Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2024 (page 2/5 : Partie 2)

D'après la loi de Hooke pour un matériau élastique linéaire isotrope soumis à une sollicitation uniaxiale de traction ou compression le long de son axe \Delta :

• la contrainte normale homogène s'écrit \sigma = \dfrac{F}{S} ;
• la déformation relative axiale s'écrit \varepsilon = \dfrac{\ell - \ell_0}{\ell_0}.

Le module d'élasticité (module d'Young) E relie la contrainte à la déformation selon :

En remplaçant \sigma et \varepsilon par leurs expressions, on obtient :

d'où l'expression de la force de traction axiale nécessaire pour maintenir la barre à la longueur \ell :

L'énergie potentielle élastique E_{\mathrm{p}} emmagasinée par la barre correspond au travail fourni de manière quasi-statique par la force extérieure \vec{F} = F(\ell')\,\vec{e}_\Delta pour amener la barre de sa longueur à vide \ell_0 (état de référence sans déformation où E_{\mathrm{p}}(\ell_0) = 0) jusqu'à la longueur \ell :

En utilisant l'expression de la force F(\ell') établie à la question 14, il vient :

On obtient ainsi :

Le bâton de craie est encastré rigidement en son extrémité supérieure B sur le support horizontal (3), ce qui impose une tangente verticale à la fibre centrale en ce point. Le centre de courbure C est donc situé sur l'horizontale passant par B, à une distance R :

La fibre centrale BQ constitue un arc de cercle de centre C et de rayon R. Sa longueur étant constante et égale à L_0, l'angle au centre \alpha = (\vec{\mathrm{CQ}}, \vec{\mathrm{CB}}) vérifie :

Dans le repère d'origine B, les coordonnées du centre C sont (R, 0). Les coordonnées du point Q sur le cercle de centre C et de rayon R s'écrivent :

L'abscisse de Q par rapport à l'axe vertical non déformé passant par B correspond au déplacement horizontal q :

Dans le cadre de l'hypothèse de faible fléchissement (|q| \ll L_0, ce qui équivaut à L_0 \ll R, soit \alpha \ll 1), on effectue un développement limité au second ordre en \alpha :

On en déduit l'expression du déplacement relatif q :

Le bâton de craie est encastré verticalement en B d'abscisse relative nulle et d'ordonnée Y = L_0. L'arc de cercle de rayon R, tangent à la verticale en B, a donc son centre de courbure C situé sur l'horizontale passant par B, c'est-à-dire de coordonnées (R, L_0) dans le repère centré en Q_0.

L'équation du cercle décrivant la fibre neutre s'écrit :

soit, en choisissant la branche correspondant à X \ll R :

Dans le cadre de l'hypothèse de faible fléchissement (L_0 \ll R), un développement limité à l'ordre deux en (L_0 - Y)/R conduit à :

D'après le résultat de la question Q16, le déplacement à l'extrémité inférieure (Y = 0) est :

En injectant cette relation dans l'expression de X(Y), on obtient :

Dans le repère lié au support (3), l'extrémité supérieure B (Y = L_0) est fixe. Une tranche de craie située à l'ordonnée Y et d'épaisseur \mathrm{d}Y a pour section uniforme S = h^2. Sa masse élémentaire s'écrit :

où la masse totale du bâton est M = \rho\,h^2\,L_0.

D'après le résultat de la question Q17, le déplacement horizontal relatif d'une section d'ordonnée Y est :

En ne tenant compte que de la translation horizontale de chaque section, la vitesse d'une tranche d'ordonnée Y par rapport au support (3) est simplement :

L'énergie cinétique totale du bâton de craie dans le repère lié à (3) s'obtient en sommant sur toutes les tranches :

En effectuant le changement de variable u = 1 - \frac{Y}{L_0} (d'où \mathrm{d}Y = -L_0\,\mathrm{d}u) :

L'énergie cinétique s'écrit donc bien sous la forme :

avec :

La masse effective M^\star est définie à partir de l'énergie cinétique du bâton dans le référentiel lié au support (3) par :

où \dot{q} est la vitesse de l'extrémité libre inférieure du bâton (Y = 0).

D'après l'expression du champ de vitesse établie à la question Q18 :

• L'extrémité supérieure (Y = L_0) est encastrée dans le support (3), de sorte que sa vitesse relative est nulle : \dot{X}(L_0) = 0 ;
• L'extrémité inférieure (Y = 0) se déplace à la vitesse relative maximale : \dot{X}(0) = \dot{q} ;

• Pour toute section intermédiaire (0 < Y < L_0), la vitesse relative est strictement inférieure à \dot{q} en valeur absolue :

  |\dot{X}(Y)| < |\dot{q}|

L'ensemble du bâton ne se déplace donc pas à la vitesse \dot{q}. L'énergie cinétique réelle E_{\mathrm{c}} est strictement inférieure à l'énergie cinétique qu'aurait un solide indéformable de même masse M en translation à la vitesse \dot{q} :

Par identification avec E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2} M^\star \dot{q}^2, on en déduit immédiatement :

Le bâton de craie fléchi s'enroule selon un arc de cercle de centre C et de rayon de courbure R.

