Corrigé détaillé ENS Physique C PC 2024 (page 3/5 : Partie 4 (questions 28.a à 36.b))

On choisit comme système fermé le gaz unitaire contenu dans l'enceinte, constitué de N atomes constants.

• Les parois sont parfaitement athermanes, donc la transformation est adiabatique : \delta Q = 0.

• Le déplacement de la paroi mobile s'effectue lentement : à chaque instant, le gaz est à l'équilibre mécanique et thermodynamique avec l'extérieur, de sorte que la pression extérieure exercée sur le fluide s'identifie à sa pression interne (P_{\text{ext}} = P). La transformation est donc quasi-statique et réversible, et le travail élémentaire des forces de pression s'écrit :

  \delta W = - P\,\mathrm{d}V

D'après le premier principe de la thermodynamique :

Par ailleurs, d'après la relation (4) admise pour le gaz unitaire :

En égalant les deux expressions de la variation élémentaire \mathrm{d}U :

En divisant cette relation par le produit P V (qui est strictement positif) :

Ce qui s'écrit encore :

On en déduit qu'au cours de la transformation :

La transformation considérée est lente (quasi-statique) et le système est thermiquement isolé (adiabatique). Elle est donc réversible et isentropique :

Le système étant fermé, le nombre total d'atomes N est constant, si bien que l'entropie par atome s = S/N reste constante tout au long de la transformation.

D'après le résultat de la question 28.a, on a P^3 V^5 = \text{cste}, ce qui équivaut, les grandeurs étant positives, à :

En introduisant la densité particulaire n = N/V, soit V = N/n, cette relation devient :

Ainsi, à entropie par atome s fixée, la quantité P/n^{5/3} est indépendante de n (et de V).

D'après l'équation (5), la pression est uniquement fonction de n et s sous la forme P = f_P(n, s), sans dépendre d'aucune autre grandeur extensive (comme N). La valeur prise par le rapport P/n^{5/3} à s fixé ne peut donc être qu'une fonction de s seul, que l'on note g_P(s) :

On en déduit que la fonction f_P s'écrit bien sous la forme :

où la fonction g_P ne dépend que de s et pas de n.

L'équation (6),

présente deux intérêts majeurs pour la détermination de f_P :

• Réduction de la dimensionnalité : elle remplace la recherche d'une fonction inconnue de deux variables (n, s) par celle d'une fonction d'une seule variable g_P(s), car la dépendance en densité n est explicitement fixée en n^{5/3}.
• Économie de points d'échantillonnage : au lieu de balayer une grille bidimensionnelle de paramètres (n, s), il suffit d'effectuer les mesures expérimentales ou les simulations numériques à une densité fixée n_0 (ou d'évaluer le rapport universel P/n^{5/3}) en faisant varier uniquement l'entropie s. Le nombre de données requises passe ainsi typiquement de \mathcal{O}(N^2) à \mathcal{O}(N), ce qui allège considérablement le temps de calcul ou le protocole expérimental.

D'après la règle des phases (ou règle de Gibbs), un fluide homogène monophasique constitué d'un seul type de particules possède une variance thermodynamique égale à :

L'état intensif du système à l'équilibre est donc entièrement fixé par la donnée de deux variables intensives indépendantes.

La densité particulaire n = N/V et l'entropie par particule s = S/N constituent deux grandeurs intensives indépendantes. Par conséquent, toute autre grandeur intensive à l'équilibre, en particulier la pression P, est nécessairement une fonction univoque de ces deux seules grandeurs : P = f_P(n, s). Cette propriété est donc tout à fait standard pour n'importe quel fluide homogène simple.

