Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2024

On étudie un atome de masse m dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen. L'atome est repéré par son vecteur position :

de sorte que r^2 = x^2 + y^2 + z^2. L'énergie potentielle s'écrit :

La force \vec{F} étant conservative et la gravité étant négligée, elle dérive du potentiel U :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'atome :

En projetant cette relation vectorielle sur chacun des trois axes orthonormés et fixes (\vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) et en introduisant la pulsation \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, on obtient trois équations différentielles découplées :

Chacune des composantes x(t), y(t) et z(t) vérifie donc l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation \omega.

D'après la question 1.a, chacune des coordonnées cartésiennes x(t), y(t) et z(t) vérifie l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation \omega :

La solution générale vectorielle s'écrit sous la forme :

où \vec{A} et \vec{B} sont deux vecteurs constants déterminés par les conditions initiales. En dérivant par rapport au temps :

À l'instant initial t = 0 :

On en déduit l'expression du vecteur position à chaque instant :

Considérons successivement les trois faisceaux laser :

• Premier faisceau :

  \vec{E}_1(\vec{r}, t) = a(y, z) \cos(q x - \Omega t + \varphi_1) \vec{u}_y

  La phase dépend de la variable spatiale x sous la forme q x - \Omega t + \varphi_1. Comme q > 0 et \Omega > 0, les plans d'onde se déplacent à la vitesse de phase v_\varphi = \frac{\Omega}{q} > 0 le long de l'axe (Ox).

  • Direction de propagation : droite (Ox) ;
  • Sens de propagation : vers les x croissants (sens du vecteur unitaire \vec{u}_x) ;
  • Polarisation : rectiligne selon l'axe (Oy) (direction du vecteur unitaire \vec{u}_y).

• Deuxième faisceau :

  \vec{E}_2(\vec{r}, t) = a(x, z) \cos(q y - \Omega t + \varphi_2) \vec{u}_z

  Par une analyse identique :

  • Direction de propagation : droite (Oy) ;
  • Sens de propagation : vers les y croissants (sens du vecteur unitaire \vec{u}_y) ;
  • Polarisation : rectiligne selon l'axe (Oz) (direction du vecteur unitaire \vec{u}_z).

• Troisième faisceau :

  \vec{E}_3(\vec{r}, t) = a(x, y) \cos(q z - \Omega t + \varphi_3) \vec{u}_x

  De même :

  • Direction de propagation : droite (Oz) ;
  • Sens de propagation : vers les z croissants (sens du vecteur unitaire \vec{u}_z) ;
  • Polarisation : rectiligne selon l'axe (Ox) (direction du vecteur unitaire \vec{u}_x).

D'après le principe de superposition, le champ électrique total en un point \vec{r} et à un instant t est la somme des champs électriques des trois faisceaux :

Les champs \vec{E}_1, \vec{E}_2 et \vec{E}_3 sont portés respectivement par les vecteurs unitaires orthogonaux \vec{u}_y, \vec{u}_z et \vec{u}_x. Leurs produits scalaires deux à deux sont donc nuls à chaque instant :

En remplaçant par les expressions des champs données dans l'énoncé :

Pour une pulsation optique \Omega > 0, la moyenne temporelle de la fonction \cos^2(\alpha - \Omega t) vaut \frac{1}{2} :

En utilisant la définition de la fonction profil a(X, Y) = \mathscr{E} \exp\left(-\frac{X^2 + Y^2}{\sigma^2}\right), son carré s'écrit :

On en déduit l'expression du potentiel dipolaire U(\vec{r}) = -\gamma \langle \|\vec{E}(\vec{r}, t)\|^2 \rangle :

D'après la question 3, l'énergie potentielle de l'atome s'écrit :

En \vec{r} = \vec{0}, on a donc :

Puisque r^2 = x^2+y^2+z^2, la condition r \ll \sigma assure que les quantités \frac{y^2+z^2}{\sigma^2}, \frac{x^2+z^2}{\sigma^2} et \frac{x^2+y^2}{\sigma^2} sont très petites devant 1. On peut ainsi effectuer un développement limité à l'ordre 1 de chaque exponentielle à l'aide de \mathrm{e}^{-u} = 1 - u + o(u) :

En sommant ces trois termes, on obtient :

En réinjectant cette somme dans l'expression du potentiel, il vient :

soit :

Par identification avec l'expression demandée U(\vec{r}) - U(\vec{0}) \approx \frac{1}{2} k r^2, on en déduit la raideur k :

Sous l'approximation harmonique (2), le potentiel s'écrit :

D'après les questions 1.a et 1.b, le mouvement de l'atome selon chacun des trois axes cartésiens est celui d'un oscillateur harmonique indépendant de même pulsation propre :

