Corrigé détaillé ENS Physique Chimie L PC 2021

Dans le plan (\mathrm{O}, x, y) :

• L'axe (\mathrm{O}x) est l'axe de révolution du système.
• La spire, située dans le plan x = 0, apparaît sous forme de deux sections carrées e \times e distantes de 2a, centrées en (0, a) (point \mathrm{P}) et (0, -a).
• L'aimant sphérique est centré en \mathrm{A} d'abscisse s > 0. Son moment magnétique dipolaire \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x est orienté vers la gauche (-\vec{e}_x), définissant un pôle Nord magnétique dirigé vers la spire et un pôle Sud dirigé vers les x positifs.
• Les lignes de champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{a}} sont fermées, orientées du pôle Nord vers le pôle Sud dans l'espace extérieur à l'aimant. Sur l'axe (\mathrm{O}x), entre l'aimant et la spire, le champ magnétique est dirigé selon -\vec{e}_x. Au niveau de la spire (x = 0), les lignes de champ traversent la spire de droite à gauche en divergeant par rapport à l'axe (\mathrm{O}x).

1. Orientation du champ et variation du flux : L'aimant possède un moment magnétique permanent \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x (\mathcal{M} \ge 0). Son pôle Nord est donc dirigé vers les x décroissants (en direction de la spire). Le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{a}} produit sur l'axe entre l'aimant et la spire est par conséquent dirigé selon -\vec{e}_x.

La surface de la spire étant orientée par le vecteur unitaire \vec{e}_x, le flux du champ magnétique de l'aimant à travers la spire est négatif :

L'aimant se situant à l'abscisse s > 0 et se déplaçant avec une vitesse v = \dot{s} < 0, la distance s diminue au cours du temps : l'aimant se rapproche de la spire. Le champ perçu au niveau de la spire devient plus intense, donc la valeur absolue du flux augmente, ce qui correspond à une diminution algébrique du flux :

2. Loi de Lenz et f.é.m. induite : D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire s'écrit :

Sous l'hypothèse résistive \mathrm{H}_R, la relation constitutive de la spire s'écrit e = R i. La résistance R étant strictement positive, on en déduit immédiatement :

Le courant induit i est donc conventionnellement positif.

Physiquement, d'après la loi de modération de Lenz, le courant induit s'oppose à la cause qui lui donne naissance (le rapprochement de l'aimant). La spire tend donc à repousser l'aimant en présentant une face Nord face au pôle Nord de l'aimant, ce qui nécessite la création d'un champ induit \vec{B}_{\mathrm{ind}} dirigé selon +\vec{e}_x.

3. Sens du courant au point \mathrm{P} : Le repère (O, x, y, z) étant direct, avec (Ox) horizontal vers la droite et (Oy) vertical vers le haut, l'axe (Oz) est perpendiculaire au plan (O, x, y) et dirigé vers l'avant (vers l'observateur).

L'orientation positive de la surface étant donnée par \vec{e}_x, le sens de parcours direct de la spire est déterminé par la règle de la main droite (ou du tire-bouchon de Maxwell) autour de l'axe (Ox). Au point \mathrm{P}(0, a, 0), le vecteur tangent au contour orienté positivement est :

Comme i > 0, le courant circule dans le sens direct : au point \mathrm{P}, il est orienté selon +\vec{e}_z, c'est-à-dire dirigé vers le lecteur.

1. Expression et représentation de la force élémentaire au point \mathrm{P}

Au point \mathrm{P}(0, a, 0), le vecteur déplacement élémentaire orienté dans le sens du courant positif (i > 0, courant sortant du plan (\mathrm{O}, x, y), établi à la question précédente) s'écrit :

La portion élémentaire de conducteur subit la force de Laplace :

D'après l'allure des lignes de champ tracées à la question 1 :

• La ligne de champ issue du pôle Nord de l'aimant s'évase vers le haut en atteignant \mathrm{P}, ce qui donne une composante radiale B_{\mathrm{a},y} > 0.
• Pour la position représentée sur la figure (s > a/\sqrt{2}), la ligne de champ est orientée vers les x décroissants, soit B_{\mathrm{a},x} < 0.

On en déduit le signe des composantes de la force de Laplace élémentaire :

• Composante axiale : \mathrm{d}F_x = -i\,\mathrm{d}\ell\,B_{\mathrm{a},y} < 0, dirigée selon -\vec{e}_x (vers la gauche) ;
• Composante radiale : \mathrm{d}F_y = i\,\mathrm{d}\ell\,B_{\mathrm{a},x} < 0, dirigée selon -\vec{e}_y (centripète, vers l'axe (\mathrm{O}x)).

Le vecteur \mathrm{d}\vec{F} est donc orienté vers le bas et vers la gauche dans le plan (\mathrm{O}, x, y).

2. Conséquences mécaniques de cette force

• À l'échelle locale (sur le conducteur) :

  • Effet axial : chaque élément de spire subit une poussée axiale selon -\vec{e}_x.
  • Effet de striction : la composante radiale centripète (\mathrm{d}F_r < 0) s'exerce vers l'intérieur tout le long du pourtour, induisant une contrainte mécanique de compression circonférentielle (tendance à contracter la spire).

• À l'échelle globale de la spire :

  • Par symétrie de révolution autour de l'axe (\mathrm{O}x), la résultante des forces radiales est strictement nulle : \displaystyle \oint \mathrm{d}\vec{F}_{\perp} = \vec{0}.

  • Les composantes axiales s'ajoutent constructivement pour former une force résultante répulsive non nulle :

    \vec{F}_{\mathrm{a/s}} = F_{\mathrm{a/s}}\,\vec{e}_x \quad \text{avec} \quad F_{\mathrm{a/s}} < 0

    La spire étant maintenue fixe, cette force se transmet intégralement sous forme d'effort mécanique sur son bâti de fixation.

  • Par symétrie cylindrique, le moment résultant en \mathrm{O} est nul : \vec{\Gamma}_{\mathrm{O}} = \vec{0} (aucun couple de basculement ni de rotation).

• Par action-réaction, sur l'aimant mobile : En vertu de la troisième loi de Newton, l'aimant subit de la part de la spire la force directement opposée :

  \vec{F}_{\mathrm{s/a}} = -\vec{F}_{\mathrm{a/s}} = |F_{\mathrm{a/s}}|\,\vec{e}_x

  Comme l'aimant se déplace vers les x décroissants (\vec{v} = v\vec{e}_x avec v < 0), cette force est de sens opposé à la vitesse : il s'agit d'une force de freinage électromagnétique qui ralentit l'aimant.

Décomposons le mouvement de l'aimant, qui se déplace avec une vitesse algébrique v < 0 :

• Phase d'approche (s > 0, t < t_O) : L'interaction initiale est négligeable, donc i(0) \approx 0. À mesure que l'aimant s'approche de la spire, le flux inducteur \phi_{\mathrm{a/s}}(s) < 0 devient de plus en plus négatif (croissance en valeur absolue). D'après la loi de Faraday et l'analyse de la question Q2, le courant induit est conventionnellement positif (i(t) > 0). La dérivée temporelle du flux passe par un extremum, ce qui se traduit par un pic positif de courant.

• Franchissement du plan de la spire (s = 0, t = t_O) : Par symétrie, la norme du champ créé sur l'axe et le flux à travers la spire atteignent un extremum (en valeur absolue) lorsque l'aimant est au centre de la spire : \left.\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}s}\right|_{s=0} = 0. Il en résulte que :

  e(t_O) = -\left.\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=t_O} = -\left.\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}s}\right|_{s=0} \cdot v(t_O) = 0 \implies i(t_O) = 0
• Phase d'éloignement (s < 0, t > t_O) : L'aimant poursuit sa course vers les abscisses négatives. Le flux inducteur (qui reste orienté selon -\vec{e}_x) diminue en valeur absolue (\mathrm{d}|\phi_{\mathrm{a/s}}|/\mathrm{d}t < 0). D'après la loi de modération de Lenz, le système tend à s'opposer à cette diminution en créant un champ propre orienté selon -\vec{e}_x. Le courant induit change donc de sens et devient négatif (i(t) < 0). Enfin, lorsque l'aimant s'éloigne indéfiniment (t \to +\infty), le couplage s'annule : i \to 0.
• Dissymétrie due au freinage : L'aimant subit une force de freinage continue (étudiée en Q3). Sa vitesse en module |v| est donc plus faible lors de la phase d'éloignement que lors de la phase d'approche (|v(t > t_O)| < |v(t < t_O)|). L'amplitude du pic négatif est donc légèrement plus faible que celle du pic positif, et le second lobe est temporellement un peu plus étalé.

