Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2020

Considérons le tronçon élémentaire [x, x+\mathrm{d}x] délimité par les sections de centres de gravité G(x) et G(x+\mathrm{d}x), dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

D'après l'énoncé et la figure (2), la pesanteur étant négligée, les seules actions mécaniques appliquées au tronçon sont les actions de contact exercées par les parties adjacentes de la lame :

• en G(x), l'action de la partie amont [0, x] :

  \vec{F}_{\text{amont}} = -\vec{T}(x) = -T(x)\,\vec{u}_y \quad \text{et} \quad \vec{\mathcal{M}}_{G(x)}(\text{amont}) = -\vec{M}(x) = -M(x)\,\vec{u}_z

• en G(x+\mathrm{d}x), l'action de la partie aval [x+\mathrm{d}x, L] :

  \vec{F}_{\text{aval}} = \vec{T}(x+\mathrm{d}x) = T(x+\mathrm{d}x)\,\vec{u}_y \quad \text{et} \quad \vec{\mathcal{M}}_{G(x+\mathrm{d}x)}(\text{aval}) = \vec{M}(x+\mathrm{d}x) = M(x+\mathrm{d}x)\,\vec{u}_z

1. Équilibre des forces Le tronçon étant à l'équilibre mécanique, le théorème de la résultante statique s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical \vec{u}_y :

On en déduit que :

La composante algébrique T est donc bien uniforme tout le long de la lame.

2. Équilibre des moments Écrivons le théorème du moment statique appliqué au tronçon en G(x) :

Avec \vec{G(x)G(x+\mathrm{d}x)} = \mathrm{d}x\,\vec{u}_x, le moment de la force \vec{F}_{\text{aval}} s'écrit :

Au premier ordre en \mathrm{d}x, T(x+\mathrm{d}x)\,\mathrm{d}x = T(x)\,\mathrm{d}x et M(x+\mathrm{d}x) - M(x) = \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x. L'équilibre des moments projeté selon \vec{u}_z devient :

L'équation différentielle liant T à M est donc :

Considérons le tronçon de lame [x, L] compris entre l'abscisse x et l'extrémité libre x = L. Ce tronçon est soumis :

• en G(x), à l'action de la partie amont [0, x], représentée par la force -\vec{T}(x) = -T \vec{u}_y et le moment -\vec{M}(x) = -M(x) \vec{u}_z ;
• en B_0 (x = L), à la force extérieure appliquée \vec{F} = F \vec{u}_y (de moment nul en ce point).

À l'équilibre mécanique, le principe fondamental de la statique appliqué au tronçon [x, L] donne :

• pour la résultante des forces :

  -\vec{T}(x) + \vec{F} = \vec{0} \implies T = F

  ce qui confirme que T est constant et vaut F sur toute la longueur de la lame ;

• pour le moment résultant en G(x) :

  \begin{aligned} -\vec{M}(x) + \vec{G(x)B_0} \wedge \vec{F} &= \vec{0} \\ -M(x) \vec{u}_z + (L - x)\vec{u}_x \wedge F \vec{u}_y &= \vec{0} \\ \big(-M(x) + F(L - x)\big) \vec{u}_z &= \vec{0} \end{aligned}

On peut également retrouver cette expression par intégration de l'équation différentielle issue de la question 1 :

L'absence de couple ponctuel appliqué en x = L impose la condition aux limites M(L) = 0, d'où C = F L.

On obtient finalement :

Chaque demi-tronçon élémentaire possède une longueur au repos L_x = \mathrm{d}x, une largeur b et une épaisseur h/2, soit une section droite :

Le centre de gravité du demi-tronçon supérieur est situé à l'ordonnée y_{\text{sup}} = +\frac{h}{4} et celui du demi-tronçon inférieur à y_{\text{inf}} = -\frac{h}{4}.

Lien entre effort normal et moment fléchissant L'action du moment \vec{M} = M \vec{u}_z est modélisée par un effort normal de compression -\vec{N} = -N \vec{u}_x appliqué en y_{\text{sup}} et un effort de traction +\vec{N} = N \vec{u}_x appliqué en y_{\text{inf}}. Le moment résultant en G s'écrit :

On en déduit la relation :

Déformation géométrique La surface médiane de la lame (y=0), appelée surface neutre, ne subit aucune déformation longitudinale. Sous l'effet de la flexion, les sections planes en x et x+\mathrm{d}x tournent l'une par rapport à l'autre d'un angle relatif \mathrm{d}\alpha. Dans l'approximation des petits angles (|\alpha| \ll 1), la variation de longueur \delta L_x d'une fibre située à l'ordonnée y s'écrit :

Pour la fibre médiane du demi-tronçon inférieur (y = -h/4), l'allongement vaut :

Application de la loi de comportement (1) En appliquant la relation (1) à ce demi-tronçon inférieur étiré par l'effort N :

En remplaçant N par \frac{2M}{h}, il vient :

soit finalement :

D'après la figure (4), \alpha(x) représente l'angle d'inclinaison de la tangente à la ligne moyenne (ou fibre neutre) de la lame par rapport à l'axe horizontal (Ax). La pente locale de la déformée est donnée par :

L'énoncé précise que |y'(x)| \ll 1, ce qui implique |\alpha(x)| \ll 1. Au premier ordre en \alpha, il vient :

En dérivant cette relation par rapport à l'abscisse x, on obtient :

D'après la relation établie à la question Q3 :

En combinant ces deux égalités, la déformée vérifie :

ce qui se met sous la forme de l'équation (2) :

où la constante positive D, appelée module ou rigidité de flexion de la lame, s'exprime par :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q4 et l'expression du moment fléchissant obtenue à la question Q2 :

La lame étant encastrée rigidement en son point d'attache \mathrm{A} (x = 0), le déplacement transversal ainsi que la pente y sont nuls :

Une première intégration par rapport à x donne :

La condition d'encastrement y'(0) = 0 impose C_1 = 0.

