Corrigé détaillé CCINP Physique PC 2023 (page 3/3 : Partie III (questions 36 à 44))

1. Résultante des forces pressantes sur la tranche d'air

La tranche d'air est soumise à deux forces pressantes selon l'axe horizontal (O, \vec{u}_x) :

• sur sa face gauche (côté extérieur), la force exercée par l'air libre à la pression p_0 :

  \vec{F}_{\text{ext}} = p_0 s\,\vec{u}_x

• sur sa face droite (côté cavité), la force exercée par le gaz contenu dans la cavité à la pression p_c(t) :

  \vec{F}_{\text{cav}} = -p_c(t) s\,\vec{u}_x

La résultante \vec{F}_p = \vec{F}_{\text{ext}} + \vec{F}_{\text{cav}} s'écrit donc :

2. Expression de p_c(t) au premier ordre

L'air dans la cavité évolue de manière isentropique et se comporte comme un gaz parfait, il vérifie donc la loi de Laplace :

À l'équilibre, la pression est p_0 et le volume est V_c. Lorsque la tranche d'air subit un déplacement x(t) vers la cavité (x > 0), elle pénètre d'un volume \Delta V = s x dans celle-ci. Le volume occupé par l'air de la cavité devient alors :

La conservation de la grandeur isentropique donne :

Puisque le déplacement |x| est au maximum de l'ordre de grandeur de la longueur \ell du col et que \ell s \ll V_c, on a :

En effectuant un développement limité au premier ordre selon (1-\varepsilon)^{-\gamma} \simeq 1 + \gamma \varepsilon, on obtient :

3. Force de rappel élastique et raideur k

En réinjectant cette approximation dans l'expression de la résultante \vec{F}_p, il vient :

Cette force est bien proportionnelle et opposée au déplacement x, ce qui correspond à une force de rappel élastique :

D'après le résultat de la question Q28, la célérité des ondes sonores dans l'air s'écrit c = \sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}, d'où \gamma p_0 = \rho_0 c^2. On en déduit finalement :

On applique le principe fondamental de la dynamique à la tranche d'air contenue dans le col dans le référentiel d'étude galiléen.

Cette tranche d'air occupe un volume s\ell et possède une masse volumique uniforme \rho_0. Sa masse s'écrit donc :

En projetant le principe fondamental de la dynamique suivant l'axe (O, \vec{u}_x) et en tenant compte de la seule force axiale exercée, qui est la force de rappel élastique équivalente \vec{F}_p = -k x \vec{u}_x établie à la question Q36, on obtient :

Il s'agit de l'équation différentielle caractéristique d'un oscillateur harmonique de pulsation propre \omega_0 telle que :

La tranche d'air oscille donc de façon harmonique à la pulsation \omega_0. La fréquence propre associée est f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}, ce qui donne bien :

1. Nature du signal attendu

Dans le modèle établi aux questions Q36 et Q37, les phénomènes dissipatifs ont été explicitement négligés et l'évolution du gaz supposée isentropique. Le système est modélisé par un oscillateur harmonique sans amortissement, d'équation différentielle :

Le signal attendu serait donc une oscillation sinusoïdale non amortie, d'amplitude constante au cours du temps et de fréquence f_0.

2. Interprétation de la différence observée

Le signal expérimental enregistré (figure 9) met en évidence un régime pseudo-périodique amorti dont l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps. Cette dissipation d'énergie mécanique provient de phénomènes réels absents du modèle idéalisé :

• des forces de frottement visqueux de l'air le long des parois du col ainsi qu'au sein même de la tranche d'air en mouvement ;
• des transferts thermiques conducto-convectifs avec les parois, l'évolution n'étant pas rigoureusement adiabatique ;
• des pertes par rayonnement acoustique vers le milieu extérieur via l'embouchure du col.

3. Estimation du facteur de qualité Q

L'enveloppe du signal décroît selon une loi exponentielle de la forme u_{\max}(t) = u_0 \mathrm{e}^{-t/\tau}. Le décrément logarithmique \delta associé à la pseudo-période T s'exprime par :

Sur un intervalle correspondant à n pseudo-périodes consécutives :

Effectuons une lecture graphique sur la figure 9 :

• Au premier pic positif vers t_1 \approx 0{,}008\text{ s}, la tension maximale vaut u(t_1) \approx 0{,}80\text{ V}.
• Après n = 10 oscillations, vers t_{11} \approx 0{,}10\text{ s}, la tension maximale n'est plus que de u(t_{11}) \approx 0{,}16\text{ V}.