L'allure temporelle du courant induit i(t) est représentée ci-dessous :

La force axiale exercée par l'aimant sur la spire s'obtient à partir de la loi de modération de Lenz et du principe des actions réciproques :

• Pour t < t_O (s > 0, l'aimant s'approche de la spire avec v < 0) : d'après la question 3, l'action est répulsive. La spire repousse l'aimant vers les x > 0 (\vec{F}_{\mathrm{s/a}} = F_{\mathrm{s/a}}\vec{e}_x avec F_{\mathrm{s/a}} > 0). En vertu du principe des actions réciproques, la force exercée par l'aimant sur la spire est dirigée selon -\vec{e}_x :

  \vec{F}_{\mathrm{a/s}} = -\vec{F}_{\mathrm{s/a}} \implies F_{\mathrm{a/s}} < 0

• À l'instant t = t_O (s = 0) : l'aimant est au centre de la spire. Par symétrie du champ créé (ou parce que le courant induit i(t_O) = 0), la force magnétique axiale est nulle :

  F_{\mathrm{a/s}}(t_O) = 0

• Pour t > t_O (s < 0, l'aimant s'éloigne vers les x < 0 avec v < 0) : la loi de Lenz stipule que les effets induits s'opposent à l'éloignement. L'interaction est alors attractive : la spire retient l'aimant en exerçant sur lui une force vers la droite (\vec{F}_{\mathrm{s/a}} selon +\vec{e}_x). Par action-réaction, l'aimant attire la spire dans le sens de son mouvement, soit vers la gauche :

  \vec{F}_{\mathrm{a/s}} = -\vec{F}_{\mathrm{s/a}} \implies F_{\mathrm{a/s}} < 0

Ainsi, la composante axiale F_{\mathrm{a/s}}(t) reste toujours négative ou nulle : l'aimant tend constamment à entraîner la spire dans le sens de son déplacement (-\vec{e}_x).

De plus, l'interaction s'annule à l'infini (t \to 0 et t \to +\infty). La courbe présente donc deux minima locaux (deux creux négatifs) séparés par un zéro à l'instant t_O. En raison du freinage progressif de l'aimant (|v| diminue), le second extremum a une amplitude légèrement plus faible que le premier.

Dans le référentiel galiléen \mathcal{R}, le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'aimant de masse m, projeté sur l'axe (\mathrm{O}x), s'écrit :

D'après le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par la spire sur l'aimant est l'opposée de celle exercée par l'aimant sur la spire :

On déduit les caractéristiques de l'évolution temporelle de la vitesse v(t) :

• Signe de la dérivée : comme établi à la question précédente, la composante axiale vérifie F_{\mathrm{a/s}}(t) \le 0 à tout instant. Il vient donc :

  \dot{v}(t) \ge 0

  La vitesse algébrique v(t) est donc monotone croissante. Comme la vitesse reste constamment négative (v(t) < 0), son module |v(t)| diminue : l'aimant subit bien un freinage continu.

• Instant de passage en \mathrm{O} (t = t_O) : au centre de la spire, la force s'annule (F_{\mathrm{a/s}}(t_O) = 0), ce qui implique :

  \dot{v}(t_O) = 0

  La courbe v(t) présente ainsi nécessairement un replat à tangente horizontale (point d'inflexion à pente nulle) en t = t_O.

• Phases de décélération maximale : l'accélération \dot{v}(t) présente deux maxima positifs distincts, correspondant aux deux minima négatifs de F_{\mathrm{a/s}}(t) aux instants t_1 < t_O (phase d'approche) et t_2 > t_O (phase d'éloignement).
• Comportement asymptotique : initialement, pour t \to 0 (s \gg a), v(0) = v_0 < 0. Après franchissement, lorsque l'aimant s'éloigne indéfiniment (t \to +\infty, s \to -\infty), la force s'annule et la vitesse tend vers une vitesse limite v_\infty constante, avec v_0 < v_\infty < 0.

Considérons le remplacement de \vec{\mathcal{M}} par -\vec{\mathcal{M}} :

1. Évolution temporelle du courant i(t) : Le champ magnétique dipolaire \vec{B}_{\mathrm{a}} étant linéaire en \vec{\mathcal{M}}, il est changé en son opposé :

   \vec{B}'_{\mathrm{a}} = -\vec{B}_{\mathrm{a}}

   Par conséquent, le flux magnétique à travers la spire est lui aussi changé en son opposé : \phi'_{\mathrm{a/s}}(t) = -\phi_{\mathrm{a/s}}(t). D'après la loi de Faraday et sous l'hypothèse d'une spire purement résistive, la force électromotrice et le courant induit vérifient :

   e' = -\frac{\mathrm{d}\phi'_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t} = -e \implies i'(t) = -i(t)

   L'évolution du courant i(t) est donc changée en son opposée (symétrie par rapport à l'axe des abscisses). Le courant devient d'abord négatif pour t < t_O, s'annule en t_O, puis devient positif pour t > t_O.

2. Évolution temporelle de la force axiale F_{\mathrm{a/s}}(t) : L'élément de force de Laplace exercé sur la spire s'écrit \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{a/s}} = i\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge \vec{B}_{\mathrm{a}}. Comme le courant i et le champ \vec{B}_{\mathrm{a}} sont tous deux inversés simultanément, leur produit vectoriel est conservé :

   \mathrm{d}\vec{F}'_{\mathrm{a/s}} = (-i)\,\mathrm{d}\vec{\ell} \wedge (-\vec{B}_{\mathrm{a}}) = \mathrm{d}\vec{F}_{\mathrm{a/s}}

   L'évolution temporelle de la composante axiale F_{\mathrm{a/s}}(t) est donc rigoureusement inchangée.

3. Évolution temporelle de la vitesse v(t) : D'après le principe des actions réciproques, la force de freinage subie par l'aimant est \vec{F}_{\mathrm{s/a}} = -\vec{F}_{\mathrm{a/s}}, qui est également inchangée. Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'aimant de masse m donne :

   m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = F_{\mathrm{s/a}}

   L'accélération et les conditions initiales (s_0, v_0) restant identiques, l'évolution temporelle de la vitesse v(t) est strictement inchangée.

1. Bilan mécanique sur l'aimant :

Dans le référentiel galiléen \mathcal{R}, l'aimant (de masse m) n'est soumis qu'à la force exercée par la spire \vec{F}_{\mathrm{s/a}} (pesanteur et frottements fluides étant négligés). Le théorème de la puissance cinétique donne :

L'énergie potentielle d'interaction entre le dipôle \overrightarrow{\mathcal{M}} et le champ créé par la spire s'écrit E_{\mathrm{p}} = -\overrightarrow{\mathcal{M}} \cdot \vec{B}_{\mathrm{s}}(\mathrm{A}). Par le théorème de réciprocité, ce champ est proportionnel au courant i et au flux créé par l'aimant à travers la spire : E_{\mathrm{p}} = - i\,\phi_{\mathrm{a/s}}(s). La force s'en déduit selon \vec{F}_{\mathrm{s/a}} = -\frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}s}\vec{e}_x = i \frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}s}\vec{e}_x.

La puissance mécanique reçue par l'aimant vaut donc :

2. Bilan électrique dans la spire :

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire est :

Sous l'hypothèse résistive (H_R), le terme auto-inductif L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} est négligé, de sorte que la loi d'Ohm pour la spire fermée s'écrit e = R\,i. On en déduit :

3. Bilan global du système {aimant + spire} :

Le système global n'échange aucun travail mécanique avec l'extérieur (la spire étant maintenue fixe). En sommant les contributions :

L'énergie cinétique perdue par l'aimant lors de son passage est intégralement convertie, par le biais du couplage électromécanique induit, en énergie thermique dissipée par effet Joule dans la spire.