Une seconde intégration conduit à :

La condition y(0) = 0 impose C_2 = 0. On en déduit l'expression de la déformée :

D'après l'expression de la déformée obtenue à la question Q5 :

La flèche f correspond au déplacement vertical de l'extrémité libre en x = L :

En introduisant la raideur K = \dfrac{3D}{L^3}, on obtient directement :

L'angle d'inclinaison \theta de la lame en son extrémité libre est relié à la dérivée spatiale de la déformée par l'approximation des petits angles (|y'(x)| \ll 1) :

La dérivée première de y(x) s'écrit :

En x = L, la pente vaut :

Comme D = \dfrac{K L^3}{3}, on en déduit :

Lors d'une déformation élastique quasi-statique réversible, la lame passe d'un état non déformé (f' = 0) à un état caractérisé par la flèche f. À chaque instant, la force extérieure s'opposant à la réaction élastique de la lame s'écrit, d'après la relation établie à la question Q6 (f' = F'/K) :

Le travail mécanique élémentaire fourni par cette force lors d'un accroissement \mathrm{d}f' de la flèche s'écrit :

L'énergie élastique E_K emmagasinée par la lame est égale au travail total fourni au cours de cette charge :

On en déduit :

D'après la question 5, la déformée statique de la lame s'écrit :

La flèche f, définie par le déplacement à l'extrémité libre x = L, vaut :

L'énoncé stipule que le profil spatial de la lame en régime dynamique est assimilé à sa déformée statique, sous la forme :

Pour tout état statique correspondant à une flèche f, on a donc :

En introduisant u = x/L, on obtient l'expression de la fonction adimensionnée \phi(u) :

La lame étant homogène de masse totale m et de longueur L, sa masse linéique est uniforme et vaut :

La masse d'un tronçon élémentaire [x, x + \mathrm{d}x] est donc :

où u = x/L \in [0, 1].

D'après l'équation (4) et le résultat de la question Q8, la position verticale d'un point d'abscisse x est donnée par y(x,t) = \phi(u)f(t). Sa vitesse verticale est donc :

L'énergie cinétique élémentaire de ce tronçon s'écrit alors :

L'énergie cinétique totale s'obtient par intégration le long de la lame :

En injectant l'expression \phi(u) = \frac{1}{2}(3u^2 - u^3), on développe le terme sous l'intégrale :

L'expression de l'énergie cinétique de la lame est donc :

Par identification avec la relation (3) définissant la masse effective, E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{eff}}\dot{f}^2, on en déduit :

Justification physique de l'inégalité m_{\mathrm{eff}} < m :

La fonction \phi(u) est strictement croissante sur [0, 1], variant de \phi(0) = 0 (encastrement immobile) à \phi(1) = 1 (extrémité libre). Ainsi, en tout point intérieur de la lame (x < L), la vitesse verticale vérifie :

La majorité de la lame se déplace donc à une vitesse strictement inférieure à celle de son extrémité libre. L'énergie cinétique totale est par conséquent strictement inférieure à celle qu'aurait la masse m si toute la lame se déplaçait à la vitesse maximale \dot{f} :

D'après la question Q4, la rigidité de flexion selon le modèle proposé s'écrit :

La raideur équivalente K = \frac{3D}{L^3} s'exprime donc par :

Avec les données numériques :

• E = 3\times 10^{11}\text{ N}\cdot\text{m}^{-2}
• b = 20\text{ }\mu\text{m} = 2\times 10^{-5}\text{ m}
• h = 2\text{ }\mu\text{m} = 2\times 10^{-6}\text{ m}
• L = 200\text{ }\mu\text{m} = 2\times 10^{-4}\text{ m}

On calcule :

Avec un chiffre significatif :

La masse totale de la lame homogène vaut :

D'après la question Q9, la masse effective est donnée par :

Avec un chiffre significatif :

La pulsation propre du mode fondamental s'écrit \omega_{\mathrm{p}0} = \sqrt{\frac{K}{m_{\text{eff}}}}, d'où la fréquence propre :

En effectuant le calcul :

Avec un chiffre significatif :

L'équation différentielle régissant l'évolution libre de la lame (oscillateur harmonique amorti) s'écrit sous la forme canonique :

Pour Q_0 \gg 1, les racines du polynôme caractéristique sont :

Compte tenu des conditions initiales (f(0), \dot{f}(0) = 0), la flèche temporelle adimensionnalisée s'exprime par :

En introduisant la variable adimensionnée \varphi = \omega_{\mathrm{p}0}\,t, l'enveloppe supérieure des oscillations s'écrit :

Méthode employée : L'amplitude est divisée par \mathrm{e} \approx 2{,}72 (soit A(\varphi_{\mathrm{e}}) \approx 0{,}37) pour un temps adimensionnalisé \varphi_{\mathrm{e}} vérifiant :

Lecture graphique sur la figure (5) :

• À \varphi = 0, l'amplitude crête vaut A(0) = 1{,}0 ;
• Le niveau 1/\mathrm{e} \approx 0{,}37 est atteint par les crêtes pour \varphi_{\mathrm{e}} \approx 100 (on observe également qu'à \varphi \approx 160, l'amplitude vaut \approx 0{,}20 \approx \mathrm{e}^{-1{,}6}, ce qui confirme la même pente d'amortissement).

On en déduit la valeur du facteur de qualité :

Avec un seul chiffre significatif, conformément aux consignes :

L'expression du potentiel d'interaction est :

En introduisant la variable adimensionnée R = \frac{r}{a}, le rapport adimensionné s'écrit :

1. Étude de la fonction et tracé de l'allure graphique :

• Limites :

  \begin{aligned} \lim_{R \to 0^+} \frac{U(r)}{U^\star} &= +\infty \\ \lim_{R \to +\infty} \frac{U(r)}{U^\star} &= 0^- \end{aligned}

• Annulation :

  \frac{U(r)}{U^\star} = 0 \iff R^6 = \frac{1}{2} \iff R_0 = 2^{-1/6} \approx 0{,}89

• Extremum :

  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\left(\frac{U}{U^\star}\right) = -\frac{12}{R^{13}} + \frac{12}{R^7} = -\frac{12}{R^{13}}\left(1 - R^6\right)

  La dérivée s'annule en R = 1. La fonction y atteint son minimum absolu, qui vaut :

  \left.\frac{U(r)}{U^\star}\right|_{R=1} = 1 - 2 = -1

2. Nature de chacune des composantes du potentiel :

• Le terme en +\left(\dfrac{a}{r}\right)^{12}, prépondérant à courte distance (r < a), correspond à une interaction répulsive. D'origine quantique, elle traduit la répulsion stérique liée au principe d'exclusion de Pauli lorsque les nuages électroniques se recouvrent.
• Le terme en -2\left(\dfrac{a}{r}\right)^6, dominant à plus grande distance (r > a), correspond à une interaction attractive. Il modélise les forces de dispersion de van der Waals (interactions dipôle induit - dipôle induit de London).