La relation (6), P = n^{5/3} g_P(s), implique qu'à entropie par particule s fixée (évolution isentropique), la pression suit une loi de puissance pure :

Cette propriété est très inhabituelle pour deux raisons physiques intuitives :

1. Absence de correction d'interaction apparente : une telle dépendance isentropique en V^{-5/3} est la loi de Laplace d'un gaz parfait monoatomique, c'est-à-dire d'un gaz sans interactions. Or, les atomes du gaz unitaire sont en forte interaction mutuelle ; dans un fluide réel ordinaire (comme un gaz de van der Waals), les interactions introduisent une pression interne et un covolume, ce qui modifie profondément la dépendance en volume.
2. Invariance d'échelle : la présence d'une force d'interaction introduit usuellement des échelles spatiales caractéristiques (portée du potentiel, diamètre des particules), ce qui brise toute loi d'échelle en puissance simple valable à toutes les densités.

D'après la question 28, tout fluide homogène vérifiant les principes usuels de la thermodynamique (ce qui assure la validité de la propriété (5), jugée habituelle à la question 29.a) et la relation

satisfait nécessairement à la relation d'état :

Or, d'après la question 29.b, la propriété (6) est inhabituelle pour un fluide de particules en interaction.

Par conséquent, par contraposée, la relation U = \frac{3}{2}PV est elle aussi inhabituelle pour un fluide en interaction : pour un fluide réel avec interactions, l'énergie interne fait normalement intervenir des échelles d'énergie caractéristiques du potentiel d'interaction qui brisent cette proportionnalité directe avec PV.

Considérons le système fermé constitué des N atomes du gaz unitaire, occupant un volume constant V (donc \mathrm{d}V = 0).

• Premier principe de la thermodynamique : pour une transformation élémentaire du gaz, la variation d'énergie interne s'écrit

  \mathrm{d}U = \delta W + \delta Q

  Le volume V étant strictement fixe et les parois indéformables, les forces de pression extérieures ne travaillent pas : \delta W = 0. Il vient ainsi :

  \mathrm{d}U = \delta Q

• Deuxième principe de la thermodynamique :

  \mathrm{d}S = \delta S_e + \delta S_c = \frac{\delta Q}{T_{\text{ext}}} + \delta S_c

  L'apport de chaleur étant effectué lentement, la transformation est quasi-statique et réversible : il n'y a pas de création d'entropie (\delta S_c = 0) et la température aux parois s'identifie à la température d'équilibre T du gaz (T_{\text{ext}} = T). Par conséquent :

  \mathrm{d}S = \frac{\delta Q}{T} \iff \delta Q = T\,\mathrm{d}S

En combinant ces deux principes, on obtient la relation recherchée :

D'après l'équation (4) et le résultat de la question 28.b :

En remplaçant P par son expression et en remarquant que V = \frac{N}{n}, l'énergie interne s'écrit :

Au cours de la transformation considérée à la question 30.a, le volume V et le nombre d'atomes N sont fixés, donc la densité particulaire n = \frac{N}{V} reste constante. La différentielle de U s'écrit ainsi :

Comme s = \frac{S}{N} avec N constant, on a \mathrm{d}s = \frac{\mathrm{d}S}{N}, d'où :

En identifiant cette expression avec la relation \mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S obtenue à la question 30.a (qui traduit T = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N}), on en déduit :

avec :

Considérons un élément mésoscopique de volume \mathrm{d}\tau situé au voisinage de la position \vec{r}. Le nombre d'atomes contenus dans ce volume est :

Chaque atome étant soumis à la force extérieure individuelle \vec{F}_{\text{ext}} = -k\vec{r}, la force totale s'exerçant sur cet élément de volume s'écrit :

Par définition de la densité volumique de force extérieure \vec{f}(\vec{r}), telle que \mathrm{d}\vec{F}_{\text{ext}} = \vec{f}(\vec{r})\,\mathrm{d}\tau, on en déduit immédiatement :

L'équation fondamentale de la statique des fluides sous forme locale s'écrit :

En utilisant l'expression de la densité volumique de force établie à la question 31.a, \vec{f}(\vec{r}) = -k\,n(\vec{r})\,\vec{r}, on obtient directement :

Le système présente une symétrie sphérique (invariance par toute rotation autour de l'origine O) :

• le potentiel extérieur U_{\text{ext}}(\vec{r}) = \frac{1}{2}kr^2 (et donc la force de rappel subie par chaque atome) est invariant par rotation autour de O ;
• les forces d'interaction interatomiques ne dépendent que des distances relatives r_{ij} ;
• en l'absence de toute direction privilégiée imposée de l'extérieur, l'état d'équilibre thermodynamique macroscopique adopte la symétrie des causes (principe de Curie).

