Corrigé détaillé X ENS Physique SI MP 2020 (page 3/4 : Partie 2 (questions 23 à 32) et partie 3 (questions 33 à 37))

L'énergie mécanique totale E du système comprend trois contributions :

• l'énergie cinétique de la lame en oscillation dans son mode fondamental, donnée par la relation (3) :

  E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} m_{\mathrm{eff}} \dot{f}^2

• l'énergie potentielle élastique emmagasinée par la lame en flexion, établie à la question 7 :

  E_K = \frac{1}{2} K f^2
• l'énergie potentielle d'interaction entre la pointe et la surface E_{\mathrm{p,int}} = U(r).

D'après la géométrie définie sur la figure 1 (et rappelée à la question 14), la distance effective sonde-surface r s'exprime en fonction de la distance hors déformation r_{\mathrm{A}} et de la flèche f par :

L'effet de la pesanteur étant négligé selon les hypothèses générales du sujet, l'énergie mécanique totale s'écrit donc :

D'après la question Q23, la distance entre la surface et la pointe s'écrit r = r_{\mathrm{A}} + f. À la position d'équilibre, on a de même r_{\mathrm{eq}} = r_{\mathrm{A}} + f_{\mathrm{eq}}, d'où :

Effectuons le développement de Taylor de la fonction potentiel U(r) au voisinage de r_{\mathrm{eq}} à l'ordre 2 par rapport à (r - r_{\mathrm{eq}}) :

En adoptant les notations imposées par l'énoncé (U_{\mathrm{eq}} = U(r_{\mathrm{eq}}), U'_{\mathrm{eq}} = U'(r_{\mathrm{eq}}) et U''_{\mathrm{eq}} = U''(r_{\mathrm{eq}})), ce développement s'écrit directement en fonction de l'écart (f - f_{\mathrm{eq}}) :

En reportant cette approximation dans l'expression de l'énergie mécanique totale obtenue à la question Q23 :

on obtient le développement demandé :

En l'absence de toute cause de dissipation, l'énergie mécanique totale E de la lame se conserve au cours du mouvement :

En dérivant par rapport au temps le développement de l'énergie mécanique obtenu à la question Q24 :

il vient :

Pour un mouvement oscillatoire non trivial, la vitesse \dot{f} n'est pas identiquement nulle. On peut donc simplifier par \dot{f} :

Par définition de la position d'équilibre f_{\mathrm{eq}} (établie à la question Q14), la résultante des forces statiques s'annule :

En décomposant K f = K(f - f_{\mathrm{eq}}) + K f_{\mathrm{eq}}, l'équation différentielle devient :

ce que l'on peut écrire sous la forme canonique :

ou de manière équivalente, avec la pulsation \omega_{\mathrm{p}} = \sqrt{\dfrac{K + U''_{\mathrm{eq}}}{m_{\mathrm{eff}}}} :

L'équation différentielle établie à la question Q25 s'écrit :

1. Nature du mouvement : Il s'agit de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti pour la variable d'écart \varepsilon(t) = f(t) - f_{\text{eq}} autour de la position d'équilibre f_{\text{eq}}.

2. Stabilité de la position d'équilibre : Le système présente des oscillations bornées (stabilité au sens de Lyapunov) si et seulement si :

où K_{\text{eff}} représente la raideur effective du système pointe-lame.

• Si K + U''_{\text{eq}} > 0, l'équilibre est stable et la lame oscille à la pulsation propre \omega_{\text{p}}.
• Si K + U''_{\text{eq}} \leqslant 0, la raideur de rappel devient négative ou nulle : l'équilibre est instable et la pointe subit un plaquage spontané sur la surface (snap-in ou jump-to-contact).

3. Décalage de pulsation (effet de l'interaction) : En introduisant la pulsation propre libre \omega_{\text{p}0} = \sqrt{K/m_{\text{eff}}}, la pulsation d'oscillation en présence de l'échantillon s'exprime par :

Comme la force d'interaction est reliée au potentiel par F = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}, la dérivée seconde s'interprète comme l'opposé du gradient spatial de force :

Dans le domaine d'utilisation du mode non-contact (domaine attractif, r > a), la force d'attraction devient plus intense lorsque la sonde se rapproche de la surface (\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}r} > 0), d'où U''_{\text{eq}} < 0. Il en résulte :

L'interaction attractive « amollit » le ressort équivalent, ce qui abaisse la fréquence de résonance de la lame.

Dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(O, X, Y, Z) lié au bâti, la surface (4) a une ordonnée fixe Y_4. La position verticale de la pointe B est repérée par Y_B(t) = Y_4 + r(t), de sorte que son accélération s'écrit \ddot{Y}_B = \ddot{r}.

L'extrémité de la lame, de masse effective m_{\text{eff}}, est soumise selon l'axe vertical (Oy) à :

• la force de rappel élastique de la lame :

  F_{\text{el}} = -K(Y_B - Y_A) = -K(r - r_A(t)) = -K\bigl(r - r_A^0 - y_A(t)\bigr)

  où y_A(t) = A_{\mathrm{A}} \exp(i\omega t) désigne l'oscillation du support ;

• la force d'interaction avec la surface :

  F_{\text{int}} = -\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}r}(r) \simeq -U'(r_{\text{eq}}) - U''_{\text{eq}}(r - r_{\text{eq}})

• la force de frottement visqueux due à l'air ambiant :

  F_{\text{diss}} = -\alpha\,\dot{r}

À l'équilibre en l'absence d'excitation (y_A = 0), la position moyenne r_{\text{eq}} vérifie :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la masse effective s'écrit :

En soustrayant la condition d'équilibre et en linéarisant au premier ordre en l'écart (r - r_{\text{eq}}), on obtient :

En divisant par m_{\text{eff}} et en introduisant \omega_{\mathrm{p}0}^2 = \frac{K}{m_{\text{eff}}}, \omega_{\mathrm{p}}^2 = \frac{K + U''_{\text{eq}}}{m_{\text{eff}}} ainsi que le terme d'amortissement \frac{\alpha}{m_{\text{eff}}} = \frac{\omega_{\mathrm{p}0}}{Q} (conformément à la modélisation de l'amortissement intrinsèque dans l'air) :

En régime sinusoïdal établi, avec r(t) - r_{\text{eq}} = A_{\mathrm{B}}\exp(i\omega t) et y_A(t) = A_{\mathrm{A}}\exp(i\omega t), cette équation devient :

En divisant par \omega_{\mathrm{p}0}^2 et en introduisant les grandeurs réduites \Omega = \frac{\omega}{\omega_{\mathrm{p}0}} et \Omega_{\mathrm{p}} = \frac{\omega_{\mathrm{p}}}{\omega_{\mathrm{p}0}} :

On en déduit la fonction de transfert en amplitude :

En l'absence d'interaction avec la surface, on a \Omega_{\mathrm{p}} = 1 et Q = Q_0. D'après la question Q27, la fonction de transfert s'écrit :

Son module est donné par :

Comme Q_0 \gg 1, le maximum de résonance est atteint à une pulsation adimensionnée très proche de la pulsation propre non perturbée, \Omega \simeq 1, où il vaut :

Sur la figure (7), la courbe rouge correspond à la situation sans interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 1). On lit au sommet du pic (atteint en \Omega = 1{,}000) :

On peut confirmer cette valeur par la méthode de la bande passante à -3\text{ dB} : le niveau à mi-puissance est |T|_{-3\,\mathrm{dB}} = \frac{50}{\sqrt{2}} \approx 35{,}4. Sur le graphe, la courbe rouge coupe la droite |T| \approx 35 en \Omega_1 \approx 0{,}990 et \Omega_2 \approx 1{,}010, soit une bande passante :

Avec un chiffre significatif :

D'après la définition de la fonction de transfert T = A_{\mathrm{B}} / A_{\mathrm{A}}, l'amplitude de vibration s'écrit |A_{\mathrm{B}}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, \Omega_{\mathrm{p}})|, d'où :

La sensibilité intrinsèque (10) s'écrit alors :

1. Critère de choix de la pulsation \omega :

• Pour maximiser la sensibilité |s_{\mathrm{i}}|, il faut maximiser l'écart d'amplitude |\Delta(r_{\mathrm{eq}})| pour une variation de fréquence propre \omega_{\mathrm{p}} - \omega_{\mathrm{p}0} donnée. Graphiquement, cela revient à rechercher la pulsation \Omega pour laquelle l'écart vertical entre la courbe avec interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) et la courbe sans interaction (\Omega_{\mathrm{p}} = 1) est maximal.

