Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2020 (page 4/4 : Partie 3 (questions 38 à 54))

1. Expression de la sensibilité théorique S_{\text{th}}

Un flux lumineux \phi (puissance lumineuse) correspond à un débit de photons incidents :

Si chaque photon incident génère une charge élémentaire e collectée pour former le photocourant, l'intensité photonique théorique s'écrit en valeur absolue :

D'après l'équation (13), le courant total vaut I(V,\phi) = I_{\text{inv}}\{\exp(V/V_{\mathrm{T}})-1\} - I_{\text{ph}}(\phi). La sensibilité théorique (définie positivement ou en grandeur absolue) s'exprime donc par :

(algébriquement, compte tenu de l'orientation du courant I de la figure (10), \left.\frac{\partial I}{\partial \phi}\right|_V = -S_{\text{th}}).

2. Estimation numérique de S_{\text{th}}

Avec les valeurs fournies :

• e = 1{,}5 \times 10^{-19}\text{ C}
• h = 5 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• \nu = 5 \times 10^{14}\text{ Hz}

L'énergie d'un photon vaut :

On en déduit :

Avec un chiffre significatif :

3. Vérification à partir de la figure (11)

En polarisation inverse (V \le -1\text{ V}), le terme d'obscurité en exponentielle est négligeable et le courant I est égal au plateau de photocourant -I_{\text{ph}}(\phi) :

• pour \phi = 0\text{ mW} : I \approx 0\text{ mA} ;
• pour \phi = 0{,}5\text{ mW} : I \approx -0{,}13\text{ mA} ;
• pour \phi = 1\text{ mW} : I \approx -0{,}26\text{ mA}.

La sensibilité expérimentale déduite du réseau de caractéristiques vaut donc :

Cette valeur expérimentale est du même ordre de grandeur que S_{\text{th}}. Elle lui est inférieure d'un facteur 2 environ, ce qui correspond à un rendement quantique \eta = S_{\text{exp}} / S_{\text{th}} \approx 40\text{ à }50\,\%, valeur tout à fait classique due aux pertes par réflexion à l'interface et aux recombinaisons de porteurs. Le résultat théorique est donc parfaitement compatible avec la figure (11).

D'après le schéma du circuit de polarisation de la figure (12), la loi des mailles s'écrit en convention récepteur pour la résistance R et la photodiode :

On en déduit l'équation de la droite de charge reliant le courant I à la tension V :

Cette droite passe par deux points remarquables immédiatement positionnables sur les axes de la figure (11) :

• pour I = 0, la tension est la tension à vide :

  V = U = -5\text{ V}

• pour V = 0, le courant de court-circuit vaut :

  I_{\mathrm{cc}} = \frac{U}{R} = \frac{-5\text{ V}}{20\times 10^3\,\Omega} = -0{,}25\text{ mA}

Le point de fonctionnement Q du circuit est l'intersection de cette droite de charge avec la caractéristique I(V) associée au flux \phi = 0{,}5\text{ mW} (courbe médiane).

Sur la courbe \phi = 0{,}5\text{ mW}, le courant photonique saturé est I \approx -0{,}13\text{ mA}. L'abscisse du point de fonctionnement s'en déduit :

La loi des mailles appliquée au circuit de polarisation s'écrit :

Dans le domaine de polarisation inverse (V \le 0\text{ V}), le photocourant est indépendant de la tension V et proportionnel au flux incident :

La tension convertie V_R vérifie alors :

Le choix de la résistance R résulte d'un compromis :

• Maximiser la sensibilité : pour améliorer la résolution de la mesure de flux et maximiser le rapport signal sur bruit, on a intérêt à choisir une résistance R la plus grande possible afin d'obtenir la plus grande excursion de tension |V_R|.
• Maintenir la linéarité (non-saturation) : pour que la réponse reste strictement proportionnelle au flux sur toute la plage [0,\, \phi_{\max}] avec \phi_{\max} = 1\text{ mW}, la photodiode doit demeurer en régime bloqué (V \le 0\text{ V}). En effet, si V > 0, la diode commence à conduire en sens direct et le courant n'est plus proportionnel au flux.

Pour \phi = 0, le courant est quasi nul, d'où V \approx U = -5\text{ V}, ce qui respecte la contrainte imposée par l'énoncé (V \ge -5\text{ V}).