L'aimant sphérique de diamètre D a pour volume :

Son moment magnétique par unité de volume étant M = \dfrac{B^{\star}}{\mu_0}, la norme de son moment magnétique total vaut :

Le moment magnétique vectoriel s'écrit donc :

D'après la figure 1, l'angle \varphi est l'angle entre la direction opposée à l'axe (\mathrm{O}x), c'est-à-dire le vecteur (-\vec{e}_x) qui porte \overrightarrow{\mathcal{M}}, et le vecteur radial unitaire \vec{e}_r = \dfrac{\overrightarrow{\mathrm{AQ}}}{\|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\|} :

En reportant ces expressions dans l'équation (1) de l'énoncé :

En remplaçant \dfrac{\mu_0 \mathcal{M}}{4\pi} par son expression :

On obtient finalement :

Étape 1 : Choix du contour et orientation

La spire \mathcal{C} est un cercle de centre \mathrm{O} et de rayon a situé dans le plan x = 0. Sa surface étant orientée par le vecteur normal unitaire \vec{e}_x, la règle du tire-bouchon oriente le contour \mathcal{C} selon le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta des coordonnées cylindriques (\rho, \theta, x) d'axe (\mathrm{O}x) :

Étape 2 : Potentiel vecteur créé par l'aimant en un point de la spire

L'aimant, assimilé à un dipôle magnétique ponctuel situé en \mathrm{A}(s, 0, 0) de moment \overrightarrow{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x, crée en un point \mathrm{P} de la spire le potentiel vecteur :

Le vecteur position du point \mathrm{P} par rapport à \mathrm{A} s'écrit :

La distance r = \|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\| est constante le long de la spire :

Le produit vectoriel s'évalue aisément grâce à \vec{e}_x \times \vec{e}_\rho = \vec{e}_\theta et \vec{e}_x \times \vec{e}_x = \vec{0} :

Le potentiel vecteur au point \mathrm{P} est donc purement orthoradial :

Étape 3 : Calcul du flux par le théorème de Stokes

Par définition du potentiel vecteur \vec{B}_{\mathrm{a}} = \overrightarrow{\operatorname{rot}}\vec{A}, le flux s'obtient par circulation sur le contour fermé \mathcal{C} :

Étape 4 : Mise sous la forme réduite

En introduisant la variable sans dimension X = s/a, on factorise le dénominateur par a^3 :

On identifie immédiatement la fonction F(X) :

La constante \phi_0 correspond à la valeur du flux lorsque l'aimant est au centre de la spire (s=0) :

D'après la question Q9, le moment magnétique de l'aimant sphérique vaut :

D'où l'expression finale de la constante \phi_0 :

La loi d'Ohm généralisée appliquée à la spire fermée, orientée par \vec{e}_x, s'écrit en tenant compte du phénomène d'auto-induction :

soit encore :

où e_{\mathrm{ext}} = -\frac{\mathrm{d}\phi_{\mathrm{a/s}}}{\mathrm{d}t} est la force électromotrice induite par le mouvement de l'aimant.

En estimant les termes par analyse d'ordres de grandeur sur une durée caractéristique \tau_i de variation du courant :

L'hypothèse \mathrm{H}_R selon laquelle le comportement électrique de la spire est dominé par l'effet résistif impose que la tension inductive soit négligeable devant la chute ohmique :

ce qui conduit à la condition :

Le temps caractéristique d'évolution du courant \tau_i doit ainsi être très grand devant la constante de temps inductive propre de la spire \tau_L = L/R.

D'après la loi de Faraday, la force électromotrice induite dans la spire orientée par sa normale \vec{e}_x s'écrit :

Sous l'hypothèse \mathrm{H}_R validée à la question Q11, l'effet inductif propre est négligeable devant la chute de tension résistive (L \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \ll R i). L'équation électrique de la spire fermée se réduit à :

D'après le résultat de la question Q10, le flux magnétique s'exprime en fonction de la variable adimensionnée X(t) = s(t)/a sous la forme :

En dérivant cette fonction composée par rapport au temps, sachant que \dot{X} = \frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t} :

En injectant cette dérivée dans l'expression du courant induit, on obtient :

Cette relation est bien de la forme attendue :

avec :

Repérons un point courant \mathrm{P} de la spire circulaire par les coordonnées cylindriques d'axe (\mathrm{O}x) : (x = 0, \rho = a, \theta). La base locale (\vec{e}_x, \vec{e}_\rho, \vec{e}_\theta) est orthonormée directe, telle que :

L'élément de longueur de la spire, orienté dans le sens direct selon \vec{e}_x, est \mathrm{d}\vec{\ell} = a\,\mathrm{d}\theta\,\vec{e}_\theta.

D'après le résultat de la question Q9, le champ magnétique créé par l'aimant au point \mathrm{P} s'écrit :

Le vecteur unitaire \vec{e}_r = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}}{r} se décompose dans la base cylindrique en :

où r = \sqrt{s^2 + a^2} = a\sqrt{1+X^2}. La composante radiale de \vec{B}_{\mathrm{a}}(\mathrm{P}) vaut donc :

La force de Laplace élémentaire subie par l'élément \mathrm{d}\vec{\ell} s'exprime par :

Par intégration sur la spire (\theta \in [0, 2\pi]), le terme radial \int_0^{2\pi} \vec{e}_\rho\,\mathrm{d}\theta = \vec{0} s'annule par symétrie de révolution. Il ne subsiste que la résultante axiale :

En utilisant la relation établie à la question Q9, \frac{\mu_0 \mathcal{M}}{4\pi} = \frac{B^\star D^3}{24}, et en exprimant s et r en fonction de X = s/a :

La force se met bien sous la forme demandée :

avec la constante K_2 donnée par :

D'après les questions Q12 et Q13, les constantes K_1 et K_2 valent :

On en déduit directement l'expression du produit K = K_1 K_2 :

En substituant l'expression du courant induit i = K_1 \dfrac{X\dot{X}}{(1+X^2)^{5/2}} (question Q12) dans la force axiale \vec{F}_{\mathrm{a/s}} = K_2 \dfrac{X}{(1+X^2)^{5/2}}\, i\,\vec{e}_x (question Q13), il vient :

Analyse de la dépendance vis-à-vis des paramètres :

• Aimantation (B^\star) : K \propto {B^\star}^2. La force dépend quadratiquement de l'aimantation, elle est donc insensible à l'orientation du dipôle (invariance par inversion des pôles, en accord avec la question Q7).
• Taille de l'aimant (D) : K \propto D^6. La dépendance est très forte : le moment dipolaire étant proportionnel au volume (\mathcal{M} \propto D^3), la force fait intervenir \mathcal{M}^2 \propto D^6.
• Résistance (R) : K \propto 1/R. Plus la spire est conductrice, plus le courant induit est intense et plus l'effort de Laplace est important.
• Rayon de la spire (a) : K \propto 1/a^3. Pour une spire plus serrée, le couplage inductif et le gradient spatial de champ sont nettement renforcés.

Analyse de la dépendance vis-à-vis des variables X et \dot{X} :

• Vitesse (\dot{X} = v/a) : La force est strictement linéaire en la vitesse \dot{X} (comportement de frottement fluide ou visqueux). Comme K > 0 et X^2 \ge 0, \vec{F}_{\mathrm{a/s}} a le même sens que la vitesse de l'aimant. En vertu du principe des actions réciproques, la force subie par l'aimant, \vec{F}_{\mathrm{s/a}} = -\vec{F}_{\mathrm{a/s}} \propto -\dot{X}\vec{e}_x, s'oppose systématiquement à son mouvement : il s'agit bien d'une force de freinage.

• Position (X = s/a) : La dépendance spatiale est portée par la fonction paire g(X) = \dfrac{X^2}{(1+X^2)^5}.

