représente un investissement de 250\text{ €}\cdot\text{m}^{-2} \times 5650\text{ m}^2 \approx 1{,}4\text{ M€}, difficilement amortissable au vu du faible gain marginal d'énergie.
• Déperditions résiduelles situées ailleurs : après la première couche, les murs ne représentent plus que 1587 / (1587 + 16134) \approx 9\,\% des pertes de chaleur. Il est bien plus pertinent d'investir ces fonds dans l'isolation de la toiture ou le remplacement des ouvrants (fenêtres).

Pour un cycle ditherme décrit par le fluide frigorigène, les premier et second principes s'écrivent :

Dans le cas d'un fonctionnement réversible (S_{\mathrm{cr}} = 0), on en déduit :

L'efficacité thermodynamique (ou coefficient de performance) d'une pompe à chaleur est définie par le rapport entre la chaleur utile cédée à la source chaude (-Q_C > 0) et le travail électrique reçu (W > 0) :

Avec T_C = 70 + 273{,}15 = 343{,}15\text{ K} et T_F = 7 + 273{,}15 = 280{,}15\text{ K}, on a \Delta T = T_C - T_F = 63\text{ K} :

D'après la documentation technique de la machine (figure D du document réponse), pour une température d'eau en sortie de 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C}, les valeurs constructeur sont :

• En mode « priorité COP » : \mathrm{COP} = 1{,}76 ;
• En mode « priorité puissance » : \mathrm{COP} = 1{,}80.

Détaillons la construction et les coordonnées de chaque point caractéristique sur le diagramme (p, h) de la figure C :

• État 1 : Le fluide est sous forme de vapeur surchauffée à p_1 = 6{,}0\text{ bar} et T_1 = 10\,^\circ\text{C}. Sur le diagramme, on se place sur la ligne horizontale p = 6{,}0\text{ bar} et on repère l'isotherme 10\,^\circ\text{C} (située à droite de la courbe de rosée x = 1). On lit :

  h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} \quad \text{et} \quad s_1 \approx 1{,}80\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 1 \to 2 (compression isentropique) : Le fluide suit la courbe d'entropie constante s = s_1 \approx 1{,}80\text{ kJ}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{kg}^{-1} en montant vers la droite jusqu'à croiser l'isotherme T_2 = 90\,^\circ\text{C}. À cette intersection, on relève :

  p_2 \approx 30\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 2 \to 3 (refroidissement et liquéfaction isobares) : La transformation est isobare à la pression p_2 \approx 30\text{ bar}. Le fluide se refroidit d'abord à l'état de vapeur jusqu'à la température de rosée (désurchauffe), puis se condense totalement à travers la zone diphasique jusqu'à la courbe d'ébullition (titre en vapeur x_3 = 0). Le point 3 se situe sur la courbe d'ébullition à p_3 = 30\text{ bar}. On y lit :

  p_3 \approx 30\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

• Transformation 3 \to 4 (détente isenthalpique) : La détente dans le détendeur est modélisée par une transformation adiabatique sans travail utile, donc isenthalpique : h_4 = h_3. Elle est représentée par un segment de droite vertical descendant jusqu'à la basse pression p_4 = p_1 = 6{,}0\text{ bar} :

  p_4 = 6{,}0\text{ bar} \quad \text{et} \quad h_4 = h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}.

  L'état 4 se situe dans le domaine diphasique liquide-vapeur (x_4 \approx 0{,}3).

• Transformation 4 \to 1 (vaporisation et surchauffe isobares) : Le fluide s'évapore totalement dans l'évaporateur puis est surchauffé jusqu'à 10\,^\circ\text{C} à la pression constante p = 6{,}0\text{ bar} au contact de la source froide. Cette évolution est représentée par un segment horizontal joignant le point 4 au point 1.

Le cycle thermodynamique décrit par le fluide frigorigène est moteur au sens géométrique mais récepteur d'énergie (cycle frigorifique parcouru dans le sens horaire dans le plan (p, h)).