Lorsque le flux augmente jusqu'à \phi_{\max} = 1\text{ mW}, le courant I devient de plus en plus négatif et la tension V = U - R I augmente. La valeur maximale admissible pour R correspond au cas limite où la tension aux bornes de la photodiode atteint le seuil de conduction directe (V \approx 0\text{ V}) pour le flux maximal :

Le meilleur compromis consiste à exploiter toute la dynamique de tension offerte par la source, soit V(\phi_{\max}) \approx 0\text{ V} :

Sur la figure 11, pour le palier à \phi = 1\text{ mW}, on lit un courant |I(\phi_{\max})| \approx 0{,}25\text{ mA} à 0{,}26\text{ mA}. Avec U = -5\text{ V} :

Avec un seul chiffre significatif :

Considérons le circuit de polarisation représenté figure (13) :

• La loi des mailles s'écrit :

  U = V_R(t) + V(t) = R\,I(t) + V(t)

  La tension continue de polarisation U étant constante, la dérivation par rapport au temps donne :

  \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} = - R\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

• Au niveau du modèle dynamique du dipôle PN (figure (13)), la photodiode est constituée de deux branches en parallèle entre les bornes P et N :

  • une capacité C sous la tension V = V_{\mathrm{P}} - V_{\mathrm{N}}, traversée de P vers N (convention récepteur) par le courant de déplacement :

    i_C(t) = C\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}
  • une source idéale de courant photonique délivrant le courant I_{\mathrm{ph}}(t) dirigé de N vers P.

• La loi des nœuds appliquée au nœud P s'écrit alors :

  I(t) + I_{\mathrm{ph}}(t) = i_C(t) = C\,\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}

En substituant l'expression de \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t} dans la loi des nœuds, on obtient :

soit finalement :

D'après l'équation différentielle établie à la question Q41 :

Le comportement dynamique du circuit est celui d'un filtre passe-bas d'ordre 1, de constante de temps :

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, la réponse en amplitude est atténuée d'un facteur \sqrt{2} à la pulsation de coupure définie par \omega_{\mathrm{cp}} \tau = 1, soit :

On en déduit la fréquence de coupure à -3\text{ dB} du photodétecteur :

Application numérique : Avec R = 25\text{ k}\Omega = 25 \times 10^3\ \Omega et C = 40\text{ pF} = 40 \times 10^{-12}\ \text{F}, la constante de temps vaut :

D'où la fréquence de coupure :

Avec un chiffre significatif :

La conversion courant-tension est assurée par la résistance R, aux bornes de laquelle la tension de mesure vaut en régime quasi statique :

La sensibilité en tension du dispositif, définie par le facteur de conversion, s'écrit :

Elle est directement proportionnelle à la résistance R.

D'après les questions précédentes, le circuit se comporte comme un filtre passe-bas du premier ordre de constante de temps \tau = R\,C et de fréquence de coupure :

Le temps de réponse du photodétecteur (par exemple le temps de montée à 10\,\% - 90\,\%, t_{\mathrm{m}} \approx 2{,}2\,\tau = 2{,}2\,R\,C) est donc proportionnel à R, tandis que sa bande passante utile est inversement proportionnelle à R.

Un compromis classique sensibilité / rapidité apparaît :

• Choisir une forte valeur de R augmente la sensibilité S_V, ce qui fournit une tension V_R plus élevée, plus facile à mesurer et moins sensible aux bruits électroniques de la chaîne d'amplification ultérieure. En contrepartie, le temps de réponse \tau augmente et la fréquence de coupure f_{\mathrm{cp}} diminue, ce qui limite la cadence de mesure et empêche de suivre des variations rapides de la déflexion.
• Choisir une faible valeur de R élargit la bande passante et assure un temps de réponse court (détection rapide des oscillations à haute fréquence de la lame), mais au détriment de l'amplitude du signal de sortie V_R, qui risque d'être noyé dans le bruit.

Ce compromis s'illustre par l'invariance du produit gain-bande passante du montage :

Ce produit ne dépend que des caractéristiques intrinsèques de la photodiode (S et C) et fixe la limite absolue des performances du montage de détection.

L'expression de la force exercée par la surface sur la pointe s'écrit :

où u = X_4 repère l'abscisse de translation le long de la surface et r la distance normale pointe-surface.

1. Paramètre F_1 : C'est l'amplitude de modulation spatiale de la force d'interaction, induite par le relief atomique (la corrugation du potentiel cristallin à la surface du matériau).

2. Paramètre k : C'est la pulsation spatiale (ou nombre d'onde) associée à la périodicité du réseau cristallin de la surface. Elle est reliée au pas du réseau atomique (ou paramètre de maille) a_{\text{at}} par la relation :

   k = \frac{2\pi}{a_{\text{at}}}

3. Paramètre K_0 : C'est la raideur du contact pointe-surface (ou gradient normal de la force d'interaction au point de fonctionnement r^0) :

   K_0 = -\left(\frac{\partial F}{\partial r}\right)_{r^0}

   En régime de contact répulsif, une diminution de la distance normale (r < r^0) entraîne un accroissement de la force répulsive (F > F_0), ce qui correspond bien à un paramètre K_0 > 0.