  • Pour |X| \to \infty, g(X) \sim X^{-8} \to 0 : l'interaction s'annule à l'infini.
  • En X = 0 (s = 0), g(0) = 0 : la force s'annule au passage au centre de la spire, car le flux y passe par un extremum (\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t = 0 \implies i = 0).
  • Extremum : la dérivée \dfrac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}X} = \dfrac{2X(1-4X^2)}{(1+X^2)^6} s'annule pour X = \pm 1/2. L'effort de freinage est donc maximal lorsque l'aimant est situé à une distance |s| = a/2 du centre de la spire.

Le moment magnétique de l'aimant est colinéaire à l'axe (\mathrm{O}x) :

L'opérateur scalaire (\overrightarrow{\mathcal{M}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{grad}}) se réduit ainsi à :

Sur l'axe (\mathrm{O}x), au point \mathrm{A} d'abscisse s, le champ magnétique créé par la spire est axial : \vec{B}_{\mathrm{s}}(\mathrm{A}) = B_{\mathrm{s}}(s)\,\vec{e}_x. La force subie par l'aimant s'écrit donc :

En utilisant la variable sans dimension X = s/a, nous avons :

D'après l'équation (5) fournie par l'énoncé :

En dérivant par rapport à X :

La force exercée sur l'aimant s'exprime donc sous la forme :

En substituant l'expression de B_{\mathrm{s}0} = \dfrac{\mu_0 i}{2a} et le moment magnétique dipolaire \mathcal{M} = \dfrac{\pi B^\star D^3}{6\mu_0} déterminé à la question 9 :

On obtient finalement :

Concordance avec la question 13 :
À la question 13, la force exercée par l'aimant sur la spire a été établie sous la forme :

On constate immédiatement que :

Ce résultat est en parfait accord avec le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton).

Il n'y a aucune contradiction entre les deux approches.

1. Sur le plan électrique (approximation inductive) :
   L'équation électrique de la spire s'écrit :

   e_{\text{ind}} = -\frac{\mathrm{d}\phi_{\text{tot}}}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}\phi_{\text{a/s}}}{\mathrm{d}t} - L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} = R\,i

   L'hypothèse \mathrm{H}_R consiste à négliger le terme auto-inductif L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} devant le terme résistif R\,i, ce qui est justifié dès lors que le temps caractéristique mécanique \tau_i \approx a/|v| est très supérieur au temps de réponse inductif \tau_L = L/R (question Q11). Cela revient à considérer que le flux propre \phi_p = L\,i est très faible devant le flux extérieur créé par l'aimant :

   \frac{\phi_p}{\phi_{\text{a/s}}} \sim \frac{L\,i}{\phi_0} \sim \frac{L}{R\,\tau_i} \ll 1 \implies \phi_{\text{tot}} \simeq \phi_{\text{a/s}}

   Négliger le flux propre dans le bilan de flux ne signifie en aucun cas que le courant i, ni le champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{s}} qu'il engendre, sont nuls.

2. Sur le plan mécanique (interaction électromécanique) :
   D'après les lois fondamentales de la magnétostatique (Biot et Savart), tout courant non nul i génère nécessairement un champ magnétique \vec{B}_{\mathrm{s}} \propto i dans l'espace environnant. L'action mécanique subie par l'aimant s'interprète :

   • soit comme la réciproque (via la troisième loi de Newton) des forces de Laplace exercées par le champ dipolaire de l'aimant \vec{B}_{\mathrm{a}} sur les éléments de courant i\,\mathrm{d}\vec{\ell} de la spire ;
   • soit directement comme la force exercée par le champ \vec{B}_{\mathrm{s}} créé par la spire sur le dipôle \vec{\mathcal{M}}.

   Ces deux descriptions sont rigoureusement équivalentes (comme vérifié à la question Q15). L'intensité de la force est proportionnelle au courant i au premier ordre.

En résumé, l'effet propre du champ \vec{B}_{\mathrm{s}} sur le circuit lui-même (rétroaction inductive d'ordre supérieur en \tau_L/\tau_i) est négligeable pour calculer i, mais le champ \vec{B}_{\mathrm{s}} est le vecteur indispensable de l'action mécanique exercée sur l'aimant.

D'après l'expression obtenue à la question 14, la force exercée par l'aimant sur une spire présente une dépendance spatiale selon la fonction :

À grande distance (X \gg 1 ou r = \sqrt{a^2+s^2} \gg a), cette force décroît très rapidement, comme X^{-8} (ou r^{-8} à rayon a fixé). De manière équivalente, l'équation (8) montre que l'interaction élémentaire est proportionnelle à \dfrac{a^3 s^2}{(a^2+s^2)^5}, grandeur qui s'atténue extrêmement vite dès que la distance à l'aimant dépasse quelques diamètres D.

Les courants de Foucault induits ainsi que les forces de freinage sont donc quasi-exclusivement confinés dans un volume restreint du bloc, à une distance de l'ordre de grandeur de la dimension de l'aimant (D = 10\text{ mm}) ou de son écartement s.

Dès lors que le bloc réel présente des dimensions géométriques (profondeur, hauteur, largeur) supérieures à quelques centimètres, les bords réels du matériau n'apportent qu'une contribution rigoureusement négligeable à la force totale.

1. Invariances et symétries du champ magnétique :

• Le dipôle magnétique est porté par l'axe (\mathrm{O}x) (\vec{\mathcal{M}} = -\mathcal{M}\vec{e}_x) et son mouvement rectiligne s'effectue le long de ce même axe (\vec{v} = v\vec{e}_x). Le système est donc invariant par toute rotation d'angle \theta autour de l'axe (\mathrm{O}x).
• Tout plan contenant l'axe (\mathrm{O}x) (plan méridien \Pi_m) est un plan d'antisymétrie pour les courants microscopiques constituant l'aimant. C'est donc un plan de symétrie pour le champ magnétique dipolaire \vec{B}_{\mathrm{a}} : en tout point M, \vec{B}_{\mathrm{a}}(M) \in \Pi_m, c'est-à-dire que sa composante orthoradiale est nulle (B_{\mathrm{a},\theta} = 0).

2. Direction du champ électrique induit et des courants :

• Le champ \vec{B}_{\mathrm{a}} variant au cours du temps du fait du déplacement de l'aimant, \dfrac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t} possède les mêmes propriétés de symétrie : \Pi_m est un plan de symétrie pour \dfrac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t}.

• D'après l'équation de Maxwell-Faraday :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}_{\mathrm{a}}}{\partial t}

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} admet \Pi_m comme plan de symétrie. Par les propriétés de parité de l'opérateur rotationnel, le champ électrique induit \vec{E} admet \Pi_m comme plan d'antisymétrie.

• En tout point d'un plan d'antisymétrie, le vecteur \vec{E} est orthogonal à ce plan. Par conséquent, \vec{E} est orthogonal au plan méridien passant par ce point, soit :

  \vec{E}(x, r, \theta) = E_\theta(x, r)\,\vec{e}_\theta

• En appliquant la loi d'Ohm locale dans le bloc conducteur de conductivité \sigma, le vecteur densité volumique de courant s'écrit :

  \vec{\jmath} = \sigma \vec{E} = j_\theta(x, r)\,\vec{e}_\theta

3. Géométrie des lignes de courant : Les lignes de courant sont, par définition, les courbes intégrales tangentes en tout point à \vec{\jmath}. Comme \vec{\jmath} est purement orthoradial et indépendant de \theta, ces lignes sont des cercles orientés autour de l'axe (\mathrm{O}x).

Le bloc de cuivre massif présente une efficacité de freinage considérablement supérieure à celle d'une spire unique, pour deux raisons physiques complémentaires :

• Superposition d'une infinité de boucles conductrices : le bloc de cuivre peut être modélisé comme un empilement continu d'une infinité de spires élémentaires couvrant tout le demi-espace x \leqslant 0. Chacune de ces boucles élémentaires est traversée par un flux magnétique variable et devient le siège de courants induits (courants de Foucault) qui exercent tous une force de freinage axiale sur l'aimant en mouvement.
• Résistance électrique beaucoup plus faible : contrairement à la spire filaire constituée d'un fil de section millimétrique e \times e (e \ll a), le milieu conducteur continu offre une section de passage macroscopique énorme aux courants de Foucault. La résistance équivalente vue par les courants induits est donc bien plus faible, ce qui autorise des densités de courant et des intensités globales nettement plus élevées pour une même f.é.m. induite.