Le mouvement global de l'atome est donc périodique, de période :

La masse m d'un atome de lithium 6 s'exprime à partir de la masse molaire M({^6}\mathrm{Li}) et de la constante d'Avogadro \mathscr{N}_A :

On en déduit la pulsation propre :

Puis la période d'oscillation :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé :

D'après la question 1.b, la trajectoire de l'atome dans le potentiel harmonique avec les conditions initiales \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) s'écrit :

La distance à l'origine est donc maximale lorsque |\sin(\omega t)| = 1, ce qui donne pour amplitude maximale :

Avec v(0) = 1\text{ cm}\cdot\text{s}^{-1} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et la pulsation propre obtenue à la question 5.a (\omega \approx 1{,}0 \times 10^4\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}) :

Or, le rayon de col des faisceaux laser vaut \sigma = 60\text{ }\mu\text{m}, de sorte que :

La condition r \ll \sigma est ainsi vérifiée à tout instant du mouvement.

• Effet induit par un défaut de polarisation : À la question 3, les trois champs électriques étaient deux à deux orthogonaux, ce qui annulait les produits scalaires \vec{E}_i \cdot \vec{E}_j (i \neq j). Si les polarisations ne sont pas parfaitement contrôlées, les faisceaux présentent des composantes de champ électrique parallèles. Comme ils ont la même pulsation \Omega et des phases relatives fixées, ils sont mutuellement cohérents : il apparaît alors un phénomène d'interférences (création d'un réseau optique de pas spatial \sim 2\pi/q). Les termes d'interférence \langle \vec{E}_i \cdot \vec{E}_j \rangle \neq 0 introduisent des modulations spatiales rapides du potentiel, modifiant l'expression de U(\vec{r}).
• Modification proposée pour éliminer cet effet : Pour moyenner ces interférences à zéro et retrouver le résultat de la question 3, on peut décaler légèrement les fréquences (ou pulsations \Omega) des trois faisceaux les uns par rapport aux autres (par exemple à l'aide de modulateurs acousto-optiques). Les termes croisés oscillent alors à des fréquences de battement non nulles |\Omega_i - \Omega_j| et leur moyenne temporelle s'annule, ce qui supprime les franges d'interférence.

Le mouvement s'effectue à une dimension le long de la demi-droite (Ox), avec x > 0. Le travail élémentaire développé par la force \vec{F} lors d'un déplacement élémentaire d\vec{r} = dx\,\vec{u}_x s'écrit :

Puisque F_x ne dépend que de la seule variable spatiale x, cette forme différentielle est toujours exacte. Le travail ne dépend pas du chemin suivi : la force \vec{F} est donc conservative et dérive d'une énergie potentielle U(x) définie par \delta W = -dU(x), soit :

Par intégration par rapport à x, on obtient :

où C est une constante d'intégration arbitraire. Par identification avec l'expression proposée U(x) = \frac{A}{x^2} + B x^2 + C, on identifie directement les coefficients :

À partir de la définition g(t) = x(t)^2, dérivons deux fois par rapport au temps :

Multiplions par la masse m de la particule :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule dans le référentiel d'étude galiléen donne :

En injectant cette expression, il vient :

D'après la question Q7, l'énergie potentielle avec C=0 s'écrit U(x) = \frac{\alpha}{2x^2} + \frac{1}{2}kx^2. L'énergie mécanique E de la particule est donc :

En multipliant par 4 l'expression de E, on constate que :

En substituant ce regroupement dans l'expression de m\ddot{g}, on obtient :

Comme g = x^2, on aboutit finalement à :

D'après la question Q8, la fonction g(t) vérifie l'équation différentielle :

En divisant par m et en introduisant \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, cette équation se met sous la forme canonique :

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire scalaire du second ordre à coefficients constants avec second membre constant.

• Une solution particulière constante évidente est :

  g_p = \frac{E}{k}

• L'équation homogène associée, \ddot{g} + (2\omega)^2 g = 0, admet pour pulsation propre 2\omega. Sa solution générale s'écrit :

  g_h(t) = C_1 \cos(2\omega t) + C_2 \sin(2\omega t)

  où C_1 et C_2 sont deux constantes réelles.