3. Signe du paramètre U^\star :

La force subie par la pointe s'écrit \vec{F} = -\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}\,\vec{u}_r. Pour r > a, l'interaction doit être attractive (la sonde est attirée vers la surface), ce qui impose une composante radiale de force attractive :

Or, pour R > 1, la dérivée \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}R}\left(\dfrac{U}{U^\star}\right) est strictement positive. On en déduit :

Le paramètre U^\star est donc une énergie caractéristique positive, correspondant à la profondeur du puits de potentiel.

1. Ordre de grandeur du paramètre de distance a :

D'après l'étude de la fonction U(r) menée à la question 12, la dérivée première s'annule en r = a :

La distance r = a correspond ainsi à la position d'équilibre mécanique entre l'atome de la sonde et l'atome de la surface. À cette échelle, cette distance est fixée par le recouvrement des nuages électroniques et correspond à une distance interatomique ou à une somme de rayons de van der Waals usuels dans la matière condensée. On a donc typiquement :

2. Ordre de grandeur du paramètre d'énergie U^\star :

La profondeur du puits de potentiel est U(a) = -U^\star. Elle représente l'énergie minimale de liaison associée à l'interaction entre l'atome de la pointe et l'atome de la surface.

• En l'absence de réaction chimique (pas de liaison covalente ou ionique, qui serait de l'ordre de quelques \text{eV} \sim 10^{-19}\text{ à } 10^{-18} \text{ J}), l'interaction attractive en r^{-6} relève des interactions de van der Waals (interactions dipolaires fluctuantes).
• Une interaction de van der Waals interatomique possède une énergie de liaison modérée, de l'ordre de quelques dizaines à quelques centaines de milli-électron-volts (\sim 0{,}05\text{ à } 0{,}1\text{ eV}), ce qui est supérieur à l'énergie d'agitation thermique à température ambiante (k_{\mathrm{B}}T \approx 25\text{ meV} \approx 4\times 10^{-21}\text{ J}) pour assurer une liaison stable.

En convertissant en joules (1\text{ eV} \approx 1{,}6\times 10^{-19}\text{ J}) :

D'après la géométrie du dispositif représentée sur la figure 1, la distance r séparant la pointe de détection en \mathrm{B} de la surface correspond à la somme de la distance au repos r_{\mathrm{A}} (position \mathrm{B}_0 de la pointe pour une lame non fléchie) et du déplacement vertical f (flèche) de l'extrémité libre :

À l'équilibre, la sonde est soumise à deux actions mécaniques verticales (en négligeant la pesanteur) :

• la force d'interaction exercée par la surface (4) sur la pointe (3), dérivant du potentiel U(r) :

  \vec{F}_{\mathrm{surf}\to\mathrm{sonde}} = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r} \vec{u}_y

• la force de rappel élastique exercée par la lame sur son extrémité libre \mathrm{B}, qui s'oppose à la déflexion. D'après le résultat de la question 6 (f = F/K), la lame se comporte comme un ressort de raideur équivalente K :

  \vec{F}_{\mathrm{rappel}} = -K f \vec{u}_y

L'équilibre mécanique de la sonde (\vec{F}_{\mathrm{surf}\to\mathrm{sonde}} + \vec{F}_{\mathrm{rappel}} = \vec{0}) projeté sur l'axe (Oy) s'écrit alors :

En faisant apparaître le paramètre r_{\mathrm{A}} et la variable f via r = r_{\mathrm{A}} + f, on obtient la condition d'équilibre :

ou, formulée de manière équivalente en fonction de la variable de position r :

D'après la question Q14, l'équilibre de la sonde s'écrit :

Le potentiel d'interaction donné par l'équation (5) de l'énoncé s'exprime par :

En dérivant par rapport à r, on obtient :

La force d'interaction exercée par la surface sur la sonde s'écrit donc :

En introduisant les grandeurs adimensionnées R = \frac{r}{a} et R_{\mathrm{A}} = \frac{r_{\mathrm{A}}}{a}, le premier membre de la condition d'équilibre devient :

et le second membre s'exprime à l'aide de la fonction \Phi(R) = \frac{1}{R^{13}} - \frac{1}{R^7} :

L'égalité des forces se met alors sous la forme :

Cette équation s'identifie bien à la relation (6) :

avec :

L'équation d'équilibre mécanique de la pointe s'écrit :

Les solutions de cette équation correspondent aux abscisses R des points d'intersection entre :

• la courbe fixe y_1(R) = \Phi(R) = \dfrac{1}{R^{13}} - \dfrac{1}{R^7}, caractéristique du potentiel d'interaction interatomique (nulle en R=1, présentant un minimum négatif au voisinage de R \approx 1{,}1 et tendant vers 0 par valeurs négatives lorsque R \to +\infty) ;
• la droite de rappel élastique de la lame y_2(R) = G(R - R_{\mathrm{A}}), dont la pente est la raideur adimensionnée G > 0 et dont l'abscisse à l'origine est R = R_{\mathrm{A}} (position de repos de la lame non fléchie).

Selon la valeur de la pente G et de l'abscisse R_{\mathrm{A}} :

• si la pente G est suffisamment grande (G > G_{\mathrm{c}}), il existe une unique intersection quel que soit R_{\mathrm{A}}, ce qui garantit un état d'équilibre univoque et stable ;
• si la pente G est faible (G < G_{\mathrm{c}}), il peut exister, pour certaines valeurs de R_{\mathrm{A}}, trois intersections (R_1, R_2, R_3), traduisant une situation de bistabilité mécanique (deux équilibres stables encadrant un équilibre instable).

