Corrigé détaillé Mines Physique 2 PC 2017 (page 2/2 : Partie III)

Voyage au cœur du Soleil

26 questions corrigées
Sujet moyen
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Partie III : Modèle polytropique du Soleil

Question 19

Application directe≈ 4 min

Incontournable
Question de cours
Mise en équation

Notions : théorème de gauss, équilibre hydrostatique

En appliquant le théorème de Gauss, exprimer $g (r)$ en fonction de $G$ et $M (r)$ . Rappeler l'équation de la statique des fluides que l'on peut écrire pour cette étoile.

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Choisir une sphère de rayon r comme surface de Gauss gravitationnelle en utilisant l'analogie avec l'électrostatique (\mathscr{G} \leftrightarrow 1/4\pi\varepsilon_0, masse \leftrightarrow charge avec signe opposé). Écrire ensuite \mathrm{d}p/\mathrm{d}r = -\rho g.

Voir la stratégie

Exploiter les symétries sphériques de la distribution de masse pour simplifier la forme du champ gravitationnel et calculer son flux à travers une sphère de Gauss de rayon r.
Écrire l'équation locale de l'équilibre hydrostatique en traduisant l'équilibre des forces volumiques de pression et de gravitation.

Voir la réponse courte

Théorème de Gauss gravitationnel donnant le champ de gravité intérieur, puis rappel de l'équation fondamentale de l'équilibre hydrostatique stellaire.

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1. Théorème de Gauss gravitationnel :

Par analogie avec l'électrostatique (\mathrm{div}\,\vec{g} = -4\pi\mathscr{G}\rho), le théorème de Gauss pour le champ gravitationnel s'écrit, à travers une surface fermée \Sigma orientée vers l'extérieur :

\oiint_{\Sigma} \vec{g}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = -4\pi\mathscr{G} M_{\text{int}}

La répartition de masse du Soleil possède une symétrie sphérique :

Tout plan passant par le centre O est un plan de symétrie matérielle, donc le champ gravitationnel est purement radial : \vec{g} = g_r(r)\,\widehat{u}_r.
L'invariance par rotation autour de tout axe passant par O impose que g_r ne dépend que de r.

On choisit pour surface de Gauss \Sigma la sphère de centre O et de rayon r, de vecteur élément de surface \mathrm{d}\vec{S} = \mathrm{d}S\,\widehat{u}_r :

\oiint_{\Sigma} \vec{g}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = g_r(r) \oiint_{\Sigma} \mathrm{d}S = 4\pi r^2 g_r(r)

La masse intérieure à cette sphère est M_{\text{int}} = M(r). Par suite :

4\pi r^2 g_r(r) = -4\pi\mathscr{G} M(r) \implies g_r(r) = -\frac{\mathscr{G}M(r)}{r^2}

En notant g(r) l'intensité (norme) du champ gravitationnel, dirigé vers le centre de l'étoile :

\boxed{g(r) = \frac{\mathscr{G}M(r)}{r^2}} \quad \text{soit} \quad \vec{g}(r) = -\frac{\mathscr{G}M(r)}{r^2}\widehat{u}_r

2. Équation de la statique des fluides :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen (en négligeant la rotation du Soleil), un élément de volume de fluide à la distance r est soumis :

aux forces de pression, de résultante volumique -\vec{\mathrm{grad}}\,p ;
à la force gravitationnelle volumique \rho(r)\vec{g}(r).

À l'équilibre hydrostatique, l'équation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

\vec{\mathrm{grad}}\,p = \rho(r)\vec{g}(r)

Compte tenu de la symétrie sphérique, la pression ne dépend que de r. La projection selon \widehat{u}_r donne :

\boxed{\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\rho(r)g(r) = -\frac{\mathscr{G}M(r)\rho(r)}{r^2}}

Résultat

g (r) = \frac{G M ( r )}{r ^{2}}

\frac{d p}{d r} = - ρ (r) g (r) = - \frac{G M ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}

Voir ce qu'a relevé le jury

Attention aux erreurs de signe lors de l'application de la relation fondamentale de la statique des fluides.