D'un point de vue énergétique, la puissance totale dissipée par effet Joule dans le bloc,

est beaucoup plus importante que le terme R\,i^2 d'une spire unique.

1. Dimension de B^{\star} :

La composante magnétique de la force de Lorentz s'exprime \vec{F} = q\,(\vec{v}\wedge\vec{B}). En passant aux dimensions :

Or, d'après le principe fondamental de la dynamique, une force a la dimension :

La vitesse étant homogène à une longueur divisée par un temps ([v] = \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}) et la charge électrique étant la grandeur de base [q] = \mathrm{Q}, il vient :

2. Dimension de \sigma :

D'après la loi d'Ohm locale, le vecteur densité volumique de courant est lié au champ électrique par \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, soit :

• L'intensité du courant électrique est le débit de charge à travers une surface, soit [I] = \mathrm{Q}\,\mathrm{T}^{-1}. Le courant par unité de surface s'écrit alors :

  [j] = \frac{[I]}{[S]} = \mathrm{Q}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{T}^{-1}

• La force électrostatique subie par une charge q est \vec{F} = q\,\vec{E}, d'où :

  [E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{Q}} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-2}\,\mathrm{Q}^{-1}

On en déduit :

Déterminons la dimension du numérateur de W, homogène à une quantité de mouvement :

D'après la question Q20, les grandeurs électromagnétiques ont pour dimensions :

Calculons la dimension du dénominateur de W :

Le quotient donne immédiatement :

Le groupement W est donc adimensionné :

Examinons à présent les dimensions de \Phi et \Psi :

• L'échelle d'espace \delta^\star a la dimension d'une longueur ([\delta^\star] = \mathrm{L}) et le diamètre [D] = \mathrm{L}. La relation \delta^\star = D\,\Phi(W) impose :

  [\Phi] = \frac{[\delta^\star]}{[D]} = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}} = 1

• L'échelle de temps \tau^\star a la dimension d'un temps ([\tau^\star] = \mathrm{T}) et \left[\frac{D}{|v_0|}\right] = \frac{\mathrm{L}}{\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}} = \mathrm{T}. La relation \tau^\star = \frac{D}{|v_0|}\,\Psi(W) impose :

  [\Psi] = \frac{[\tau^\star]}{[D/|v_0|]} = \frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}} = 1

Les deux fonctions \Phi et \Psi sont donc adimensionnées :

Le problème dynamique fait intervenir cinq paramètres dimensionnés indépendants caractérisant le système et son état initial :

exprimés dans une base de quatre dimensions fondamentales (\mathrm{M}, \mathrm{L}, \mathrm{T}, \mathrm{Q}).

D'après le théorème de Vaschy-Buckingham (théorème \Pi), le nombre de grandeurs adimensionnées indépendantes pouvant être formées à partir de ces paramètres est :

Ce groupement sans dimension est précisément W = \dfrac{m |v_0|}{\sigma {B^\star}^2 D^4}.

Une échelle caractéristique d'espace s'écrit sous la forme \delta^\star = D\,\Phi(W). Dès lors que W est adimensionné ([W] = 1), toute fonction \Phi(W) ou \Psi(W) est également sans dimension ([\Phi] = [\Psi] = 1). Par conséquent, l'analyse dimensionnelle garantit l'homogénéité de la relation :

quelle que soit la forme mathématique des fonctions \Phi et \Psi.

Pour déterminer l'expression explicite de \Phi et \Psi, il est indispensable de faire appel aux lois complètes de la physique régissant le phénomène (équations de Maxwell, loi de conservation de la charge, loi d'Ohm locale et principe fondamental de la dynamique) et de résoudre les équations différentielles associées.

1. Commentaire des évolutions temporelles :

• Phase d'approche libre (t \lesssim 0{,}08\text{ s}) : l'aimant se trouve à une distance relativement grande du bloc (s > 15\text{ mm}). Comme la force d'interaction décroît très rapidement avec la distance, l'action de freinage est négligeable. La vitesse reste quasi constante :

  v(t) \approx v_0 \approx -0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}

  et l'abscisse s(t) décroît de manière quasi linéaire.

• Phase de freinage intense (0{,}08\text{ s} \lesssim t \lesssim 0{,}14\text{ s}) : lorsque l'aimant s'approche à moins d'une quinzaine de millimètres du bloc, les courants de Foucault induits deviennent importants. Une force répulsive axiale intense freine l'aimant : sa vitesse passe rapidement de v_0 à zéro.

• Phase d'arrêt (t \gtrsim 0{,}15\text{ s}) : la vitesse s'annule complètement (v = 0). L'abscisse atteint un plateau stable à :

  s_{\text{arrêt}} \approx 6{,}5\text{ mm} > 0

  L'aimant s'est donc immobilisé avant d'entrer en collision mécanique avec la surface du bloc de cuivre.

2. Définition et estimation des grandeurs caractéristiques :

• Temps caractéristique de freinage \delta t (associé à \tau^\star) :
  On le définit comme la durée de la transition pendant laquelle la vitesse varie de façon significative, c'est-à-dire entre l'amorce de la décélération marquée (t_1 \approx 0{,}09\text{ s}, où v \approx -0{,}30\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) et l'arrêt complet (t_2 \approx 0{,}14\text{ s}) :

  \delta t = t_2 - t_1 \approx 0{,}14 - 0{,}09 = 0{,}05\text{ s} = 50\text{ ms}

• Distance caractéristique de freinage \delta s (associée à \delta^\star) :
  On la définit comme la distance parcourue par l'aimant durant cette même phase de freinage intense :

  \delta s = s(t_1) - s(t_2) \approx 14\text{ mm} - 6{,}5\text{ mm} \approx 7{,}5\text{ mm} \approx 8\text{ mm}

D'où les estimations des grandeurs caractéristiques :

Le déplacement de l'aimant au voisinage du bloc de cuivre induit des courants de Foucault volumiques de densité \vec{\jmath}. D'après le théorème d'Ampère (ou la loi de Biot et Savart), ces courants induits génèrent à leur tour un champ magnétique induit \vec{B}_{\mathrm{ind}}.

Le champ magnétique total en un point du bloc est donc la somme superposée du champ créé par l'aimant et du champ propre créé par l'ensemble des courants induits :

Chaque spire élémentaire est ainsi soumise non seulement au champ dipolaire \vec{B}_{\mathrm{a}} de l'aimant, mais également au champ créé par toutes les autres spires élémentaires du bloc (phénomène d'induction mutuelle et de self-induction globale).

D'après la loi de Lenz, ce champ induit \vec{B}_{\mathrm{ind}} tend à s'opposer aux variations du flux inducteur, ce qui conduit à un phénomène d'écrantage magnétique (analogue à l'effet de peau). L'hypothèse \mathrm{H}_B, consistant à négliger \vec{B}_{\mathrm{ind}} devant \vec{B}_{\mathrm{a}} afin de ne considérer que le champ de l'aimant seul, nécessite donc d'être formellement justifiée.

Dans un conducteur ohmique immobile de conductivité \sigma et de perméabilité magnétique \mu_0, les équations de Maxwell dans l'ARQS (\vec{\operatorname{rot}}\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath}, \vec{\operatorname{div}}\vec{B} = 0, \vec{\operatorname{rot}}\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}) et la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E} conduisent à l'équation de diffusion du champ magnétique :

Par analyse aux ordres de grandeur sur une échelle spatiale \delta_B et une échelle de temps \tau_B, il vient :

On en déduit l'expression de la longueur caractéristique d'écrantage (analogue à l'épaisseur de peau en régime sinusoïdal) :

Remarque : En régime harmonique de pulsation \omega \sim 1/\tau_B, l'épaisseur de peau conventionnelle s'écrit \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \sigma \omega}} = \sqrt{\frac{2\tau_B}{\mu_0 \sigma}}, qui est du même ordre de grandeur à un facteur \sqrt{2} près.