L'équation d'équilibre (6) s'écrit sous la forme :

Pour que cette équation admette une unique solution quel que soit le paramètre de position R_{\mathrm{A}} (c'est-à-dire pour toute translation horizontale de la droite de charge), la fonction g doit être strictement monotone (ici strictement croissante) sur tout son domaine de définition :

La valeur critique G_{\mathrm{c}} correspond donc à la valeur maximale de la dérivée de \Phi par rapport à R :

Sur la figure (6), cette pente maximale est atteinte au point d'inflexion situé sur la branche croissante de la courbe, entre le minimum local (situé vers R \approx 1{,}1, où \Phi \approx -0{,}23) et l'asymptote horizontale en +\infty.

Au voisinage du point d'inflexion (R \approx 1{,}2 à 1{,}3), on relève sur le graphe :

• pour R_1 \approx 1{,}15, \Phi(R_1) \approx -0{,}23 ;
• pour R_2 \approx 1{,}45, \Phi(R_2) \approx -0{,}05.

Le taux de variation au voisinage de ce point donne :

Avec un seul chiffre significatif comme demandé :

D'après la question 15, le paramètre sans dimension G est défini par :

En prenant pour référence la valeur critique G_{\mathrm{c}} déterminée à la question 17, la raideur correspondante de la lame s'exprime sous la forme :

Pour l'estimation numérique, nous utilisons :

• U^\star = 10^{-20}\text{ J} (donnée de l'énoncé),
• G_{\mathrm{c}} \approx 0{,}6 (d'après la question 17),
• a \sim 3\times 10^{-10}\text{ m} = 0{,}3\text{ nm} (ordre de grandeur d'une distance interatomique estimé à la question 13).

On obtient ainsi :

À la question 10, le calcul de la raideur mécanique de la micropoutre en nitrure de silicium avait conduit à :

L'ordre de grandeur obtenu est donc parfaitement cohérent avec les dimensions et le matériau choisis pour la lame.

La force d'interaction entre la surface et la pointe s'obtient par dérivation du potentiel U(r) :

On associe donc naturellement à cette interaction la force caractéristique :

Avec U^\star \sim 10^{-20}\text{ J} et a \sim 10^{-10}\text{ m} (questions Q13 et Q18), on obtient l'ordre de grandeur :

D'après la relation liant la flèche à la force appliquée (question Q6), la flèche caractéristique associée vaut :

Avec K \sim 1\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} (questions Q10 et Q18), il vient :

Commentaires :

• La force mesurée est extrêmement faible, de l'ordre du nanonewton (10^{-10}\text{ à } 10^{-9}\text{ N}), ce qui est bien représentatif des forces d'interaction interatomiques et de van der Waals à l'échelle d'une liaison unique.
• La flèche correspondante est de l'ordre de grandeur des dimensions atomiques (0{,}1\text{ nm} = 1\text{ \AA}). Pour dresser une cartographie à résolution atomique, le système de mesure optique doit donc être capable de détecter des variations de flèche sub-nanométriques, ce qui justifie l'utilisation d'un bras de levier optique (étudié en partie 3).

D'après la condition cinématique établie à la question Q14, la flèche f et la distance pointe-surface r sont reliées par :

L'équation d'équilibre établie à la question Q15 s'écrit :

On en déduit directement la relation générale liant la flèche adimensionnée f/a à la distance adimensionnée R :

Pour la valeur fixée G = 1, cette relation devient simplement :

Puisque G = 1 > G_{\mathrm{c}} \approx 0{,}6 (valeur critique obtenue à la question Q17), l'équilibre est univoque et stable pour toute valeur de R_{\mathrm{A}}. Lors du parcours du cycle R_{\mathrm{A}} : 2{,}2 \searrow 0{,}8 \nearrow 2{,}2 :

• à l'approche (R_{\mathrm{A}} décroît de 2{,}2 à 0{,}8), la distance R diminue de R \approx 2{,}2 jusqu'à R \approx 0{,}98 (R - 0{,}8 = \Phi(R)). La flèche, initialement quasi nulle, devient négative dans la zone attractive (f/a atteint son minimum en R_{\text{min}} = (13/7)^{1/6} \approx 1{,}11 avec f/a \approx -0{,}25), s'annule en R = 1, puis devient positive dans le domaine répulsif ;
• au retrait (R_{\mathrm{A}} croît de 0{,}8 à 2{,}2), le système parcourt exactement le même chemin en sens inverse, sans hystérésis.

D'après la relation d'équilibre (6) établie à la question Q15 :

On en déduit la relation liant la flèche adimensionnée à la distance R :

La fonction f/a(R) conserve la même forme que \Phi(R), avec une amplitude multipliée par 4. Le minimum se situe en R_{\min} = (13/7)^{1/6} \approx 1{,}11 avec (f/a)_{\min} = 4\Phi(R_{\min}) \approx 4 \times (-0{,}25) = -1.

Cependant, comme G = 0{,}25 < G_{\mathrm{c}} \approx 0{,}6, la raideur de la lame K est inférieure au gradient maximal de la force attractive. La condition de stabilité d'un équilibre impose :

La portion de courbe où \Phi'(R) > G = 1/4 correspond à des équilibres instables. Lors de l'exploration de R_{\mathrm{A}} selon le cycle 2{,}2 \searrow 0{,}8 \nearrow 2{,}2, la pointe subit des transitions brutales (sauts) lorsque la droite de pente G devient tangente à \Phi(R) (\Phi'(R) = G) :

Allure de la flèche f en fonction du paramètre de distance R_{\mathrm{A}} :

• À l'approche (R_{\mathrm{A}} décroît de 2{,}2 vers 0{,}8) : la pointe est d'abord peu défléchie (f \approx 0). Au fur et à mesure que la pointe approche, l'attraction augmente lentement (f < 0). À une distance critique R_{\mathrm{A},\mathrm{in}}, le gradient attractif surpasse la raideur K : la pointe « saute au contact » de la surface (snap-in). Elle plonge dans le puits de potentiel, franchit la position d'équilibre et se retrouve sur la branche répulsive (f > 0). Ensuite, la répulsion augmente linéairement avec la poussée : f croît fortement lorsque R_{\mathrm{A}} descend jusqu'à 0{,}8.
• Au retrait (R_{\mathrm{A}} croît de 0{,}8 vers 2{,}2) : la pointe reste en contact sur la branche répulsive, f diminue, s'annule, puis devient fortement négative car les forces attractives (adhésion) retiennent la pointe. Le décollement ne s'effectue pas en R_{\mathrm{A},\mathrm{in}}, mais à une distance plus grande R_{\mathrm{A},\mathrm{out}} > R_{\mathrm{A},\mathrm{in}} : c'est le « saut de rupture » (snap-out). La lame se détend alors brutalement pour revenir sur la branche libre (f \approx 0).