« l’expression de g(r) est souvent donnée, mais des erreurs de signe fréquentes pour la loi de statique des fluides. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

Question déjà tombée ailleurs

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Question 20

Application directe≈ 2 min

Calcul littéral
Résultat donné : utilisable pour la suite
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : équation d'état

Vérifier que la pression s'écrit sous la forme $p = p_{c} Ψ^{n + 1}$ , on donnera l'expression de $p_{c}$ en fonction de $K$ , $ρ_{c}$ et $n$ .

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Remplacer \rho par \rho_c \Psi^n dans la loi polytropique p = K\rho^{1+1/n} et factoriser par p_c = K\rho_c^{1+1/n}.

Voir la réponse courte

Remplacement de \rho = \rho_c \Psi^n dans la loi polytropique p = K\rho^{1+1/n} et identification immédiate de la pression centrale p_c.

Voir le corrigé complet

L'équation d'état polytropique vérifiée par le plasma stellaire s'écrit :

p = K \rho^{1+\frac{1}{n}} = K \rho^{\frac{n+1}{n}}

En introduisant la fonction adimensionnée \Psi définie par \rho = \rho_c \Psi^n, on obtient :

\begin{aligned} p &= K \left(\rho_c \Psi^n\right)^{\frac{n+1}{n}} \\ &= K \rho_c^{\frac{n+1}{n}} \left(\Psi^n\right)^{\frac{n+1}{n}} \\ &= K \rho_c^{1+\frac{1}{n}} \Psi^{n+1} \end{aligned}

On retrouve bien la forme attendue p = p_c \Psi^{n+1} en identifiant :

\boxed{p_c = K \rho_c^{1+\frac{1}{n}}}

Résultat

p_{c} = K ρ_{c}^{1 + \frac{1}{n}}

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Question 21

Application directe≈ 2 min

Incontournable
Calcul littéral
Résultat donné : utilisable pour la suite
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : masse volumique

Etablir la relation $\frac{d M}{d r} = 4 π r^{2} ρ$ .

Voir l'indice

Effectuer un bilan de masse sur une coquille sphérique d'épaisseur élémentaire \mathrm{d}r.

Voir la stratégie

Pour relier la masse contenue dans une sphère de rayon r à la masse volumique locale, on peut :

Considérer une coquille sphérique d'épaisseur infinitésimale \mathrm{d}r comprise entre les rayons r et r+\mathrm{d}r et exprimer sa masse \mathrm{d}M ;
Ou bien exprimer la masse M(r) sous forme intégrale en exploitant l'invariance par rotation (symétrie sphérique) et dériver par rapport à la borne supérieure r.

Voir la réponse courte

Bilan de masse élémentaire dans une coquille sphérique d'épaisseur \mathrm{d}r et de rayon r.

Voir le corrigé complet

Compte tenu de la symétrie sphérique du problème, la masse volumique \rho(r) ne dépend que de la distance radiale r.

Considérons une coquille sphérique élémentaire comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r. Son volume élémentaire s'écrit :

\mathrm{d}V = 4\pi r^2\,\mathrm{d}r

La masse \mathrm{d}M contenue dans cette coquille représente la variation élémentaire de la masse M(r) intérieure à la sphère de rayon r :

\mathrm{d}M = \rho(r)\,\mathrm{d}V = 4\pi r^2 \rho(r)\,\mathrm{d}r

En divisant par \mathrm{d}r, on obtient directement :

\boxed{\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho}

De façon équivalente, la masse totale contenue dans la sphère de rayon r s'écrit :

M(r) = \int_0^r 4\pi r'^2 \rho(r')\,\mathrm{d}r'

La dérivation par rapport à la borne supérieure r redonne immédiatement la relation demandée.

Résultat

\frac{d M}{d r} = 4 π r^{2} ρ

Voir ce qu'a relevé le jury

La masse volumique n'étant pas uniforme, les justifications trop simplistes ont été sanctionnées.

« Des réponses souvent trop simplistes sanctionnées, ρ n’était pas uniforme. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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Question 22

Exigeante≈ 12 min

Calcul littéral
Résultat donné : utilisable pour la suite

Notions : équilibre hydrostatique, équation différentielle

Indiquer les valeurs prises par la fonction $Ψ$ au centre et à la surface du Soleil, dont on néglige l'atmosphère. En utilisant les trois questions précédentes montrer que, par un choix astucieux de $r_{0}$ , la fonction $Ψ$ obéit à l'équation différentielle dite de Lane-Emden,

\frac{1}{ξ ^{2}} \frac{d}{d ξ} (ξ^{2} \frac{d Ψ}{d ξ}) + Ψ^{n} = 0

On déterminera l'expression de $r_{0}$ en fonction de $n$ , $K$ , $G$ et $ρ_{c}$ .