D'après la question Q23, la variation la plus rapide du champ magnétique est imposée par la phase de décélération de l'aimant au voisinage immédiat du bloc, qui se déroule sur une durée caractéristique :

En utilisant l'expression issue de l'analyse de diffusion magnétique (question Q25) :

avec les données numériques :

• \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\text{ T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}
• \sigma = 6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1}
• \mu_0 \sigma = 24\pi \approx 75\text{ s}\cdot\text{m}^{-2}

on obtient :

(une définition avec un facteur 2 conduirait de même à \delta_B \approx 36\text{ mm}, soit un ordre de grandeur de quelques centimètres).

Comparons cette longueur aux dimensions géométriques du problème :

• le diamètre de l'aimant est D = 10\text{ mm} ;
• la distance caractéristique de freinage est \delta s \approx 8\text{ mm}, et l'aimant s'arrête à une distance s_{\text{arrêt}} \approx 6{,}5\text{ mm} de la surface.

La longueur d'écrantage \delta_B est donc supérieure aux dimensions de la zone où le champ magnétique et les courants induits sont concentrés (\delta_B > D et \delta_B > \delta s).

Le champ magnétique de l'aimant pénètre donc le milieu conducteur sans être fortement atténué par les courants de Foucault sur cette échelle spatiale. L'hypothèse \mathrm{H}_B consistant à négliger la réaction magnétique des spires élémentaires est donc fondée en première approximation.

Dans l'équation (8), la force exercée sur une spire de rayon a et de section de fil e^2, située à une distance axiale |s| de l'aimant, est donnée par :

Pour le bloc de cuivre continu modélisé comme un empilement de spires élémentaires d'axe (\mathrm{O}x) :

• La section droite élémentaire de la spire, de dimensions radiale \mathrm{d}a et axiale \mathrm{d}u, est :

  e^2 \longrightarrow \mathrm{d}a\,\mathrm{d}u

• La distance axiale entre le centre de l'aimant et le plan de la spire élémentaire n'est plus s, mais la variable axiale u (u \ge s) :

  s \longrightarrow u
• Le rayon de la spire est la variable continue a.
• La vitesse relative de l'aimant par rapport au milieu conducteur reste v = \dot{s}.

En transposant directement ces grandeurs dans l'expression (8), on obtient la composante axiale de la force élémentaire \mathrm{d}^2\vec{F}_{\mathrm{a/b}} = \mathrm{d}^2 F_{\mathrm{a/b}}\,\vec{e}_x exercée par l'aimant sur la spire élémentaire :

Le bloc de cuivre occupe le demi-espace x \in [-\infty, 0]. Pour l'aimant situé en s > 0 sur l'axe (Ox), la coordonnée axiale relative d'une tranche d'abscisse x est u = s - x. Lorsque x parcourt l'intervalle [-\infty, 0], la variable u varie de s à +\infty.

Par ailleurs, le milieu étant infini selon les directions transverses y et z, le rayon a de la spire élémentaire varie de 0 à +\infty.

La force totale subie par le bloc s'obtient en intégrant la force élémentaire \mathrm{d}^2 F_{\mathrm{a/b}} établie à la question précédente :

Pour l'intégrale interne sur a à u fixé, effectuons le changement de variable x = a/u, d'où \mathrm{d}a = u \, \mathrm{d}x :

avec, d'après l'énoncé, I_1 = \frac{1}{24}.

En réinjectant cette expression dans l'intégrale sur u :

Par identification avec la relation F_{\mathrm{a/b}} = \alpha G \frac{v}{s^3}, on obtient :

Considérons l'aimant de masse m, assimilé à un point matériel \mathrm{A} d'abscisse s(t), dans le référentiel galiléen \mathcal{R}(\mathrm{O}, x, y, z).

D'après l'énoncé, la gravité et l'influence de l'air sont négligées. De plus, l'aimant est astreint à se déplacer selon l'axe (\mathrm{O}x). La seule composante axiale des forces appliquées à l'aimant provient de l'interaction avec le bloc conducteur.

En vertu du principe des actions réciproques (troisième loi de Newton), la force exercée par le bloc de cuivre sur l'aimant s'écrit :

En utilisant l'expression obtenue à la question Q28, F_{\mathrm{a/b}} = \alpha G \dfrac{v}{s^3} = \alpha G \dfrac{\dot{s}}{s^3} :

Le principe fondamental de la dynamique projeté sur l'axe (\mathrm{O}x) donne :

En introduisant la grandeur Q = \dfrac{\alpha G}{2m} définie dans l'énoncé, on obtient l'équation différentielle du mouvement :

D'après la question Q29, l'équation différentielle régissant le mouvement de l'aimant s'écrit :

En utilisant la vitesse v = \dot{s}, cette équation devient :

Or, pour s \neq 0, la dérivée par rapport au temps de la fonction s \mapsto -\frac{1}{s^2} est donnée par :

L'équation du mouvement s'écrit donc sous la forme d'une dérivée temporelle totale :

Il en découle immédiatement l'existence d'une intégrale première du mouvement :

En évaluant cette constante à l'instant initial t=0, où s(0) = s_0 et v(0) = v_0, on obtient la relation valable à chaque instant du mouvement :

D'après l'intégrale première établie à la question Q30 :

L'aimant s'immobilise en une abscisse finale d'arrêt s_f > 0 telle que v(s_f) = 0. Il vient :

D'après la figure 3, la position initiale vaut s_0 \simeq 43\text{ mm} et la position finale d'arrêt est s_f \simeq 6{,}5\text{ mm}. Le rapport des distances vérifie ainsi :

On en déduit immédiatement la comparaison demandée :

Sous cette condition, la constante du mouvement se simplifie en A \simeq v_0 = -|v_0|, ce qui donne pour la trajectoire dans l'espace des phases :

Caractéristiques de cette trajectoire :

• Au départ (s \approx s_0), Q/s^2 \ll |v_0|, donc la vitesse reste quasiment constante : v(s) \simeq v_0 < 0.
• Comme v = \dot{s} < 0, l'abscisse s décroît au cours du temps : le portrait de phase est parcouru de droite à gauche.
• À mesure que l'aimant se rapproche du bloc (s \to s_f), le terme Q/s^2 augmente rapidement et v(s) croît algébriquement (sa norme diminue) jusqu'à atteindre v(s_f) = 0.
• Le mouvement s'arrête en (s_f, 0) car lorsque v = 0, la force de freinage induite s'annule identiquement.

Le bloc de cuivre occupe le demi-espace x \le 0. L'aimant est une sphère de diamètre D, de rayon R = D/2, dont le centre a pour abscisse s. Le point de la surface de l'aimant le plus proche du bloc a donc pour abscisse axiale :

La collision mécanique entre l'aimant et le bloc intervient si la sphère entre en contact avec le plan x = 0, ce qui correspond à l'abscisse critique :

D'après le résultat de la question Q31, sous la condition Q/s_0^2 \ll |v_0|, l'évolution de la vitesse dans l'espace des phases s'écrit :

L'aimant est freiné et s'immobilise (v=0) à l'abscisse d'arrêt s_f donnée par :

Pour que l'aimant n'entre pas en collision avec le bloc, il doit s'arrêter avant d'avoir atteint la position de contact, c'est-à-dire :

Comme l'aimant se déplace vers les abscisses décroissantes (v_0 < 0), l'inégalité sur le module se traduit algébriquement par :

Il existe donc bien une vitesse critique négative au-dessus de laquelle l'aimant est totalement freiné avant d'atteindre le bloc :

D'après la question Q32, la vitesse critique d'arrêt vérifie :

En introduisant la définition Q = \dfrac{\alpha G}{2m} et l'expression de G = \dfrac{\pi}{32} \left({B^\star} D^3\right)^2 \sigma = \dfrac{\pi}{32} {B^\star}^2 D^6 \sigma (équation (8)), il vient :

Avec la valeur numérique \alpha = \dfrac{1}{72} établie à la question Q28, on obtient :

soit l'expression finale :

Commentaire des dépendances :

• Conductivité \sigma et champ rémanent B^\star : |v_{0\mathrm{c}}| augmente proportionnellement à \sigma et au carré de B^\star. Plus le milieu est conducteur et l'aimant puissant, plus les courants induits de Foucault et les forces de Laplace de freinage sont intenses, ce qui permet d'arrêter l'aimant sans choc pour des vitesses incidentes plus élevées.
• Masse m : |v_{0\mathrm{c}}| est inversement proportionnelle à m. Une inertie plus grande rend la décélération plus difficile pour une force donnée, réduisant la vitesse maximale avant collision.
• Diamètre D : La dépendance en D^4 est particulièrement forte. Elle provient du moment magnétique dipolaire \mathcal{M} \propto D^3 (d'où une force variant comme \mathcal{M}^2 \propto D^6), tempérée par la distance de contact s_{\text{contact}} = D/2 au dénominateur (1/s^2 \propto 1/D^2).