La solution générale s'écrit donc :

Sa dérivée temporelle vaut :

Les conditions initiales en t = 0 donnent :

On en déduit l'expression temporelle de g(t) :

À l'instant initial t = 0, la vitesse de la particule est nulle (\dot{x}(0) = 0), son énergie cinétique est donc nulle. Avec la constante C = 0 choisie à la question Q7, l'énergie mécanique E se réduit à l'énergie potentielle initiale :

On en déduit :

Les conditions initiales sur la fonction g(t) = x(t)^2 sont :

D'après la question Q9, la solution pour g(t) s'écrit :

Le terme d'amplitude oscillante vaut :

Par conséquent :

Puisque x(t) > 0 pour tout t, on obtient :

Le carré x(t)^2 = g(t) est une fonction périodique de pulsation 2\omega, et la fonction racine carrée est bijective sur \mathbb{R}^+. La période du mouvement T est donc :

L'indépendance de la période T = \frac{\pi}{\omega} par rapport à l'amplitude (fixée par la position initiale x_0) caractérise un phénomène d'isochronisme global des oscillations.

Ce résultat est remarquable à deux égards :

• Pour un potentiel anharmonique général, la période dépend habituellement de l'énergie ou de l'amplitude (à l'instar du pendule simple non linéarisé).
• Bien que l'équation du mouvement sur x(t), m\ddot{x} = \frac{\alpha}{x^3} - kx, soit fortement non linéaire, le changement de variable g = x^2 se ramène à une équation différentielle rigoureusement linéaire régie par la pulsation 2\omega. Le mouvement périodique conserve ainsi une période universelle fixée uniquement par les paramètres k et m du piège harmonique, indépendamment de la condition initiale x_0 et de l'intensité \alpha de la force répulsive.

D'après la question 10, le carré de la position s'écrit :

Cette fonction oscille de manière sinusoïdale à la pulsation 2\omega (période T = \pi/\omega) entre les deux valeurs limites x_0^2 (atteinte pour \omega t \equiv 0 \ [\pi]) et \dfrac{\alpha}{k x_0^2} (atteinte pour \omega t \equiv \frac{\pi}{2} \ [\pi]).

Ces deux valeurs coïncident lorsque :

On en déduit l'expression de la grandeur critique x_c :

Puisque x(t) > 0, les extrema de x(t) correspondent aux racines carrées des extrema de x(t)^2. On distingue alors deux situations :

• Cas x_0 > x_c : On a x_0^2 > \sqrt{\dfrac{\alpha}{k}} > \dfrac{\alpha}{k x_0^2}. La particule part de sa position la plus éloignée de l'origine :

  \boxed{x_{\max} = x_0 \quad \text{et} \quad x_{\min} = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{\alpha}{k}}}

• Cas x_0 < x_c : On a x_0^2 < \sqrt{\dfrac{\alpha}{k}} < \dfrac{\alpha}{k x_0^2}. La particule part de sa position la plus proche de l'origine :

  \boxed{x_{\min} = x_0 \quad \text{et} \quad x_{\max} = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{\alpha}{k}}}

D'après la question Q7 (avec C=0), l'énergie potentielle s'écrit pour x > 0 :

Aux limites, \lim_{x \to 0^+} U(x) = +\infty (barrière répulsive) et \lim_{x \to +\infty} U(x) = +\infty (puits harmonique).

La dérivée première s'écrit :

Elle s'annule en un point unique x_c > 0 :

Comme \frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}x^2}(x_c) = \frac{3\alpha}{x_c^4} + k = 4k > 0, la fonction U présente un minimum global strict en x_c, de valeur :

L'allure du potentiel U(x) forme une cuvette dissymétrique :

La particule étant lâchée sans vitesse initiale en x=x_0, son énergie cinétique initiale est nulle et l'énergie mécanique conservée s'écrit :

Le mouvement est borné par les points d'arrêt où E_{\mathrm{cin}} = 0, c'est-à-dire les solutions de U(x) = E = U(x_0) :

Puisque x > 0, cette équation admet exactement deux solutions :

Le produit de ces deux positions vérifie x_{(1)} x_{(2)} = \sqrt{\frac{\alpha}{k}} = x_c^2. On en déduit :

• Si x_0 > x_c, alors x_0 > x_c > x_{(2)}, donc :

  \boxed{x_{\max} = x_0 \quad \text{et} \quad x_{\min} = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{\alpha}{k}}}

• Si x_0 < x_c, alors x_0 < x_c < x_{(2)}, donc :

  \boxed{x_{\min} = x_0 \quad \text{et} \quad x_{\max} = \frac{1}{x_0}\sqrt{\frac{\alpha}{k}}}

Ces expressions sont parfaitement identiques à celles obtenues à la question Q12.