La fibre centrale (BQ) conserve sa longueur initiale L_0. L'angle au centre \alpha qu'elle sous-tend vérifie donc :

Une fibre (EF) quelconque est située parallèlement à la fibre centrale, à une distance algébrique e de celle-ci, avec e \in \left[-\frac{h}{2}, +\frac{h}{2}\right]. D'après la figure 6, pour e > 0 orienté vers l'extérieur de la courbure (opposé au centre de courbure C, c'est-à-dire côté extrados où les fibres sont étirées), le rayon de courbure de la fibre (EF) est :

Toutes les fibres sous-tendant le même angle au centre \alpha, la longueur de la fibre (EF) s'écrit :

Soit finalement :

Remarque : si la variable e est repérée selon l'axe horizontal (Ox) dirigé vers le centre C, le rayon de courbure de la fibre s'écrit R - e et l'on obtient L(e) = L_0\left(1 - \frac{e}{R}\right).

Considérons une fibre matérielle élémentaire située à la distance e de la fibre centrale (e \in [-h/2, +h/2]), de dimension selon l'axe (\mathrm{O}z) égale à la largeur h du bâton de craie. La section droite de cette fibre est :

D'après la question Q20, la longueur de cette fibre à l'état déformé s'écrit :

de sorte que son allongement algébrique vaut :

En appliquant l'expression établie à la question Q15 à cette fibre élémentaire assimilée à une barre de section \mathrm{d}S et de longueur à vide L_0, l'énergie potentielle élastique élémentaire emmagasinée s'écrit :

L'énergie potentielle élastique totale du bâton de craie s'obtient par sommation sur toutes les fibres constituant la section, c'est-à-dire en intégrant pour e variant de -h/2 à +h/2 :

On obtient ainsi :

Cette expression vérifie bien la condition de référence choisie : lorsque |R| \to +\infty (bâton rectiligne non déformé), on a E_{\mathrm{p}} \to 0.

D'après la question Q16, le déplacement relatif q de l'extrémité inférieure est relié au rayon de courbure R par :

D'après la question Q21, l'énergie potentielle élastique emmagasinée par le bâton de craie fléchi s'écrit :

En injectant l'expression de 1/R^2 = \dfrac{4q^2}{L_0^4} dans celle de E_{\mathrm{p}}, il vient :

En identifiant cette expression à la forme standard E_{\mathrm{p}} = \dfrac{1}{2} k^\star q^2, on obtient :

soit :

La forme quadratique E_{\mathrm{p}} = \dfrac{1}{2} k^\star q^2 était attendue pour plusieurs raisons physiques fondamentales :

1. Développement au voisinage d'un équilibre stable : L'état rectiligne non fléchi (q = 0) constitue la position d'équilibre mécanique de la craie en l'absence de sollicitation extérieure. Cette position d'équilibre étant stable, l'énergie potentielle y présente un minimum local :

   \left.\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}q}\right|_{q=0} = 0 \quad \text{et} \quad \left.\frac{\mathrm{d}^2E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}q^2}\right|_{q=0} = k^\star > 0

   Avec le choix de jauge E_{\mathrm{p}}(0) = 0, un développement de Taylor au second ordre pour les faibles déformations (|q| \ll L_0) conduit naturellement à :

   E_{\mathrm{p}}(q) \simeq \frac{1}{2} k^\star q^2
2. Symétrie du système (parité) : Le bâton de craie étant symétrique (section carrée homogène), une flexion vers la droite (q > 0) ou vers la gauche (q < 0) d'une même amplitude |q| met en jeu le même travail élastique. La fonction E_{\mathrm{p}}(q) est donc nécessairement paire (E_{\mathrm{p}}(q) = E_{\mathrm{p}}(-q)), ce qui exclut tout terme d'ordre impair dans son développement (en particulier les termes en q et q^3).
3. Cadre de l'élasticité linéaire : Le matériau est modélisé dans le domaine des petites déformations et de l'élasticité linéaire (loi de Hooke). L'énergie volumique de déformation étant proportionnelle au carré des déformations locales, l'énergie potentielle globale intégrée sur le volume de la craie est nécessairement quadratique en fonction de la coordonnée généralisée de déplacement q.