Interprétation physique :

Cette hystérésis est la conséquence de la non-linéarité du potentiel d'interaction combinée à une lame trop souple (K trop faible pour compenser le gradient de la force attractive). Le système ne peut pas explorer de manière réversible et continue l'ensemble des distances pointe-surface r.

Les résultats des questions précédentes permettent de dégager deux conclusions pratiques majeures pour le fonctionnement d'un AFM :

1. Compromis sur le choix de la raideur K du levier :

   • Levier rigide (G > G_{\mathrm{c}}, soit K > K_{\mathrm{c}}) : la réponse est univoque, stable et exempte de discontinuité ou d'hystérésis mécanique. En contrepartie, une raideur K élevée réduit la déflexion mesurable f = F/K à force donnée (perte de sensibilité) et impose des forces d'appui plus importantes pouvant endommager des échantillons mous (échantillons biologiques, polymères).
   • Levier souple (G < G_{\mathrm{c}}, soit K < K_{\mathrm{c}}) : il offre une excellente sensibilité aux faibles forces mais conduit inévitablement au phénomène de saut au contact (snap-in ou jump-to-contact) lors de l'approche, et à un saut de décollement retardé (snap-out) lors du retrait.

2. Limitation du mode contact et nécessité des modes dynamiques :

   • En mode contact quasi-statique avec un levier souple, il est impossible de sonder de façon continue et réversible la région attractive (R > 1) en raison de l'instabilité mécanique dès que le gradient d'attraction dépasse la raideur de la lame (|\mathrm{d}F/\mathrm{d}r| > K).
   • Pour exploiter la zone attractive sans subir le collage destructeur de la pointe sur la surface, il est nécessaire de faire osciller la lame : c'est le principe du mode non-contact dynamique (étudié dans la sous-partie suivante).

L'énergie mécanique totale E du système comprend trois contributions :

• l'énergie cinétique de la lame en oscillation dans son mode fondamental, donnée par la relation (3) :

  E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{eff}} \dot{f}^2

• l'énergie potentielle élastique emmagasinée par la lame en flexion, établie à la question 7 :

  E_K = \frac{1}{2} K f^2
• l'énergie potentielle d'interaction entre la pointe et la surface E_{\mathrm{p,int}} = U(r).

D'après la géométrie définie sur la figure 1 (et rappelée à la question 14), la distance effective sonde-surface r s'exprime en fonction de la distance hors déformation r_{\mathrm{A}} et de la flèche f par :

L'effet de la pesanteur étant négligé selon les hypothèses générales du sujet, l'énergie mécanique totale s'écrit donc :

D'après la question Q23, la distance entre la surface et la pointe s'écrit r = r_{\mathrm{A}} + f. À la position d'équilibre, on a de même r_{\mathrm{eq}} = r_{\mathrm{A}} + f_{\mathrm{eq}}, d'où :

Effectuons le développement de Taylor de la fonction potentiel U(r) au voisinage de r_{\mathrm{eq}} à l'ordre 2 par rapport à (r - r_{\mathrm{eq}}) :

En adoptant les notations imposées par l'énoncé (U_{\mathrm{eq}} = U(r_{\mathrm{eq}}), U'_{\mathrm{eq}} = U'(r_{\mathrm{eq}}) et U''_{\mathrm{eq}} = U''(r_{\mathrm{eq}})), ce développement s'écrit directement en fonction de l'écart (f - f_{\mathrm{eq}}) :

En reportant cette approximation dans l'expression de l'énergie mécanique totale obtenue à la question Q23 :

on obtient le développement demandé :

En l'absence de toute cause de dissipation, l'énergie mécanique totale E de la lame se conserve au cours du mouvement :

En dérivant par rapport au temps le développement de l'énergie mécanique obtenu à la question Q24 :

il vient :

Pour un mouvement oscillatoire non trivial, la vitesse \dot{f} n'est pas identiquement nulle. On peut donc simplifier par \dot{f} :

Par définition de la position d'équilibre f_{\mathrm{eq}} (établie à la question Q14), la résultante des forces statiques s'annule :

En décomposant K f = K(f - f_{\mathrm{eq}}) + K f_{\mathrm{eq}}, l'équation différentielle devient :

ce que l'on peut écrire sous la forme canonique :

ou de manière équivalente, avec la pulsation \omega_{\mathrm{p}} = \sqrt{\dfrac{K + U''_{\mathrm{eq}}}{m_{\mathrm{eff}}}} :

L'équation différentielle établie à la question Q25 s'écrit :

1. Nature du mouvement : Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti pour la variable d'écart \varepsilon(t) = f(t) - f_{\text{eq}} autour de la position d'équilibre f_{\text{eq}}.

2. Stabilité de la position d'équilibre : Le système présente des oscillations bornées (stabilité au sens de Lyapunov) si et seulement si :

où K_{\text{eff}} représente la raideur effective du système pointe-lame.

• Si K + U''_{\text{eq}} > 0, l'équilibre est stable et la lame oscille à la pulsation propre \omega_{\text{p}}.
• Si K + U''_{\text{eq}} \leqslant 0, la raideur de rappel devient négative ou nulle : l'équilibre est instable et la pointe subit un plaquage spontané sur la surface (snap-in ou jump-to-contact).