Par définition, une force conservative \vec{F}_{\text{ext}} dérive d'une énergie potentielle U_{\text{ext}} selon la relation locale :

Pour la particule i, située à la position \vec{r}_i, la force extérieure conservative \vec{F}_{\text{ext},i} s'exprime donc par le gradient de l'énergie potentielle évalué en \vec{r}_i :

Par définition, la force \vec{F}_{j \to i} exercée par la particule j sur la particule i vérifie les trois propriétés imposées par l'énoncé :

• sa droite d'action est la droite joignant la particule j à la particule i ;
• le caractère répulsif signifie que la particule i est repoussée par la particule j : le vecteur force \vec{F}_{j \to i} est donc dirigé de j vers i, c'est-à-dire dans le sens du vecteur \vec{r}_i - \vec{r}_j ;
• sa norme vaut \|\vec{F}_{j \to i}\| = \dfrac{\alpha}{r_{ij}^3}.

Le vecteur unitaire orienté de j vers i s'écrit :

On en déduit l'expression vectorielle de la force d'interaction :

Soit finalement :

Par définition, la grandeur G(t) s'écrit :

En dérivant une première fois par rapport au temps :

Une seconde dérivation temporelle donne :

Multiplions par la masse m des particules :

On reconnaît dans le premier terme l'énergie cinétique totale E_{\text{cin}} = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N m v_i^2 :

D'après le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule i dans le référentiel galiléen du laboratoire :

Le second terme se décompose donc selon :

Par échange des indices muets i et j et en utilisant la troisième loi de Newton (\vec{F}_{i \to j} = -\vec{F}_{j \to i}), on symétrise la somme d'interaction :

En utilisant l'expression établie à la question Q15, \vec{F}_{j \to i} = \alpha \frac{\vec{r}_i - \vec{r}_j}{r_{ij}^4} :

D'où :

En regroupant tous les termes, on obtient finalement :

Dans le cas d'un potentiel extérieur harmonique U_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{1}{2} k r^2, la force extérieure subie par la particule i s'écrit, d'après la question 14 :

Le terme d'action des forces extérieures intervenant dans la relation de la question 16 vaut alors :

De même, l'énergie potentielle extérieure totale s'exprime en fonction de G :

L'énergie mécanique totale E = E_{\text{cin}} + E_{\text{ext}} + E_{\text{int}} étant une constante du mouvement, on a :

En reportant ces expressions dans le résultat obtenu à la question 16, on obtient :

soit :

Il s'agit exactement de la même équation différentielle que celle satisfaite par g(t) = x(t)^2 à la question 8 :

Les conditions initiales étant G(0) = G_0 et \dot{G}(0) = H_0, la solution s'obtient directement par identification avec l'expression établie à la question 9 en remplaçant g_0 par G_0 et h_0 par H_0 :

Lorsque \alpha = 0, les particules n'interagissent pas entre elles (E_{\text{int}} = 0). Chaque particule i est uniquement soumise à la force de rappel harmonique isotrope \vec{F}_{\text{ext},i} = -k\vec{r}_i. D'après la question 1b, sa trajectoire est :

avec \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}. On calcule la norme au carré :

En sommant sur les N particules, il vient :

Vérifions à présent la concordance avec la question 17. On identifie les conditions initiales :

Pour \alpha = 0, l'énergie mécanique totale s'écrit à t = 0 :

En divisant par k et sachant que \frac{m}{k} = \frac{1}{\omega^2}, on obtient :

En injectant ces relations dans l'expression de G(t) et en utilisant \cos(\omega t)\sin(\omega t) = \frac{1}{2}\sin(2\omega t), \cos^2(\omega t) = \frac{1+\cos(2\omega t)}{2} et \sin^2(\omega t) = \frac{1-\cos(2\omega t)}{2} :

On retrouve rigoureusement l'expression établie à la question 17.

D'après l'introduction de l'épreuve, un système classique de N particules en interaction possède habituellement deux caractéristiques majeures :

• dès que N > 2, il est impossible d'obtenir des résultats analytiques exacts sur la dynamique du système sans recourir à des simulations numériques ;
• lorsque N est grand, le système thermalise et relaxe irréversiblement vers un état d'équilibre macroscopique stationnaire, décrit par la thermodynamique ou la statique des fluides.

Le résultat obtenu à la question 17 pour \alpha \neq 0 fait exception à ces deux comportements ordinaires :

1. Caractère analytique exact à N corps : Bien que les N équations du mouvement soient fortement non linéaires et couplées par les interactions répulsives à longue portée, l'évolution temporelle de la grandeur collective G(t) = \sum_{i=1}^N r_i^2(t) est calculée de manière rigoureusement exacte et analytique, quel que soit le nombre N de particules (y compris pour N > 2).
2. Absence de relaxation et de thermalisation : En présence d'interactions, on s'attendrait à ce que les collisions redistribuent l'énergie entre les différents modes microscopiques et amortissent les oscillations globales vers une valeur stationnaire. Au contraire, G(t) présente une oscillation strictement périodique et perpétuelle de pulsation 2\omega, sans aucun amortissement.
3. Universalité et découplage de l'interaction : La dynamique de G(t) est strictement identique à celle du cas sans interaction (\alpha = 0, étudié à la question 18) : la pulsation propre 2\omega ne dépend ni de l'intensité de l'interaction \alpha, ni du nombre de particules N, ni de l'énergie totale E.