Voir l'indice

Différencier l'équation de la statique des fluides sous forme \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right) = -4\pi\mathscr{G}\rho, puis poser r = r_0 \xi et regrouper les constantes pour identifier r_0.

Voir la stratégie

Traduire les conditions aux limites physiques (densité centrale \rho_c et densité nulle à la surface) sur la variable adimensionnée \Psi.
Réécrire l'équation de l'équilibre hydrostatique sous la forme d'une dérivée par rapport à r, puis lui substituer \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r} grâce au résultat de la question Q21.
Exprimer \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} en fonction de \Psi, passer à la coordonnée adimensionnée \xi = r/r_0 et identifier l'expression de r_0 qui normalise le coefficient de \Psi^n à l'unité.

Voir la réponse courte

Dérivation de la relation hydrostatique combinée à la loi polytropique, élimination de M(r) et changement de variable d'échelle pour Lane-Emden.

Voir le corrigé complet

1. Valeurs de \Psi au centre et à la surface

D'après la définition \rho(r) = \rho_c \Psi^n(r) :

Au centre (r=0, soit \xi = 0), la masse volumique vaut \rho(0) = \rho_c, d'où :
\Psi(0) = 1
À la surface du Soleil (r = R_\odot, soit \xi = \xi_s), l'atmosphère étant négligée, la masse volumique s'annule : \rho(R_\odot) = 0, d'où :
\Psi(\xi_s) = 0

2. Établissement de l'équation de Lane-Emden

D'après l'équation de la statique des fluides établie à la question Q19 :

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\frac{\mathscr{G}M(r)\rho(r)}{r^2} \iff \frac{r^2}{\rho(r)}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\mathscr{G}M(r)

En dérivant cette relation par rapport à r et en utilisant la relation \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho issue de la question Q21, on obtient :

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right) &= -\mathscr{G}\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}r} = -4\pi \mathscr{G} r^2 \rho \\ \implies \frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(\frac{r^2}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}\right) &= -4\pi\mathscr{G}\rho \end{aligned}

À l'aide des expressions p = K\rho^{1+\frac{1}{n}} et \rho = \rho_c \Psi^n :

\begin{aligned} \frac{1}{\rho}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} &= \frac{1}{\rho}\left(1+\frac{1}{n}\right)K\rho^{\frac{1}{n}}\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}r} = \left(\frac{n+1}{n}\right)K\rho^{\frac{1}{n}-1}\left(n\rho_c\Psi^{n-1}\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}r}\right) \\ &= (n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}}\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}r} \end{aligned}

En effectuant le changement de variable r = r_0 \xi (soit \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r} = \frac{1}{r_0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}) :

\frac{1}{r_0^2\xi^2}\frac{1}{r_0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(r_0^2\xi^2 \cdot \frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}}}{r_0}\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}\right) = -4\pi\mathscr{G}\rho_c\Psi^n

Ce qui se simplifie en :

\frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1}{n}-1}}{4\pi\mathscr{G}r_0^2}\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\xi^2\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}\right) + \Psi^n = 0

Pour obtenir l'équation de Lane-Emden sous la forme souhaitée :

\frac{1}{\xi^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\xi}\left(\xi^2\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}\right) + \Psi^n = 0

il suffit de choisir la longueur caractéristique r_0 telle que :

\frac{(n+1)K\rho_c^{\frac{1-n}{n}}}{4\pi\mathscr{G}r_0^2} = 1

\boxed{r_0 = \sqrt{\frac{(n+1)K}{4\pi\mathscr{G}}\rho_c^{\frac{1-n}{n}}}}

Résultat

r_{0} = \frac{( n + 1 ) K}{4 π G} ρ_{c}^{\frac{1 - n}{n}}

Voir ce qu'a relevé le jury

Les conditions aux limites devaient être clairement formulées et le calcul mené avec toute la rigueur nécessaire.

