Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2021 (page 2/4 : Physique (questions 17 à 36))

D'après l'expression obtenue à la question 14, la force exercée par l'aimant sur une spire présente une dépendance spatiale selon la fonction :

À grande distance (X \gg 1 ou r = \sqrt{a^2+s^2} \gg a), cette force décroît très rapidement, comme X^{-8} (ou r^{-8} à rayon a fixé). De manière équivalente, l'équation (8) montre que l'interaction élémentaire est proportionnelle à \dfrac{a^3 s^2}{(a^2+s^2)^5}, grandeur qui s'atténue extrêmement vite dès que la distance à l'aimant dépasse quelques diamètres D.

Les courants de Foucault induits ainsi que les forces de freinage sont donc quasi-exclusivement confinés dans un volume restreint du bloc, à une distance de l'ordre de grandeur de la dimension de l'aimant (D = 10\text{ mm}) ou de son écartement s.

Dès lors que le bloc réel présente des dimensions géométriques (profondeur, hauteur, largeur) supérieures à quelques centimètres, les bords réels du matériau n'apportent qu'une contribution rigoureusement négligeable à la force totale.

1. Invariances et symétries du champ magnétique :

• Le dipôle magnétique est porté par l'axe (\mathrm{O}x) (\vec{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x) et son mouvement rectiligne s'effectue le long de ce même axe (\vec{v} = v\vec{e}_x). Le système est donc invariant par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (\mathrm{O}x).
• Tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}x) (plan méridien \Pi_m) est un plan d'antisymétrie pour les courants microscopiques constituant l'aimant. C'est donc un plan de symétrie pour le champ magnétique dipolaire \vec{B}_{\mathrm{a}} : en tout point M, \vec{B}_{\mathrm{a}}(M) \in \Pi_m, c'est-à-dire que sa composante orthoradiale est nulle (B_{\mathrm{a},\theta} = 0).

2. Direction du champ électrique induit et des courants :

• Le champ \vec{B}_{\mathrm{a}} variant au cours du temps du fait du déplacement de l'aimant, \dfrac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t} possède les mêmes propriétés de symétrie : \Pi_m est un plan de symétrie pour \dfrac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t}.

• D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t}

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} admet \Pi_m comme plan de symétrie. Par les propriétés de parité de l'opérateur rotationnel, le champ électrique induit \vec{E} admet \Pi_m comme plan d'antisymétrie.

• En tout point d'un plan d'antisymétrie, le vecteur \vec{E} est orthogonal à ce plan. Par conséquent, \vec{E} est orthogonal au plan méridien passant par ce point, soit :

  \vec{E}(x, r, \theta) = E_\theta(x, r)\,\vec{e}_\theta

• En appliquant la loi d'Ohm locale dans le bloc conducteur de conductivité \sigma, le vecteur densité volumique de courant s'écrit :

  \vec{\jmath} = \sigma \vec{E} = j_\theta(x, r)\,\vec{e}_\theta

3. Géométrie des lignes de courant : Les lignes de courant sont, par définition, les courbes intégrales tangentes en tout point à \vec{\jmath}. Comme \vec{\jmath} est purement orthoradial et indépendant de \theta, ces lignes sont des cercles orientés autour de l'axe (\mathrm{O}x).

Le bloc de cuivre massif présente une efficacité de freinage considérablement supérieure à celle d'une spire unique, pour deux raisons physiques complémentaires :

• Superposition d'une infinité de boucles conductrices : le bloc de cuivre peut être modélisé comme un empilement continu d'une infinité de spires élémentaires couvrant tout le demi-espace x \leqslant 0. Chacune de ces boucles élémentaires est traversée par un flux magnétique variable et devient le siège de courants induits (courants de Foucault) qui exercent tous une force de freinage axiale sur l'aimant en mouvement.
• Résistance électrique beaucoup plus faible : contrairement à la spire filaire constituée d'un fil de section millimétrique e \times e (e \ll a), le milieu conducteur continu offre une section de passage macroscopique énorme aux courants de Foucault. La résistance équivalente vue par les courants induits est donc bien plus faible, ce qui autorise des densités de courant et des intensités globales nettement plus élevées pour une même f.é.m. induite.