On en déduit :

Le facteur de qualité vaut donc :

(une valeur comprise entre 15 et 25 est acceptable compte tenu de l'incertitude de lecture graphique).

1. Fréquence propre théorique

D'après le résultat de la question Q37 :

Avec les valeurs numériques :

• c = 343\text{ m}\cdot\text{s}^{-1},
• s = 1{,}89\text{ cm}^2 = 1{,}89 \cdot 10^{-4}\text{ m}^2,
• \ell = 5{,}0\text{ cm} = 5{,}0 \cdot 10^{-2}\text{ m},
• V_c = 791\text{ cm}^3 = 791 \cdot 10^{-6}\text{ m}^3.

On obtient :

soit :

2. Fréquence mesurée expérimentalement

Puisque le facteur de qualité est grand (Q \simeq 20 \gg 1), la pseudo-fréquence d'oscillation libre f_p est quasiment confondue avec la fréquence propre :

Sur la figure 9, on observe N = 10 pseudo-périodes entre t = 0{,}00\text{ s} et t = 0{,}10\text{ s} :

On en déduit la fréquence propre mesurée :

3. Comparaison et affinement du modèle

La fréquence mesurée (100\text{ Hz}) est inférieure à la fréquence théorique (119\text{ Hz}), avec un écart relatif d'environ 16\,\%.

Les couches d'air situées immédiatement à l'extérieur et à l'intérieur du col participent également au mouvement oscillatoire. La masse d'air effectivement en mouvement est donc supérieure à la masse de la seule colonne contenue dans le col :

où \Delta\ell > 0 représente la correction d'extrémité (ou correction de col).

La raideur équivalente k imposée par la cavité restant inchangée, la fréquence propre corrigée s'écrit :

La prise en compte de ces couches entraînées abaisse la valeur théorique et permet de la rapprocher significativement de la valeur mesurée.

Le système étudié est la tranche d'air contenue dans le col, de masse m = \rho_0 s \ell. La pression appliquée à l'entrée extérieure du col est désormais p_0 + p(t), tandis que la pression dans la cavité reste modélisée par p_c(t) \simeq p_0\left(1 + \frac{\gamma s x}{V_c}\right) d'après la question Q36.

La résultante des forces pressantes selon \vec{u}_x s'écrit :

où k = \frac{\rho_0 c^2 s^2}{V_c} est la constante de raideur équivalente établie à la question Q36.

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe horizontal (O, \vec{u}_x) donne :

En divisant par m = \rho_0 s \ell et en introduisant la pulsation propre \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{c^2 s}{\ell V_c}} (question Q37) :

En représentation complexe, avec \underline{p}(t) = p_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} et en cherchant la solution en régime forcé sous la forme \underline{x}(t) = \underline{x}_m \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, l'équation différentielle devient :

D'où l'expression du déplacement complexe :

La vitesse de la tranche d'air s'en déduit par dérivation temporelle :

avec :

Comportement pour \omega = \omega_0 :
Lorsque la pulsation d'excitation coïncide avec la pulsation propre du système (\omega = \omega_0), le dénominateur s'annule :

Le modèle prédit une résonance d'amplitude infinie.

Cas réel :
En réalité, |\underline{v}_m| reste borné en raison de divers mécanismes dissipatifs négligés ici :

• les frottements visqueux de l'air contre les parois du col (effets de couche limite visqueuse) ;
• les effets non linéaires et décollements de tourbillons aux deux extrémités du col pour de grandes vitesses ;
• le rayonnement d'ondes acoustiques vers l'extérieur du résonateur, qui emporte une partie de l'énergie mécanique.