Ces violations directes du comportement usuel des systèmes à plusieurs corps en interaction constituent précisément des « propriétés extraordinaires ».

D'après les propriétés (b), (c) et (d), le profil de l'énergie potentielle U_{\text{ext}}(r) présente :

• un palier nul sur l'intervalle [0, \ell - \ell_*] ;
• une transition continue et strictement croissante sur [\ell - \ell_*, \ell[ ;
• une asymptote verticale en r = \ell.

Par définition, la grandeur G(t) s'écrit :

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

où \vec{v}_i = \dot{\vec{r}}_i désigne le vecteur vitesse de la particule i.

D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée au produit scalaire dans \mathbb{R}^{3N} (ou par la somme des inégalités triangulaires et de Cauchy-Schwarz sur chaque particule) :

Établissons des bornes indépendantes du temps pour chacun de ces deux facteurs :

• Confinement spatial : les N particules sont enfermées dans la boîte sphérique de rayon \ell centrée en O, donc pour tout i \in \{1,\dots,N\}, r_i \leqslant \ell. Ainsi :

  \sum_{i=1}^N r_i^2 \leqslant N \ell^2

• Conservation de l'énergie : l'énergie mécanique totale E = E_{\text{cin}} + E_{\text{ext}} + E_{\text{int}} est une constante du mouvement.

  Or, d'après les propriétés de la boîte sphérique, U_{\text{ext}}(r) \geqslant 0 pour tout r < \ell, d'où E_{\text{ext}} = \sum_{i=1}^N U_{\text{ext}}(r_i) \geqslant 0.

  De même, le paramètre d'interaction \alpha étant strictement positif, l'énergie d'interaction répulsive vérifie E_{\text{int}} = \frac{\alpha}{4} \sum_{i \neq j} \frac{1}{r_{ij}^2} \geqslant 0.

  Il en résulte :

  E_{\text{cin}} = \frac{1}{2} m \sum_{i=1}^N v_i^2 \leqslant E \implies \sum_{i=1}^N v_i^2 \leqslant \frac{2E}{m}

En injectant ces deux majorations, on en déduit :

Cette borne étant indépendante du temps, on a bien |\dot{G}(t)| \leqslant D avec :

Par définition de la moyenne temporelle donnée par l'énoncé :

L'intégrande étant la dérivée temporelle de \dot{G}(t), l'intégrale se calcule immédiatement :

D'après le résultat de la question 21.a, la grandeur |\dot{G}(t)| est bornée par une constante D indépendante du temps pour tout t \geqslant 0. Par inégalité triangulaire :

On en déduit l'encadrement, valable pour tout t_{\max} > 0 :

Comme D est une constante finie, \lim_{t_{\max} \to \infty} \frac{2D}{t_{\max}} = 0. Par le théorème d'encadrement, la limite existe et vaut zéro :

Le système est à l'équilibre et présente une invariance par rotation autour du centre O de la boîte sphérique (symétrie sphérique), car :

• la géométrie de la boîte est sphérique de centre O ;
• le potentiel de confinement U_{\text{ext}}(\vec{r}) = U_{\text{ext}}(r) ne dépend que de la distance r ;
• les forces d'interaction entre particules ne dépendent que des distances relatives r_{ij} ;
• la gravité est négligée.

D'après le principe de Curie, l'état macroscopique d'équilibre respecte les symétries des causes : le champ de pression ne dépend donc que de la variable radiale, soit P(\vec{r}) = P(r).

Tous les points de la paroi étant situés à la même distance r = \ell du centre O, la pression P = P(\ell) est nécessairement identique en tout point de la paroi.

Le rayon \ell de la boîte est une dimension macroscopique, tandis que la longueur \ell_* représente la portée des forces de répulsion exercées par la paroi sur les particules, qui est de nature microscopique (à l'échelle atomique).

La portée microscopique de ces interactions est donc naturellement négligeable devant les dimensions macroscopiques du récipient :

D'après la question 14, la force extérieure subie par la particule i dérive de l'énergie potentielle U_{\text{ext}} :

Puisque le potentiel ne dépend que de la coordonnée radiale r = \|\vec{r}\| (propriété a), son gradient en coordonnées sphériques s'écrit simplement :

où \vec{u}_i = \dfrac{\vec{r}_i}{r_i} est le vecteur unitaire radial dirigé vers l'extérieur de la sphère.