Le fluide frigorigène échange du travail avec le compresseur et de la chaleur avec les deux sources. En régime stationnaire, le premier principe appliqué à une masse unité de fluide traversant chaque organe donne :

• le travail massique reçu par le fluide au niveau du compresseur (transformation 1–2 adiabatique) :

  w = h_2 - h_1 > 0

• le transfert thermique massique cédé à la source chaude lors du refroidissement et de la liquéfaction isobares (transformation 2–3) :

  q_C = h_3 - h_2 < 0 \implies |q_C| = h_2 - h_3

Le coefficient de performance thermique s'écrit donc :

D'après les valeurs d'enthalpies massiques relevées sur le diagramme (p, h) à la question Q37 :

• h_1 \approx 420\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}
• h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}

On obtient :

D'où la valeur numérique du coefficient de performance :

(une lecture conduisant à 4{,}2 \leqslant \mathrm{COP} \leqslant 4{,}8 est tout à fait acceptable compte tenu de l'imprécision graphique).

Comparaison avec la documentation technique : La figure D indique, pour une eau en sortie à 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C} :

Le COP du cycle modélisé (\approx 4{,}6) est très supérieur au COP réel constructeur (\approx 1{,}8), tout en restant inférieur au maximum théorique de Carnot calculé à la question Q36 (\mathrm{COP}_{\mathrm{rev}} \approx 5{,}45).

Explication des différences : L'écart notable s'explique par les nombreuses irréversibilités et pertes négligées dans la modélisation :

• Irréversibilités internes au compresseur : la compression réelle n'est pas isentropique (rendement isentropique de compression \eta_{\text{is}} \approx 0{,}65\text{ à } 0{,}75), ce qui accroît significativement le travail électrique consommé. De plus, il existe des pertes mécaniques et électriques dans le moteur du compresseur.
• Pincements thermiques aux échangeurs : les transferts thermiques nécessitent des écarts finis de température (\Delta T \sim 5\text{ à } 10\,^\circ\text{C}). Le fluide doit donc s'évaporer à une température inférieure à 7\,^\circ\text{C} (vers 0\,^\circ\text{C}) et condenser à une température supérieure à 70\,^\circ\text{C} (vers 75\text{--}80\,^\circ\text{C}), ce qui augmente le rapport des pressions et le travail de compression nécessaire.
• Pertes de charge : les écoulements dans les échangeurs et tubulures ne sont pas parfaitement isobares.
• Consommation des auxiliaires : la documentation intègre la puissance électrique absorbée par les ventilateurs de l'unité extérieure, les pompes de circulation et l'électronique de régulation.

D'après la figure D, pour une eau sortant à 70\,^\circ\text{C} et un air extérieur à +7\,^\circ\text{C}, la pompe à chaleur fournit en mode « priorité puissance » une puissance thermique nominale :

Au niveau du condenseur (étape 2 \to 3), le fluide frigorigène cède par unité de masse à la source chaude le transfert thermique :

En régime stationnaire, la puissance thermique totale cédée s'écrit :

Avec les valeurs d'enthalpie déterminées à la question Q37 (h_2 \approx 452\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1} et h_3 \approx 305\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}, soit h_2 - h_3 \approx 147\text{ kJ}\cdot\text{kg}^{-1}) :

Commentaire :

• La documentation technique (figure D) indique une charge totale en fluide frigorigène de 2 \times 5{,}5\text{ kg} = 11\text{ kg} (ce qui correspond à deux circuits indépendants de même puissance, chacun assurant la moitié du débit, soit environ 0{,}20\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}).

• Le temps de renouvellement complet de la charge de fluide dans la machine est de l'ordre de :

  \tau_{\text{cycle}} = \frac{m_{\text{charge}}}{D_m} = \frac{11}{0{,}40} \approx 28\text{ s}

  Le fluide effectue donc environ deux cycles par minute, ce qui est tout à fait typique d'une installation industrielle de pompe à chaleur à haute compacité.

D'après la question Q25, la puissance thermique nécessaire pour compenser les déperditions de la résidence par température extérieure minimale de référence (T_{e,\text{ref}} = -7\,^\circ\text{C}) est :

(La chaudière à gaz actuellement installée dispose d'une puissance nominale voisine de P_{\text{chaudière}} = 998\text{ kW}).

D'après le tableau de la figure D (document réponse), une pompe à chaleur en mode « priorité puissance » délivrant de l'eau à 70\,^\circ\text{C} fournit une puissance thermique nominale unitaire :

Le nombre minimal N de pompes à chaleur à installer en parallèle pour couvrir le besoin de dimensionnement P_c vaut :

Il faut donc associer :

(ou 15 si l'on tolère un très léger sous-dimensionnement lors du pic de froid).