• Puisque K \gg |U''_{\mathrm{eq}}|, la fréquence propre reste très proche de \omega_{\mathrm{p}0} (|\Omega_{\mathrm{p}} - 1| \ll 1). Au premier ordre, le déplacement de la résonance se traduit par :

  |s_{\mathrm{i}}| \approx \left| \frac{\partial |T|}{\partial \Omega_{\mathrm{p}}} \right|_{\Omega_{\mathrm{p}} = 1} \approx \Omega \left| \frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\Omega} \right|

  Le critère consiste donc à se placer sur les flancs de la courbe de résonance, là où la valeur absolue de la pente \left|\frac{\mathrm{d}|T|}{\mathrm{d}\Omega}\right| est maximale (au voisinage des points d'inflexion).

2. Estimation de \Omega à partir de la figure (7) : L'écart vertical maximal entre la courbe rouge (\Omega_{\mathrm{p}} = 1) et la courbe bleue (\Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) apparaît très nettement sur le flanc droit de résonance :

• à \Omega = 1{,}005, la courbe sans interaction vaut |T| \approx 39 et la courbe avec interaction vaut |T| \approx 23, ce qui correspond à un écart maximal |\Delta |T|| \approx 16 ;
• un autre extremum local de sensibilité existe sur le flanc gauche au voisinage de \Omega \approx 0{,}990 à 0{,}995.

On choisit donc préférentiellement la pulsation d'excitation adimensionnée :

Par définition des amplitudes de réponse |A_{\mathrm{B}}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, \Omega_{\mathrm{p}})| et |A_{\mathrm{B}0}| = A_{\mathrm{A}} |T(\Omega, 1)|, la variation d'amplitude s'écrit :

L'expression de la sensibilité intrinsèque s_{\mathrm{i}} donnée par l'équation (10) devient ainsi :

Pour la valeur retenue \Omega \approx 1{,}005, on lit sur la figure (7) pour le décalage \Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995 (\Omega_{\mathrm{p}} - 1 = -0{,}005) :

• sans interaction (courbe rouge, \Omega_{\mathrm{p}} = 1) : |T(1{,}005 ; 1)| \approx 35 ;
• avec interaction (courbe bleue, \Omega_{\mathrm{p}} = 0{,}995) : |T(1{,}005 ; 0{,}995)| \approx 20.

La variation du module de la fonction de transfert vaut donc :

On en déduit la sensibilité intrinsèque :

La force conservative normale exercée par la surface sur la sonde dérive du potentiel U(r) selon :

Le gradient normal de cette force à la distance d'équilibre r_{\mathrm{eq}} s'écrit donc :

Par définition, la pulsation propre modifiée par l'interaction s'exprime par :

Sous l'hypothèse de l'énoncé |U''_{\mathrm{eq}}| \ll K, un développement limité au premier ordre donne :

Par ailleurs, la définition de la sensibilité intrinsèque s_{\mathrm{i}} (équation (10)) fournit :

En combinant ces deux relations, on obtient l'expression du gradient de force :

soit :

Ainsi, la mesure de la variation d'amplitude de vibration \Delta(r_{\mathrm{eq}}) = |A_{\mathrm{B}}| - |A_{\mathrm{B}0}|, connaissant l'amplitude d'excitation fixée A_{\mathrm{A}}, la raideur K du levier et la sensibilité s_{\mathrm{i}} (étalonnée au préalable pour la pulsation de travail \omega), donne un accès direct et quantitatif au gradient normal de la force d'interaction à la distance r_{\mathrm{eq}}.

