Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2024 (page 2/5 : Partie 3)

Par définition, une force conservative \vec{F}_{\text{ext}} dérive d'une énergie potentielle U_{\text{ext}} selon la relation locale :

Pour la particule i, située à la position \vec{r}_i, la force extérieure conservative \vec{F}_{\text{ext},i} s'exprime donc par le gradient de l'énergie potentielle évalué en \vec{r}_i :

Par définition, la force \vec{F}_{j \to i} exercée par la particule j sur la particule i vérifie les trois propriétés imposées par l'énoncé :

• sa droite d'action est la droite joignant la particule j à la particule i ;
• le caractère répulsif signifie que la particule i est repoussée par la particule j : le vecteur force \vec{F}_{j \to i} est donc dirigé de j vers i, c'est-à-dire dans le sens du vecteur \vec{r}_i - \vec{r}_j ;
• sa norme vaut \|\vec{F}_{j \to i}\| = \dfrac{\alpha}{r_{ij}^3}.

Le vecteur unitaire orienté de j vers i s'écrit :

On en déduit l'expression vectorielle de la force d'interaction :

Soit finalement :

Par définition, la grandeur G(t) s'écrit :

En dérivant une première fois par rapport au temps :

Une seconde dérivation temporelle donne :

Multiplions par la masse m des particules :

On reconnaît dans le premier terme l'énergie cinétique totale E_{\text{cin}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m v_i^2 :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule i dans le référentiel galiléen du laboratoire :

Le second terme se décompose donc selon :

Par échange des indices muets i et j et en utilisant la troisième loi de Newton (\vec{F}_{i \to j} = -\vec{F}_{j \to i}), on symétrise la somme d'interaction :

En utilisant l'expression établie à la question Q15, \vec{F}_{j \to i} = \alpha \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{r_{ij}^4} :

D'où :

En regroupant tous les termes, on obtient finalement :

Dans le cas d'un potentiel extérieur harmonique U_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{1}{2} k r^2, la force extérieure subie par la particule i s'écrit, d'après la question 14 :

Le terme d'action des forces extérieures intervenant dans la relation de la question 16 vaut alors :

De même, l'énergie potentielle extérieure totale s'exprime en fonction de G :

L'énergie mécanique totale E = E_{\text{cin}} + E_{\text{ext}} + E_{\text{int}} étant une constante du mouvement, on a :

En reportant ces expressions dans le résultat obtenu à la question 16, on obtient :

soit :

Il s'agit exactement de la même équation différentielle que celle satisfaite par g(t) = x(t)^2 à la question 8 :

Les conditions initiales étant G(0) = G_0 et \dot{G}(0) = H_0, la solution s'obtient directement par identification avec l'expression établie à la question 9 en remplaçant g_0 par G_0 et h_0 par H_0 :

Lorsque \alpha = 0, les particules n'interagissent pas entre elles (E_{\text{int}} = 0). Chaque particule i est uniquement soumise à la force de rappel harmonique isotrope \vec{F}_{\text{ext},i} = -k\vec{r}_i. D'après la question 1b, sa trajectoire est :

avec \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. On calcule la norme au carré :

En sommant sur les N particules, il vient :

Vérifions à présent la concordance avec la question 17. On identifie les conditions initiales :

Pour \alpha = 0, l'énergie mécanique totale s'écrit à t = 0 :

En divisant par k et sachant que \frac{m}{k} = \frac{1}{\omega^2}, on obtient :

En injectant ces relations dans l'expression de G(t) et en utilisant \cos(\omega t)\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\sin(2\omega t), \cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2} et \sin^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2} :

On retrouve rigoureusement l'expression établie à la question 17.

D'après l'introduction de l'épreuve, un système classique de N particules en interaction possède habituellement deux caractéristiques majeures :

• dès que N > 2, il est impossible d'obtenir des résultats analytiques exacts sur la dynamique du système sans recourir à des simulations numériques ;
• lorsque N est grand, le système thermalise et relaxe irréversiblement vers un état d'équilibre macroscopique stationnaire, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides.