D'un point de vue énergétique, la puissance totale dissipée par effet Joule dans le bloc,

est beaucoup plus importante que le terme R\,i^2 d'une spire unique.

1. Dimension de B^{\star} :

La composante magnétique de la force de Lorentz s'exprime \vec{F} = q\,(\vec{v}\wedge\vec{B}). En passant aux dimensions :

Or, d'après le principe fondamental de la dynamique, une force a la dimension :

La vitesse étant homogène à une longueur divisée par un temps ([v] = \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}) et la charge électrique étant la grandeur de base [q] = \mathrm{Q}, il vient :

2. Dimension de \sigma :

D'après la loi d'Ohm locale, le vecteur densité volumique de courant est lié au champ électrique par \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, soit :

• L'intensité du courant électrique est le débit de charge à travers une surface, soit [I] = \mathrm{Q}\,\mathrm{T}^{-1}. Le courant par unité de surface s'écrit alors :

  [j] = \frac{[I]}{[S]} = \mathrm{Q}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{T}^{-1}

• La force électrostatique subie par une charge q est \vec{F} = q\,\vec{E}, d'où :

  [E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{Q}} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}\,\mathrm{Q}^{-1}

On en déduit :

Déterminons la dimension du numérateur de W, homogène à une quantité de mouvement :

D'après la question Q20, les grandeurs électromagnétiques ont pour dimensions :

Calculons la dimension du dénominateur de W :

Le quotient donne immédiatement :

Le groupement W est donc adimensionné :

Examinons à présent les dimensions de \Phi et \Psi :

• L'échelle d'espace \delta^\star a la dimension d'une longueur ([\delta^\star] = \mathrm{L}) et le diamètre [D] = \mathrm{L}. La relation \delta^\star = D\,\Phi(W) impose :

  [\Phi] = \frac{[\delta^\star]}{[D]} = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = 1

• L'échelle de temps \tau^\star a la dimension d'un temps ([\tau^\star] = \mathrm{T}) et \left[\frac{D}{|v_0|}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{T}. La relation \tau^\star = \frac{D}{|v_0|}\,\Psi(W) impose :

  [\Psi] = \frac{[\tau^\star]}{[D/|v_0|]} = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}} = 1

Les deux fonctions \Phi et \Psi sont donc adimensionnées :

Le problème dynamique fait intervenir cinq paramètres dimensionnés indépendants caractérisant le système et son état initial :

exprimés dans une base de quatre dimensions fondamentales (\mathrm{M}, \mathrm{L}, \mathrm{T}, \mathrm{Q}).

D'après le théorème de Vaschy-Buckingham (théorème \Pi), le nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes pouvant être formées à partir de ces paramètres est :

Ce groupement sans dimension est précisément W = \dfrac{m |v_0|}{\sigma {B^\star}^2 D^4}.

Une échelle caractéristique d'espace s'écrit sous la forme \delta^\star = D\,\Phi(W). Dès lors que W est adimensionné ([W] = 1), toute fonction \Phi(W) ou \Psi(W) est également sans dimension ([\Phi] = [\Psi] = 1). Par conséquent, l'analyse dimensionnelle garantit l'homogénéité de la relation :

quelle que soit la forme mathématique des fonctions \Phi et \Psi.

Pour déterminer l'expression explicite de \Phi et \Psi, il est indispensable de faire appel aux lois complètes de la physique régissant le phénomène (équations de Maxwell, loi de conservation de la charge, loi d'Ohm locale et principe fondamental de la dynamique) et de résoudre les équations différentielles associées.

1. Commentaire des évolutions temporelles :

• Phase d'approche libre (t \lesssim 0{,}08\text{ s}) : l'aimant se trouve à une distance relativement grande du bloc (s > 15\text{ mm}). Comme la force d'interaction décroît très rapidement avec la distance, l'action de freinage est négligeable. La vitesse reste quasi constante :

  v(t) \approx v_0 \approx -0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  et l'abscisse s(t) décroît de manière quasi linéaire.

• Phase de freinage intense (0{,}08\text{ s} \lesssim t \lesssim 0{,}14\text{ s}) : lorsque l'aimant s'approche à moins d'une quinzaine de millimètres du bloc, les courants de Foucault induits deviennent importants. Une force répulsive axiale intense freine l'aimant : sa vitesse passe rapidement de v_0 à zéro.