« Les deux conditions aux limites pourtant assez évidentes n’ont pas été souvent données. Peu de candidats ont pu conduire le calcul rigoureux pour établir la réponse. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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Question 23

Exigeante≈ 8 min

Calcul littéral

Notions : équilibre hydrostatique, masse volumique

On suppose connus la masse $M_{⊙} = M (ξ_{s})$ et le rayon $R_{⊙} = r_{0} ξ_{s}$ du Soleil. Montrer que si l'on considère que la masse du Soleil est le produit de son volume par sa masse volumique moyenne $\overset{ρ}{ˉ}$ , l'équation d'équilibre hydrostatique permet d'obtenir sa masse volumique centrale $ρ_{c}$ que l'on exprimera en fonction de $ξ_{s}$ , $Ψ_{s}^{'}$ et $\overset{ρ}{ˉ}$ .

Voir l'indice

Exprimer la masse totale par M_\odot = \int_0^{R_\odot} 4\pi r^2 \rho\,\mathrm{d}r, utiliser l'équation de Lane-Emden pour intégrer directement le terme \xi^2 \Psi^n, et comparer au volume \frac{4}{3}\pi R_\odot^3 \bar{\rho}.

Voir la stratégie

Exprimer la masse intérieure M(r) à l'aide de l'équation de l'équilibre hydrostatique établie à la question Q19.
Réécrire cette relation avec les variables adimensionnées \xi et \Psi(\xi) ainsi que le rayon caractéristique r_0, puis évaluer l'expression à la surface \xi = \xi_s.
Égaler la masse totale M_\odot ainsi obtenue à celle issue de la masse volumique moyenne \bar{\rho} pour en déduire \rho_c.

Voir la réponse courte

Intégration de Lane-Emden pour relier la masse totale à la dérivée \Psi'_s à la surface, déduisant \rho_c en fonction de \bar{\rho}.

Voir le corrigé complet

D'après l'équation d'équilibre hydrostatique obtenue à la question Q19 :

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = -\frac{\mathscr{G}M(r)\rho(r)}{r^2} \iff M(r) = -\frac{r^2}{\mathscr{G}\rho(r)}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r}

Les grandeurs thermodynamiques s'expriment à l'aide de \Psi(\xi) (questions Q20 et Q22) selon :

\rho(r) = \rho_c \Psi^n(\xi) \quad \text{et} \quad p(r) = p_c \Psi^{n+1}(\xi)

où r = r_0 \xi et p_c = K \rho_c^{1+1/n}. On calcule alors le gradient de pression :

\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}r} = (n+1)p_c \Psi^n \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}r} = \frac{(n+1)p_c}{r_0}\Psi^n \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}

En injectant cette dérivée dans l'expression de M(r), la dépendance en \Psi^n se simplifie :

M(r) = -\frac{(r_0\xi)^2}{\mathscr{G}\rho_c \Psi^n}\left(\frac{(n+1)p_c}{r_0}\Psi^n \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}\right) = -\frac{r_0 \xi^2}{\mathscr{G}}\frac{(n+1)p_c}{\rho_c}\frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}

Or, d'après la définition du rayon caractéristique r_0 (question Q22) :

r_0^2 = \frac{(n+1)K}{4\pi\mathscr{G}}\rho_c^{\frac{1-n}{n}} \implies \frac{(n+1)p_c}{\rho_c} = (n+1)K\rho_c^{1/n} = 4\pi\mathscr{G}\rho_c r_0^2

On obtient ainsi l'expression de la masse intérieure :

M(r) = -4\pi\rho_c r_0^3\,\xi^2 \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}\xi}

À la surface du Soleil, pour r = R_\odot, c'est-à-dire \xi = \xi_s, la masse totale vaut :

M_\odot = M(\xi_s) = -4\pi\rho_c r_0^3\,\xi_s^2\,\Psi'_s

Par définition de la masse volumique moyenne \bar{\rho} sur le volume sphérique V_\odot = \frac{4}{3}\pi R_\odot^3 = \frac{4}{3}\pi (r_0\xi_s)^3 :

M_\odot = \frac{4}{3}\pi (r_0\xi_s)^3\,\bar{\rho}

En égalant les deux expressions de M_\odot :

-4\pi\rho_c r_0^3\,\xi_s^2\,\Psi'_s = \frac{4}{3}\pi r_0^3 \xi_s^3\,\bar{\rho}

En simplifiant par 4\pi r_0^3 \xi_s^2, il vient directement :

\boxed{\rho_c = -\frac{\xi_s}{3\Psi'_s}\,\bar{\rho}}

Résultat

ρ_{c} = - \frac{ξ _{s}}{3 Ψ _{s}^{'}} \overset{ρ}{ˉ}

Voir ce qu'a relevé le jury

Question rarement réussie malgré sa faible difficulté calculatoire et son indépendance vis-à-vis de la précédente.