Le résultat obtenu à la question 17 pour \alpha \neq 0 fait exception à ces deux comportements ordinaires :

1. Caractère analytique exact à N corps : Bien que les N équations du mouvement soient fortement non linéaires et couplées par les interactions répulsives à longue portée, l'évolution temporelle de la grandeur collective G(t) = \sum_{i=1}^N r_i^2(t) est calculée de manière rigoureusement exacte et analytique, quel que soit le nombre N de particules (y compris pour N > 2).
2. Absence de relaxation et de thermalisation : En présence d'interactions, on s'attendrait à ce que les collisions redistribuent l'énergie entre les différents modes microscopiques et amortissent les oscillations globales vers une valeur stationnaire. Au contraire, G(t) présente une oscillation strictement périodique et perpétuelle de pulsation 2\omega, sans aucun amortissement.
3. Universalité et découplage de l'interaction : La dynamique de G(t) est strictement identique à celle du cas sans interaction (\alpha = 0, étudié à la question 18) : la pulsation propre 2\omega ne dépend ni de l'intensité de l'interaction \alpha, ni du nombre de particules N, ni de l'énergie totale E.

Ces violations directes du comportement usuel des systèmes à plusieurs corps en interaction constituent précisément des « propriétés extraordinaires ».

D'après les propriétés (b), (c) et (d), le profil de l'énergie potentielle U_{\text{ext}}(r) présente :

• un palier nul sur l'intervalle [0, \ell - \ell_*] ;
• une transition continue et strictement croissante sur [\ell - \ell_*, \ell[ ;
• une asymptote verticale en r = \ell.

Par définition, la grandeur G(t) s'écrit :

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

où \vec{v}_i = \dot{\vec{r}}_i désigne le vecteur vitesse de la particule i.

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire dans \mathbb{R}^{3N} (ou par la somme des inégalités triangulaires et de Cauchy-Schwarz sur chaque particule) :

Établissons des bornes indépendantes du temps pour chacun de ces deux facteurs :

• Confinement spatial : les N particules sont enfermées dans la boîte sphérique de rayon \ell centrée en O, donc pour tout i \in \{1,\dots,N\}, r_i \leqslant \ell. Ainsi :

  \sum_{i=1}^N r_i^2 \leqslant N \ell^2

• Conservation de l'énergie : l'énergie mécanique totale E = E_{\text{cin}} + E_{\text{ext}} + E_{\text{int}} est une constante du mouvement.

  Or, d'après les propriétés de la boîte sphérique, U_{\text{ext}}(r) \geqslant 0 pour tout r < \ell, d'où E_{\text{ext}} = \sum_{i=1}^N U_{\text{ext}}(r_i) \geqslant 0.

  De même, le paramètre d'interaction \alpha étant strictement positif, l'énergie d'interaction répulsive vérifie E_{\text{int}} = \frac{\alpha}{4} \sum_{i \neq j} \frac{1}{r_{ij}^2} \geqslant 0.

  Il en résulte :

  E_{\text{cin}} = \frac{1}{2} m \sum_{i=1}^N v_i^2 \leqslant E \implies \sum_{i=1}^N v_i^2 \leqslant \frac{2E}{m}

En injectant ces deux majorations, on en déduit :

Cette borne étant indépendante du temps, on a bien |\dot{G}(t)| \leqslant D avec :

Par définition de la moyenne temporelle donnée par l'énoncé :

L'intégrande étant la dérivée temporelle de \dot{G}(t), l'intégrale se calcule immédiatement :

D'après le résultat de la question 21.a, la grandeur |\dot{G}(t)| est bornée par une constante D indépendante du temps pour tout t \geqslant 0. Par inégalité triangulaire :

On en déduit l'encadrement, valable pour tout t_{\max} > 0 :

Comme D est une constante finie, \lim_{t_{\max} \to \infty} \frac{2D}{t_{\max}} = 0. Par le théorème d'encadrement, la limite existe et vaut zéro :

Le système est à l'équilibre et présente une invariance par rotation autour du centre O de la boîte sphérique (symétrie sphérique), car :

• la géométrie de la boîte est sphérique de centre O ;
• le potentiel de confinement U_{\text{ext}}(\vec{r}) = U_{\text{ext}}(r) ne dépend que de la distance r ;
• les forces d'interaction entre particules ne dépendent que des distances relatives r_{ij} ;
• la gravité est négligée.