• Phase d'arrêt (t \gtrsim 0{,}15\text{ s}) : la vitesse s'annule complètement (v = 0). L'abscisse atteint un plateau stable à :

  s_{\text{arrêt}} \approx 6{,}5\text{ mm} > 0

  L'aimant s'est donc immobilisé avant d'entrer en collision mécanique avec la surface du bloc de cuivre.

2. Définition et estimation des grandeurs caractéristiques :

• Temps caractéristique de freinage \delta t (associé à \tau^\star) :
  On le définit comme la durée de la transition pendant laquelle la vitesse varie de façon significative, c'est-à-dire entre l'amorce de la décélération marquée (t_1 \approx 0{,}09\text{ s}, où v \approx -0{,}30\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et l'arrêt complet (t_2 \approx 0{,}14\text{ s}) :

  \delta t = t_2 - t_1 \approx 0{,}14 - 0{,}09 = 0{,}05\text{ s} = 50\text{ ms}

• Distance caractéristique de freinage \delta s (associée à \delta^\star) :
  On la définit comme la distance parcourue par l'aimant durant cette même phase de freinage intense :

  \delta s = s(t_1) - s(t_2) \approx 14\text{ mm} - 6{,}5\text{ mm} \approx 7{,}5\text{ mm} \approx 8\text{ mm}

D'où les estimations des grandeurs caractéristiques :

Le déplacement de l'aimant au voisinage du bloc de cuivre induit des courants de Foucault volumiques de densité \vec{\jmath}. D'après le théorème d'Ampère (ou la loi de Biot et Savart), ces courants induits génèrent à leur tour un champ magnétique induit \vec{B}_{\mathrm{ind}}.

Le champ magnétique total en un point du bloc est donc la somme superposée du champ créé par l'aimant et du champ propre créé par l'ensemble des courants induits :

Chaque spire élémentaire est ainsi soumise non seulement au champ dipolaire \vec{B}_{\mathrm{a}} de l'aimant, mais également au champ créé par toutes les autres spires élémentaires du bloc (phénomène d'induction mutuelle et de self-induction globale).

D'après la loi de Lenz, ce champ induit \vec{B}_{\mathrm{ind}} tend à s'opposer aux variations du flux inducteur, ce qui conduit à un phénomène d'écrantage magnétique (analogue à l'effet de peau). L'hypothèse \mathrm{H}_B, consistant à négliger \vec{B}_{\mathrm{ind}} devant \vec{B}_{\mathrm{a}} afin de ne considérer que le champ de l'aimant seul, nécessite donc d'être formellement justifiée.

Dans un conducteur ohmique immobile de conductivité \sigma et de perméabilité magnétique \mu_0, les équations de Maxwell dans l'ARQS (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}, \vec{\operatorname{div}}\vec{B} = 0, \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}) et la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E} conduisent à l'équation de diffusion du champ magnétique :

Par analyse aux ordres de grandeur sur une échelle spatiale \delta_B et une échelle de temps \tau_B, il vient :

On en déduit l'expression de la longueur caractéristique d'écrantage (analogue à l'épaisseur de peau en régime sinusoïdal) :

Remarque : En régime harmonique de pulsation \omega \sim 1/\tau_B, l'épaisseur de peau conventionnelle s'écrit \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}} = \sqrt{\frac{2\tau_B}{\mu_0 \sigma}}, qui est du même ordre de grandeur à un facteur \sqrt{2} près.

D'après la question Q23, la variation la plus rapide du champ magnétique est imposée par la phase de décélération de l'aimant au voisinage immédiat du bloc, qui se déroule sur une durée caractéristique :

En utilisant l'expression issue de l'analyse de diffusion magnétique (question Q25) :

avec les données numériques :

• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}
• \sigma = 6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• \mu_0 \sigma = 24\pi \approx 75\text{ s}\cdot\text{m}^{-2}

on obtient :

(une définition avec un facteur 2 conduirait de même à \delta_B \approx 36\text{ mm}, soit un ordre de grandeur de quelques centimètres).

Comparons cette longueur aux dimensions géométriques du problème :

• le diamètre de l'aimant est D = 10\text{ mm} ;
• la distance caractéristique de freinage est \delta s \approx 8\text{ mm}, et l'aimant s'arrête à une distance s_{\text{arrêt}} \approx 6{,}5\text{ mm} de la surface.