Identification de la fonction \Omega(W) : D'après l'équation (7), le groupement adimensionné W est défini par :

En réinjectant cette relation dans l'expression de |v_{0\mathrm{c}}|, on trouve :

Par identification, la fonction \Omega(W) s'écrit :

D'après le résultat de la question Q33, le module de la vitesse critique s'exprime par :

Les données numériques fournies par l'énoncé sont :

• \sigma = 6 \times 10^7\text{ S}\cdot\text{m}^{-1} ;
• B^\star = 1{,}3\text{ T}, d'où {B^\star}^2 = 1{,}69\text{ T}^2 ;
• D = 10\text{ mm} = 10^{-2}\text{ m}, d'où D^4 = 10^{-8}\text{ m}^4 ;
• m = 4\text{ g} = 4 \times 10^{-3}\text{ kg} ;
• \pi \approx 3{,}14.

Calculons dans un premier temps le rapport dimensionné :

Puis le produit avec le facteur sans dimension \frac{\pi}{1152} :

D'après la question Q32, le contact entre la surface de l'aimant sphérique et la paroi du bloc conducteur (située en x=0) a lieu lorsque l'abscisse du centre de l'aimant atteint :

La vitesse initiale critique v_{0\mathrm{c}} correspond à la trajectoire limite dans l'espace des phases (s, v) qui atteint l'axe v = 0 précisément en s = 5\text{ mm}.

Examinons les trois courbes de la figure (5) :

• Pour la courbe supérieure (v_0 \approx -0{,}36\text{ à }-0{,}37\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), l'aimant s'arrête à une distance s_f \approx 6{,}5\text{ mm} > 5\text{ mm} : l'aimant est freiné avant de toucher le bloc.
• Pour la courbe inférieure (v_0 \approx -0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la trajectoire s'interrompt brutalement lors de l'impact en s \approx 5\text{ mm}, avec une vitesse résiduelle non nulle d'environ -0{,}25\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. On a donc |v_0| > |v_{0\mathrm{c}}|_{\mathrm{exp}}.
• Pour la courbe intermédiaire (v_0 \approx -0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la vitesse s'annule quasiment à la position de contact (s \approx 5{,}1\text{ à }5{,}2\text{ mm} \approx D/2).

On peut également utiliser la première trajectoire (|v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, s_f \approx 6{,}5\text{ mm}) pour en déduire la constante expérimentale Q_{\mathrm{exp}} = |v_0| s_f^2 \approx 0{,}36 \times (6{,}5 \times 10^{-3})^2 \approx 1{,}5 \times 10^{-5}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-1}, ce qui donne :

Par lecture directe ou calcul, on estime donc :

Comparaison avec la modélisation :

La valeur théorique calculée à la question Q34 est |v_{0\mathrm{c}}| \approx 0{,}69\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (ou \approx 0{,}7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). L'écart relatif entre la théorie et l'expérience est :

L'accord est remarquable compte tenu des approximations adoptées (modèle dipolaire ponctuel, bloc semi-infini, négligence de l'effet d'écrantage et de l'auto-induction).

1. Dépendance de la distance caractéristique \delta^\star et forme de \Phi(W) :

• Sur la figure 5, pour les trois valeurs de la vitesse initiale (|v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, 0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} et 0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), la phase de décélération marquée (incurvation de la courbe de phase v(s)) se produit sensiblement dans la même région spatiale, localisée typiquement entre s \approx 15\text{ mm} et s \approx 5\text{ mm}.
• L'extension spatiale sur laquelle s'exerce l'essentiel du freinage apparaît donc indépendante de la vitesse initiale |v_0| (elle est fixée par la géométrie du dipôle et du conducteur, de l'ordre du diamètre D = 10\text{ mm}).

D'après l'équation (7), on a :

Puisque \delta^\star ne dépend pas de |v_0|, elle ne dépend pas de W, ce qui implique que la fonction \Phi est constante :

2. Dépendance du temps caractéristique \tau^\star et forme de \Psi(W) :

• L'intervalle de temps \Delta t entre deux points consécutifs étant constant et identique pour les trois essais, la durée du freinage \tau^\star est directement proportionnelle au nombre N de points situés dans la zone de forte décélération (s \lesssim 15\text{ mm}).

• On constate visuellement que le nombre de points dans cette zone diminue nettement lorsque |v_0| augmente :

  • pour |v_0| \approx 0{,}36\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 10 à 12 points ;
  • pour |v_0| \approx 0{,}57\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 5 à 6 points ;
  • pour |v_0| \approx 0{,}85\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} : environ 3 à 4 points.

• Le temps caractéristique de freinage est donc inversement proportionnel à la vitesse initiale :

  \tau^\star \sim \frac{\delta^\star}{|v_0|} \propto \frac{1}{|v_0|}

D'après l'équation (7), on a :

La dépendance en 1/|v_0| étant entièrement portée par le préfacteur D/|v_0|, la fonction \Psi ne dépend pas de W :

Un acide gras est un acide carboxylique à chaîne aliphatique hydrophobe (généralement linéaire et contenant un nombre pair d'atomes de carbone, typiquement entre 4 et 24 carbones).

Les qualificatifs nutritionnels se rapportent au nombre et à la stéréochimie des doubles liaisons \mathrm{C=C} présentes sur la chaîne carbonée :

• Acides gras saturés (AGS) : la chaîne alkyle ne comporte aucune insaturation \mathrm{C=C} ; tous ses carbones sont tétraédriques (\mathrm{sp}^3). C'est le cas, sur la figure 2, des acides laurique (\mathrm{C}_{12}), myristique (\mathrm{C}_{14}), palmitique (\mathrm{C}_{16}) et stéarique (\mathrm{C}_{18}).
• Acides gras monoinsaturés (AGMI) : la chaîne carbonée comporte exactement une double liaison \mathrm{C=C}. Exemples de la figure 2 : l'acide palmitoléique (\mathrm{C}_{16}) et l'acide oléique (\mathrm{C}_{18}).
• Acides gras polyinsaturés (AGPI) : la chaîne carbonée comporte au moins deux doubles liaisons \mathrm{C=C}, généralement isolées par un groupement méthylène -\mathrm{CH}_2-. Exemples de la figure 2 : l'acide linoléique (2 doubles liaisons) et l'acide linolénique (3 doubles liaisons).
• Acides gras trans (AG trans) : dans la nature, les insaturations sont quasi-exclusivement de stéréochimie (Z) (ou cis), ce qui induit un coude rigide dans la chaîne carbonée (visible sur la figure 2 pour l'acide oléique). Un acide gras est dit trans s'il possède au moins une double liaison de configuration (E) (ou trans), ce qui lui confère une chaîne linéaire analogue à celle des acides gras saturés.

La cohésion du réseau cristallin des acides gras à l'état solide repose sur des liaisons hydrogène entre les groupements carboxyliques -\mathrm{COOH} et, de façon prépondérante pour les longues chaînes, sur les interactions de dispersion de London (forces de van der Waals) s'exerçant entre les chaînes aliphatiques hydrophobes.