Pour les oscillations libres du bâton de craie, le système équivalent est conservatif. D'après les questions Q18 et Q22, l'énergie cinétique et l'énergie potentielle élastique s'écrivent :

L'énergie mécanique totale du système vaut donc :

En dérivant cette relation par rapport au temps, on obtient :

Pour un mouvement oscillatoire non trivial (\dot{q} \neq 0), l'équation différentielle régissant l'évolution libre de q(t) est :

Par identification avec l'équation canonique de l'oscillateur harmonique libre \ddot{q} + \omega_0^2 q = 0, on en déduit l'expression du carré de la pulsation propre :

La fréquence propre f_0 associée à la pulsation propre \omega_0 est donnée par :

Calculons séparément le terme sous la racine :

La racine carrée se simplifie donc exactement :

Par ailleurs, avec h = 1\text{ cm} = 10^{-2}\text{ m} et L_0 = 4\text{ cm} = 4 \times 10^{-2}\text{ m} :

La pulsation propre vaut ainsi :

On en déduit la fréquence propre f_0 :

En approximant 24\pi \simeq 24 \times 3{,}14 \simeq 75 :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif comme demandé par l'énoncé :

Dans le modèle discret masse-ressort équivalent :

• Le support tracteur (3) avance à la vitesse constante V_{\mathrm{B}}, son abscisse est donc X_{\mathrm{B}}(t) = V_{\mathrm{B}} t (avec l'origine choisie telle que X_{\mathrm{B}}(0) = 0).
• En l'absence de déformation (q = 0), l'extrémité inférieure se trouve en Q_0 à l'abscisse x_{Q_0} = X_{\mathrm{B}}(t).

• Lorsque le bâton fléchit, le déplacement relatif de l'extrémité Q selon (\mathrm{O}x) est noté q, de sorte que l'abscisse de la masse M^\star est :

  u(t) = X_{\mathrm{B}}(t) + q(t) = V_{\mathrm{B}} t + q(t) \quad \implies \quad q(t) = u(t) - V_{\mathrm{B}} t

L'énergie potentielle élastique associée à la flexion s'écrit, d'après la relation (4) établie à la question Q22 :

La force élastique de rappel s'exerçant sur la masse équivalente selon \vec{e}_x dérive de cette énergie potentielle :

Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la masse effective M^\star dans le référentiel galiléen du tableau, en projection sur l'axe horizontal (\mathrm{O}x) :

où T est la composante tangentielle de la réaction de contact au point Q. En introduisant la grandeur sans dimension \alpha(\dot{u}) = T / N, on a T = \alpha(\dot{u}) N.

L'équation du mouvement devient ainsi :

En divisant par la masse effective M^\star et en utilisant la pulsation propre \omega_0^2 = \frac{k^\star}{M^\star} (établie à la question Q24), on obtient :

L'équation différentielle obtenue à la question Q26 pour le système équivalent masse-ressort s'écrit :

Par comparaison terme à terme avec l'équation différentielle (1) établie pour le système modèle :

on identifie l'accélération de la pesanteur effective g_{\text{eff}} jouant le rôle de g :

Avec les valeurs numériques fournies :

• N = 1\text{ N} ;
• M^\star \simeq 1\text{ g} = 10^{-3}\text{ kg}.

On obtient numériquement :

Avec un chiffre significatif :

1. Nature des oscillations :

Le système effectue des oscillations auto-entretenues de coller-glisser (stick-slip). Puisque le paramètre r \simeq 10^{-1} \ll 1, le système se trouve dans le régime des vitesses relativement élevées (condition \mathrm{C}_{2\pi} établie à la question Q10) :

• la phase de glissement est très largement dominante sur le cycle, de largeur angulaire \Delta_{12} \simeq 2\pi - 2r \approx 2\pi ;
• la phase d'adhérence est très brève, de largeur angulaire \Delta_{23} \simeq 2r \ll 1.

L'oscillation est donc quasi-sinusoïdale durant la phase de glissement, périodiquement interrompue par une phase d'accrochage extrêmement courte.

2. Relation entre f_{\mathrm{ss}} et f_0 :

La période adimensionnée d'un cycle complet d'adhérence-glissement vaut :

La période temporelle T_{\mathrm{ss}} des oscillations de stick-slip est donc reliée à la pulsation propre \omega_0 par :

On en déduit l'égalité approchée :

3. Situation dans l'intervalle d'acuité de l'oreille humaine :

Le domaine de l'audible pour l'oreille humaine s'étend d'environ 20\text{ Hz} à 20\text{ kHz}. La fréquence de vibration f_{\mathrm{ss}} \simeq 3\text{ kHz} est bien située dans ce domaine.

De plus, l'intervalle d'acuité (sensibilité) maximale de l'oreille humaine se situe précisément entre 2\text{ kHz} et 4\text{ kHz} (effet de résonance du conduit auditif externe). La fréquence de crissement de la craie se trouve donc exactement dans la zone où l'oreille est la plus sensible, ce qui explique le caractère particulièrement perçant, strident et désagréable de ce son.