D'après la propriété (c), U_{\text{ext}}(r) est une fonction croissante de r, si bien que sa dérivée est positive :

La norme de la force est donc :

La force exercée par la paroi est ainsi dirigée vers l'intérieur de la boîte (sens centripète) :

Le fluide contenu dans la région \mathcal{R} n'est en contact avec la paroi qu'au niveau de la portion de surface \Sigma.

Comme \ell_\Sigma \ll \ell, la surface \Sigma peut être assimilée à un carré plan d'aire :

En tout point de \Sigma, le vecteur unitaire normal sortant est quasiment uniforme et égal au vecteur unitaire radial moyen dirigé vers le centre de \Sigma, noté \vec{u}_\Sigma.

La paroi exerce sur le fluide une force de pression dirigée vers l'intérieur de la boîte (sens opposé à \vec{u}_\Sigma). La pression P étant uniforme sur la paroi (d'après la question 22), la force totale exercée par la paroi sur le fluide contenu dans \mathcal{R} s'écrit de façon approchée :

où \vec{u}_\Sigma est le vecteur unitaire radial dirigé depuis l'origine O vers le centre de \Sigma.

Pour que cette expression soit valable, \ell_\Sigma doit vérifier deux conditions supplémentaires :

1. \ell_\Sigma \gg d, où d \sim n^{-1/3} est la distance moyenne entre particules (ou encore \ell_\Sigma à l'échelle mésoscopique) : la portion \Sigma doit interagir avec un très grand nombre de particules pour que les fluctuations microscopiques soient négligeables et que la notion de pression continue soit applicable.
2. \ell_\Sigma \gg \ell_* : la dimension latérale de \Sigma doit être très grande devant la portée de l'interaction paroi-particule afin de pouvoir négliger les effets de bord sur le pourtour de \Sigma (c'est-à-dire les particules situées à cheval sur la frontière latérale de \mathcal{R} dans la couche d'épaisseur \ell_*).

Par définition, la force totale exercée par la paroi sur le fluide contenu dans le volume \mathcal{R} s'écrit comme la somme des forces subies par les particules situées dans ce domaine :

D'après la question 24, chaque force individuelle est radiale centripète :

où \vec{u}_i = \frac{\vec{r}_i}{r_i} est le vecteur unitaire radial associé à la particule i.

Les particules pour lesquelles la force de paroi est non nulle sont localisées dans la couche d'interaction microscopique d'épaisseur \ell_* au voisinage immédiat de \Sigma (puisque U_{\text{ext}}(r) = 0 dès que \ell - r > \ell_*). L'ouverture angulaire sous-tendue par la surface \Sigma depuis l'origine O vérifie :

Par conséquent, tous les vecteurs unitaires radiaux \vec{u}_i des particules interagissant avec la surface \Sigma sont quasiment colinéaires au vecteur unitaire radial \vec{u}_\Sigma dirigé vers le centre de \Sigma :

La force totale exercée par la paroi s'écrit donc :

En identifiant cette somme microscopique à l'expression macroscopique de la force de pression établie à la question 25.a, \vec{F}_{\text{ext},\mathcal{R}} \approx - P \ell_\Sigma^2 \, \vec{u}_\Sigma, on obtient :

On peut paver l'ensemble de la paroi sphérique de la boîte, d'aire totale \mathcal{A} = 4\pi \ell^2, par une juxtaposition de petites portions \Sigma_k disjointes d'aires \mathcal{A}(\Sigma_k) \approx \ell_\Sigma^2.

À chaque élément de surface \Sigma_k est associé le cône \mathcal{R}_k de sommet O. L'ensemble des cônes \{\mathcal{R}_k\} forme une partition de la boîte sphérique (à l'exception du point origine O qui est de mesure nulle). Les ensembles d'indices \mathscr{S}_{\mathcal{R}_k} forment donc une partition de l'ensemble des particules \{1, \dots, N\}.

On peut ainsi décomposer la somme sur l'ensemble des particules du fluide :

D'après le résultat obtenu à la question 25.b, pour chaque cône \mathcal{R}_k :

Puisque la pression P est uniforme sur toute la surface de la paroi (établi à la question 22), on peut la mettre en facteur :

La surface totale de la sphère de rayon \ell valant \mathcal{A}_{\text{sphère}} = 4\pi \ell^2, on en déduit l'expression approchée :

D'après la question 16, l'évolution temporelle de G(t) satisfait :

En prenant la moyenne temporelle \langle \dots \rangle sur une durée infinie et en utilisant \langle \ddot{G} \rangle = 0 (question 21b) ainsi que la définition U = \langle E_{\text{cin}} + E_{\text{int}} \rangle, on obtient :