D'après le principe de Curie, l'état macroscopique d'équilibre respecte les symétries des causes : le champ de pression ne dépend donc que de la variable radiale, soit P(\vec{r}) = P(r).

Tous les points de la paroi étant situés à la même distance r = \ell du centre O, la pression P = P(\ell) est nécessairement identique en tout point de la paroi.

Le rayon \ell de la boîte est une dimension macroscopique, tandis que la longueur \ell_* représente la portée des forces de répulsion exercées par la paroi sur les particules, qui est de nature microscopique (à l'échelle atomique).

La portée microscopique de ces interactions est donc naturellement négligeable devant les dimensions macroscopiques du récipient :

D'après la question 14, la force extérieure subie par la particule i dérive de l'énergie potentielle U_{\text{ext}} :

Puisque le potentiel ne dépend que de la coordonnée radiale r = \|\vec{r}\| (propriété a), son gradient en coordonnées sphériques s'écrit simplement :

où \vec{u}_i = \dfrac{\vec{r}_i}{r_i} est le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur de la sphère.

D'après la propriété (c), U_{\text{ext}}(r) est une fonction croissante de r, si bien que sa dérivée est positive :

La norme de la force est donc :

La force exercée par la paroi est ainsi dirigée vers l'intérieur de la boîte (sens centripète) :

Le fluide contenu dans la région \mathcal{R} n'est en contact avec la paroi qu'au niveau de la portion de surface \Sigma.

Comme \ell_\Sigma \ll \ell, la surface \Sigma peut être assimilée à un carré plan d'aire :

En tout point de \Sigma, le vecteur unitaire normal sortant est quasiment uniforme et égal au vecteur unitaire radial moyen dirigé vers le centre de \Sigma, noté \vec{u}_\Sigma.

La paroi exerce sur le fluide une force de pression dirigée vers l'intérieur de la boîte (sens opposé à \vec{u}_\Sigma). La pression P étant uniforme sur la paroi (d'après la question 22), la force totale exercée par la paroi sur le fluide contenu dans \mathcal{R} s'écrit de façon approchée :

où \vec{u}_\Sigma est le vecteur unitaire radial dirigé depuis l'origine O vers le centre de \Sigma.

Pour que cette expression soit valable, \ell_\Sigma doit vérifier deux conditions supplémentaires :

1. \ell_\Sigma \gg d, où d \sim n^{-1/3} est la distance moyenne entre particules (ou encore \ell_\Sigma à l'échelle mésoscopique) : la portion \Sigma doit interagir avec un très grand nombre de particules pour que les fluctuations microscopiques soient négligeables et que la notion de pression continue soit applicable.
2. \ell_\Sigma \gg \ell_* : la dimension latérale de \Sigma doit être très grande devant la portée de l'interaction paroi-particule afin de pouvoir négliger les effets de bord sur le pourtour de \Sigma (c'est-à-dire les particules situées à cheval sur la frontière latérale de \mathcal{R} dans la couche d'épaisseur \ell_*).

Par définition, la force totale exercée par la paroi sur le fluide contenu dans le volume \mathcal{R} s'écrit comme la somme des forces subies par les particules situées dans ce domaine :

D'après la question 24, chaque force individuelle est radiale centripète :

où \vec{u}_i = \frac{\vec{r}_i}{r_i} est le vecteur unitaire radial associé à la particule i.