« Bien qu’indépendante de la question précédente et nécessitant peu de calculs, la réponse demandée est obtenue très rarement. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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Question 24

Intermédiaire≈ 5 min

Application numérique
Exploitation de document

Notions : équation d'état, masse volumique

On modélise le Soleil par un polytrope d'indice $n = \frac{10}{3}$ . La résolution de l'équation de Lane-Emden donne $ξ_{s} = \frac{26}{3}$ et $- \frac{ξ _{s}}{3 Ψ _{s}^{'}} = 7 \times 16 = 112$ . Sachant que dans le cas du Soleil $K = 4 \times 1 0^{9} SI$ , calculer la valeur de $ρ_{c}$ , puis en utilisant la figure 4 celle de $p_{c}$ pour le Soleil.

Voir l'indice

Calculer d'abord la masse volumique moyenne \bar{\rho} = M_\odot / (\frac{4}{3}\pi R_\odot^3), en déduire \rho_c, puis lire p_c = K\rho_c^{1,3} à l'aide de l'abaque de la figure 4.

Voir la stratégie

Exprimer puis calculer la masse volumique moyenne \bar{\rho} = M_\odot / V_\odot, puis en déduire la masse volumique centrale \rho_c = -\frac{\xi_s}{3\Psi'_s}\bar{\rho} à l'aide du résultat de la question Q23.
Identifier la courbe pertinente sur la figure 4 en déterminant l'exposant 1 + \frac{1}{n} pour n = \frac{10}{3}.
Relier la pression centrale p_c à la valeur lue sur le graphique via la relation p_c = K \rho_c^{1+\frac{1}{n}} établie à la question Q20.

Voir la réponse courte

Calcul de la masse volumique moyenne du Soleil, déduction de la masse volumique centrale \rho_c = 112\bar{\rho}, puis calcul de p_c.

Voir le corrigé complet

1. Calcul de la masse volumique centrale \rho_c

Le Soleil étant modélisé par une sphère de rayon R_\odot, sa masse volumique moyenne s'écrit :

\bar{\rho} = \frac{M_\odot}{\frac{4}{3}\pi R_\odot^3} = \frac{3 M_\odot}{4\pi R_\odot^3}

Avec M_\odot = 2\cdot 10^{30}\text{ kg} et R_\odot = 7\cdot 10^8\text{ m} :

\bar{\rho} = \frac{3 \times 2\cdot 10^{30}}{4\pi \times (7\cdot 10^8)^3} = \frac{6\cdot 10^{30}}{4\pi \times 343\cdot 10^{24}} \simeq 1{,}4\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

D'après la relation établie à la question Q23 et les données numériques de l'énoncé (-\frac{\xi_s}{3\Psi'_s} = 7 \times 16 = 112) :

\begin{aligned} \rho_c &= -\frac{\xi_s}{3\Psi'_s}\bar{\rho} = (7 \times 16) \times \frac{6\cdot 10^{30}}{4\pi \times 7^3\cdot 10^{24}} \\ &= \frac{16 \times 6\cdot 10^6}{4\pi \times 49} = \frac{24\cdot 10^6}{49\pi}\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} \end{aligned}

En prenant \pi \simeq \frac{22}{7}, le dénominateur vaut 49 \times \frac{22}{7} = 154, ce qui conduit à :

\rho_c \simeq \frac{24\cdot 10^6}{154} \simeq 1{,}56\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}

\boxed{\rho_c \simeq 1{,}6\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}}

2. Détermination de la pression centrale p_c à l'aide de la figure 4

D'après la question Q20, la pression au centre s'exprime par :

p_c = K \rho_c^{1+\frac{1}{n}}

Pour un polytrope d'indice n = \frac{10}{3}, l'exposant vaut :

1 + \frac{1}{n} = 1 + \frac{3}{10} = 1{,}3

Il convient donc d'utiliser la courbe centrale de la figure 4 représentant la fonction f(x) = x^{1{,}3}.