Lorsque la surface se déplace à la vitesse constante V = \dot{u} sous la pointe, l'abscisse vérifie u(t) = V t. La composante périodique de la force d'interaction s'écrit alors :

La fréquence temporelle d'oscillation du signal modulé par le défilement des atomes est donc :

où \lambda_{\text{at}} = \frac{2\pi}{k} représente la période spatiale du réseau atomique de la surface.

Pour que les variations de force associées à la corrugation atomique soient fidèlement mesurées par l'ensemble photodétecteur-conditionneur sans être filtrées par sa coupure haute, la fréquence f_{\text{osc}} doit rester inférieure à la fréquence de coupure F_{\mathrm{c}} du dispositif :

La vitesse maximale de translation admissible est par conséquent :

Application numérique. La distance interatomique caractéristique d'un solide cristallin est de l'ordre de grandeur du paramètre de potentiel déterminé à la question 13 :

Avec F_{\mathrm{c}} = 10^5\text{ Hz}, on obtient (avec un chiffre significatif) :

(une valeur de l'ordre de 10\text{ à }50\,\mu\text{m}\cdot\text{s}^{-1} est tout aussi acceptable selon la valeur exacte retenue pour le pas cristallin).

D'après la géométrie du dispositif (figures (14) et (15)), l'altitude de la pointe de la lame s'écrit Y_{\mathrm{B}} = Y_{\mathrm{A}}^0 + f et celle de la surface vaut Y_4 = v. La distance pointe-surface r est donc donnée par :

Dans la situation de référence (v = 0 et f = f_{\mathrm{c}}), cette distance vaut r^0 = Y_{\mathrm{A}}^0 + f_{\mathrm{c}}. On en déduit :

L'interaction répulsive exercée par la surface sur la pointe s'écrit, d'après l'équation (14) :

Par ailleurs, dans la situation de référence statique, la force moyenne F_0 compense exactement la force de rappel élastique de la lame fléchie de f_{\mathrm{c}}, soit :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la lame dans le référentiel galiléen du bâti, modélisée par sa masse effective m_{\mathrm{eff}} associée à la coordonnée verticale de flèche f(t) :

Comme la consigne f_{\mathrm{c}} est constante, on a \dot{\varepsilon} = \dot{f} et \ddot{\varepsilon} = \ddot{f}. En remplaçant F(u,r) par son expression, il vient :

En divisant par m_{\mathrm{eff}}, on obtient :

En identifiant avec la forme imposée par l'équation (16), sachant que \omega_{\mathrm{p}0}^2 = \frac{K}{m_{\mathrm{eff}}} et \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{Q_0} = \frac{\alpha}{m_{\mathrm{eff}}}, on identifie :

Signe du facteur \beta :

Supposons que la flèche devienne supérieure à sa consigne (f > f_{\mathrm{c}}, soit \varepsilon > 0). Cela signifie que la lame est excessivement fléchie vers le haut, signe d'une force répulsive de contact trop intense due à une proximité trop grande avec la surface. Pour ramener la flèche f vers f_{\mathrm{c}}, la boucle d'asservissement doit éloigner la surface de la pointe, c'est-à-dire abaisser la surface (v < 0).

D'après la loi de commande :

Pour que \varepsilon > 0 entraîne un abaissement de la surface (v < 0), il est nécessaire d'avoir :

Équation différentielle du système bouclé :

D'après le résultat de la question précédente (Q46), l'équation régissant l'écart \varepsilon est :

En substituant v = -\beta\,\varepsilon, on obtient :

Soit, en regroupant les termes en \varepsilon dans le membre de gauche :

D'après la question Q47, en substituant le terme périodique \cos ku(t) par la fonction échelon H(t), l'équation différentielle décrivant le système bouclé devient :

1. Description qualitative de la réponse transitoire : Le coefficient d'ordre 0, \omega_{\mathrm{cl}}^2 = \omega_{\mathrm{p}0}^2 + (1+\beta)\omega_{\mathrm{i}}^2, est strictement positif puisque \beta > 0. Le facteur de qualité du système bouclé est :

L'amortissement est donc très faible. En réponse à l'échelon H(t), la variable \varepsilon(t) présente un régime transitoire pseudo-périodique fortement oscillant, avec un premier dépassement important, avant que les oscillations ne s'amortissent pour tendre vers la valeur permanente \varepsilon_\infty.