Par conséquent, tous les champs scalaires décrivant le fluide à l'équilibre ne dépendent que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et sont indépendants de la direction de \vec{r} (invariance par rapport aux angles sphériques \theta et \varphi) :

Le fluide est à l'équilibre thermodynamique. En l'absence de toute source ou puits d'énergie interne, l'équilibre thermique exige l'absence de tout transfert thermique par conduction au sein du fluide.

D'après la loi de Fourier, la densité de flux thermique s'écrit \vec{\jmath}_Q = -\kappa\,\overrightarrow{\operatorname{grad}} T. L'annulation de \vec{\jmath}_Q dans tout le fluide impose :

Par conséquent, la température T est uniforme dans tout le volume occupé par le fluide :

Ces relations sont valables sous l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique local (ETL).

• On peut définir en tout point un volume mésoscopique de taille caractéristique d vérifiant :

  \ell_{\text{micro}} \ll d \ll L_{\text{macro}}

  où \ell_{\text{micro}} \sim n^{-1/3} est la distance moyenne interatomique et L_{\text{macro}} est la longueur caractéristique de variation spatiale des grandeurs physiques (pression, densité).

• Dans chaque volume mésoscopique, le nombre de particules est suffisamment grand pour définir des grandeurs thermodynamiques moyennes, et les gradients sont négligeables, de sorte que le gaz s'y comporte localement comme un fluide homogène à l'équilibre.
• Les relations d'état intensives établies pour le fluide homogène à l'équilibre dans la sous-partie 4.1 (équations (6) et (8)) s'appliquent donc localement aux champs n(r), P(r) et s(r).

La température T étant par ailleurs uniforme dans tout le fluide d'après la question 33, on obtient directement :

À température nulle (T = 0), pour tout point situé à l'intérieur du nuage (r < R), on a n(r) > 0, donc le rapport \frac{T}{n(r)^{2/3}} est nul. D'après l'équation d'état locale (10) et la donnée g_s(0) = 0 :

L'équation d'état (9) pour la pression se réduit alors à :

Compte tenu de la symétrie sphérique (question Q32), l'équation locale de la statique des fluides issue de la question Q31b s'écrit selon la composante radiale :

En dérivant l'expression de la pression par rapport à r, on a :

En égalant les deux expressions pour r < R (où n(r) > 0), il vient :

Comme \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(n(r)^{2/3}\right) = \frac{2}{3} n(r)^{-1/3} \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}r}, cette équation différentielle se met sous la forme :

Par intégration entre 0 et r < R :

La condition d'annulation de la densité au bord du nuage n(R) = 0 donne :

ce qui fournit l'expression du rayon R :

En réinjectant \frac{k}{5 g_P(0)} = \frac{n(0)^{2/3}}{R^2} dans l'expression de n(r)^{2/3}, on obtient :

Comme 1 - \frac{r^2}{R^2} > 0 pour r < R, on en déduit finalement :

D'après le résultat de la question 35.a, pour T = 0 :

Étudions la dérivée de n(r) sur l'intervalle [0, R[ :

• En r = 0, la fonction présente une tangente horizontale : \left.\dfrac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}r}\right|_{r=0} = 0.

• Au bord du nuage, lorsque r \to R^-, la dérivée s'annule également :

  \lim_{r \to R^-} \frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}r} = 0

  La fonction n(r) se raccorde donc de manière dérivable (\mathcal{C}^1) avec la valeur nulle pour r \geqslant R.