D'après la question 24, la force exercée par la paroi sur la particule i est radiale centripète :

Or, d'après l'hypothèse (b), le potentiel de paroi U_{\text{ext}}(r) est nul pour \ell - r > \ell_*, de sorte que la force \vec{F}_{\text{ext},i} n'est non nulle que pour les particules situées dans la couche périphérique où \ell - \ell_* \leqslant r_i < \ell. Comme \ell_* \ll \ell (question 23), on a pour toutes ces particules r_i \approx \ell. Par conséquent :

En utilisant le résultat de la question 25c, \sum_{i=1}^N F_{\text{ext},i} \approx 4\pi \ell^2 P, il vient :

Le volume de la boîte sphérique étant V = \frac{4}{3}\pi \ell^3, cette somme se réécrit :

À l'équilibre macroscopique, le produit P V est constant, donc sa moyenne temporelle est identique à sa valeur instantanée. En réinjectant dans l'équation moyenne du viriel :

On en déduit immédiatement :

Lorsque \alpha = 0, les forces d'interaction entre particules sont nulles (\vec{F}_{j \to i} = \vec{0}). Le système est constitué de N particules ponctuelles indépendantes sans interactions mutuelles, confinées dans une boîte de volume V : il s'agit d'un gaz parfait monoatomique.

D'après la thermodynamique classique :

• L'équation d'état des gaz parfaits relie la pression P, le volume V et la température absolue T par :

  P V = n_{\mathrm{mol}} R T

  où n_{\mathrm{mol}} est la quantité de matière du gaz et R la constante molaire des gaz parfaits.

• Pour un gaz parfait monoatomique, les atomes ne possèdent que 3 degrés de liberté de translation, de sorte que la capacité thermique molaire à volume constant vaut :

  C_{V,m} = \frac{3}{2} R

  L'énergie interne U vérifie la première loi de Joule et s'exprime (en prenant l'origine des énergies à T = 0) par :

  U = n_{\mathrm{mol}} C_{V,m} T = \frac{3}{2} n_{\mathrm{mol}} R T

En substituant l'expression de n_{\mathrm{mol}} R T issue de l'équation d'état dans celle de U, on obtient directement :

On choisit comme système fermé le gaz unitaire contenu dans l'enceinte, constitué de N atomes constants.

• Les parois sont parfaitement athermanes, donc la transformation est adiabatique : \delta Q = 0.

• Le déplacement de la paroi mobile s'effectue lentement : à chaque instant, le gaz est à l'équilibre mécanique et thermodynamique avec l'extérieur, de sorte que la pression extérieure exercée sur le fluide s'identifie à sa pression interne (P_{\text{ext}} = P). La transformation est donc quasi-statique et réversible, et le travail élémentaire des forces de pression s'écrit :

  \delta W = - P\,\mathrm{d}V

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Par ailleurs, d'après la relation (4) admise pour le gaz unitaire :

En égalant les deux expressions de la variation élémentaire \mathrm{d}U :

En divisant cette relation par le produit P V (qui est strictement positif) :

Ce qui s'écrit encore :

On en déduit qu'au cours de la transformation :

La transformation considérée est lente (quasi-statique) et le système est thermiquement isolé (adiabatique). Elle est donc réversible et isentropique :

Le système étant fermé, le nombre total d'atomes N est constant, si bien que l'entropie par atome s = S/N reste constante tout au long de la transformation.

D'après le résultat de la question 28.a, on a P^3 V^5 = \text{cste}, ce qui équivaut, les grandeurs étant positives, à :

En introduisant la densité particulaire n = N/V, soit V = N/n, cette relation devient :

Ainsi, à entropie par atome s fixée, la quantité P/n^{5/3} est indépendante de n (et de V).

D'après l'équation (5), la pression est uniquement fonction de n et s sous la forme P = f_P(n, s), sans dépendre d'aucune autre grandeur extensive (comme N). La valeur prise par le rapport P/n^{5/3} à s fixé ne peut donc être qu'une fonction de s seul, que l'on note g_P(s) :

On en déduit que la fonction f_P s'écrit bien sous la forme :

où la fonction g_P ne dépend que de s et pas de n.

L'équation (6),

présente deux intérêts majeurs pour la détermination de f_P :

• Réduction de la dimensionnalité : elle remplace la recherche d'une fonction inconnue de deux variables (n, s) par celle d'une fonction d'une seule variable g_P(s), car la dépendance en densité n est explicitement fixée en n^{5/3}.
• Économie de points d'échantillonnage : au lieu de balayer une grille bidimensionnelle de paramètres (n, s), il suffit d'effectuer les mesures expérimentales ou les simulations numériques à une densité fixée n_0 (ou d'évaluer le rapport universel P/n^{5/3}) en faisant varier uniquement l'entropie s. Le nombre de données requises passe ainsi typiquement de \mathcal{O}(N^2) à \mathcal{O}(N), ce qui allège considérablement le temps de calcul ou le protocole expérimental.