2. Détermination de la limite \varepsilon_\infty : Une fois le régime transitoire amorti (t \to +\infty), le système atteint un état d'équilibre stationnaire où \dot{\varepsilon} \to 0 et \ddot{\varepsilon} \to 0. Pour t > 0, H(t) = 1, d'où :

soit :

En introduisant les grandeurs mécaniques \Gamma_1 = F_1/m_{\mathrm{eff}}, \omega_{\mathrm{p}0}^2 = K/m_{\mathrm{eff}} et \omega_{\mathrm{i}}^2 = K_0/m_{\mathrm{eff}}, cette limite s'écrit de manière équivalente :

3. Commentaire :

• La limite \varepsilon_\infty est non nulle : le système présente une erreur statique (ou écart de traînage résiduel). Un correcteur purement proportionnel (v = -\beta \varepsilon) ne permet pas d'annuler parfaitement l'erreur en régime permanent face à une perturbation en échelon.
• L'introduction du gain \beta > 0 permet néanmoins de diviser l'écart statique par rapport à la boucle ouverte (\beta = 0, où \varepsilon_{\infty,\mathrm{BO}} = F_1/(K+K_0)) : plus le gain \beta est grand, plus l'écart à la consigne \varepsilon_\infty est réduit, sans jamais s'annuler strictement.

Par définition de l'écart à la consigne, on a :

La loi de contre-réaction proportionnelle-intégrale (18) s'exprime donc sous la forme :

D'après l'équation différentielle (16) régissant le système en présence du déplacement v de l'échantillon (question Q46) :

En substituant l'expression de v(t) dans cette équation :

En regroupant l'ensemble des termes dépendant de \varepsilon dans le premier membre, on obtient l'équation intégro-différentielle recherchée :

En appliquant la sollicitation en échelon \Gamma_1 H(t) à l'équation intégro-différentielle établie à la question Q49, il vient pour t \ge 0 :

En dérivant cette relation par rapport au temps pour t > 0, on obtient une équation différentielle du troisième ordre :

Sous l'hypothèse de stabilité du système en boucle fermée (tous les régimes transitoires s'amortissent, si bien que \dot{\varepsilon}, \ddot{\varepsilon} et \dddot{\varepsilon} tendent vers zéro lorsque t \to +\infty), le passage à la limite donne directement :

Comme \omega_{\mathrm{i}}^2 > 0 et \Omega_{\mathrm{I}} > 0, on en déduit :

On retrouve rigoureusement ce résultat par transformée de Laplace. En prenant les conditions initiales nulles en 0^-, la transformée de Laplace de l'équation intégro-différentielle s'écrit :

soit :

D'après le théorème de la valeur finale rappelé dans l'énoncé :

Commentaires :

• L'introduction d'une action intégrale (\Omega_{\mathrm{I}} > 0) annule strictement l'erreur statique en régime permanent : on a f_\infty = f_{\mathrm{c}}, ce qui élimine le défaut de statisme observé avec un régulateur purement proportionnel à la question Q48.
• La consigne de flèche (et donc la force de contact) est parfaitement respectée à terme. C'est le déplacement vertical de la surface v(t), commandé par le positionneur piézoélectrique via la boucle d'asservissement, qui compense intégralement la hauteur de la marche atomique. La mesure de v fournit ainsi une restitution fidèle de la topographie de l'échantillon.

La surface étant translatée à vitesse constante V, l'abscisse de balayage s'écrit u(t) = V t (à une constante d'origine près). L'excitation liée à la corrugation atomique devient donc harmonique de pulsation \omega = k V :

Pour le système non bouclé (v = 0), l'équation différentielle établie à la question Q46 s'écrit :

En régime sinusoïdal forcé, en notation complexe, cette relation devient :

Le système est sollicité de façon quasistatique si la réponse dynamique \varepsilon(t) est à chaque instant égale à la réponse statique obtenue en annulant les dérivées temporelles, c'est-à-dire si le terme d'accélération et le terme dissipatif sont totalement négligeables devant le terme de rappel élastique :

Comme Q_0 \gg 1 et \sqrt{\omega_{\mathrm{p}0}^2 + \omega_{\mathrm{i}}^2} > \omega_{\mathrm{p}0}, la seconde condition est automatiquement satisfaite dès que la première est vérifiée.

La condition portant sur \omega pour que la sollicitation soit quasistatique est donc :

(une condition suffisante plus restrictive étant \omega \ll \omega_{\mathrm{p}0}).