La longueur d'écrantage \delta_B est donc supérieure aux dimensions de la zone où le champ magnétique et les courants induits sont concentrés (\delta_B > D et \delta_B > \delta s).

Le champ magnétique de l'aimant pénètre donc le milieu conducteur sans être fortement atténué par les courants de Foucault sur cette échelle spatiale. L'hypothèse \mathrm{H}_B consistant à négliger la réaction magnétique des spires élémentaires est donc fondée en première approximation.

Dans l'équation (8), la force exercée sur une spire de rayon a et de section de fil e^2, située à une distance axiale |s| de l'aimant, est donnée par :

Pour le bloc de cuivre continu modélisé comme un empilement de spires élémentaires d'axe (\mathrm{O}x) :

• La section droite élémentaire de la spire, de dimensions radiale \mathrm{d}a et axiale \mathrm{d}u, est :

  e^2 \longrightarrow \mathrm{d}a\,\mathrm{d}u

• La distance axiale entre le centre de l'aimant et le plan de la spire élémentaire n'est plus s, mais la variable axiale u (u \ge s) :

  s \longrightarrow u
• Le rayon de la spire est la variable continue a.
• La vitesse relative de l'aimant par rapport au milieu conducteur reste v = \dot{s}.

En transposant directement ces grandeurs dans l'expression (8), on obtient la composante axiale de la force élémentaire \mathrm{d}^2\vec{F}_{\mathrm{a/b}} = \mathrm{d}^2 F_{\mathrm{a/b}}\,\vec{e}_x exercée par l'aimant sur la spire élémentaire :

Le bloc de cuivre occupe le demi-espace x \in [-\infty, 0]. Pour l'aimant situé en s > 0 sur l'axe (Ox), la coordonnée axiale relative d'une tranche d'abscisse x est u = s - x. Lorsque x parcourt l'intervalle [-\infty, 0], la variable u varie de s à +\infty.

Par ailleurs, le milieu étant infini selon les directions transverses y et z, le rayon a de la spire élémentaire varie de 0 à +\infty.

La force totale subie par le bloc s'obtient en intégrant la force élémentaire \mathrm{d}^2 F_{\mathrm{a/b}} établie à la question précédente :

Pour l'intégrale interne sur a à u fixé, effectuons le changement de variable x = a/u, d'où \mathrm{d}a = u \, \mathrm{d}x :

avec, d'après l'énoncé, I_1 = \frac{1}{24}.

En réinjectant cette expression dans l'intégrale sur u :

Par identification avec la relation F_{\mathrm{a/b}} = \alpha G \frac{v}{s^3}, on obtient :

Considérons l'aimant de masse m, assimilé à un point matériel \mathrm{A} d'abscisse s(t), dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z).

D'après l'énoncé, la gravité et l'influence de l'air sont négligées. De plus, l'aimant est astreint à se déplacer selon l'axe (\mathrm{O}x). La seule composante axiale des forces appliquées à l'aimant provient de l'interaction avec le bloc conducteur.

En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par le bloc de cuivre sur l'aimant s'écrit :

En utilisant l'expression obtenue à la question Q28, F_{\mathrm{a/b}} = \alpha G \dfrac{v}{s^3} = \alpha G \dfrac{\dot{s}}{s^3} :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (\mathrm{O}x) donne :

En introduisant la grandeur Q = \dfrac{\alpha G}{2m} définie dans l'énoncé, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q29, l'équation différentielle régissant le mouvement de l'aimant s'écrit :

En utilisant la vitesse v = \dot{s}, cette équation devient :

Or, pour s \neq 0, la dérivée par rapport au temps de la fonction s \mapsto -\frac{1}{s^2} est donnée par :

L'équation du mouvement s'écrit donc sous la forme d'une dérivée temporelle totale :

Il en découle immédiatement l'existence d'une intégrale première du mouvement :

En évaluant cette constante à l'instant initial t=0, où s(0) = s_0 et v(0) = v_0, on obtient la relation valable à chaque instant du mouvement :

D'après l'intégrale première établie à la question Q30 :