Deux démarches de lecture se présentent :

La figure 4 comporte un repère vertical en pointillés à l'abscisse x \simeq 2{,}25\cdot 10^5 (qui correspondrait à l'ordre de grandeur \bar{\rho} \sim 2\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} si le volume solaire avait été grossièrement estimé à \sim 10^{27}\text{ m}^3). Pour cette abscisse repérée, la courbe x^{1{,}3} donne une ordonnée :
f(\rho_c) \simeq 9{,}5\cdot 10^6\text{ SI} \quad (\text{ou } \sim 1\cdot 10^7\text{ SI})
Avec K = 4\cdot 10^9\text{ SI}, cela conduit à :
p_c = K f(\rho_c) \simeq 4\cdot 10^9 \times 9{,}5\cdot 10^6 \simeq 3{,}8\cdot 10^{16}\text{ Pa} \simeq 4\cdot 10^{16}\text{ Pa}
Si l'on prend la valeur calculée \rho_c \simeq 1{,}56\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, celle-ci se situe en deçà du domaine affiché pour la courbe x^{1{,}3} (qui débute à f(x) = 9\cdot 10^6, soit pour x \ge 2{,}23\cdot 10^5). Un calcul direct donne (1{,}56\cdot 10^5)^{1{,}3} \simeq 5{,}6\cdot 10^6\text{ SI}, soit :
p_c \simeq 4\cdot 10^9 \times 5{,}6\cdot 10^6 \simeq 2{,}2\cdot 10^{16}\text{ Pa}

On retient l'ordre de grandeur obtenu par lecture de la figure :

\boxed{p_c \simeq 3{,}8\cdot 10^{16}\text{ Pa} \sim 4\cdot 10^{16}\text{ Pa} \quad (\text{soit } \sim 4\cdot 10^{11}\text{ bar})}

Résultat

ρ_{c} ≃ 1, 6 \cdot 1 0^{5} kg \cdot m^{- 3}

p_{c} ≃ 3, 8 \cdot 1 0^{16} Pa \sim 4 \cdot 1 0^{16} Pa (soit \sim 4 \cdot 1 0^{11} bar)

Voir ce qu'a relevé le jury

Question très peu traitée, les candidats étant bloqués par l'absence du résultat de la question 23.

« Faute du résultat précédent, très peu de réponses. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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Question 25

Exigeante≈ 10 min

Calcul littéral
Application numérique
Résultat donné : utilisable pour la suite
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : gaz parfait, fraction molaire, neutralité électrique

Pour évaluer la température centrale, on suppose maintenant que le plasma solaire est un gaz parfait, constitué de protons, de noyaux d'hélium 4 et d'électrons (on néglige la présence des autres éléments). On considère que la fraction massique d'hélium est $Y = 28%$ . Montrer que la neutralité électrique impose $x_{e} = x_{p} + 2 x_{He}$ , où $x_{p}$ désigne la fraction en nombre de protons, $x_{e}$ celle en électrons et $x_{He}$ celle en noyaux d'hélium. En déduire que la masse molaire du mélange est donnée par $M = \frac{4}{8 - 5 Y} M_{p}$ , en justifiant les éventuelles approximations réalisées. En déduire la température centrale du Soleil selon ce modèle.

Voir l'indice

Écrire la neutralité globale en charges, exprimer la fraction molaire d'hélium à partir de sa fraction massique Y, puis utiliser l'équation des gaz parfaits au centre p_c = \frac{\rho_c}{\mathscr{M}}\mathcal{R}T_c.

Voir la stratégie

Exprimer la neutralité électrique globale du plasma en reliant les densités particulaires ou nombres de moles d'ions et d'électrons, puis traduire cette relation sur les fractions molaires.
Exprimer la masse molaire moyenne du mélange \mathscr{M} = \sum x_i \mathscr{M}_i et la fraction massique Y d'hélium en négligeant la masse des électrons devant celle des nucléons, puis combiner ces relations avec la somme \sum x_i = 1.
Utiliser l'équation d'état des gaz parfaits sous la forme p_c = \frac{\rho_c}{\mathscr{M}}\mathcal{R}T_c pour en déduire T_c à partir des valeurs de \rho_c et p_c déterminées à la question précédente.