Dans le cadre de l'approximation quasistatique validée à la question Q51 (\omega = k V \ll \sqrt{\omega_{\mathrm{p}0}^2 + (1+\beta)\omega_{\mathrm{i}}^2}), les termes dynamiques \ddot{\varepsilon} et \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{Q_0}\dot{\varepsilon} sont négligeables devant le terme de rappel élastique.

L'équation différentielle établie à la question Q47 se réduit alors à :

En remplaçant \omega_{\mathrm{p}0}^2 = K/m_{\mathrm{eff}}, \omega_{\mathrm{i}}^2 = K_0/m_{\mathrm{eff}} et \Gamma_1 = F_1/m_{\mathrm{eff}} (questions Q46 et Q47), il vient :

L'amplitude résiduelle de l'écart à la consigne vaut donc :

On en déduit les caractéristiques du respect de la consigne avec un correcteur purement proportionnel :

• Erreur non nulle : Le respect de la consigne est imparfait. La flèche f(t) oscille autour de la consigne f_{\mathrm{c}} avec une amplitude \varepsilon_0 \neq 0.

• Rôle du gain \beta : Par rapport au système non asservi (\beta = 0), l'amplitude des variations de flèche est atténuée d'un facteur :

  \frac{K + K_0}{K + (1+\beta)K_0}

  Une augmentation du gain \beta améliore la précision en réduisant l'écart \varepsilon_0. Cependant, pour toute valeur finie de \beta, l'erreur de suivi reste strictement non nulle.

D'après la question Q49, l'écart \varepsilon = f - f_{\mathrm{c}} vérifie :

avec \omega = kV. Dans l'approximation quasistatique (question Q51), les termes d'inertie \ddot{\varepsilon} et d'amortissement \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{Q_0}\dot{\varepsilon} sont négligeables, ce qui conduit à :

En dérivant cette relation par rapport au temps t, il vient :

En adoptant la représentation complexe \underline{\varepsilon}(t) = \underline{\varepsilon}_0 \mathrm{e}^{i\omega t} en régime sinusoïdal forcé, on obtient :

En réintroduisant les paramètres mécaniques \omega_{\mathrm{p}0}^2 = \frac{K}{m_{\mathrm{eff}}}, \omega_{\mathrm{i}}^2 = \frac{K_0}{m_{\mathrm{eff}}} et \Gamma_1 = \frac{F_1}{m_{\mathrm{eff}}}, l'amplitude complexe de l'erreur s'écrit :

L'amplitude du signal d'erreur vaut donc :

En définissant la pulsation caractéristique \omega_{\mathrm{int}} = \frac{K_0\Omega_{\mathrm{I}}}{K + (1+\beta)K_0}, on constate que pour une sollicitation très lente vérifiant \omega = kV \ll \omega_{\mathrm{int}} :

La qualité de respect de la consigne est donc nettement supérieure à celle observée avec une correction uniquement proportionnelle (question Q52) :

• à vitesse nulle (\omega = 0), l'erreur est rigoureusement nulle (|\underline{\varepsilon}| = 0), conformément au résultat de la question Q50 ;
• à vitesse de balayage V finie mais faible, l'amplitude de l'erreur est proportionnelle à la vitesse V et peut être rendue arbitrairement petite en choisissant une vitesse d'exploration suffisamment modérée ou un gain intégral \Omega_{\mathrm{I}} suffisamment grand.

En dérivant par rapport au temps l'équation intégro-différentielle établie à la question Q49 :

on obtient une équation différentielle linéaire scalaire du troisième ordre :

L'équation caractéristique associée s'écrit sous la forme p^3 + a_2 p^2 + a_1 p + a_0 = 0, avec :

• Avec la contre-réaction proportionnelle (équation (17)) : le système bouclé est d'ordre 2 à coefficients strictement positifs. Ses deux pôles sont à partie réelle strictement négative : le système est donc inconditionnellement stable.

• Avec la contre-réaction proportionnelle-intégrale (équation (18)) : le système est d'ordre 3. D'après le critère de Routh-Hurwitz, la stabilité asymptotique exige la condition :

  a_2 a_1 - a_0 > 0 \iff \Omega_{\mathrm{I}} < \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{\omega_{\mathrm{i}}^2 Q_0} \left[\omega_{\mathrm{p}0}^2 + (1+\beta)\omega_{\mathrm{i}}^2\right]

Comme la lame est très faiblement amortie (Q_0 \gg 1, Q_0 \approx 50), le terme d'amortissement a_2 est très faible. Si le gain intégral \Omega_{\mathrm{I}} est choisi trop élevé, la condition de stabilité est violée : deux pôles passent dans le demi-plan complexe droit (\mathrm{Re}(p) > 0), conduisant à une divergence exponentielle des oscillations.