D'après la règle des phases (ou règle de Gibbs), un fluide homogène monophasique constitué d'un seul type de particules possède une variance thermodynamique égale à :

L'état intensif du système à l'équilibre est donc entièrement fixé par la donnée de deux variables intensives indépendantes.

La densité particulaire n = N/V et l'entropie par particule s = S/N constituent deux grandeurs intensives indépendantes. Par conséquent, toute autre grandeur intensive à l'équilibre, en particulier la pression P, est nécessairement une fonction univoque de ces deux seules grandeurs : P = f_P(n, s). Cette propriété est donc tout à fait standard pour n'importe quel fluide homogène simple.

La relation (6), P = n^{5/3} g_P(s), implique qu'à entropie par particule s fixée (évolution isentropique), la pression suit une loi de puissance pure :

Cette propriété est très inhabituelle pour deux raisons physiques intuitives :

1. Absence de correction d'interaction apparente : une telle dépendance isentropique en V^{-5/3} est la loi de Laplace d'un gaz parfait monoatomique, c'est-à-dire d'un gaz sans interactions. Or, les atomes du gaz unitaire sont en forte interaction mutuelle ; dans un fluide réel ordinaire (comme un gaz de van der Waals), les interactions introduisent une pression interne et un covolume, ce qui modifie profondément la dépendance en volume.
2. Invariance d'échelle : la présence d'une force d'interaction introduit usuellement des échelles spatiales caractéristiques (portée du potentiel, diamètre des particules), ce qui brise toute loi d'échelle en puissance simple valable à toutes les densités.

D'après la question 28, tout fluide homogène vérifiant les principes usuels de la thermodynamique (ce qui assure la validité de la propriété (5), jugée habituelle à la question 29.a) et la relation

satisfait nécessairement à la relation d'état :

Or, d'après la question 29.b, la propriété (6) est inhabituelle pour un fluide de particules en interaction.

Par conséquent, par contraposée, la relation U = \frac{3}{2}PV est elle aussi inhabituelle pour un fluide en interaction : pour un fluide réel avec interactions, l'énergie interne fait normalement intervenir des échelles d'énergie caractéristiques du potentiel d'interaction qui brisent cette proportionnalité directe avec PV.

Considérons le système fermé constitué des N atomes du gaz unitaire, occupant un volume constant V (donc \mathrm{d}V = 0).

• Premier principe de la thermodynamique : pour une transformation élémentaire du gaz, la variation d'énergie interne s'écrit

  \mathrm{d}U = \delta W + \delta Q

  Le volume V étant strictement fixe et les parois indéformables, les forces de pression extérieures ne travaillent pas : \delta W = 0. Il vient ainsi :

  \mathrm{d}U = \delta Q

• Deuxième principe de la thermodynamique :

  \mathrm{d}S = \delta S_e + \delta S_c = \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}} + \delta S_c

  L'apport de chaleur étant effectué lentement, la transformation est quasi-statique et réversible : il n'y a pas de création d'entropie (\delta S_c = 0) et la température aux parois s'identifie à la température d'équilibre T du gaz (T_{\text{ext}} = T). Par conséquent :

  \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T} \iff \delta Q = T\,\mathrm{d}S

En combinant ces deux principes, on obtient la relation recherchée :

D'après l'équation (4) et le résultat de la question 28.b :

En remplaçant P par son expression et en remarquant que V = \frac{N}{n}, l'énergie interne s'écrit :

Au cours de la transformation considérée à la question 30.a, le volume V et le nombre d'atomes N sont fixés, donc la densité particulaire n = \frac{N}{V} reste constante. La différentielle de U s'écrit ainsi :

Comme s = \frac{S}{N} avec N constant, on a \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}S}{N}, d'où :

En identifiant cette expression avec la relation \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S obtenue à la question 30.a (qui traduit T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}), on en déduit :

avec :

Considérons un élément mésoscopique de volume \mathrm{d}\tau situé au voisinage de la position \vec{r}. Le nombre d'atomes contenus dans ce volume est :

Chaque atome étant soumis à la force extérieure individuelle \vec{F}_{\text{ext}} = -k\vec{r}, la force totale s'exerçant sur cet élément de volume s'écrit :

Par définition de la densité volumique de force extérieure \vec{f}(\vec{r}), telle que \mathrm{d}\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{f}(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau, on en déduit immédiatement :