3. Décalage de pulsation (effet de l'interaction) : En introduisant la pulsation propre libre \omega_{\text{p}0} = \sqrt{K/m_{\text{eff}}}, la pulsation d'oscillation en présence de l'échantillon s'exprime par :

Comme la force d'interaction est reliée au potentiel par F = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}, la dérivée seconde s'interprète comme l'opposé du gradient spatial de force :

Dans le domaine d'utilisation du mode non-contact (domaine attractif, r > a), la force d'attraction devient plus intense lorsque la sonde se rapproche de la surface (\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}r} > 0), d'où U''_{\text{eq}} < 0. Il en résulte :

L'interaction attractive « amollit » le ressort équivalent, ce qui abaisse la fréquence de résonance de la lame.

Dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(O, X, Y, Z) lié au bâti, la surface (4) a une ordonnée fixe Y_4. La position verticale de la pointe B est repérée par Y_B(t) = Y_4 + r(t), de sorte que son accélération s'écrit \ddot{Y}_B = \ddot{r}.

L'extrémité de la lame, de masse effective m_{\text{eff}}, est soumise selon l'axe vertical (Oy) à :

• la force de rappel élastique de la lame :

  F_{\text{el}} = -K(Y_B - Y_A) = -K(r - r_A(t)) = -K\bigl(r - r_A^0 - y_A(t)\bigr)

  où y_A(t) = A_{\mathrm{A}} \exp(i\omega t) désigne l'oscillation du support ;

• la force d'interaction avec la surface :

  F_{\text{int}} = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r) \simeq -U'(r_{\text{eq}}) - U''_{\text{eq}}(r - r_{\text{eq}})

• la force de frottement visqueux due à l'air ambiant :

  F_{\text{diss}} = -\alpha\,\dot{r}

À l'équilibre en l'absence d'excitation (y_A = 0), la position moyenne r_{\text{eq}} vérifie :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse effective s'écrit :

En soustrayant la condition d'équilibre et en linéarisant au premier ordre en l'écart (r - r_{\text{eq}}), on obtient :

En divisant par m_{\text{eff}} et en introduisant \omega_{\mathrm{p}0}^2 = \frac{K}{m_{\text{eff}}}, \omega_{\mathrm{p}}^2 = \frac{K + U''_{\text{eq}}}{m_{\text{eff}}} ainsi que le terme d'amortissement \frac{\alpha}{m_{\text{eff}}} = \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{Q} (conformément à la modélisation de l'amortissement intrinsèque dans l'air) :

En régime sinusoïdal établi, avec r(t) - r_{\text{eq}} = A_{\mathrm{B}}\exp(i\omega t) et y_A(t) = A_{\mathrm{A}}\exp(i\omega t), cette équation devient :

En divisant par \omega_{\mathrm{p}0}^2 et en introduisant les grandeurs réduites \Omega = \frac{\omega}{\omega_{\mathrm{p}0}} et \Omega_{\mathrm{p}} = \frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\omega_{\mathrm{p}0}} :

On en déduit la fonction de transfert en amplitude :

En l'absence d'interaction avec la surface, on a \Omega_{\mathrm{p}} = 1 et Q = Q_0. D'après la question Q27, la fonction de transfert s'écrit :

Son module est donné par :

Comme Q_0 \gg 1, le maximum de résonance est atteint à une pulsation adimensionnée très proche de la pulsation propre non perturbée, \Omega \simeq 1, où il vaut :

Sur la figure (7), la courbe rouge correspond à la situation sans interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 1). On lit au sommet du pic (atteint en \Omega = 1{,}000) :

On peut confirmer cette valeur par la méthode de la bande passante à -3\text{ dB} : le niveau à mi-puissance est |T|_{-3\,\mathrm{dB}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \approx 35{,}4. Sur le graphe, la courbe rouge coupe la droite |T| \approx 35 en \Omega_1 \approx 0{,}990 et \Omega_2 \approx 1{,}010, soit une bande passante :

Avec un chiffre significatif :

D'après la définition de la fonction de transfert T = A_{\mathrm{B}} / A_{\mathrm{A}}, l'amplitude de vibration s'écrit |A_{\mathrm{B}}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, \Omega_{\mathrm{p}})|, d'où :

La sensibilité intrinsèque (10) s'écrit alors :

1. Critère de choix de la pulsation \omega :

• Pour maximiser la sensibilité |s_{\mathrm{i}}|, il faut maximiser l'écart d'amplitude |\Delta(r_{\mathrm{eq}})| pour une variation de fréquence propre \omega_{\mathrm{p}} - \omega_{\mathrm{p}0} donnée. Graphiquement, cela revient à rechercher la pulsation \Omega pour laquelle l'écart vertical entre la courbe avec interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) et la courbe sans interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 1) est maximal.

• Puisque K \gg |U''_{\mathrm{eq}}|, la fréquence propre reste très proche de \omega_{\mathrm{p}0} (|\Omega_{\mathrm{p}} - 1| \ll 1). Au premier ordre, le déplacement de la résonance se traduit par :

  |s_{\mathrm{i}}| \approx \left| \frac{\partial |T|}{\partial \Omega_{\mathrm{p}}} \right|_{\Omega_{\mathrm{p}} = 1} \approx \Omega \left| \frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\Omega} \right|

  Le critère consiste donc à se placer sur les flancs de la courbe de résonance, là où la valeur absolue de la pente \left|\frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\Omega}\right| est maximale (au voisinage des points d'inflexion).

2. Estimation de \Omega à partir de la figure (7) : L'écart vertical maximal entre la courbe rouge (\Omega_{\mathrm{p}} = 1) et la courbe bleue (\Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) apparaît très nettement sur le flanc droit de résonance :

• à \Omega = 1{,}005, la courbe sans interaction vaut |T| \approx 39 et la courbe avec interaction vaut |T| \approx 23, ce qui correspond à un écart maximal |\Delta |T|| \approx 16 ;
• un autre extremum local de sensibilité existe sur le flanc gauche au voisinage de \Omega \approx 0{,}990 à 0{,}995.