Si l'on choisit plutôt de remplacer intégralement la puissance installée de la chaudière actuelle (998\text{ kW}), il faudrait :

1. Analyse financière du fonctionnement annuel

D'après la question Q26, l'énergie annuelle de chauffage consommée par la copropriété est :

• Chauffage au gaz naturel : au tarif de c_{\text{gaz}} = 90\text{ €/MWh}, le coût annuel s'élève à :

  C_{\text{gaz}} = E \times c_{\text{gaz}} = 1900 \times 90 = 1{,}71 \times 10^5\text{ €/an} = 171\text{ k€/an}

• Chauffage par pompes à chaleur à 70\,^\circ\text{C} : D'après le tableau de la figure D, pour une eau produite à 70\,^\circ\text{C} et une température extérieure de +7\,^\circ\text{C}, le coefficient de performance en mode « priorité puissance » vaut :

  \text{COP} = 1{,}80 \quad (\text{ou } 1{,}76 \text{ en priorité COP})

  L'énergie électrique annuelle absorbée par l'ensemble des pompes à chaleur est :

  E_{\text{elec}} = \frac{E}{\text{COP}} = \frac{1900}{1{,}80} \approx 1056\text{ MW}\cdot\text{h}

  Au tarif de c_{\text{elec}} = 200\text{ €/MWh}, la facture annuelle d'électricité s'établit à :

  C_{\text{PAC}} = E_{\text{elec}} \times c_{\text{elec}} = \frac{1900}{1{,}80} \times 200 \approx 2{,}11 \times 10^5\text{ €/an} = 211\text{ k€/an}

Le coût de fonctionnement de la PAC est supérieur à celui de la chaudière à gaz :

Pour que le coût d'exploitation d'une PAC soit inférieur à celui du gaz, il faudrait que son COP vérifie :

Ce seuil n'est pas atteint à 70\,^\circ\text{C} (\text{COP} = 1{,}80). De surcroît, le coût d'investissement initial est très lourd (achat, raccordement électrique renforcé et installation de 16 machines de plus de 500 kg d'après la question Q40).

2. Analyse des émissions de gaz à effet de serre

• Chaudière à gaz : la combustion du méthane génère des émissions directes de :

  m_{\mathrm{CO}_2,\text{gaz}} \approx 370\text{ tonnes de }\mathrm{CO}_2/\text{an} \quad (\text{d'après la question Q26})

• Pompes à chaleur : les émissions dépendent du contenu carbone de l'électricité consommée. En France, le mix électrique est très décarboné, avec un facteur d'émission moyen pour le chauffage d'environ f_{\text{elec}} \approx 50\text{ à } 70\text{ gCO}_2/\text{kW}\cdot\text{h} = 50\text{ à } 70\text{ tCO}_2/\text{GW}\cdot\text{h}. Avec E_{\text{elec}} \approx 1056\text{ MW}\cdot\text{h}, les émissions indirectes annuelles sont :

  m_{\mathrm{CO}_2,\text{PAC}} \approx 1056 \times 60 \times 10^{-3} \approx 63\text{ tonnes de }\mathrm{CO}_2/\text{an}

  Le gain environnemental est majeur, avec une division par près de 6 des émissions de \mathrm{CO}_2 (réduction de plus de 80\,\%).

• Impact des fluides frigorigènes : le R407C présente un fort pouvoir de réchauffement global (\text{PRG} = 1774, figure D). La charge totale de 16 pompes à chaleur (16 \times 11\text{ kg} = 176\text{ kg}) représente un potentiel d'environ 312\text{ t équivalent }\mathrm{CO}_2 en cas de fuite totale, ce qui impose une maintenance rigoureuse.

3. Synthèse et discussion

En effet :

• À haute température (70\,^\circ\text{C}), le mauvais rendement thermodynamique (\text{COP} = 1{,}80) conduit à un surcoût d'exploitation annuel d'environ 40\text{ k€}, s'ajoutant à un investissement prohibitif.

• Pour valoriser l'atout écologique incontestable de la PAC sans pénalité financière, il est impératif d'adopter une démarche progressive :

  1. Réaliser d'abord l'isolation thermique par l'extérieur (Q35) et équilibrer le réseau (Q33-Q34).
  2. La baisse drastique des déperditions permettra d'abaisser la température d'eau requise dans les radiateurs à 35\text{--}45\,^\circ\text{C}, régime où le COP de la PAC dépasse 3{,}5 (figure D). La facture d'électricité chutera alors sous celle du gaz, rendant le projet rentable et hautement écologique.