Voir la réponse courte

Bilan de charges pour la relation entre fractions molaires, calcul de la masse molaire moyenne \mathscr{M}(Y) et déduction de T_c par gaz parfait.

Voir le corrigé complet

1. Neutralité électrique du plasma

Considérons un volume de plasma contenant N_p protons de charge +e, N_{\mathrm{He}} noyaux d'hélium ^4_2\mathrm{He}^{2+} de charge +2e et N_e électrons de charge -e. La neutralité électrique macroscopique s'écrit :

q_{\text{tot}} = e N_p + 2e N_{\mathrm{He}} - e N_e = 0 \iff N_e = N_p + 2 N_{\mathrm{He}}

En divisant par le nombre total de particules N_{\text{tot}} = N_p + N_{\mathrm{He}} + N_e, on obtient directement la relation sur les fractions en nombre (ou fractions molaires) x_i = N_i / N_{\text{tot}} :

\boxed{x_e = x_p + 2x_{\mathrm{He}}}

2. Masse molaire moyenne du mélange

Par définition des fractions molaires, on a :

x_p + x_{\mathrm{He}} + x_e = 1

En injectant la condition de neutralité électrique :

x_p + x_{\mathrm{He}} + (x_p + 2x_{\mathrm{He}}) = 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} = 1

Pour les masses molaires individuelles, on effectue les approximations usuelles suivantes :

la masse des électrons est négligée devant celle des nucléons : \mathscr{M}_e \ll \mathscr{M}_p ;
le noyau d'hélium 4 étant constitué de 2 protons et 2 neutrons de masses quasi identiques (défaut de masse négligé à ce stade) : \mathscr{M}_{\mathrm{He}} \simeq 4\mathscr{M}_p.

La masse totale du système s'écrit donc :

m_{\text{tot}} \simeq N_p \frac{\mathscr{M}_p}{\mathcal{N}_A} + N_{\mathrm{He}} \frac{4\mathscr{M}_p}{\mathcal{N}_A}

La fraction massique en hélium Y = m_{\mathrm{He}} / m_{\text{tot}} s'exprime ainsi :

Y = \frac{4 N_{\mathrm{He}}\mathscr{M}_p}{N_p \mathscr{M}_p + 4N_{\mathrm{He}}\mathscr{M}_p} = \frac{4 x_{\mathrm{He}}}{x_p + 4x_{\mathrm{He}}}

Il en découle :

4x_{\mathrm{He}} = Y(x_p + 4x_{\mathrm{He}}) \quad \text{et} \quad x_p = (1-Y)(x_p + 4x_{\mathrm{He}})

Exprimons alors la combinaison 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} en fonction de x_p + 4x_{\mathrm{He}} :

\begin{aligned} 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} &= 2(1-Y)(x_p + 4x_{\mathrm{He}}) + \frac{3}{4}Y(x_p + 4x_{\mathrm{He}}) \\ &= \left(2 - \frac{5}{4}Y\right)(x_p + 4x_{\mathrm{He}}) = \frac{8-5Y}{4}(x_p + 4x_{\mathrm{He}}) \end{aligned}

Comme 2x_p + 3x_{\mathrm{He}} = 1, on en déduit :

x_p + 4x_{\mathrm{He}} = \frac{4}{8-5Y}

La masse molaire moyenne \mathscr{M} du mélange gazeux est la masse d'une mole de particules libres (ions et électrons) :

\mathscr{M} = x_p \mathscr{M}_p + x_{\mathrm{He}}\mathscr{M}_{\mathrm{He}} + x_e \mathscr{M}_e \simeq (x_p + 4x_{\mathrm{He}})\mathscr{M}_p

On obtient bien la formule attendue :

\boxed{\mathscr{M} = \frac{4}{8-5Y}\mathscr{M}_p}

3. Température centrale du Soleil

Le plasma étant assimilé à un gaz parfait au centre du Soleil, son équation d'état s'écrit :

p_c = \frac{\rho_c}{\mathscr{M}}\mathcal{R}T_c \implies T_c = \frac{p_c \mathscr{M}}{\rho_c \mathcal{R}} = \frac{p_c}{\rho_c \mathcal{R}} \frac{4\mathscr{M}_p}{8-5Y}