• La dérivée seconde s'annule en r = R/\sqrt{2}, point d'inflexion où la courbe passe d'un profil concave à un profil convexe.

D'après la question 35.a, le rayon R du nuage s'exprime sous la forme :

En injectant l'expression admise pour g_P(0) = \xi \frac{\hbar^2}{m}, on obtient :

Calculons séparément chacun des termes à partir des données :

• La masse d'un atome de lithium 6 vaut :

  m = \frac{M({^6}\mathrm{Li})}{\mathscr{N}_A} = \frac{6{,}02 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}}{6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1}} = 1{,}00 \times 10^{-26}\text{ kg}

• Le facteur adimensionnel sous la racine vaut 5\xi = 5 \times 0{,}7 = 3{,}5, d'où d'après l'indication de l'énoncé :

  \sqrt{5\xi} = \sqrt{3{,}5} \approx 2

• Le produit m k vaut :

  m k = 1{,}00 \times 10^{-26} \times 1{,}02 \times 10^{-18} \approx 1{,}0 \times 10^{-44}\text{ kg}^2\cdot\text{s}^{-2} \implies \sqrt{m k} \approx 1{,}0 \times 10^{-22}\text{ kg}\cdot\text{s}^{-1}

• La racine cubique de la densité centrale s'écrit :

  n(0)^{1/3} = \left(27 \times 10^{18}\text{ m}^{-3}\right)^{1/3} = 3 \times 10^6\text{ m}^{-1}

On en déduit :

Avec un chiffre significatif, on obtient :

D'après la question 4, l'approximation harmonique de l'énergie potentielle U(\vec{r}) \approx U(\vec{0}) + \frac{1}{2}kr^2, et par conséquent celle de la force :

est valable sous la condition :

Or, d'après les questions 35.a et 35.c, tous les atomes du gaz à T = 0 sont confinés dans une sphère de rayon R, c'est-à-dire que leur position vérifie r \leqslant R avec :

Les données numériques indiquent \sigma = 60\text{ }\mu\text{m}, de sorte que :

Pour tout atome du nuage, on a donc r \leqslant R \ll \sigma (et le terme correctif d'ordre supérieur en (r/\sigma)^2 reste inférieur à 1\,\%) :

D'après les équations (9) et (10) établies à la question 34, l'entropie locale par atome est donnée par :

avec g_s(0) = 0.

Lorsque r < R et que r n'est pas trop proche de R, la densité n(r) reste du même ordre de grandeur que n(0) et demeure nettement supérieure à zéro. Ainsi, pour une température T proche de 0, le rapport \dfrac{T}{n(r)^{2/3}} est extrêmement petit.

Par continuité de la fonction g_s en 0, l'entropie locale est donc presque nulle :

La fonction g_P étant continue, on en déduit que :

La relation entre la pression et la densité P(r) \approx g_P(0)\,n(r)^{5/3} est donc identique à celle valable à température nulle. L'équation locale de la statique des fluides régissant n(r) étant la même, le profil de densité n(r) reste très proche du profil déterminé à la question 35.a.

D'après l'énoncé et les questions précédentes, le profil de densité n(r) à T > 0 présente les caractéristiques suivantes :

• À l'origine (r = 0) : la densité atteint son maximum n(0). Par symétrie sphérique, la dérivée première est nulle :

  \left.\frac{\mathrm{d}n}{\mathrm{d}r}\right|_{r=0} = 0 \quad (\text{tangente horizontale}).

• Au cœur du nuage (r < R, loin de R) : la densité suit fidèlement le profil à température nulle (question 36.a) :

  n(r) \approx n(0) \left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)^{3/2}.
• Au voisinage de R : l'excitation thermique arrondit la singularité de coupure présente à T = 0. Il n'y a plus d'arête en r = R.
• Pour r > R : la densité reste strictement positive, décroissante et tend vers 0 lorsque r \to +\infty (queue thermique de type distribution de Boltzmann ou de Fermi aux grandes distances).