À partir des données de la figure 2, on identifie trois paramètres structuraux majeurs régissant la température de fusion :

1. La longueur de la chaîne carbonée (nombre d'atomes de carbone n) :

   • Observation : pour les acides gras saturés, T_{\text{fus}} croît de façon monotone avec la longueur de la chaîne :

     T_{\text{fus}}(\text{laurique, C12}) = 44\,^\circ\text{C} < T_{\text{fus}}(\text{myristique, C14}) = 58\,^\circ\text{C} < T_{\text{fus}}(\text{palmitique, C16}) = 63\,^\circ\text{C} < T_{\text{fus}}(\text{stéarique, C18}) = 70\,^\circ\text{C}
   • Explication : plus la chaîne aliphatique est longue, plus la polarisabilité moléculaire augmente et plus la surface de contact intermoléculaire est étendue. L'intensité des forces de dispersion de London augmente avec la masse molaire, ce qui stabilise le réseau cristallin et nécessite un apport thermique plus élevé pour assurer le changement d'état.

2. Le nombre d'insaturations (doubles liaisons \mathrm{C=C}) :

   • Observation : pour une longueur de chaîne donnée (par exemple à 18 atomes de carbone), l'introduction de doubles liaisons provoque un abaissement spectaculaire de la température de fusion :

     T_{\text{fus}}(\text{stéarique, 18:0}) = 70\,^\circ\text{C} \gg T_{\text{fus}}(\text{oléique, 18:1}) = 16\,^\circ\text{C} > T_{\text{fus}}(\text{linoléique, 18:2}) = -5\,^\circ\text{C} > T_{\text{fus}}(\text{linolénique, 18:3}) = -11\,^\circ\text{C}

     De même, à 16 atomes de carbone, T_{\text{fus}} chute de 63\,^\circ\text{C} (palmitique) à 0{,}5\,^\circ\text{C} (palmitoléique).

   • Explication : les acides gras naturels possèdent quasi-exclusivement des insaturations de configuration (Z) (cis). Une double liaison (Z) impose un coude rigide (angle d'environ 120^\circ) dans la conformation en zigzag de la chaîne hydrocarbonée. Ce repliement géométrique gène considérablement l'empilement régulier et compact des chaînes dans le réseau cristallin solide. La surface de contact mutuelle et les interactions de London sont drastiquement réduites, ce qui fragilise le solide et abaisse fortement T_{\text{fus}}.

3. La configuration géométrique des doubles liaisons (cis vs trans) :

   • Explication : une double liaison (E) (trans) n'induit pas de coude important dans la chaîne, qui conserve ainsi une conformation globale quasi-linéaire proche de celle d'une chaîne saturée. L'empilement cristallin reste alors dense et ordonné, conférant aux acides gras trans une température de fusion bien plus élevée qu'à leurs isomères cis homologues (par exemple, l'acide élaïdique, isomère trans-18:1 de l'acide oléique, fond à 45\,^\circ\text{C} contre 16\,^\circ\text{C} pour l'acide oléique).

Considérons le système global fermé \mathcal{S} formé par la réunion du « système bombe » et du « système calorimètre » :

D'après les hypothèses de l'énoncé :

• La paroi extérieure du calorimètre est adiabatique, et les fuites thermiques sont négligées : Q = 0 ;
• Le volume intérieur de la bombe est rigoureusement indéformable et les parois extérieures sont fixes : W = 0 ;
• L'énergie apportée par l'allumage du fusible est négligée.

Le système global \mathcal{S} est donc isolé au cours de la transformation. Le premier principe de la thermodynamique donne :

Pour calculer \Delta U_{\text{global}} entre l'état initial (réactifs à la température \Theta_i) et l'état final (produits à la température \Theta_f), on utilise un chemin fictif à volume constant en deux étapes :

1. Étape réactionnelle isotherme à \Theta_i : la combustion complète à volume constant d'une masse m de combustible s'accompagne d'une variation d'énergie interne :

   \Delta U_1 = m \, \Delta_{\mathrm{comb}}U

   où \Delta_{\mathrm{comb}}U est l'énergie interne massique de combustion (algébriquement négative car la combustion est exothermique).

2. Étape thermique : échauffement du système (bombe, calorimètre, eau et résidus) de \Theta_i à \Theta_f sans réaction chimique :

   \Delta U_2 = C \, (\Theta_f - \Theta_i) = C \, \Delta\Theta

   où C représente la capacité thermique totale du calorimètre et de ses accessoires (eau, bombe, agitateur, etc.). La masse de combustible (\approx 1\text{ g}) étant tout à fait négligeable devant la masse d'eau du calorimètre (\approx 2\text{ kg}), la capacité thermique globale C est identique pour les deux expériences.

Le bilan s'écrit donc :

Appliquons cette relation aux deux expériences :

• Pour l'étalon (acide benzoïque de masse m_{\mathrm{et}}) :

  - m_{\mathrm{et}} \, \Delta_{\mathrm{comb}}U_{\mathrm{et}} = C \, (\Delta\Theta)_{\mathrm{et}}

• Pour l'huile de palme (de masse m) :

  - m \, \Delta_{\mathrm{comb}}U = C \, \Delta\Theta

En effectuant le rapport membre à membre de ces deux équations, la constante du calorimètre C s'élimine :

On en déduit la relation liant les grandeurs :

L'ajout d'une petite quantité d'eau liquide au fond de la bombe calorimétrique avant la mise à feu présente deux intérêts majeurs :

1. Contrôle de l'état physique de l'eau formée (rôle principal) : La présence d'eau liquide sature d'emblée l'atmosphère gazeuse de la bombe en vapeur d'eau à la pression de vapeur saturante P_{\text{sat}}(\mathrm{H_2O}). Dès lors, la totalité de l'eau produite par la réaction de combustion se condense sous forme liquide :

   \mathrm{H_2O_{(l)}}

   Ceci permet de relier directement l'énergie thermique mesurée à l'énergie interne de réaction standard \Delta_{\text{comb}}U^\circ, dans laquelle l'eau est par convention dans son état standard de référence à 25\text{ }^\circ\mathrm{C}, à savoir l'état liquide (sans avoir à évaluer l'énergie de vaporisation d'une fraction indéterminée d'eau restée en phase gazeuse).

2. Piégeage des sous-produits acides (rôle secondaire) : L'eau liquide permet également de dissoudre les oxydes d'azote ou de soufre formés à l'état de traces lors de l'ignition (sous forme d'acide nitrique \mathrm{HNO_{3(aq)}} et d'acide sulfurique \mathrm{H_2SO_{4(aq)}}), rendant possible leur dosage ultérieur pour appliquer, si nécessaire, les corrections calorimétriques mentionnées dans le texte introductif.

L'équation de combustion complète d'une mole d'acide palmitique s'écrit :

En assimilant les gaz à des gaz parfaits et en négligeant le volume molaire des phases condensées devant celui des gaz, la relation fondamentale entre grandeurs molaires s'écrit :

où la variation de stœchiométrie gazeuse vaut :

À la température ambiante T \approx 298\text{ K}, le terme correctif vaut :

La masse molaire de l'acide palmitique est :

D'après la relation établie à la question Q3 et avec l'enthalpie de combustion massique de l'acide benzoïque assimilable à son énergie interne (\Delta \nu_{\text{gaz}} = -0{,}5, correction inférieure à 0{,}05\%), la valeur massique dégagée par l'huile de palme est :

L'énergie interne molaire de combustion vaut donc en valeur absolue :

L'erreur relative commise en confondant enthalpie et énergie interne s'évalue alors par :

Cette erreur relative de l'ordre de 0{,}2\% est tout à fait négligeable devant les incertitudes expérimentales du calorimètre (de l'ordre de quelques pourcents). On peut donc rigoureusement confondre enthalpie et énergie interne de combustion :

Comparaison : La valeur obtenue de 34\text{ kJ}\cdot\text{g}^{-1} est très proche de la valeur forfaitaire de 37\text{ kJ}\cdot\text{g}^{-1} retenue par les industriels, l'écart relatif étant de :

Cet accord est très satisfaisant, sachant que l'huile de palme contient également des triglycérides d'autres acides gras (notamment l'acide oléique, monoinsaturé) et du glycérol estérifié.