Les particules pour lesquelles la force de paroi est non nulle sont localisées dans la couche d'interaction microscopique d'épaisseur \ell_* au voisinage immédiat de \Sigma (puisque U_{\text{ext}}(r) = 0 dès que \ell - r > \ell_*). L'ouverture angulaire sous-tendue par la surface \Sigma depuis l'origine O vérifie :

Par conséquent, tous les vecteurs unitaires radiaux \vec{u}_i des particules interagissant avec la surface \Sigma sont quasiment colinéaires au vecteur unitaire radial \vec{u}_\Sigma dirigé vers le centre de \Sigma :

La force totale exercée par la paroi s'écrit donc :

En identifiant cette somme microscopique à l'expression macroscopique de la force de pression établie à la question 25.a, \vec{F}_{\text{ext},\mathcal{R}} \approx - P \ell_\Sigma^2 \, \vec{u}_\Sigma, on obtient :

On peut paver l'ensemble de la paroi sphérique de la boîte, d'aire totale \mathcal{A} = 4\pi \ell^2, par une juxtaposition de petites portions \Sigma_k disjointes d'aires \mathcal{A}(\Sigma_k) \approx \ell_\Sigma^2.

À chaque élément de surface \Sigma_k est associé le cône \mathcal{R}_k de sommet O. L'ensemble des cônes \{\mathcal{R}_k\} forme une partition de la boîte sphérique (à l'exception du point origine O qui est de mesure nulle). Les ensembles d'indices \mathscr{S}_{\mathcal{R}_k} forment donc une partition de l'ensemble des particules \{1, \dots, N\}.

On peut ainsi décomposer la somme sur l'ensemble des particules du fluide :

D'après le résultat obtenu à la question 25.b, pour chaque cône \mathcal{R}_k :

Puisque la pression P est uniforme sur toute la surface de la paroi (établi à la question 22), on peut la mettre en facteur :

La surface totale de la sphère de rayon \ell valant \mathcal{A}_{\text{sphère}} = 4\pi \ell^2, on en déduit l'expression approchée :

D'après la question 16, l'évolution temporelle de G(t) satisfait :

En prenant la moyenne temporelle \langle \dots \rangle sur une durée infinie et en utilisant \langle \ddot{G} \rangle = 0 (question 21b) ainsi que la définition U = \langle E_{\text{cin}} + E_{\text{int}} \rangle, on obtient :

D'après la question 24, la force exercée par la paroi sur la particule i est radiale centripète :

Or, d'après l'hypothèse (b), le potentiel de paroi U_{\text{ext}}(r) est nul pour \ell - r > \ell_*, de sorte que la force \vec{F}_{\text{ext},i} n'est non nulle que pour les particules situées dans la couche périphérique où \ell - \ell_* \leqslant r_i < \ell. Comme \ell_* \ll \ell (question 23), on a pour toutes ces particules r_i \approx \ell. Par conséquent :

En utilisant le résultat de la question 25c, \sum_{i=1}^N F_{\text{ext},i} \approx 4\pi \ell^2 P, il vient :

Le volume de la boîte sphérique étant V = \frac{4}{3}\pi \ell^3, cette somme se réécrit :

À l'équilibre macroscopique, le produit P V est constant, donc sa moyenne temporelle est identique à sa valeur instantanée. En réinjectant dans l'équation moyenne du viriel :

On en déduit immédiatement :

Lorsque \alpha = 0, les forces d'interaction entre particules sont nulles (\vec{F}_{j \to i} = \vec{0}). Le système est constitué de N particules ponctuelles indépendantes sans interactions mutuelles, confinées dans une boîte de volume V : il s'agit d'un gaz parfait monoatomique.

D'après la thermodynamique classique :

• L'équation d'état des gaz parfaits relie la pression P, le volume V et la température absolue T par :

  P V = n_{\mathrm{mol}} R T

  où n_{\mathrm{mol}} est la quantité de matière du gaz et R la constante molaire des gaz parfaits.

• Pour un gaz parfait monoatomique, les atomes ne possèdent que 3 degrés de liberté de translation, de sorte que la capacité thermique molaire à volume constant vaut :

  C_{V,m} = \frac{3}{2} R

  L'énergie interne U vérifie la première loi de Joule et s'exprime (en prenant l'origine des énergies à T = 0) par :

  U = n_{\mathrm{mol}} C_{V,m} T = \frac{3}{2} n_{\mathrm{mol}} R T

En substituant l'expression de n_{\mathrm{mol}} R T issue de l'équation d'état dans celle de U, on obtient directement :