L'aimant s'immobilise en une abscisse finale d'arrêt s_f > 0 telle que v(s_f) = 0. Il vient :

D'après la figure 3, la position initiale vaut s_0 \simeq 43\text{ mm} et la position finale d'arrêt est s_f \simeq 6{,}5\text{ mm}. Le rapport des distances vérifie ainsi :

On en déduit immédiatement la comparaison demandée :

Sous cette condition, la constante du mouvement se simplifie en A \simeq v_0 = -|v_0|, ce qui donne pour la trajectoire dans l'espace des phases :

Caractéristiques de cette trajectoire :

• Au départ (s \approx s_0), Q/s^2 \ll |v_0|, donc la vitesse reste quasiment constante : v(s) \simeq v_0 < 0.
• Comme v = \dot{s} < 0, l'abscisse s décroît au cours du temps : le portrait de phase est parcouru de droite à gauche.
• À mesure que l'aimant se rapproche du bloc (s \to s_f), le terme Q/s^2 augmente rapidement et v(s) croît algébriquement (sa norme diminue) jusqu'à atteindre v(s_f) = 0.
• Le mouvement s'arrête en (s_f, 0) car lorsque v = 0, la force de freinage induite s'annule identiquement.

Le bloc de cuivre occupe le demi-espace x \le 0. L'aimant est une sphère de diamètre D, de rayon R = D/2, dont le centre a pour abscisse s. Le point de la surface de l'aimant le plus proche du bloc a donc pour abscisse axiale :

La collision mécanique entre l'aimant et le bloc intervient si la sphère entre en contact avec le plan x = 0, ce qui correspond à l'abscisse critique :

D'après le résultat de la question Q31, sous la condition Q/s_0^2 \ll |v_0|, l'évolution de la vitesse dans l'espace des phases s'écrit :

L'aimant est freiné et s'immobilise (v=0) à l'abscisse d'arrêt s_f donnée par :

Pour que l'aimant n'entre pas en collision avec le bloc, il doit s'arrêter avant d'avoir atteint la position de contact, c'est-à-dire :

Comme l'aimant se déplace vers les abscisses décroissantes (v_0 < 0), l'inégalité sur le module se traduit algébriquement par :

Il existe donc bien une vitesse critique négative au-dessus de laquelle l'aimant est totalement freiné avant d'atteindre le bloc :

D'après la question Q32, la vitesse critique d'arrêt vérifie :

En introduisant la définition Q = \dfrac{\alpha G}{2m} et l'expression de G = \dfrac{\pi}{32} \left({B^\star} D^3\right)^2 \sigma = \dfrac{\pi}{32} {B^\star}^2 D^6 \sigma (équation (8)), il vient :

Avec la valeur numérique \alpha = \dfrac{1}{72} établie à la question Q28, on obtient :

soit l'expression finale :

Commentaire des dépendances :

• Conductivité \sigma et champ rémanent B^\star : |v_{0\mathrm{c}}| augmente proportionnellement à \sigma et au carré de B^\star. Plus le milieu est conducteur et l'aimant puissant, plus les courants induits de Foucault et les forces de Laplace de freinage sont intenses, ce qui permet d'arrêter l'aimant sans choc pour des vitesses incidentes plus élevées.
• Masse m : |v_{0\mathrm{c}}| est inversement proportionnelle à m. Une inertie plus grande rend la décélération plus difficile pour une force donnée, réduisant la vitesse maximale avant collision.
• Diamètre D : La dépendance en D^4 est particulièrement forte. Elle provient du moment magnétique dipolaire \mathcal{M} \propto D^3 (d'où une force variant comme \mathcal{M}^2 \propto D^6), tempérée par la distance de contact s_{\text{contact}} = D/2 au dénominateur (1/s^2 \propto 1/D^2).

Identification de la fonction \Omega(W) : D'après l'équation (7), le groupement adimensionné W est défini par :

En réinjectant cette relation dans l'expression de |v_{0\mathrm{c}}|, on trouve :

Par identification, la fonction \Omega(W) s'écrit :

D'après le résultat de la question Q33, le module de la vitesse critique s'exprime par :

Les données numériques fournies par l'énoncé sont :

• \sigma = 6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• B^\star = 1{,}3\text{ T}, d'où {B^\star}^2 = 1{,}69\text{ T}^2 ;
• D = 10\text{ mm} = 10^{-2}\text{ m}, d'où D^4 = 10^{-8}\text{ m}^4 ;
• m = 4\text{ g} = 4 \times 10^{-3}\text{ kg} ;
• \pi \approx 3{,}14.