Les ondes acoustiques étudiées dans la conduite cylindrique d'axe (O, \vec{u}_z) sont des ondes planes progressives sinusoïdales. Le champ de vitesse selon l'axe \vec{u}_z est relié à la surpression par l'impédance caractéristique Z_c = \rho_0 c établie à la question Q29 :

• L'onde incidente se propage dans le sens des z croissants (sens de \vec{u}_z) :

  \underline{v}_i(z,t) = \frac{\underline{p}_i(z,t)}{Z_c} = \frac{\underline{p}_{i,m}}{Z_c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kz)}

• L'onde réfléchie se propage dans le sens des z décroissants (sens opposé à \vec{u}_z) :

  \underline{v}_r(z,t) = -\frac{\underline{p}_r(z,t)}{Z_c} = -\frac{\underline{p}_{r,m}}{Z_c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t + kz)}

• L'onde transmise se propage dans le sens des z croissants (sens de \vec{u}_z) :

  \underline{v}_t(z,t) = \frac{\underline{p}_t(z,t)}{Z_c} = \frac{\underline{p}_{t,m}}{Z_c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t - kz)}

On a donc :

1. Continuité de la pression acoustique en z = 0

En l'absence de singularité de pression à la jonction, la pression acoustique totale est continue à travers la section z = 0 et s'identifie à la pression à l'entrée du col du résonateur :

• En amont immédiat (z = 0^-), la pression acoustique résulte de la superposition de l'onde incidente et de l'onde réfléchie :

  \underline{p}(0^-, t) = \underline{p}_i(0,t) + \underline{p}_r(0,t) = \left(\underline{p}_{i,m} + \underline{p}_{r,m}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}

• En aval immédiat (z = 0^+), elle est assurée par l'onde transmise :

  \underline{p}(0^+, t) = \underline{p}_t(0,t) = \underline{p}_{t,m}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}
• À l'entrée du col du résonateur, la pression acoustique est notée \underline{p}(t) = p_m\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}.

Par continuité de la surpression acoustique en z=0 :

On en déduit :

2. Conservation du débit volumique en z = 0

Considérons le volume de contrôle entourant la portion de conduite en z = 0. Le fluide étant localement incompressible dans ce volume d'extension axiale négligeable, la somme des débits volumiques entrants compense la somme des débits volumiques sortants à chaque instant :

Le débit entrant provient de la région z < 0, tandis que les débits sortants se partagent entre la conduite aval (z > 0) et le col du résonateur (selon \vec{u}_x) :

où :

• \underline{v}(0^-, t) = \underline{v}_i(0, t) + \underline{v}_r(0, t) = \left(\dfrac{\underline{p}_{i,m}}{Z_c} - \dfrac{\underline{p}_{r,m}}{Z_c}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} d'après la question Q41,
• \underline{v}_t(0^+, t) = \dfrac{\underline{p}_{t,m}}{Z_c}\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t} d'après la question Q41,
• \underline{v}(t) = \underline{v}_m\,\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}.

En simplifiant par le facteur commun \mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}, on obtient :

Soit, en réorganisant les termes :

D'après la relation fournie par l'énoncé liant les amplitudes complexes des pressions acoustiques incidente et transmise :

Le carré du module de ce rapport s'écrit comme la somme des carrés de sa partie réelle et de sa partie imaginaire :

En injectant ce résultat dans la définition de l'indice de perte de transmission L_{TL}, on obtient :

1. Nature du filtre acoustique

L'indice de perte de transmission s'écrit :

où T(\omega) = \frac{\underline{p}_{t,m}}{\underline{p}_{i,m}} est le coefficient de transmission en pression acoustique.

À partir des courbes de la figure 11 :

• À basse fréquence (f \ll f_0) et à haute fréquence (f \gg f_0), L_{TL} \to 0\text{ dB}, ce qui signifie que |T| \simeq 1 : les ondes sonores sont intégralement transmises le long de la conduite sans atténuation notable.
• Autour de la fréquence de résonance f \simeq f_0, L_{TL} passe par un maximum prononcé (L_{TL} > 0), ce qui indique une transmission minimale (|T| \ll 1) : l'onde incidente est fortement réfléchie et absorbée au niveau de la jonction avec le résonateur.

Le dispositif atténue donc une bande de fréquences centrée sur f_0 tout en laissant passer les autres fréquences :

2. Intérêt d'un amortissement \alpha important

Pour une valeur fixée du paramètre géométrique \beta, l'augmentation de l'amortissement \alpha (provoqué par la viscosité de l'air ou l'adjonction de matériaux poreux) produit deux effets visibles sur les courbes :

• la perte de transmission maximale au pic de résonance diminue modérément ;
• en contrepartie, la largeur du pic s'accroît considérablement, ce qui élargit la bande passante d'atténuation.