On choisit donc préférentiellement la pulsation d'excitation adimensionnée :

Par définition des amplitudes de réponse |A_{\mathrm{B}}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, \Omega_{\mathrm{p}})| et |A_{\mathrm{B}0}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, 1)|, la variation d'amplitude s'écrit :

L'expression de la sensibilité intrinsèque s_{\mathrm{i}} donnée par l'équation (10) devient ainsi :

Pour la valeur retenue \Omega \approx 1{,}005, on lit sur la figure (7) pour le décalage \Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995 (\Omega_{\mathrm{p}} - 1 = -0{,}005) :

• sans interaction (courbe rouge, \Omega_{\mathrm{p}} = 1) : |T(1{,}005 ; 1)| \approx 35 ;
• avec interaction (courbe bleue, \Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) : |T(1{,}005 ; 0{,}995)| \approx 20.

La variation du module de la fonction de transfert vaut donc :

On en déduit la sensibilité intrinsèque :

La force conservative normale exercée par la surface sur la sonde dérive du potentiel U(r) selon :

Le gradient normal de cette force à la distance d'équilibre r_{\mathrm{eq}} s'écrit donc :

Par définition, la pulsation propre modifiée par l'interaction s'exprime par :

Sous l'hypothèse de l'énoncé |U''_{\mathrm{eq}}| \ll K, un développement limité au premier ordre donne :

Par ailleurs, la définition de la sensibilité intrinsèque s_{\mathrm{i}} (équation (10)) fournit :

En combinant ces deux relations, on obtient l'expression du gradient de force :

soit :

Ainsi, la mesure de la variation d'amplitude de vibration \Delta(r_{\mathrm{eq}}) = |A_{\mathrm{B}}| - |A_{\mathrm{B}0}|, connaissant l'amplitude d'excitation fixée A_{\mathrm{A}}, la raideur K du levier et la sensibilité s_{\mathrm{i}} (étalonnée au préalable pour la pulsation de travail \omega), donne un accès direct et quantitatif au gradient normal de la force d'interaction à la distance r_{\mathrm{eq}}.

D'après le préambule de la question Q27, seul l'air ambiant est tenu pour responsable des effets dissipatifs qui amortissent les oscillations de la lame, fixant ainsi le facteur de qualité à une valeur modeste (Q_0 \approx 50, d'après les questions Q11 et Q28).

La sensibilité intrinsèque |s_{\mathrm{i}}| mesure la pente de la courbe de résonance |T|(\Omega) sur son flanc. L'amplitude à la résonance étant proportionnelle à Q et la largeur de la bande passante inversement proportionnelle à Q, la pente maximale sur les flancs varie selon :

Une augmentation de Q entraîne donc un accroissement spectaculaire de la sensibilité |s_{\mathrm{i}}|.

En pratique, il suffit d'opérer :

L'absence de frottement fluide visqueux dû à l'air permet d'atteindre des facteurs de qualité typiquement compris entre 10^4 et 10^5 (limités uniquement par les frottements internes au matériau et les pertes au niveau du support d'encastrement), ce qui augmente considérablement |s_{\mathrm{i}}|.

Lors de la flexion de la lame, la normale à la surface réfléchissante au point d'impact tourne d'un angle \theta autour de l'axe (Az).

D'après les lois de Snell-Descartes relatives à la réflexion, la direction du faisceau incident étant fixe, une rotation d'angle \theta du miroir entraîne une rotation du rayon réfléchi d'un angle égal à :

Par ailleurs, le déplacement vertical du point de réflexion est égal à la flèche f. D'après les relations établies à la question Q6, on a l'ordre de grandeur \theta \sim \frac{f}{L}. La déviation sur l'écran due à l'effet angulaire est de l'ordre de 2d\theta \sim 2d\,\frac{f}{L}. Comme d \gg L, cette déviation est très grande devant le déplacement direct f :

Le déplacement de la source de réflexion peut donc être négligé, et l'on peut considérer que le rayon dévié part du point B_0.

Le plan de détection étant disposé perpendiculairement au faisceau de référence (lame non fléchie) à une distance d de B_0, la déviation angulaire 2\theta se traduit sur ce plan par un écart algébrique \Delta = P_0P_1 donné par :

Compte tenu de l'hypothèse |\theta| \ll 1, un développement limité au premier ordre donne \tan(2\theta) \simeq 2\theta, d'où :

Le faisceau LASER, de longueur d'onde \lambda dans le domaine visible (\lambda \approx 0{,}6\ \mu\text{m}), est limité au niveau de la lame à une dimension transverse égale à sa largeur b = 20\ \mu\text{m}.

Par diffraction, la restriction spatiale du faisceau lui confère une divergence angulaire. La portée de Rayleigh associée est de l'ordre de :

Comme la distance de propagation d = 10\text{ cm} = 100\text{ mm} vérifie très largement d \gg z_{\mathrm{R}}, la détection a lieu dans le domaine de diffraction de Fraunhofer (champ lointain).

Le demi-angle de divergence du faisceau diffracté s'écrit :

Après un trajet optique d, le faisceau s'élargit et le rayon de la tache lumineuse sur le plan de détection est donné par a_{\mathrm{d}} \approx d\,\theta_{\mathrm{diff}} (le rayon initial b/2 = 10\ \mu\text{m} étant tout à fait négligeable devant a_{\mathrm{d}}). Le diamètre de la tache lumineuse s'exprime donc par :

Remarque : si l'on adopte le modèle de la diffraction par une ouverture circulaire de diamètre b, le diamètre de la tache d'Airy au premier zéro est 2a_{\mathrm{d}} \approx 2{,}44\,\frac{\lambda d}{b}.