Calculons dans un premier temps le rapport dimensionné :

Puis le produit avec le facteur sans dimension \frac{\pi}{1152} :

D'après la question Q32, le contact entre la surface de l'aimant sphérique et la paroi du bloc conducteur (située en x=0) a lieu lorsque l'abscisse du centre de l'aimant atteint :

La vitesse initiale critique v_{0\mathrm{c}} correspond à la trajectoire limite dans l'espace des phases (s, v) qui atteint l'axe v = 0 précisément en s = 5\text{ mm}.

Examinons les trois courbes de la figure (5) :

• Pour la courbe supérieure (v_0 \approx -0{,}36\text{ à }-0{,}37\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), l'aimant s'arrête à une distance s_f \approx 6{,}5\text{ mm} > 5\text{ mm} : l'aimant est freiné avant de toucher le bloc.
• Pour la courbe inférieure (v_0 \approx -0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la trajectoire s'interrompt brutalement lors de l'impact en s \approx 5\text{ mm}, avec une vitesse résiduelle non nulle d'environ -0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On a donc |v_0| > |v_{0\mathrm{c}}|_{\mathrm{exp}}.
• Pour la courbe intermédiaire (v_0 \approx -0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la vitesse s'annule quasiment à la position de contact (s \approx 5{,}1\text{ à }5{,}2\text{ mm} \approx D/2).

On peut également utiliser la première trajectoire (|v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, s_f \approx 6{,}5\text{ mm}) pour en déduire la constante expérimentale Q_{\mathrm{exp}} = |v_0| s_f^2 \approx 0{,}36 \times (6{,}5 \times 10^{-3})^2 \approx 1{,}5 \times 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, ce qui donne :

Par lecture directe ou calcul, on estime donc :

Comparaison avec la modélisation :

La valeur théorique calculée à la question Q34 est |v_{0\mathrm{c}}| \approx 0{,}69\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (ou \approx 0{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). L'écart relatif entre la théorie et l'expérience est :

L'accord est remarquable compte tenu des approximations adoptées (modèle dipolaire ponctuel, bloc semi-infini, négligence de l'effet d'écrantage et de l'auto-induction).

1. Dépendance de la distance caractéristique \delta^\star et forme de \Phi(W) :

• Sur la figure 5, pour les trois valeurs de la vitesse initiale (|v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, 0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et 0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la phase de décélération marquée (incurvation de la courbe de phase v(s)) se produit sensiblement dans la même région spatiale, localisée typiquement entre s \approx 15\text{ mm} et s \approx 5\text{ mm}.
• L'extension spatiale sur laquelle s'exerce l'essentiel du freinage apparaît donc indépendante de la vitesse initiale |v_0| (elle est fixée par la géométrie du dipôle et du conducteur, de l'ordre du diamètre D = 10\text{ mm}).

D'après l'équation (7), on a :

Puisque \delta^\star ne dépend pas de |v_0|, elle ne dépend pas de W, ce qui implique que la fonction \Phi est constante :

2. Dépendance du temps caractéristique \tau^\star et forme de \Psi(W) :

• L'intervalle de temps \Delta t entre deux points consécutifs étant constant et identique pour les trois essais, la durée du freinage \tau^\star est directement proportionnelle au nombre N de points situés dans la zone de forte décélération (s \lesssim 15\text{ mm}).

• On constate visuellement que le nombre de points dans cette zone diminue nettement lorsque |v_0| augmente :

  • pour |v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 10 à 12 points ;
  • pour |v_0| \approx 0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 5 à 6 points ;
  • pour |v_0| \approx 0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 3 à 4 points.

• Le temps caractéristique de freinage est donc inversement proportionnel à la vitesse initiale :

  \tau^\star \sim \frac{\delta^\star}{|v_0|} \propto \frac{1}{|v_0|}

D'après l'équation (7), on a :

La dépendance en 1/|v_0| étant entièrement portée par le préfacteur D/|v_0|, la fonction \Psi ne dépend pas de W :