Avec Y = 0{,}28, on a :

8 - 5Y = 8 - 5 \times 0{,}28 = 8 - 1{,}40 = 6{,}6

D'où la masse molaire moyenne du plasma solaire :

\mathscr{M} = \frac{4}{6{,}6} \times 1{,}0\cdot 10^{-3} \simeq 0{,}61\cdot 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}

À partir des résultats de la question Q24 (\rho_c \simeq 1{,}6\cdot 10^5\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et p_c \simeq 3{,}8\cdot 10^{16}\text{ Pa}) et des données \mathcal{R} \simeq \frac{25}{3}\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} :

\begin{aligned} T_c &= \frac{3{,}8\cdot 10^{16}}{1{,}6\cdot 10^5 \times \frac{25}{3}} \times \frac{4\cdot 10^{-3}}{6{,}6} \\ &= \frac{3{,}8\cdot 10^{11}}{\frac{40}{3}} \times \frac{4\cdot 10^{-3}}{6{,}6} \\ &= \frac{3 \times 3{,}8\cdot 10^{11} \times 4\cdot 10^{-3}}{40 \times 6{,}6} \\ &= \frac{11{,}4\cdot 10^8}{66} \simeq 1{,}7\cdot 10^7\text{ K} \end{aligned}

\boxed{T_c \simeq 1{,}7\cdot 10^7\text{ K} = 17\text{ MK}}

Résultat

x_{e} = x_{p} + 2 x_{He}

M = \frac{4}{8 - 5 Y} M_{p}

T_{c} ≃ 1, 7 \cdot 1 0^{7} K = 17 MK

Voir ce qu'a relevé le jury

Si la neutralité est bien comprise, l'établissement de la masse molaire a mis en échec la quasi-totalité des candidats.

« L’équation de neutralité est généralement bien justifiée, en revanche l’expression de la masse molaire est exceptionnellement établie. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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Question 26

Application directe≈ 2 min

Question de cours
Raisonnement qualitatif
Faisable en première année (toutes filières)

Notions : fusion thermonucléaire

Quelle est la nature de ces réactions ? Quel est le cycle dominant dans le Soleil ?

Voir l'indice

Identifier des réactions de fusion thermonucléaire de l'hydrogène en hélium, puis comparer la valeur numérique de T_c trouvée en Q25 au seuil de 20\,\mathrm{MK}.

Voir la réponse courte

Identification des réactions de fusion thermonucléaire de l'hydrogène et du cycle dominant proton-proton (chaîne p-p).

Voir le corrigé complet

Nature des réactions : Il s'agit de réactions de fusion nucléaire (ou réactions thermonucléaires). Au cours de ces réactions, des noyaux légers (protons, c'est-à-dire des noyaux d'hydrogène) fusionnent pour former des noyaux plus lourds (noyaux d'hélium 4), selon le bilan global :
4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,\mathrm{e}^{+} + 2\,\nu_{\mathrm{e}} + \gamma
Cette transformation s'accompagne d'une perte de masse (défaut de masse \Delta m) libérée sous forme d'énergie selon la relation d'Einstein \Delta E = \Delta m \cdot c^2.
Cycle dominant dans le Soleil : D'après le préambule de la question, le cycle proton-proton (PP) prévaut pour une température centrale T_c < 20\text{ MK}, tandis que le cycle CNO devient prépondérant au-delà.
Or, d'après la question Q25, la température au centre du Soleil issue du modèle polytropique vaut :
T_c \simeq 17\text{ MK} < 20\text{ MK}
Le cycle dominant dans le Soleil est donc le cycle proton-proton (PP).

\boxed{\text{Réactions de fusion nucléaire ; le cycle dominant est le cycle PP.}}

Résultat

R \overset{e}{ˊ} actions de fusion nucl \overset{e}{ˊ} aire ; le cycle dominant est le cycle PP.

Voir ce qu'a relevé le jury

Ne confondez pas les réactions de fusion nucléaire au cœur des étoiles avec des réactions chimiques.

« Des réponses fantaisistes : les réactions chimiques sont très souvent évoquées. »

Source : rapport du jury Mines-Ponts 2017

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