D'après le préambule de la question Q27, seul l'air ambiant est tenu pour responsable des effets dissipatifs qui amortissent les oscillations de la lame, fixant ainsi le facteur de qualité à une valeur modeste (Q_0 \approx 50, d'après les questions Q11 et Q28).

La sensibilité intrinsèque |s_{\mathrm{i}}| mesure la pente de la courbe de résonance |T|(\Omega) sur son flanc. L'amplitude à la résonance étant proportionnelle à Q et la largeur de la bande passante inversement proportionnelle à Q, la pente maximale sur les flancs varie selon :

Une augmentation de Q entraîne donc un accroissement spectaculaire de la sensibilité |s_{\mathrm{i}}|.

En pratique, il suffit d'opérer :

L'absence de frottement fluide visqueux dû à l'air permet d'atteindre des facteurs de qualité typiquement compris entre 10^4 et 10^5 (limités uniquement par les frottements internes au matériau et les pertes au niveau du support d'encastrement), ce qui augmente considérablement |s_{\mathrm{i}}|.

Lors de la flexion de la lame, la normale à la surface réfléchissante au point d'impact tourne d'un angle \theta autour de l'axe (Az).

D'après les lois de Snell-Descartes relatives à la réflexion, la direction du faisceau incident étant fixe, une rotation d'angle \theta du miroir entraîne une rotation du rayon réfléchi d'un angle égal à :

Par ailleurs, le déplacement vertical du point de réflexion est égal à la flèche f. D'après les relations établies à la question Q6, on a l'ordre de grandeur \theta \sim \frac{f}{L}. La déviation sur l'écran due à l'effet angulaire est de l'ordre de 2d\theta \sim 2d\,\frac{f}{L}. Comme d \gg L, cette déviation est très grande devant le déplacement direct f :

Le déplacement de la source de réflexion peut donc être négligé, et l'on peut considérer que le rayon dévié part du point B_0.

Le plan de détection étant disposé perpendiculairement au faisceau de référence (lame non fléchie) à une distance d de B_0, la déviation angulaire 2\theta se traduit sur ce plan par un écart algébrique \Delta = P_0P_1 donné par :

Compte tenu de l'hypothèse |\theta| \ll 1, un développement limité au premier ordre donne \tan(2\theta) \simeq 2\theta, d'où :

Le faisceau LASER, de longueur d'onde \lambda dans le domaine visible (\lambda \approx 0{,}6\ \mu\text{m}), est limité au niveau de la lame à une dimension transverse égale à sa largeur b = 20\ \mu\text{m}.

Par diffraction, la restriction spatiale du faisceau lui confère une divergence angulaire. La portée de Rayleigh associée est de l'ordre de :

Comme la distance de propagation d = 10\text{ cm} = 100\text{ mm} vérifie très largement d \gg z_{\mathrm{R}}, la détection a lieu dans le domaine de diffraction de Fraunhofer (champ lointain).

Le demi-angle de divergence du faisceau diffracté s'écrit :

Après un trajet optique d, le faisceau s'élargit et le rayon de la tache lumineuse sur le plan de détection est donné par a_{\mathrm{d}} \approx d\,\theta_{\mathrm{diff}} (le rayon initial b/2 = 10\ \mu\text{m} étant tout à fait négligeable devant a_{\mathrm{d}}). Le diamètre de la tache lumineuse s'exprime donc par :

Remarque : si l'on adopte le modèle de la diffraction par une ouverture circulaire de diamètre b, le diamètre de la tache d'Airy au premier zéro est 2a_{\mathrm{d}} \approx 2{,}44\,\frac{\lambda d}{b}.