Pour l'estimation numérique, on choisit une longueur d'onde typique du domaine visible \lambda \approx 6\times 10^{-7}\text{ m} (cohérente avec la fréquence de l'émission LASER \nu = 5\times 10^{14}\text{ Hz} introduite à la question 38, où \lambda = c/\nu = 600\text{ nm}), avec d = 0{,}1\text{ m} et b = 2\times 10^{-5}\text{ m} :

Avec un seul chiffre significatif :

L'intensité lumineuse du faisceau LASER est supposée uniformément répartie sur sa section circulaire de rayon a_{\mathrm{P}} et de surface totale S_{\mathrm{tot}} = \pi a_{\mathrm{P}}^2. L'éclairement uniforme vaut donc :

Dans la situation de référence (\Delta = 0), le centre P_0 de la tache se situe exactement sur la ligne séparatrice entre les deux photodiodes : chacune intercepte un demi-disque d'aire S_1 = S_2 = \frac{\pi a_{\mathrm{P}}^2}{2}, d'où \phi_1 = \phi_2 = \frac{\phi_{\mathrm{tot}}}{2} et C = 0.

Lorsque le centre de la tache se déplace algébriquement de \Delta le long de l'axe orienté vers \mathrm{PhD}_2 :

• la surface photosensible de \mathrm{PhD}_2 gagne une bande élémentaire d'aire \delta S ;
• la surface photosensible de \mathrm{PhD}_1 perd cette même aire \delta S.

La bande gagnée est délimitée entre la ligne séparatrice initiale et la nouvelle position relative du diamètre. Sa surface s'écrit rigoureusement :

Dans la limite |\Delta| \ll a_{\mathrm{P}}, la largeur de la tache au niveau de la frontière est égale au diamètre 2a_{\mathrm{P}} à l'ordre zéro en \Delta. Au premier ordre, l'aire transférée est donc simplement :

La différence des aires reçues par les deux photodiodes vaut ainsi :

L'éclairement étant uniforme, le rapport des flux s'identifie au rapport des aires :

On obtient finalement :

D'après les questions 33, 34 et 35, le contraste photométrique s'écrit pour |\Delta| \ll a_{\mathrm{P}} :

avec \Delta = 2 d \theta et a_{\mathrm{P}} = a_{\mathrm{d}} \approx \frac{\lambda d}{b}. En injectant ces deux expressions, il vient :

On constate que la distance d entre la lame et le photodétecteur disparaît du rapport : augmenter d amplifie l'écart \Delta, mais agrandit dans la même proportion le rayon a_{\mathrm{d}} de la tache sur les photodiodes.

La cause physique fondamentale qui limite le contraste est la diffraction du faisceau lumineux par la face réfléchissante de la lame de largeur finie b :

• L'étalement angulaire par diffraction, \theta_{\mathrm{diff}} \sim \lambda / b, impose un élargissement inévitable du faisceau proportionnel à la distance de propagation d.
• Le contraste C est directement gouverné par le rapport entre l'angle de déflexion de la lame \theta et l'angle de diffraction \theta_{\mathrm{diff}}.

Notons \phi_{\mathrm{tot}} = \phi_1 + \phi_2 le flux lumineux total reçu par les deux photodiodes. D'après l'expression du contraste obtenue à la question 35 :

La simple différence de flux s'écrit donc :

Si l'intensité lumineuse du LASER fluctue au cours du temps (par exemple sous l'effet de dérives thermiques de la cavité), le flux total émis varie : \phi_{\mathrm{tot}}(t) = \kappa(t)\,\phi_0. Les flux reçus par chaque photodiode sont alors affectés par le même facteur d'échelle multiplicatif \kappa(t) :

Il en résulte que :

• la différence \Delta\phi(t) = \kappa(t)\,\Delta\phi^{(0)} est directement sensible aux fluctuations de puissance du LASER, ce qui entraîne une dérive de la mesure ou un bruit de fond indistinguable d'un déplacement réel \Delta de la tache ;

• le contraste C(t), en revanche, est une grandeur normalisée :

  C(t) = \frac{\kappa(t)\left(\phi_2^{(0)} - \phi_1^{(0)}\right)}{\kappa(t)\left(\phi_2^{(0)} + \phi_1^{(0)}\right)} = \frac{\phi_2^{(0)} - \phi_1^{(0)}}{\phi_2^{(0)} + \phi_1^{(0)}} = C^{(0)}

Le contraste C est donc strictement invariant vis-à-vis des fluctuations d'intensité de la source LASER, ce qui garantit une mesure fidèle, robuste et non biaisée de la position \Delta.

1. Expression de la sensibilité théorique S_{\text{th}}

Un flux lumineux \phi (puissance lumineuse) correspond à un débit de photons incidents :

Si chaque photon incident génère une charge élémentaire e collectée pour former le photocourant, l'intensité photonique théorique s'écrit en valeur absolue :

D'après l'équation (13), le courant total vaut I(V,\phi) = I_{\text{inv}}\{\exp(V/V_{\mathrm{T}})-1\} - I_{\text{ph}}(\phi). La sensibilité théorique (définie positivement ou en grandeur absolue) s'exprime donc par :

(algébriquement, compte tenu de l'orientation du courant I de la figure (10), \left.\frac{\partial I}{\partial \phi}\right|_V = -S_{\text{th}}).

2. Estimation numérique de S_{\text{th}}

Avec les valeurs fournies :

• e = 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ C}
• h = 5 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• \nu = 5 \times 10^{14}\text{ Hz}

L'énergie d'un photon vaut :

On en déduit :

Avec un chiffre significatif :

3. Vérification à partir de la figure (11)

En polarisation inverse (V \le -1\text{ V}), le terme d'obscurité en exponentielle est négligeable et le courant I est égal au plateau de photocourant -I_{\text{ph}}(\phi) :

• pour \phi = 0\text{ mW} : I \approx 0\text{ mA} ;
• pour \phi = 0{,}5\text{ mW} : I \approx -0{,}13\text{ mA} ;
• pour \phi = 1\text{ mW} : I \approx -0{,}26\text{ mA}.

La sensibilité expérimentale déduite du réseau de caractéristiques vaut donc :

Cette valeur expérimentale est du même ordre de grandeur que S_{\text{th}}. Elle lui est inférieure d'un facteur 2 environ, ce qui correspond à un rendement quantique \eta = S_{\text{exp}} / S_{\text{th}} \approx 40\text{ à }50\,\%, valeur tout à fait classique due aux pertes par réflexion à l'interface et aux recombinaisons de porteurs. Le résultat théorique est donc parfaitement compatible avec la figure (11).