Pour l'estimation numérique, on choisit une longueur d'onde typique du domaine visible \lambda \approx 6\times 10^{-7}\text{ m} (cohérente avec la fréquence de l'émission LASER \nu = 5\times 10^{14}\text{ Hz} introduite à la question 38, où \lambda = c/\nu = 600\text{ nm}), avec d = 0{,}1\text{ m} et b = 2\times 10^{-5}\text{ m} :

Avec un seul chiffre significatif :

L'intensité lumineuse du faisceau LASER est supposée uniformément répartie sur sa section circulaire de rayon a_{\mathrm{P}} et de surface totale S_{\mathrm{tot}} = \pi a_{\mathrm{P}}^2. L'éclairement uniforme vaut donc :

Dans la situation de référence (\Delta = 0), le centre P_0 de la tache se situe exactement sur la ligne séparatrice entre les deux photodiodes : chacune intercepte un demi-disque d'aire S_1 = S_2 = \frac{\pi a_{\mathrm{P}}^2}{2}, d'où \phi_1 = \phi_2 = \frac{\phi_{\mathrm{tot}}}{2} et C = 0.

Lorsque le centre de la tache se déplace algébriquement de \Delta le long de l'axe orienté vers \mathrm{PhD}_2 :

• la surface photosensible de \mathrm{PhD}_2 gagne une bande élémentaire d'aire \delta S ;
• la surface photosensible de \mathrm{PhD}_1 perd cette même aire \delta S.

La bande gagnée est délimitée entre la ligne séparatrice initiale et la nouvelle position relative du diamètre. Sa surface s'écrit rigoureusement :

Dans la limite |\Delta| \ll a_{\mathrm{P}}, la largeur de la tache au niveau de la frontière est égale au diamètre 2a_{\mathrm{P}} à l'ordre zéro en \Delta. Au premier ordre, l'aire transférée est donc simplement :

La différence des aires reçues par les deux photodiodes vaut ainsi :

L'éclairement étant uniforme, le rapport des flux s'identifie au rapport des aires :

On obtient finalement :

D'après les questions 33, 34 et 35, le contraste photométrique s'écrit pour |\Delta| \ll a_{\mathrm{P}} :

avec \Delta = 2 d \theta et a_{\mathrm{P}} = a_{\mathrm{d}} \approx \frac{\lambda d}{b}. En injectant ces deux expressions, il vient :

On constate que la distance d entre la lame et le photodétecteur disparaît du rapport : augmenter d amplifie l'écart \Delta, mais agrandit dans la même proportion le rayon a_{\mathrm{d}} de la tache sur les photodiodes.

La cause physique fondamentale qui limite le contraste est la diffraction du faisceau lumineux par la face réfléchissante de la lame de largeur finie b :

• L'étalement angulaire par diffraction, \theta_{\mathrm{diff}} \sim \lambda / b, impose un élargissement inévitable du faisceau proportionnel à la distance de propagation d.
• Le contraste C est directement gouverné par le rapport entre l'angle de déflexion de la lame \theta et l'angle de diffraction \theta_{\mathrm{diff}}.

Notons \phi_{\mathrm{tot}} = \phi_1 + \phi_2 le flux lumineux total reçu par les deux photodiodes. D'après l'expression du contraste obtenue à la question 35 :

La simple différence de flux s'écrit donc :

Si l'intensité lumineuse du LASER fluctue au cours du temps (par exemple sous l'effet de dérives thermiques de la cavité), le flux total émis varie : \phi_{\mathrm{tot}}(t) = \kappa(t)\,\phi_0. Les flux reçus par chaque photodiode sont alors affectés par le même facteur d'échelle multiplicatif \kappa(t) :

Il en résulte que :

• la différence \Delta\phi(t) = \kappa(t)\,\Delta\phi^{(0)} est directement sensible aux fluctuations de puissance du LASER, ce qui entraîne une dérive de la mesure ou un bruit de fond indistinguable d'un déplacement réel \Delta de la tache ;

• le contraste C(t), en revanche, est une grandeur normalisée :

  C(t) = \frac{\kappa(t)\left(\phi_2^{(0)} - \phi_1^{(0)}\right)}{\kappa(t)\left(\phi_2^{(0)} + \phi_1^{(0)}\right)} = \frac{\phi_2^{(0)} - \phi_1^{(0)}}{\phi_2^{(0)} + \phi_1^{(0)}} = C^{(0)}

Le contraste C est donc strictement invariant vis-à-vis des fluctuations d'intensité de la source LASER, ce qui garantit une mesure fidèle, robuste et non biaisée de la position \Delta.